Modulatori Ottici

Modulatori Ottici.
Introduzione.
I modulatori ottici sono dispositivi che impiegano determinati materiali cristallini, i quali manifestano particolari proprietà adatte alla modulazione dell'onda luminosa. Essa, infatti, può essere modulata in intensità (ampiezza), fase, frequenza o polarizzazione a seconda della sorgente, del mezzo e
del rivelatore.
I modulatori ottici vengono normalmente impiegati nei sistemi di comunicazione in fibra ottica.
Normalmente per questo tipo di applicazioni viene utilizzata la modulazione di ampiezza, come accade nei laser ad iniezione e nei LED, facendo variare la corrente di pilotaggio. Per realizzare
modulatori ad elevata efficienza e velocità, si utilizzano invece gli effetti elettro-ottico e acustoottico, il cui funzionamento si basa sulla variazione dell'indice di rifrazione di un cristallo, generato
rispettivamente da un campo elettrico o da una tensione meccanica. I modulatori basati su questi
effetti realizzano la modulazione di fase (diretta o attraverso variazioni di polarizzazione) o
frequenza, che poi, tramite componenti passivi, viene trasformata in modulazione di ampiezza; essi
sono utilizzati anche per la modulazione della radiazione all'interno di risonatori per realizzare
sistemi laser pulsanti (Q-switching, cavity dumping e mode locking).
Ci sono quattro tecniche principali per la realizzazione dei modulatori ottici:
1. La prima tecnica consiste nella MODULAZIONE DIRETTA o INTERNA; questa è concettualmente la tecnica più semplice e consiste nel modulare in ampiezza la radiazione di uscita di un
diodo LED o laser attraverso la modulazione di ampiezza della corrente di iniezione del dispositivo.
2. La seconda tecnica, basata sull'effetto PLASMA OTTICO, utilizza le variazioni delle proprietà
ottiche di un semiconduttore (dell'indice di rifrazione n e del coefficiente di assorbimento )
al variare della concentrazione dei portatori liberi n e p.
3. La terza tecnica sfrutta l'effetto ELETTRO-OTTICO, che si basa sulla variazione delle proprietà
ottiche di un cristallo, quando questo viene sottoposto all'azione di un campo elettrico; per una
migliore comprensione di questa tecnica sarà necessario trattare la propagazione in mezzi anisotropi.
4. L'ultima tecnica sfrutta invece l'effetto ACUSTO - OTTICO: è analogo al precedente con la differenza che in questo caso la sollecitazione è di tipo elastico (onda acustica).
Modulazione diretta.
Nelle sorgenti di radiazione a semiconduttori, la potenza del fascio di uscita dipende dall'intensità
della corrente di iniezione ed è dunque naturale utilizzare questa proprietà per modulare l'ampiezza
della radiazione.
Le modalità sono diverse a seconda che si usino diodi LED oppure diodi laser e, dunque, in questa
sezione, saranno descritte brevemente le caratteristiche della modulazione di ampiezza diretta o interna (modulazione del segnale di uscita attraverso la modulazione della corrente di iniezione) separatamente per ciascuna delle due classi di dispositivi.
In tabella 1 sono riportati i principali parametri caratteristici dei diodi LED e laser in modo da valutarne le prestazioni nei sistemi di comunicazione in fibra ottica:
289
Parametro
LED a bassa
radianza
LED ad alta
radianza
Diodi laser
Unità di misura
2
2
2
V
50 ÷ 300
50 ÷ 300
50 ÷ 300
mA
-
-
50 ÷ 200
mA
1÷3
1 ÷ 20
1 ÷ 100
MW
0.1 ÷ 3
0.2 ÷ 10
5 ÷ 50
%
30 ÷ 100
30 ÷ 100
1 ÷ 10
nm
Brillanza
1 ÷ 10
1 ÷ 1000
105
W / cm2
Tempo di salita
5 ÷ 50
2 ÷ 20
0.01 ÷ 1
ns
Risposta in frequenza
5 ÷ 70
20 ÷ 200
50 ÷ 2000
MHz
0.1 ÷ 10
0.1 ÷ 10
0.1 ÷ 20
%
> 106
> 106
> 106
ore
-55 ÷ 130
-55 ÷ 90
-55 ÷ 70
°C
Caduta di tensione
Corrente di iniezione
Corrente di soglia
Potenza d'uscita
Efficienza di accoppiamento in
fibra
Larghezza spettrale
Non linearità
Vita media a 25°C
Temperatura di operazione
Tab.1
Parametri caratteristici di diodi LED e laser
Modulazione dei diodi LED.
Un diodo LED è costituito essenzialmente da una giunzione PN polarizzata direttamente; nella regione di interfaccia avviene la ricombinazione delle coppie elettrone - lacuna che consente la produzione di fotoni. Il numero di fotoni generati dipende quasi linearmente dalla corrente di iniezione e
così pure la potenza. La modulazione del fascio di uscita si ottiene modulando la corrente di iniezione.
E' interessante notare che, essendo assente un effetto soglia, la modulazione diretta di un LED può
essere eseguita anche per valori della corrente di iniezione molto piccoli.
Il comportamento ad elevate frequenze di modulazione è limitato dal tempo di vita medio di ricombinazione dei portatori, che nei semiconduttori a gap diretto (GaAs), pesantemente drogati
(>1019cm-3 ), è dell'ordine della decina di nanosecondi. Pertanto, i tempi di salita tipici dei diodi
LED (che sono appunto legati alla variazione della concentrazione dei portatori quindi alle variazioni di corrente e quindi alle variazioni della luce) variano tipicamente da 1 a circa 100 ns corrispondenti a bande dell'ordine del centinaio di megaHertz.
Per quanto concerne la linearità, la risposta di un LED può presentare un certo grado di non linearità, con conseguenti distorsioni della risposta in frequenza, che possono essere dovute anche ad
effetti termici prodotti nella giunzione essendo la caratteristica di uscita del diodo LED dipendente
dalla temperatura della giunzione.
Questi effetti possono essere eventualmente compensati utilizzando dei particolari circuiti di pilotaggio contenenti un certo grado di distorsione capaci di compensare la distorsione introdotta dal
LED; in figura 1 è riportato lo schema di un circuito di compensazione della non linearità dell'intensità luminosa.
290
Fig. 1
Circuito di compensazione delle non linearità di un LED tramite un normale diodo.
A parità di tensione di alimentazione V del circuito, la corrente totale I è data dal contributo di due
correnti: ILED e ID. A causa della non linearità, l'intensità luminosa nel LED non varia linearmente
con la corrente; quest' ultima si ripartisce nei due rami a seconda della caratteristica corrente - tensione dei due componenti.
Si vuol fare in modo che al variare della corrente I, una parte maggiore o minore di essa venga fatta
scorrere nell'altro ramo ( quello con il diodo e la resistenza in serie ). Ad esempio, nel caso di figura
1, a parità di tensione, il LED tende ad assorbire una maggiore corrente, e ciò potrebbe bilanciare
l'aumento meno che lineare della luce (fig. 2):
Fig. 2
Andamento meno che lineare della luce.
Modulazione di diodi laser.
La modulazione diretta di un diodo laser è più complicata di quella realizzabile nei diodi LED a
causa dell'effetto soglia presente nella caratteristica di uscita che lega la potenza emessa alla corrente di iniezione (fig. 3):
Fig. 3
Caratteristica di un diodo laser.
291
Questo risulta particolarmente evidente quando si analizza la risposta di un diodo laser sottoposto
ad un gradino di corrente:
Fig. 4
a)
Gradino di corrente
b) Impulso luminoso ritardato di un tempo ts  tr.
Dalle figure 4a) e 4b) si può notare che il laser risponde con un gradino di intensità luminosa ritardato di un certo tempo tr , dovuto al fatto che il diodo laser impiega un certo tempo ts per raggiungere la soglia dell'emissione stimolata. Questo ritardo può essere così espresso:
(1)
dove i è l'ampiezza del gradino di corrente applicato al diodo laser, is è la corrente di soglia e sp è il
tempo di ricombinazione elettrone - lacuna per emissione spontanea.
Poiché nella maggior parte dei casi il restante tempo di salita del laser, dopo aver raggiunto la soglia, è molto basso si può scrivere:
(2)
Dalla caratteristica di uscita di un diodo laser, si può vedere che il modo più semplice per ridurre il
tempo di ritardo è l'applicazione al diodo laser di una corrente di polarizzazione, in modo da tenerlo
appena sotto o appena sopra soglia. Si può dunque scrivere:
(3)
dove ib è la corrente di polarizzazione.
Frequency chirping.
Nella modulazione diretta dei diodi laser occorre tenere presente l'effetto del Frequency Chirping,
che consiste in una modulazione di frequenza della radiazione luminosa in uscita dovuta a variazioni dell'indice di rifrazione n del semiconduttore dovute a loro volta a variazione di concentrazione
dei portatori liberi. Questo effetto deve essere tenuto in debita considerazione quando si progettano
sistemi di trasmissione in fibra ottica ad elevato bit rate e su grandi distanze.
292
Modulatori a semiconduttore (effetto plasma ottico).
I modulatori ottici realizzati con materiali a semiconduttore utilizzano le variazioni dell'indice di rifrazione n e del coefficiente di assorbimento  di un semiconduttore quando viene cambiata la concentrazione dei portatori liberi in accordo alle seguenti relazioni:
(4a)
(4b)
dove

e è la carica dell'elettrone

 è la lunghezza d'onda della radiazione incidente

c è la velocità della luce nel vuoto

n è l'indice di rifrazione del semiconduttore
0 è la costante dielettrica del vuoto
 N è la variazione della concentrazione dei portatori rispetto all'equilibrio


m è la massa efficace

 è la mobilità
i pedici e e h si riferiscono rispettivamente agli elettroni e alle lacune.
Sfruttando le variazioni di n e di , al variare della concentrazione dei portatori, si possono
costruire dei modulatori, rispettivamente di ampiezza e di fase.
Modulatori in assorbimento (FCAM: free carrier absorption modulator)
Il modo più semplice per realizzare un modulatore di ampiezza con un dispositivo a semiconduttore
è basato sull'uso di un diodo (fig. 5) in cui il fascio ottico da modulare viene fatto passare parallelamente alla giunzione del diodo.
Fig. 5
Schema di principio di un modulatore d'ampiezza in silicio basato sul fenomeno dell'assorbimento da parte
dei portatori liberi.
Quando il diodo è polarizzato direttamente, una variazione della corrente di iniezione induce una
variazione della concentrazione dei portatori in prossimità della giunzione e, quindi, attraverso una
variazione del coefficiente di assorbimento genera una modulazione del fascio ottico che attraversa
la giunzione ( = f ( I )).
Questo dispositivo presenta l'inconveniente di poter essere utilizzato efficientemente solo a
lunghezze d'onda molto grandi (decina di micron). L'uso di questi modulatori a lunghezze d'onda
293
più piccole è reso complicato dal fatto che le variazioni del coefficiente di assorbimento sono
proporzionali al quadrato della lunghezza d'onda della radiazione da modulare. Ciò implica che la
stessa variazione della concentrazione di portatori provoca ad 1 m un effetto cento volte più
piccolo di quello che si avrebbe utilizzando una radiazione a 10 m.
Da queste considerazioni si comprende il motivo per cui un modulatore basato su variazioni del coefficiente di assorbimento non possa avere, nel vicino infrarosso, una lunghezza L inferiore a 5mm.
Modulatori a variazione di fase (FPOM: Fabry Perot optical modulator)
Le equazioni (4a) e (4b) mostrano che le variazioni del coefficiente di assorbimento sono sempre
accompagnate da una variazione dell'indice di rifrazione e, quindi, della fase del fascio che attraversa il semiconduttore. Questo rende possibile realizzare modulatori di ampiezza utilizzando uno
schema interferometrico capace di trasformare le variazioni dell'indice di rifrazione del semiconduttore in modulazioni di ampiezza del fascio ottico.
Lo schema che consente di realizzare i modulatori più efficienti è basato sull'uso dell'effetto Fabry
Perot ed è rappresentato in figura 6.
Fig. 6
Schema di principio di un modulatore di ampiezza in silicio sull'uso dell'interferometro Fabry Perot.
Il dispositivo può essere facilmente realizzato utilizzando uno strato di un diodo al silicio (P -N-) lavorato otticamente alle facce terminali, le quali possono essere a contatto con ossido di silicio; attraverso questo strato si propaga la radiazione da modulare. Queste facce funzionano come specchi
piani paralleli e costituiscono nell'insieme una configurazione Fabry Perot. Quando il diodo è polarizzato direttamente, variando la corrente di iniezione, varia la concentrazione dei portatori, quindi
anche l'indice di rifrazione del mezzo e quindi la frequenza naturale della fibra; in altre parole si ha
un modo che oscilla all'interno della zona N-: variando n si sposta la curva di risonanza, che ora non
è più centrale, e quindi si ha una modulazione (fig. 7).
Fig. 7
Variazione di frequenza naturale della fibra.
Questi dispositivi sono facilmente integrabili sia con dispositivi elettronici che ottici ed inoltre non
presentano eccessivi problemi costruttivi.
Per completezza citiamo un ultimo effetto.
294
EFFETTO FRANZ – KELDISH.
Se un semiconduttore è sottoposto all'azione di un campo elettrico, il profilo delle bande di valenza
e di conduzione può modificarsi inducendo una variazione del coefficiente di assorbimento ottico.
Questa variazione può portare ad un cambiamento del valore dell'ampiezza della banda proibita
(gap) e quindi ad una modulazione di ampiezza indotta dal campo applicato.
E' un metodo che presenta una bassa efficienza dal momento che richiede valori elevati del campo
elettrico ed è quindi usato assai raramente.
Fig. 8
Tipico andamento del coefficiente di assorbimento in un semiconduttore in funzione della differenza tra
l'energia del fotone incidente e quella del gap, per diversi valori dell'ampiezza di un campo elettrico applicato
all'esterno.
Modulatori basati sull'effetto elettro-ottico.
Prima di procedere con la trattazione di questo tipo di modulatori occorre fare delle premesse di carattere fisico.
La polarizzazione delle onde luminose.
Una perturbazione ottica è una quantità vettoriale la cui direzione del vettore non coincide con la direzione di propagazione. Questo vettore è detto vettore ottico. Per un'onda luminosa piana che si
propaga in un mezzo isotropo il vettore ottico è ortogonale alla direzione di propagazione. Generalmente si assume come vettore ottico il campo elettrico.
Consideriamo un'onda luminosa incidente perpendicolarmente su una lamina polarizzatrice. Questa
lamina trasmette la luce senza assorbimento apprezzabile se il vettore ottico è parallelo ad una certa
direzione preferenziale della lamina, l'asse di trasmissione della lamina, mentre l'assorbe completamente se il vettore ottico è ortogonale a questa direzione preferenziale. Nel caso in cui il vettore ottico abbia una direzione intermedia lo si può pensare come la combinazione di due vettori uno perpendicolare ed uno parallelo all'asse di trasmissione della lamina polarizzatrice. La lamina trasmetterà la componente parallela al suo asse di trasmissione ed assorbirà la componente ortogonale.
L'onda uscente dalla lamina avrà il vettore ottico parallelo all'asse di trasmissione e diremo che
quest'onda è polarizzata linearmente. Chiameremo il piano contenente la direzione di propagazione
e il vettore ottico piano di vibrazione. Ogni sistema ottico capace di trasmettere solo luce
linearmente polarizzata verrà detto filtro polarizzatore.
295
a)
Fig. 9
b)
c)
Nei tre casi sopra disegnati la lamina polarizzatrice ha l'asse di trasmissione verticale (frecce verticali).
Nel caso a) l'onda incidente ha il vettore ottico parallelo all'asse di trasmissione della lamina e quindi il suo
stato di polarizzazione non subisce alterazioni.
Nel caso b) l'onda incidente ha il vettore ottico ortogonale all'asse di trasmissione e quindi la lamina polarizzatrice assorbe l'onda.
Nel caso c) il vettore ottico ha un'inclinazione arbitraria rispetto all'asse di trasmissione. In questo caso l'onda
emergente dalla lamina è la componente dell'onda incidente parallela all'asse di trasmissione.
Supponiamo ora che l'onda polarizzata uscente da un primo polarizzatore venga fatta passare attraverso un secondo polarizzatore. L'ampiezza dell'onda trasmessa dal secondo filtro sarà proporzionale al coseno dell'angolo tra il vettore ottico dell'onda polarizzata e l'asse di trasmissione del secondo
filtro.
Fig. 10
In questa immagine sono evidenziate le componenti del campo rispetto all'asse di trasmissione della seconda
lamina
Sovrapposizione di onde polarizzate: la polarizzazione ellittica e circolare.
Consideriamo due onde luminose sinusoidali linearmente polarizzate aventi stessa frequenza e viaggianti nella stessa direzione. Se i loro vettori ottici sono paralleli, si combinano in un'unica onda linearmente polarizzata la cui ampiezza e fase sono funzioni delle ampiezze e delle fasi delle onde
componenti. Ci proponiamo di studiare la natura dell'onda risultante nel caso in cui le due perturbazioni ottiche siano mutuamente ortogonali.
Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane con l'asse x nella direzione di propagazione, l'asse
y parallelo al vettore ottico di un'onda, e l'asse z parallelo al vettore ottico dell'altra onda.
Fig. 11
In questa immagine sono mostrate le due onde Ez ed Ey e la risultante E
I vettori ottici delle due onde sono rappresentati da espressioni del tipo
296
(5)
Le funzioni Ey ed Ez rappresentano anche le componenti del vettore ottico risultante E lungo gli assi
y e z. In un dato punto dello spazio, questo vettore varia nel tempo sia in lunghezza che in direzione.
Il suo vertice descrive una curva, di cui le equazioni (5) sono le equazioni parametriche. Per determinare la forma di questa curva , dobbiamo solamente eliminare t tra le due equazioni. A questo fine indichiamo con   2  1 la differenza di fase tra le due oscillazioni e ridefiniamo l'origine dei
 x
tempi ponendo t '    t   così le equazioni (5) diventano
 v
(6)
Da queste equazioni otteniamo
e, dopo alcuni semplici passaggi, otteniamo
(7)
Questa è l'equazione di un'ellisse, e quindi concludiamo che il vertice del vettore che rappresenta la
perturbazione ottica in un dato punto dello spazio descrive un'ellisse nel piano perpendicolare alla
direzione di propagazione. Esprimiamo questo fatto dicendo che l'onda è polarizzata ellitticamente.
Notiamo che in ogni istante il modulo del vettore E della perturbazione ottica risultante è dato
dall'equazione
(8)
Le equazioni (5) mostrano che Ey varia da +Ay a -Ay e che Ez varia da +Az a -Az. Quindi l'ellisse rappresentata da queste equazioni, o dall'equazione (7) è inscritta in un rettangolo con lati di lunghezza
2Ay e 2Az. Se le due oscillazioni sono in fase, cioè se   2n con n  N l'ellisse degenera in un
segmento rettilineo coincidente con la diagonale del rettangolo che giace nel primo e nel terzo quaE y Ez

drante (fig. 12b). Infatti in questo caso l'equazione (6) dà
.
Ay
Az
Se   2n  1 con n N l'equazione (6) dà
Ey
Ay

Ez
.
Az
L'onda risultante è ancora linearmente polarizzata, ma ora la perturbazione ottica è parallela all'altra diagonale del rettangolo, cioè a quella che giace nel secondo e quarto quadrante. (fig. 12c) .Se
E y2 E z2



  2n  1 con n N l'equazione (7) diventa 2  2  1 , che è l'equazione di un'ellisse
2
A y Az
297
avente gli assi nelle direzioni y e z (fig. 12d). Se in particolare, Ay = Az, l'ellisse degenera in una circonferenza e si dice che l'onda è polarizzata circolarmente. In questo caso il vettore che rappresenta
la perturbazione ottica in un dato punto ruota con velocità angolare costante senza variare in modulo.
a)
Fig. 12
b)
c)
d)
Stati di polarizzazione corrispondenti a differenti valori della differenza di fase 
Vediamo di comprendere quale sia la direzione di rotazione del vettore ottico nel caso di polarizzazione ellittica o circolare. A questo fine consideriamo la posizione del vettore ottico al tempo t’ = 0
e al tempo t’ = , dove  è una piccola frazione del periodo T. Queste posizioni sono mostrate dai
segmenti OP1 e OP2 della figura 13.
a)
Fig. 13
Nel caso a) 0 <  <  : il vettore ottico ruota in senso orario.
Nel caso b)  <  < 2: il vettore ottico ruota in senso antiorario.
b)
Dalla (6), troviamo che
a t’ = 0:
a t’ = :
Ricordiamo ora che se il suo argomento giace tra 0 e  il coseno è una funzione decrescente dell'argomento, mentre è una funzione crescente del suo argomento se questo giace tra 0 e -. Quindi, se
risulta 0 <  < , Ez è una funzione decrescente del tempo a t’ = 0 il punto P2 giace al di sotto del
punto P1, e il vettore ottico ruota in senso orario rispetto all'osservatore verso cui viaggia l'onda (fig.
13a). Se, invece, - <  < 0, Ez è una funzione crescente del tempo a t’ = 0 e il vettore ottico ruota
in senso antiorario rispetto all'osservatore verso cui viaggia l'onda (fig. 13b).
In conclusione per un'onda viaggiante nella direzione dell'asse x di un sistema cartesiano di riferimento destrorso, troviamo che rispetto ad un osservatore posto di fronte alla sorgente, il vettore ottico ruota in senso orario o antiorario a seconda che la componente z anticipi o ritardi rispetto alla
componente y di un angolo di fase minore di .
Proprietà fondamentale dei mezzi anisotropi.
Fino ad ora abbiamo concentrato la nostra attenzione nei mezzi isotropi ovvero in quei materiali in
cui le proprietà ottiche siano le stesse in tutte le direzioni. Vediamo ora di spostare la nostra attenzione verso quei materiali in cui le proprietà ottiche variano a seconda della direzione ovvero i mezzi anisotropi. Questa anisotropia viene spesso chiamata anche birifrangenza.
298
Proprietà fondamentale di questi mezzi è la seguente: per ogni direzione di propagazione in un
mezzo anisotropo ci sono solo due onde, vibranti in uno o nell'altro di due piani mutuamente ortogonali, che conservano il loro stato di polarizzazione mentre viaggiano attraverso il mezzo. In altre
parole per i mezzi anisotropi ci sono due direzioni preferenziali tali che le onde polarizzate linearmente secondo queste direzioni non subiscono alterazioni del loro stato di polarizzazione nell'attraversamento del mezzo. Queste due direzioni preferenziali vengono definite come gli assi principali
del mezzo. Differentemente una distribuzione di campo con polarizzazione generica incidente su un
mezzo anisotropo dovrà essere scomposta negli stati di polarizzazione consentita ognuno dei quali
si propaga senza alterazioni, ma con velocità di fase diverse. Infatti altra importante caratteristica
dei mezzi anisotropi è che le velocità di propagazione delle onde lungo gli assi principali del mezzo
sono diverse.
La produzione di luce polarizzata ellitticamente e circolarmente.
Vediamo ora di analizzare come varia lo stato di polarizzazione di un'onda polarizzata linearmente
quando attraversa una lamina birifrangente.
Siano y e z gli assi della lamina e ny e nz i rispettivi indici di rifrazione. Le corrispondenti velocità di
c
c
propagazione lungo y e z sono: v y 
e vz 
.
nz
ny
Supponiamo, per esempio, che ny < nz di modo che la velocità di propagazione dell'onda che viaggia lungo y sia maggiore di quella che viaggia lungo z.
Sia E il vettore ottico dell'onda luminosa linearmente polarizzata incidente sulla lamina. Scomponiamo l'onda incidente (che supponiamo essere monocromatica ) in due onde con i piani di
vibrazione rispettivamente paralleli all'asse y e z.
Fig. 14
Produzione di luce polarizzata ellitticamente
Quando entrano nella lamina, l'onda incidente e le sue componenti hanno la stessa fase. I moduli dei
tre vettori ottici corrispondenti sono del tipo
(9)
dove Ay  A cos e Az  A sin  .
Nella lamina, le onde onde viaggiano con velocità vy e vz. Se d è lo spessore della lamina il tempo
ny
n
necessario per attraversare la lamina è t y 
d e t z  z d per l'onda nella direzione y e z rispettic
c
vamente. Perciò quando le due onde escono dalla lamina i loro vettori ottici sono rappresentati dalle
seguenti equazioni:
(10)
299
dove 0 è la lunghezza d'onda nel vuoto. Vediamo quindi che le due onde emergenti hanno fasi diverse. Infatti, l'oscillazione parallela all'asse z ritarda rispetto a quella parallela all'asse y di un angolo di fase
(11)
Come spiegato precedentemente le due oscillazioni si ricombinano per produrre un'onda polarizzata
ellitticamente. Concludiamo perciò che, in generale, il passaggio attraverso una lamina birifrangente
muta un'onda polarizzata linearmente in un'onda polarizzata ellitticamente.
Lamine a quarto d'onda e lamine a mezzo d'onda.
Consideriamo ora il caso in cui le componenti dell'onda incidente abbiano una differenza di fase ,
ovvero che E y  Ay cos t , Ez  Az cost    . Supponiamo per semplicità che Ay = Az. In questo
caso l'onda in ingresso sarà polarizzata circolarmente se  = /2, mentre sarà polarizzata linearmente e con la direzione di polarizzazione parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante
se  = 0.
La differenza di fase tra le componenti Ey ed Ez dell'onda emergente, u, è data dalla relazione
(12)
.
Tra gli infiniti valori che può assumere , i più interessanti sono
Lamina a

e .
2


   
2
4
Il primo caso è quello in cui d n z  n y  
dalla lamina pari a  

2
0
4
che provoca uno sfasamento tra le due onde uscenti
. Questo è facilmente dimostrabile:
In questo caso gli assi dell'ellisse coincidono con le direzioni y e z. L'ellisse è descritta in senso antiorario. Una lamina di spessore d tale che d n z  n y  
0
4
, cioè, una lamina in cui le lunghezze dei
cammini ottici delle due onde che vibrano nei piani paralleli ai due assi differiscono di
0
4
è detta
lamina a quarto d'onda.
Nel nostro caso specifico se l'onda incidente è polarizzata linearmente,  = 0, l'onda emergente sarà

polarizzata circolarmente (fig. 15). Infatti  u    .
2
300
Fig. 15
Onda incidente
Lamina a quarto d'onda con onda incidente polarizzata linearmente.
Se invece l'onda incidente è polarizzata circolarmente,  

2
Onda emergente
, l'onda emergente sarà polarizzata li-
nearmente lungo la bisettrice del secondo e quarto quadrante (fig. 16). Infatti  u 
Fig. 16

2


2
 .
Onda incidente
Onda emergente
Lamina a quarto d'onda con onda incidente polarizzata circolarmente.
Quindi, possiamo ottenere luce polarizzata circolarmente ponendo lungo il cammino ottico di un'onda polarizzata linearmente una lamina a quarto d'onda con gli assi inclinati a 45° rispetto al piano di
vibrazione dell'onda incidente.
Lamina a
0
2
    
Il secondo caso è quello in cui d n z  n y  
0
lamina a mezzo d'onda, in cui lo sfasamento intro2
dotto dalla lamina è    . Questo è facilmente dimostrabile:
Una lamina di spessore d tale che d n z  n y  
0
2
, cioè, una lamina in cui le lunghezze dei cam-
mini ottici delle due onde che vibrano nei piani paralleli ai due assi differiscono di
0
2
è detta lami-
na a mezzo d'onda.
Nel nostro caso specifico se l'onda incidente è polarizzata linearmente,  = 0, l'onda emergente sarà
ancora polarizzata linearmente ma la sua direzione sarà parallela alla bisettrice del secondo e quarto
quadrante (fig. 17). Infatti u     .
301
Fig. 17
Onda incidente
Lamina a mezzo d'onda con onda incidente polarizzata linearmente.
Se invece l'onda incidente è polarizzata circolarmente,  

2
Onda emergente
, l'onda emergente sarà ancora pola-
rizzata circolarmente ma con verso di rotazione opposto (fig. 18). Infatti  u   
Fig. 18

3
 .
2 2
Onda incidente
Onda emergente
Lamina a mezzo d'onda con onda incidente polarizzata circolarmente.
Il Tensore dielettrico in un mezzo anisotropo.
In un mezzo isotropo, la polarizzazione indotta è sempre parallela al campo elettrico applicato ed è
in relazione con questo tramite uno scalare indipendente dalla direzione in cui il campo elettrico è
applicato (dipende quindi solo dalla sua intensità). Questo non è più vero in un mezzo anisotropo, se
si escludono particolari direzioni. In questi materiali la polarizzazione indotta dipenderà dall'ampiezza e dalla direzione lungo cui è applicato il campo elettrico secondo la relazione
(13)
dove P è il vettore polarizzazione indotta, E è il vettore campo elettrico e è il tensore suscettibilità elettrica. L'ampiezza dei termini ijdipende ovviamente dalla scelta degli assi x, y e z rispetto
alla struttura cristallina del mezzo. Scegliendo come assi x, y e z gli assi principali del mezzo la matrice che rappresenta il tensore  diventa diagonale riducendo così la relazione tra P ed E a
(14)
.
Possiamo anche scrivere la risposta dielettrica del mezzo tramite il tensore permeattività dielettrica
ij con la relazione matriciale
(15)
dove D è il vettore spostamento elettrico.
Dall'equazione costitutiva D = 0 E + P ricaviamo che
302
(16)
Anche in questo caso con l'opportuna scelta degli assi x, y e z fatta prima, riesco a diagonalizzare la
matrice del tensore permeabilità dielettrica. La relazione (15) può anche essere espressa in forma
tensoriale Di = ij Ej.
L'ellissoide di Fresnel o ellissoide degli indici.
Un mezzo isotropo è caratterizzato da un unico parametro, l'indice di rifrazione, che determina la
velocità di propagazione nel mezzo.
In un mezzo anisotropo invece non c'è un'unica velocità di propagazione e quindi un unico indice di
rifrazione. Esiste però la possibilità di descrivere completamente le proprietà ottiche di questi mezzi
assegnando tre direzioni caratteristiche mutuamente ortogonali, Ox, Oy e Oz e tre corrispondenti costanti n1, n2 e n3, dette indici di rifrazione principali. Le due onde piane che viaggiano nella direzione dell'asse x hanno i piani di vibrazione paralleli agli assi y e z, e le velocità di propagazione sono
c
c
v2 
e v3 
rispettivamente. Le due onde che viaggiano nella direzione dell'asse y hanno i
n3
n2
c
piani di vibrazione paralleli agli assi x e z, con velocità di propagazione v1 
e v3 rispettivamenn1
te. Le due onde che viaggiano nella direzione dell'asse z hanno i piani di vibrazione paralleli agli assi x e y, con velocità di propagazione v1 e v2 rispettivamente. Notare che le velocità di propagazione
dipendono dalla direzione di vibrazione e non dalla direzione di propagazione. Quindi per esempio,
l'onda che vibra in una direzione parallela all'asse x ha la stessa velocità di propagazione sia che si
propaghi in una direzione parallela all'asse y che ad una parallela all'asse z.
Per determinare i piano di vibrazione e le velocità di propagazione delle due onde che si propagano
in una qualsiasi direzione diversa da Ox, Oy o Oz, usiamo il seguente metodo. Dapprima costruiamo
l'ellissoide (fig. 11a) i cui tre semiassi sono paralleli a Ox, Oy e Oz, e che hanno lunghezza uguale rispettivamente a n1, n2 e n3. L'equazione di questo ellissoide è
(17)
.
Fig. 19
a)
Ellissoide di rotazione.
b)
Assegnata la direzione di propagazione, s, costruiamo poi un piano perpendicolare a questa direzione (cioè parallelo al corrispondente fronte d'onda) e passante per il centro dell'ellissoide. L'intersezione del piano con l'ellissoide è un'ellisse. Gli assi di quest'ellisse sono paralleli ai piani di vibrazione delle due onde piane che viaggiano invariate nella direzione assegnata. Le lunghezze dei semiassi sono numericamente uguali ai due corrispondenti indici di rifrazione (fig 19b).
Apriamo una parentesi per spiegare da dove deriva l'equazione (17).
303
La superficie a densità di energia costante Ue nello spazio D data dalla relazione
2
Dx2 D y Dz2
1
1
U e  E  D  Ei  ij E j può essere scritta nella forma


 2U e dove x, y, z sono
2
2
x y z
le costanti dielettriche principali. Se sostituiamo r  x 2  y 2  z 2 a
indici di rifrazione degli assi principali come nx, ny e nz, con ni2 
D
2U e  0
e definiamo gli
i
(i = x, y, z), l'ultima equazione
0
può essere scritta nella forma
(18)
Questa equazione è la generica equazione di un ellissoide con gli assi principali paralleli agli assi x,
y e z e lunghi 2nx, 2ny e 2nz rispettivamente. Questo ellissoide è noto come ellissoide degli indici o
di Fresnel o indicatrice ottica.
La propagazione dell'energia è descritta dal vettore di Poynting che è dato dalla perpendicolare al
piano tangente all'ellissoide nell'intersezione tra l'ellissoide stesso e la retta parallela alla direzione
di propagazione per l'origine (fig. 20)
Fig. 20
Piano tangente all'ellissoide nel punto Q e vettore di Poynting.
Per i materiali di tipo isotropo in cui gli indici di rifrazione sono gli stessi in tutte e tre le direzioni,
l'ellissoide di Fresnel degenera in una sfera. Per i cristalli anisotropi in cui due degli indici principali
di rifrazione sono uguali (n1 = n2 = n0 e n3 = ne ), definiti cristalli uniassiali, l'ellissoide di Fresnel è
un ellissoide di rotazione attorno ad un asse detto asse ottico del cristallo uniassiale.
(19)
Per i cristalli uniassiali la sezione normale all'asse dell'ellissoide di Fresnel è una circonferenza.
Tutte le onde piane che viaggiano nella direzione dell'asse ottico conservano il loro stato di
polarizzazione. Per tali onde il cristallo si comporta come un mezzo isotropo.
In tutte le altre direzioni, tuttavia, il cristallo è birifrangente. Assegnata una direzione di propagazione arbitraria OA, diversa dall'asse ottico, intersechiamo l'ellissoide di Fresnel con un piano passante
per il suo centro e normale ad OA. L'intersezione è un'ellisse, di cui un asse, MN, giace nel piano
equatoriale dell'ellissoide, mentre l'altro, PQ, giace nel piano che contiene la direzione di propagazione e l'asse ottico.
304
Fig. 21
Ellissoide di Fresnel per un cristallo uniassiale positivo.
Questi due assi sono paralleli ai piani di vibrazione delle due onde polarizzate linearmente che viaggiano nella direzione OA. Se definiamo il piano contenente la direzione di propagazione e l'asse ottico come sezione principale del cristallo relativa ad una data direzione di propagazione, possiamo
dire che delle due onde polarizzate linearmente che viaggiano in una data direzione, una ha il suo
piano di vibrazione normale e l'altra parallelo alla corrispondente sezione principale.
L'indice di rifrazione dell'onda che vibra ortogonalmente alla sezione principale (e perciò all'asse
ottico) è numericamente uguale a n2, il raggio della sezione equatoriale dell'ellissoide. La velocità di
quest'onda è perciò v2. Per questa ragione l'onda che vibra in una direzione ortogonale all'asse ottico
è detta onda ordinaria e il suo indice di rifrazione è detto indice di rifrazione ordinario n0. L'indice
di rifrazione dell'onda che vibra nel piano della sezione principale è numericamente uguale al semiasse OP dell'ellisse. Questo indice di rifrazione è diverso per le diverse direzioni di propagazione; il
suo valore è sempre intermedio tra n2 e n3 e viene detto indice di rifrazione straordinario ne. Quindi
l'onda che vibra nel piano della sezione principale ha una velocità che dipende dalla direzione di
propagazione, per questa ragione è detta onda straordinaria.
Classificazione dei mezzi anisotropi.
Nei cristalli uniassiali si ha che due degli indici principali di rifrazione sono uguali, nx = ny = n0 con
n02 
x y

ed uno è diverso, n z  ne  z . In questi cristalli il tensore dielettrico assume la

0 0
0
 n02

forma    0  0
0

0
n02
0
0

0 .
ne2 
In questi cristalli vi è un solo asse ottico che per convenzione è l'asse z.
Nei cristalli uniassiali l'indice di rifrazione ordinario è n0 mentre quello straordinario è ne. Se n0<ne
il cristallo è detto positivo mentre se n0>ne il cristallo è detto negativo.
Propagazione della luce nei cristalli uniassiali.
Molti dei dispositivi elettro-ottici moderni sfruttano i cristalli uniassiali. Esempi comuni di cristalli
usati sono la calcite, il quarzo e il niobato di litio. In questi cristalli l'equazione dell'ellissoide degli
indici assume la forma
(20)
dove sono stati scelti gli assi di simmetria con la convenzione che z è l'asse ottico. La figura (fig.
22) mostra l'ellissoide degli indici per un cristallo uniassiale positivo. Il versore s indica la direzione
di propagazione dell'onda luminosa. Siccome l'ellissoide in questo caso è invariante rispetto a rotazioni attorno all'asse z, la proiezione di s sul piano xy è stata scelta, senza perdere di generalità, in
modo che coincida con l'asse y.
305
Fig. 22
Costruzione per trovare gli indici di rifrazione per una direzione di propagazione s data. La figura mostra un
cristallo uniassiale con nx=ny=n0, nz=ne
In accordo con quanto detto prima l'intersezione del piano normale a s passante per l'origine dell'ellissoide dà origine all'ellisse di intersezione in cui la lunghezza del semiasse maggiore, OA, equivale all'indice di rifrazione straordinario ne   . La lunghezza del semiasse minore, OB, invece equivale all'indice di rifrazione ordinario n0.
È chiaro dalla figura che come varia l'angolo  tra l'asse ottico e la direzione s di propagazione
dell'onda, la direzione di propagazione ordinaria rimane fissa come pure il valore dell'indice di rifrazione, pari a n0. Invece la direzione di polarizzazione straordinaria e il valore dell'indice di rifrazione straordinario dipendono da . L'indice ne infatti varia da ne    n0 assunto quando  = 0, a
ne    ne assunto quando  = 90°. L'indice di rifrazione ne   può essere ricavato, noto che sia
l'angolo  dalla relazione
(21)
Riassumendo, la propagazione di un'onda luminosa in un cristallo uniassiale in generale consiste in
un'onda ordinaria e in un'onda straordinaria. Il vettore campo elettrico E (e il vettore spostamento
elettrico D) per l'onda ordinaria è sempre perpendicolare all'asse ottico e al versore di propagazione.
c
La velocità di fase dell'onda ordinaria è sempre pari a
indipendentemente dalla direzione di pron0
pagazione. Il vettore spostamento D dell'onda straordinaria è sempre perpendicolare al versore di
propagazione mentre il suo vettore campo elettrico E non è in generale perpendicolare a s ma giace
nel piano formato da s e D. I vettori campo elettrico delle due onde ordinaria e straordinaria sono
mutuamente ortogonali.
Prima di proseguire, diamo una dimostrazione matematica dell'espressione (21). È stato supposto
che il vettore s appartenga al piano yz e quindi posso scrivere l'equazione dell'ellissoide in questo
y2 z2
piano, ovvero per x = 0. L' equazione dell'ellissoide diventa quindi 2  2  1 . Se è l'angolo
n0 ne
che il vettore s forma con l'asse z, le coordinate del punto A, (fig. 22), si possono esprimere con le
relazioni y   ne   cos  e z    ne  sin   . A questo punto è sufficiente sostituirle
nell'equazione dell'ellissoide e si trova:
306
L'effetto elettro-ottico.
In questo capitolo analizzeremo la propagazione di un'onda elettromagnetica all'interno di un mezzo
le cui proprietà possono essere modificate con l'applicazione di un campo elettrico.
Nelle sezioni precedenti abbiamo visto che la propagazione in un mezzo anisotropo può essere agevolmente studiata con l'ausilio dell'ellissoide degli indici che, nel caso in cui gli assi coordinati
(x,y,z) coincidono con gli assi principali, può essere descritta dall'equazione in forma canonica:
(22)
L'effetto elettro - ottico lineare, può essere descritto considerando gli effetti che un campo elettrico
applicato dall'esterno ha sul tensore dielettrico. Questi effetti possono essere analizzati attraverso le
modifiche indotte sull'ellissoide degli indici. In generale, l'applicazione di un campo elettrico, oltre
ad indurre un cambiamento degli indici di rifrazione ni, causerà l'apparizione dei termini misti
dell'equazione (23) dovuta all'eventuale rotazione degli assi dielettrici principali.
L'ellissoide degli indici in un mezzo sottoposto all'applicazione di un campo elettrico si modificherà
in generale nella forma:
(23)
dove i coefficienti i sono legati alle componenti del campo elettrico applicato secondo la relazione
(24)
dove rij prende il nome di tensore elettro ottico lineare.
Ad esempio se i = 4 allora  4  r41 E1  r42 E2  r43 E3 .
In questa relazioni 1, 2, 3 corrispondono agli assi dielettrici principali x, y, z rispettivamente e nx, ny
e nz sono gli indici principali di rifrazione. Il nuovo ellissoide degli indici si riduce a quello usuale
quando Ek = 0. In generale gli assi principali dell'ellissoide (23) non coincidono con quelli dell'ellissoide non soggetto a campo elettrico.
Una nuova terna di assi di riferimento può essere ottenuta tramite una rotazione di coordinate, dagli
assi principali del cristallo.
Il tensore elettro ottico lineare è un tensore 6 x 3 i cui elementi cambiano a seconda della classe cristallografica a cui appartiene il mezzo. Una tabella con i vari tensori per i cristalli uniassici è riportata nella sezione con gli esempi assieme ad una tabella con alcuni indici di rifrazione.
Effetto elettro-ottico in un cristallo KDP.
Consideriamo l'esempio specifico di un cristallo di potassio diidrogeno fosfato (KH2PO4) noto anche come KDP. Questo è un cristallo uniassiale tetragonale con simmetria di tipo 42m . Per convenzione l'asse ottico è l'asse z. Dalle matrici riportate sopra si vede che il tensore elettro-ottico rij
ha solo tre elementi non nulli r41=r52 e r63. Usando l'equazione (23) e la matrice rij otteniamo, in
presenza di un campo elettrico E (Ex, Ey, Ez), l'ellissoide degli indici espresso dalla relazione
(25)
dove le costanti impiegate nei primi tre termini non dipendono dal campo applicato.
307
Troviamo quindi che l'applicazione di un campo elettrico introduce dei termini in due variabili
nell'equazione dell'ellissoide. Questo significa che gli assi principali dell'ellissoide, causa l'applicazione del campo elettrico, non sono più paralleli agli assi principali (x, y, z) del cristallo. Risulta
quindi necessario determinare le direzioni dei nuovi assi e l'ampiezza dei rispettivi indici di rifrazione in presenza del campo E. In questo modo potremo poi determinare l'effetto del campo elettrico
sulla propagazione nel mezzo. Per semplicità supponiamo che il campo elettrico applicato al cristallo sia diretto lungo l'asse ottico. In questo modo le componenti Ex ed Ey del campo sono nulle e
l'equazione (25) diventa
(26)
Il problema da risolvere consiste nel trovare un nuovo sistema di coordinate (x', y', z') nel quale
l'equazione dell'ellissoide degli indici non contenga termini misti e abbia quindi la forma
(27)
.
Quindi in presenza di un campo elettrico applicato secondo z gli assi principali dell'ellissoide degli
indici diventano x', y', z'. In accordo con l'equazione (27) la lunghezza degli assi principali dell'ellissoide corrisponde a 2nx’, 2ny’, 2nz’ che dipenderanno dal campo applicato.
Nel caso dell'espressione (26) si ha che per giungere all'equazione (27) la nuova terna di assi x', y' e
z' dovrà avere l'asse z' parallelo all'asse z. Inoltre a causa della simmetria in x e y nella (25) i nuovi
assi x' e y' sono legati agli assi x e y tramite una rotazione di 45° espressa dalle relazioni seguenti
(28)
Fig. 23
Effetto elettro ottico: rotazione degli assi in una lamina di KDP
Sostituendo le espressioni (28) nell'equazione (26) ottengo
(29)
Questa equazione mostra che x', y' e z (dato che z' = z ) sono effettivamente gli assi dell'ellissoide
degli indici quando viene applicato al cristallo un campo elettrico diretto lungo z. Si noti inoltre che
1
1
la lunghezza dell'asse x' dell'ellissoide è 2nx', dove 2  2  r63 E z .
n x ' n0
1
 1 
Assumendo che r63 E z  n02 ed usando la relazione differenziale dn   n 3 d  2  troviamo che
2
n 
(30)
308
(31)
da cui si capisce che l'applicazione del campo elettrico lungo l'asse z ha deformato l'ellissoide che
non è più a simmetria circolare.
Consideriamo ora il caso in cui il campo applicato sia diretto parallelamente all'asse x. In questo caso l'equazione (25) assume la forma
(32)
È allora chiaro che il nuovo asse x' coinciderà con x in quanto i termini misti coinvolgono solo y e z.
È necessaria una rotazione nel piano yz per ricondurre la (30) all'usuale forma dell'ellissoide. Sia 
l'angolo tra le nuove coordinate y'z' e le vecchie coordinate yz. La trasformazione da y, z a y', z' è data dalle relazioni
(33)
Sostituendo la relazione (31) nell'equazione (30) e richiedendo che non compaiano termini in yz ottengo che
(34)
con l'angolo  tale che
(35)
.
Il nuovo ellissoide degli indici ha i suoi assi principali ruotati di un angolo  attorno all'asse x rispetto agli assi principali del cristallo non soggetto ad un campo elettrico Ex.
Modulazione elettro ottica.
Abbiamo mostrato nella sezione precedente che l'applicazione di un campo elettrico può cambiare
l'ellissoide degli indici. Sappiamo inoltre che la propagazione di onde elettromagnetiche nei cristalli
è caratterizzata dall'ellissoide degli indici. Possiamo quindi usare l'effetto elettro-ottico per manipolare la propagazione delle onde luminose ed il loro stato di polarizzazione. Consideriamo ad esempio una lamina di KDP, tagliata normalmente all'asse z, soggetta ad un campo elettrico diretto lungo
z. Se consideriamo la propagazione della luce lungo l'asse z, allora, in accordo con le equazioni (30)
e (31), la birifrangenza è data da
.
(36)
Sia ora d lo spessore della lamina. Il ritardo di fase per questa lamina è dato da
(37)
dove V = Ez d è la tensione applicata e  è la lunghezza d'onda della radiazione incidente.
In questo caso il ritardo di fase è proporzionale alla tensione applicata. Di conseguenza siamo in
grado di modificare lo stato di polarizzazione di un'onda incidente sulla lamina nello stato desiderato.
Per avere un ritardo di fase  =  la tensione applicata al cristallo è
309
(38)
dove V è definita tensione a mezzo d'onda definibile per ogni . I valori tipici della tensione V
variano da un minimo di qualche decina di volt fino a qualche Kilovolt.
Effetto elettro ottico longitudinale e trasverso.
Il caso in cui il campo elettrico è parallelo alla direzione di propagazione dell'onda incidente, viene
indicato come effetto elettro ottico longitudinale; se il campo elettrico è normale alla direzione di
propagazione dell'onda incidente, viene indicato come effetto elettro ottico trasverso.
MODULATORI ELETTRO - OTTICI DI AMPIEZZA E DI FASE
Si possono distinguere due tipi di modulatori: i modulatori di fase e i modulatori di ampiezza.
MODULATORI DI FASE
Supponiamo di avere una situazione come quella descritta nella sezione precedente in cui l'onda
emessa incidente è polarizzata lungo una delle due polarizzazioni consentite nel cristallo, dopo l'applicazione del campo elettrico ( x' e y' ). In questo caso, dopo l'applicazione del campo, l'onda polarizzata linearmente, si propaga nel cristallo senza alterare il suo stato di polarizzazione, solo che ora
il suo indice di rifrazione è:
(39)
Quindi l'onda emessa descritta, che all'ingresso del cristallo è:
(40)
all'uscita del cristallo sarà data da:
(41)
dove il ritardo di fase  è:
(42)
Questo rappresenta la modulazione di fase: la fase dell'onda trasmessa contiene un termine modulato linearmente con la tensione applicata.
MODULAZIONE DI AMPIEZZA
Si possono adottare diverse configurazioni per comprendere il principio di funzionamento di un modulatore elettro - ottico di ampiezza; la configurazione base è la seguente:
Fig. 24
Schema di un modulatore di ampiezza basato sull'effetto elettro ottico. Il primo polarizzatore non è
necessario nel caso in cui il fascio di ingresso sia già polarizzato.
310
Un fascio di radiazione in ingresso viene polarizzato linearmente dal primo polarizzatore; la cella
elettro ottica ne modifica la direzione di polarizzazione in funzione della tensione V applicata ai
suoi capi. Questa modulazione di polarizzazione viene poi trasformata in modulazione di ampiezza
dal secondo polarizzatore.
Supponiamo che sia la direzione di polarizzazione del polarizzatore di ingresso che di quella di
uscita siano verticali.
In assenza di campo e quindi per V = 0, l'onda viene trasmessa totalmente ( il suo stato di polarizzazione non cambia ).
Se viene applicato un campo elettrico, le direzioni consentite diventano x', y'; supponiamo che il cristallo produca una rotazione, ad esempio di  / 2 ( cioè V = V ): in questo caso il cristallo si comporta come una lamina a  / 2 e quindi se la polarizzazione in ingresso era verticale, quella di uscita
risulta orizzontale.
La conclusione è che per V = V il polarizzatore di uscita ' blocca tutto ' e si ha minima
trasmissione.
Questa è una delle situazioni possibili, ma ce ne sono anche delle altre: ad esempio, si potrebbe pensare ad un polarizzatore di uscita incrociato rispetto a quello di ingresso, ovvero:
Fig 25
Polarizzatore di uscita incrociato rispetto a quello d'ingresso.
In questo caso si verifica la situazione opposta, infatti, per V = 0 si ha minima trasmissione, mentre
per V = V si ha massima trasmissione.
CENNI SULL'EFFETTO ACUSTO - OTTICO
Le proprietà elettromagnetiche di molti materiali sono funzione di un eventuale campo di forze applicato dall'esterno. A frequenze ottiche, il cambio della costante dielettrica e dell'indice di rifrazione in funzione di un campo di pressioni applicate prende il nome di effetto elasto - ottico. In seguito
a studi su questo fenomeno è possibile analizzare l'interazione tra un'onda acustica ed un fascio luminoso che dà luogo proprio all'effetto acusto - ottico. Su questo effetto è possibile realizzare modulatori di ampiezza molto efficienti.
311
Esempi.
Vediamo ora alcuni esempi di applicazione della teoria presentata.
Esempio 1.
Si consideri una lamina tagliata da un cristallo uniassiale elettro ottico perpendicolare all'asse z. La
lunghezza della lamina in direzione z è L. Il cristallo può essere sottoposto ad un campo elettrico di
polarizzazione diretto secondo z e viene illuminato da un campo luminoso di segnale E polarizzato
circolarmente, che si propaga secondo z. x e y sono gli assi principali del cristallo con riferimento ai
quali E si può scomporre in
(43)
a) Qual è il verso della polarizzazione?
L'indice di rifrazione ordinario è n0 = 2,006 e la lunghezza d'onda è quella del laser He-Ne . Dopo il
cristallo viene posto un polarizzatore con direzione di polarizzazione verticale.
b) Qual è l'espressione del campo in uscita?
Alla lamina viene applicata una tensione V  .
2
c) Rappresentare il campo in uscita dal cristallo prima e dopo il polarizzatore, tenendo conto solo
dello sfasamento relativo fra le componenti.
Soluzione.
Fig. 26
a)
Per le componenti di E valgono le seguenti relazioni:
per t = 0 Ex = 1, Ey = 0 mentre per t 

2
Ex = 0, Ey = -1.
Si vede quindi che all'aumentare di t Ex decresce mentre Ey cresce in modulo diventando più negativo. Il verso di polarizzazione di E è indicato dalla freccia rossa tratteggiata.
b)
Se non applico il campo elettrico, il polarizzatore lascia passare solo la componente x e quindi il
2n0 L 

campo in uscita sarà E x  cos t 
.
 

312
c)
Se applico alla lamina una tensione V  , ci sono due nuovi assi di riferimento x' e y'.
2
Fig. 27
In uscita ci sarà uno sfasamento di /2 indotto dal cristallo.
Il vettore campo elettrico in ingresso è polarizzato circolarmente e ruota in senso antiorario. Anche
secondo i nuovi assi x', y' lo sfasamento tra le componenti di E è di /2.
Il campo in ingresso partendo dall'espressione iniziale (43), sarebbe correttamente correttamente descritto da
(44)
ma anche da
(45)
e quindi il campo in uscita è
(46)
naturalmente non tenendo conto dello sfasamento comune nel cristallo.
Ad esempio per t = 0 Ex’ = 1, Ey’ = -1 e quindi (fig. 27) la risultante è diretta orizzontalmente e
vale 2 .
Dopo il polarizzatore il campo è nullo in quanto passano solo le componenti verticali.
Esempio 2
Un cristallo elettro ottico uniassiale presenta gli assi come in figura. Davanti al cristallo viene posto
un polarizzatore con direzione di polarizzazione verticale e dopo il cristallo un polarizzatore con direzione di polarizzazione orizzontale. Il sistema deve modulare un'onda luminosa che si propaga
nella direzione dell'asse ottico z. Il cristallo viene sottoposto ad una tensione V - v(t), applicata
nella direzione z, data da una componente continua e da una componente variabile nel tempo e tale
che 0 < v(t) < V/2. Le componenti del campo che si propaga, in uscita dal cristallo, vengono
espresse secondo gli assi della birifrangenza indotta come: E x '  cos t , E y '  cost    dove ,
sfasamento indotto dal campo applicato, vale naturalmente , prodotto da V, ridotto della quantità
prodotta da v(t). Si chiede di determinare i valori del campo in uscita dal polarizzatore orizzontale
quando v(t) = 0 e quando v(t) = V/2.
Soluzione.
In questo esempio mostreremo due diversi metodi risolutivi.
313
Metodo 1
Situazione iniziale
Campo per t = 0 e v(t) = 0
Campo per v(t) = /2
Lo sfasamento indotto dal campo applicato è  = - dove  è lo sfasamento indotto da v(t).
Abbiamo le seguenti situazioni:
v(t) = 0
Tensione applicata alla lamina
V
Ex’
cos t
V/2
cos t
v(t) = /2
Ey’
cos (t +  )


cos t  
2

Per t = 0 e v(t) = 0, Ex’ = 1, Ey’ = -1. Il valore massimo del campo in uscita è EU  2 .
Per t = 0 e v(t) = /2, Ex’ = 1, Ey’ = 0. Al variare di t il campo con polarizzazione circolare ruota in
senso antiorario. Il valore massimo del campo è 1.
In generale al variare di v(t) il valore massimo del campo varierà tra 1 e
2.
Metodo risolutivo alternativo (metodo dell'ampiezza complessa).
Rappresento il campo in ingresso secondo x', y' utilizzando l'ampiezza complessa. L'ampiezza complessa è tutto quello che non dipende dal tempo ovvero Aej, mentre non considero il termine ejt.
I valori del campo in ingresso sono: x’ = Aej , y’ = Aej con qualsiasi.
In generale il campo può essere descritto:
ingresso
uscita
x'
y'
Consideriamo il caso in cui 1 = /2.
Dato che il polarizzatore in uscita è orizzontale quello che mi interessa trovare è la componente
orizzontale del campo in uscita. Proietto quindi su y le componenti di x' e y' e ottengo:
Se trascuro A ottengo che la proiezione su y vale
Il modulo e la fase valgono:
2
2
j
.
2
2

2
1  j   2 2  1 e j 4 . Come mi aspettavo, dato che la polariz2
2
zazione è circolare e avendo trascurato A, il modulo è unitario.
314
Consideriamo ora il caso in cui 1 = .
Trascurando A la proiezione su y è data da:
In questo caso la proiezione su y ha modulo pari a
2 e fase nulla.
Se 1 = (v) ho la formulazione generica della proiezione sull'asse y.
Esempio 3
Si consideri una lamina tagliata da un cristallo elettro ottico uniassiale. Viene applicato un campo
elettrico lungo l'asse z di 100V / cm. Si calcoli lo spessore della lamina in grado di trasformare da
lineare lungo l'asse x a circolare la polarizzazione di un'onda in ingresso.
Siano noti i seguenti dati: n0 = 1,55 r63 = 0,83 10-12 m/V  = 630 nm
Soluzione.
Per avere una polarizzazione circolare in uscita con polarizzazione lineare in ingresso la lamina de2L
n y '  n x'   2L n   .
ve essere in  / 4 e quindi lo sfasamento è  


2
La situazione descritta dal testo è la seguente.
L'applicazione di un campo elettrico provoca una rotazione degli assi di riferimento di 45°
Nel nostro caso vale che n  n03 r63 E e quindi  
2L

n r E   2 . Da questa relazione ricavo
3
0 63
lo spessore della lamina che è
Questo valore per lo spessore della lamina indica che i dati forniti non sono molto realistici. Se invece applicassi un campo di 10 KV/cm otterrei per la lamina uno spessore L = 5,0956 cm molto più
verosimile.
315
Appendice: cristalli per l'optoelettronica.
Fig. A1
Parte ottica dello spettro elettromagnetico.
ADA arsenato deidrogenato di ammonio (NH4 H2 AsO4 )
Materiale elettro-ottico poco utilizzato per la realizzazione di modulatori ottici.
Possiede una discreta trasparenza nel visibile.
Cristallo uniassiale.
ADP
fosfato deidrogenato di ammonio (NH4 H2 PO4 )
Utilizzato come trasduttore sonar.
Possiede una buona trasparenza nel visibile e nel vicino IR da 0.2 a 1.2 micron.
Cristallo piezoelettrico (isomorfo del KDP).
r63 adatto alla configurazione elettro-ottica longitudinale, r41 alla trasversale.
KDA
arsenato deidrogenato di potassio (KH2 AsO4 )
Ottimo per applicazioni di bassa potenza e per realizzare modulatori a banda larga.
Materiale piezoelettrico e ferroelettrico (isomorfo del KDP).
KDDP fosfato dideuterato di potassio (KD2 PO4 )
Utilizzato nei campi della modulazione e della sensoristica.
Trasparente tra i 0.2 e i 2.0 micron.
Materiale elettro-ottico (isomorfo del KDP), cristallo uniassico.
KDP fosfato deidrogenato di potassio (KH2 PO4 )
Trasparente in tutto il visibile e nel vicino UV (da 0.4 a 1.3 micron), completamente opaco
nell'infrarosso.
Cristallo elettro-ottico; sopra i 123K è uniassiale, esibisce effetti elettro-ottici lineari e
quadratici; sopra e sotto la sua temperatura di Curie è piezoelettrico; materiale dielettrico
non lineare.
KTN niobato di tantalato e potassio (KTax Nb1-x O3)
Buone caratteristiche di trasmissione nell'IR fino a 5 micron.
Presenta proprietà elettro-ottiche sopra la sua temperatura di Curie (è otticamente isotropo),
eccellenti caratteristiche acustiche, buon comportamento alla modulazione e deviazione dei
raggi laser, effetto elettro-ottico lineare sotto la temperatura di Curie e quadratico sopra; può
essere utilizzato come isolante e come semiconduttore (tipo n).
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niobato di litio (LiNbO3)
Il più importante materiale per optoelettronica.
Buone caratteristiche di trasparenza nel visibile e vicino IR.
Materiale ferroelettrico.
Possiede un elevato coefficiente elettro-ottico, elevata birifrangenza, un forte effetto
piezoelettrico, eccellenti proprietà acustiche.
Proustite (Ag3 AsS3)
Minerale ottimo per l'effetto elettro-ottico e ottica non lineare; largamente utilizzato nell'IR
e in particolare per i laser a CO e CO2; si comporta anche da semiconduttore e fotoconduttore.
Trasparente tra 0.6 e 13 micron.
tantalato di litio (LiTaO3)
Applicazioni nel campo della modulazione e della sensoristica.
Possiede proprietà elettro-ottiche, piezoelettriche e ferroelettriche.
BGO ossido di germanio e bismuto (Bi12 GeO20)
Fortemente piezoelettrico, otticamente attivo, fotoconduttivo, esibisce un piccolo effetto
elettro-ottico lineare.
semiconduttori
Utilizzati nella realizzazione di modulatori, interruttori e deviatori sia discreti che integrati.
Buone proprietà elettro-ottiche.
Vediamo ora una tabella con gli indici di rifrazione di alcuni cristalli uniassiali.
Cristallo
rij [10-12 m/V ]
n03 r ji [10-12 m/V]
Indici di rifrazione
r41 = 28
r63 = 8.5
n0 = 1.52
ne = 1.48
95
27
r41 = 8.6
r63 = 10.6
n0 = 1.51
ne = 1.47
29
34
Quarzo
r41 = 0.2
r63 = 0.83
n0 = 1.54
ne = 1.55
0.7
3.4
LiNbO3
r33 = 30.8
r13 = 8.6
r22 = 3.4
r42 = 28
n0 = 2.29
ne = 2.2
328
r33 = 30.3
r13 = 5.7
n0 = 2.17
ne = 2.18
314
r33 = 23
r13 = 8
r42 = 820
n0 = 2.44
ne = 2.37
334
ADP
( fosfato di ammonio e deuterio)
KDP
(fosfato di potasssio e deuterio)
(Niobato di litio)
LiTaO3
(Tautanato di litio)
BaTiO3
(Titanato di bario)
37
Nella pagina seguente riportiamo una tabella contenente il tensore elettro ottico lineare per i cristalli
uniassiali.
317
Cristalli uniassiali tetragonali.
4
422
4
4mm
Cristalli uniassiali trigonali.
3
32
Cristalli uniassiali esagonali.
6
6mm
622
La notazione sopra le matrici indica il gruppo di simmetria.
Indice Generale
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