Appunti miei di Fisica 1

Appunti e Considerazioni
per il corso di :
FISICA 1
Dei Nettuniani di Trieste
Autore : Gon Leonardo
Appunti e considerazioni del corso di Fisica 1 dei Nettuniani di Trieste
Rev: 0.0 del 03/03/2002
Pag. 1
SOMMARIO
PREMESSA ...................................................................................................................................................................... 4
GRANDEZZE FISICHE – UNITÀ DI MISURA .......................................................................................................... 5
SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA .......................................................................................................................................... 5
MISURE CAMPIONE ......................................................................................................................................................... 5
VERIFICA DIMENSIONALE........................................................................................................................................ 6
I VETTORI E RELATIVE OPERAZIONI ................................................................................................................... 7
OPERAZIONI CON VETTORI .............................................................................................................................................. 7
I VERSORI ....................................................................................................................................................................... 8
CINEMATICA UNIDIMENSIONALE.......................................................................................................................... 9
POSIZIONE ...................................................................................................................................................................... 9
VELOCITÀ ....................................................................................................................................................................... 9
ACCELERAZIONE ............................................................................................................................................................ 9
IL MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE .................................................................................................................... 10
CINEMATICA BIDIMENSIONALE........................................................................................................................... 11
IL MOTO DEI PROIETTILI ................................................................................................................................................ 11
MOTO CIRCOLARE UNIFORME E NON................................................................................................................ 13
VELOCITÀ ..................................................................................................................................................................... 13
ACCELERAZIONE TANGENZIALE ................................................................................................................................... 13
ACCELERAZIONE CENTRIPETA ...................................................................................................................................... 13
ACCELERAZIONE .......................................................................................................................................................... 13
MOTI RELATIVI .......................................................................................................................................................... 14
LE TRE LEGGI DELLA DINAMICA......................................................................................................................... 14
PRIMA LEGGE DELLA DINAMICA O PRINCIPIO D’INERZIA ............................................................................................... 14
SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA .............................................................................................................................. 14
TERZA LEGGE DELLA DINAMICA ................................................................................................................................... 15
ATTRITO RADENTE STATICO E DINAMICO ...................................................................................................... 15
LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE ........................................................................................................... 16
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Pag. 2
LAVORO ED ENERGIA CINETICA.......................................................................................................................... 17
VALORE DEL LAVORO PER LA GRAVITÀ ........................................................................................................................ 17
VALORE DEL LAVORO PER LE MOLLE ............................................................................................................................ 17
IL TEOREMA LAVORO ENERGIA ..................................................................................................................................... 18
POTENZA....................................................................................................................................................................... 18
FORZE CONSERVATIVE ........................................................................................................................................... 19
ENERGIA POTENZIALE ............................................................................................................................................ 20
ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE ...................................................................................................................... 20
ENERGIA POTENZIALE ELASTICA................................................................................................................................... 20
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA ............................................................................................. 21
FORZE NON CONSERVATIVE E LAVORO INTERNO........................................................................................................... 21
QUANTITÀ DI MOTO ED IMPULSO........................................................................................................................ 22
MOTO DEL CENTRO MASSA ........................................................................................................................................... 22
QUANTITÀ DI MOTO ...................................................................................................................................................... 22
IMPULSO ....................................................................................................................................................................... 23
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO .............................................................................................. 23
URTI ELASTICI .............................................................................................................................................................. 23
URTI ANELASTICI .......................................................................................................................................................... 24
MOTO OSCILLATORE ARMONICO ....................................................................................................................... 24
MOMENTO DELLE FORZE APPLICATE ............................................................................................................... 25
EQUILIBRIO DEI CORPI RIGIDI ............................................................................................................................. 25
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ............................................................................................................................ 25
MOMENTO D’INERZIA ................................................................................................................................................... 26
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Pag. 3
PREMESSA
Questa raccolta di appunti è stata scritta in breve tempo (mezzo sabato ed una domenica)
e non tratta seriamente la materia come dovrebbe. L’uso di questi “Appunti e
Considerazioni” è da ritenersi come breve guida generale per un ripasso. La semplicità, la
compattezza e l’attinenza a quanto indicato dal professore come programma d’esame
sono stati i primari obiettivi di questa stesura.
Gon Leonardo
[email protected]
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Pag. 4
GRANDEZZE FISICHE – UNITÀ D I MISURA
Le
grandezze fisiche nascono dall’esigenza di comunicare e di poter analizzare in
maniera concreta problemi di natura tecnica, ovvero quando nascono delle necessità di
descrivere dei fenomeni e rapportarle con dei paragoni comuni.
Le grandezze fisiche comuni sono:
•
La distanza
•
Il tempo
•
La massa
•
(altre non considerate ora)
Sistemi di unità di misura
I sistemi di unità di misura sono vari ma principalmente se ne considerano tre:
•
Sistema Internazionale o MKS
•
Sistema CGS
•
Sistema Tecnico
Questi sistemi di misura descrivono essenzialmente le stesse grandezze ma sia per motivi
storici che tecnici solo dopo il 1960 si è deciso di addottare internazionalmente il sistema
MKS. Anche perché il sistema MKS possiede alcune caratteristiche di riproducibilità e
invariabilità delle misure campione ben definite.
Misura
MKS
CGS
Tecnico
Lunghezza
metro
m
centimetro
cm
metro
m
Massa*
kilogrammo
kg
grammo
g
Kilo-Peso
kg
Tempo
secondo
s
secondo
s
secondo
s
*nel sistema tecnico non viene usato il kg massa ma bensì il kg peso, corrispondente a 9.81Newton.
Misure campione
Le misure campione per loro natura devono essere facilmente riproducibili ed invariabili:
Lunghezza: è definito come distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un determinato
periodo di tempo.
Massa: è definito come massa di un cilindro campione di platino-iridio.
Tempo: il secondo è definito come una ben determinata quantità di vibrazioni di un atomo
di Cesio.
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Pag. 5
VERIFICA DIMENSIONALE
Si definisce verifica dimensionale quella procedura con la quale prima scomponiamo una
formula matematica che descrive un evento nelle sue componenti dimensionali
fondamentali e successivamente verifichiamo che corrispondano con le componenti
dimensionali del risultato.
Viene specificatamente utilizzata per considerare la corrispondenza dei fattori. Un
esempio può essere più chiarificatore.
F = m a [M] [L] [T-2] che corrisponde ad un newton, l’unità di misura della forza.
Per convenzione si utilizzano le parentesi quadre per racchiudere le caratteristiche
dimensionali.
•
[M]=
massa
•
[L] =
lunghezza
•
[T] =
tempo
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Pag. 6
I VETTORI E RELATIVE OPERAZIONI
I vettori sono delle grandezze che si differienziano dagli scalari essenzialmente per il fatto
di possedere ulteriormente una direzione ed un verso.
Vettore
Scalare
Modulo
X
X
Direzione
X
-
Verso
X
-
Le grandezze vettoriali si indicano con una freccia posta sopra alla lettera indicante il
r
vettore:
F.
Operazioni con vettori
Per la somma si utilizza la regola del
parallelogramma che, mediante un supporto
grafico si compone di una serie di triangoli
facilmente
risolvibili
con
le
regole
r r r
c = a +b
r
a
della
r
b
trigonometria.
Per la sottrazione tra vettori si ricorre sempre
r
r r
c = a + ( −b )
r
a
r
−b
ad una somma ma con il verso opposto per il
vettore che deve essere sottratto.
r
b
Per la moltiplicazione si considerano due tipi distinti di operazione:
•
Moltiplicazione scalare
•
Moltiplicazione vettoriale
La moltiplicazione scalare tra due vettori si effettua moltiplicando
il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo sul
primo. Più semplicemente:
r r
a • b = ab cos ϕ
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r
a
ϕ
r
b
Pag. 7
La moltiplicazione scalare si indica con un punto tra i due vettori. Il risultato della
moltiplicazione non sarà un vettore ma uno scalare. Si inizia ad usare quando si affronta il
concetto di lavoro.
Per la moltiplicazione vettoriale tra due vettori il risultato generato è un terzo vettore che si
trova in un piano perpendicolare al piano sotteso dai due vettori da moltiplicare. Il modulo
del vettore risultante corrisponde a:
r r
a × b = absinϕ
mentre per la direzione ed il verso si utilizza la regola della mano destra
attenzione va posta nel fatto che la moltiplicazione vettoriale non gode della proprietà
r r
r r
commutativa, ovvero a × b è diverso da b × a perché il “pollicione” andrà dalla parte
opposta.
La moltiplicazione vettoriale si inizia ad usare con il concetto di momento.
I Versori
I versori sono un tipo particolare di vettori impiegati per “portar fuori” dai calcoli la
grandezza tipicamente vettoriale della direzione.
Possono essere considerati come:
r r
ˆi = i = x
x
Quindi sono un numero puro di modulo 1. La praticità consiste nel fatto di poter associare
un numero al versore e quindi definirne il modulo.
Per le tre dimensioni vengono di solito indicati:
Asse
x
y
z
Denominazione
r
i
r
j
r
k
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Pag. 8
CINEMATICA UNIDIMENSIONALE
Nella cinematica unidimensionale sono principalmente da considerare tre componenti:
r
• Posizione ( r )
r
• Velocità ( v )
r
• Accelerazione ( a )
La posizione indica un punto nello spazio (in questo caso unidimensionale), mentre la
velocità rappresenta la differenza di posizione nell’unità di tempo e per finire
l’accelerazione rappresenta la variazione di velocità sempre nell’unità di tempo.
Posizione
r
La posizione, normalmente definita dalla lettera r viene spesso utilizzata per indicare uno
r
spostamento ∆r , nella cinematica unidimensionale non è necessario distinguere la
componente vettoriale della direzione in quanto superfluo.
Velocità
La velocità neccessita di alcuni distinguo, tra velocità vettoriale, scalare e media.
r r
r r f − r i ∆x
La velocità media è definita dalla seguente formula v =
, considerando il limite
=
tf − ti ∆t
r
∆x dx dr
di questa funzione lim
troviamo il valore istantaneo della velocità ed anche il
=
=
∆t → 0 ∆ t
dt dt
suo valore vettoriale. La velocità scalare non è altro che il modulo della velocità vettoriale.
Accelerazione
L’accelerazione rappresenta l’espressione della variazione della velocità. Come per la
velocità, anche per l’accelerazione devono essere considerate l’accelerazione media e
l’accelerazione istantanea.
r r
r
r v f − v i ∆v
e quindi l’accelerazione istantanea è
L’accelerazione media è definita da : a =
=
tf − ti
∆t
r
r
∆v dv
definita da : lim
=
∆t →0 ∆t
dt
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Pag. 9
Il moto con accelerazione costante
r r
r vf − vi
, se ti = 0 allora ricaviamo una prima
Dalla considerazione della formula a =
tf − ti
importante formula:
r r r
vf = vi + a t f
r dx
r
r
Dalle considerazione che v f =
possiamo scrivere dx = v fdt e quindi sostituendo v f con la
dt
r
r
formula precedentemente trovata, possiamo scrivere dx = vi dt + atdt che integrando porta
xf
alla
∫
xi
tf
tf
ti
ti
r
dx = ∫ vi dt + ∫ atdt che risolto porta ad un’altra importante formula
r
1r
xf = xi + v i t + a t 2
2
Combinando opportunamente queste due equazioni sopradescritte perveniamo alla terza
importante equazione:
r 2 r2
r
v f = v i + 2a ( x f − x i )
Dalle stesse considerazione nasce anche :
1 r r
xf = xi + ( v i + v f ) t
2
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Pag. 10
CINEMATICA BIDIMENSIONALE
Nella cinematica bidimensionale sono valide le stesse formule di quella unidimensionale
con l’unico accorgimento di considerare le caratteristiche vettoriali di direzione mediante
l’utilizzo di versori.
Nello studio della cinematica bidimensionale è da considerare lo studio del moto dei
proiettil.
Il moto dei proiettili
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Pag. 11
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Pag. 12
MOTO CIRCOLARE UNIFORME E NON
Nel moto circolare uniforme e non uniforme bisogna distinguere inizialmente le
terminologie usate per la descrizione del moto che sono la velocità e l’accelerazione
tangenziale e centripeta. Attenzione va posta al fatto di usare i radianti come unità di
misura degli angoli.
Velocità
In una circonferenza lo spazio percorso è proporzionale al raggio ed all’angolo sotteso dal
raggio iniziale a quello finale.
r
r ds
In pratica essendo: s = rϕ e v =
ne deriva
dt
r
rf
s
ϕ
r r dϕ
dϕ
. Il valore
che: v = r
dt
dt
velocità
r
ri
angolare
ω
e
viene chiamato
corrisponde
alla
variazione dell’angolo espresso in radianti
r
rispetto al tempo. Esiste pure il vettore ω che
segue il procedimento della mano destra per
definirne il verso e la direzione. L’unità di misura
della velocità angolare è il rad/s
Accelerazione Tangenziale
Per l’accelerazione bisogna considerare la variazione di velocità nell’unità di tempo e
quindi : αz =
dωz d 2ϕ
. La si indica spesso con la lettera alfa greca e la sua unità di
=
dt
dt
misura sono i rad/s^2.
Accelerazione Centripeta
E’ data dalla formula ac =
v2
, per la dimostrazione si ricorre ad una similitudine di triangoli.
R
Accelerazione
L’accelerazione si trova sommando vettorialmente l’accelerazione centripeta e quella
tangenziale
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Pag. 13
MOTI RELATIVI
Nella considerazione dei moti relativi i riferimenti che potrebbero essere chiamati “zero”
sono in realta in moto a velocità costante e quindi relativi. Tutti i sistemi sono in quiete
rispetto a se stessi ma in movimento l’uno rispetto all’altro. Percui a seconda del sistema
di riferimento bisogna considerare le diverse velocità da sommare oppure sottrarre.
LE TRE LEGGI DELLA DINAMICA
Le tre leggi della dinamica sono considerate il fulcro della fisica classica, dette anche
Newtoniane.
Prima legge della dinamica o principio d’inerzia
La prima legge della dinamica sancisce che se un corpo e fermo oppure si muove a
velocità costante, esso non è soggetto a nessuna forza e quindi a nessuna accelerazione.
Essa è utile per definire un sistema di riferimento inerziale.
Un esempio dimostrativo di questa legge può essere quello del pesce
appeso ad un dinamometro
Dalla considerazione che il pesce non subisce nessun movimento e
nessuna accelerazione la somma vettoriale delle due forze si annulla.
Seconda legge della dinamica
La seconda legge della dinamica enuncia che la sommatoria delle forze applicate è pari al
valore della massa moltiplicato per l’accelerazione:
r
r
Σ F = ma
La seconda legge di newton sancisce il concetto di forza, ovvero quell’accelerazione
impressa ad una massa.
L’unità di misura della forza è il newton [N] ed è pari ad un Kg m/s^2.
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Pag. 14
Terza legge della dinamica
La terza legge della dinamica definisce che ad ogni azione corrisponde una reazione.
Questa legge considera per la prima volta una mutua azione tra due corpi.
ATTRITO RADENTE STATICO E DINAMICO
L’attrito è un tipico caso di forza di contatto, per analizzare il
concetto di forza di attrito bisogna considerare prima la forza
r
Fn
normale, essa è la forza di reazione alla forza peso nel caso qui
accanto.
Nella considerazione dell’attrito radente si presentano due casi,
r
Fp
il primo considera il movimento dallo stato di quiete (attrito statico) ed il secondo il
movimento a velocità costante (attrito cinetico o dinamico).
Entrambe queste forze create dalle caratteristiche fisiche delle superfici di contatto sono
dirette con verso opposto al senso di avanzamento e sono proporzionali alla forza normale
per un determinato coefficiente:
Tipo
Coefficiente
Statico
µs
Dinamico
µk
Formula
r
r
F = µ s Fn
r
r
F = µ k Fn
La forza generata non è dipendente dalla
superficie di contatto come potrebbe
sembrare logico. Tale verifica è valida per
la
maggior
parte
delle
superfici
di
contatto, sembra logico che alterazioni
delle
superfici
o
velocità
eccessive
devono essere considerate in maniera
diversa.
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Pag. 15
LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Ci sono alcune considerazioni da fare circa le approsimazioni da usare per i calcoli:
•
Le masse hanno dimensioni puntiformi
•
Nel caso dei pianeti il sole fa da riferimento inerziale
•
Le orbite sono circolari
•
Le uniche forze agenti tra i pianeti sono di tipo gravitazionale
Prendendo ad esempio il nostro sistema solare, se consideriamo l’accelerazione
r
r
v 2 ( 2πR T ) 2 4π 2 R
centripeta data da: a c =
ed eseguiamo i calcoli per tutti i pianeti,
=
=
R
R
T2
k
r
troviamo un analogia interessante, il valore di k s è una costante ricavato da: a c = s2 .
R
r
k 
Applicando la seconda legge della dinamica troviamo quindi che F = m s2  . Dalla
R 
considerazione che questa forza si esercita da un corpo all’altro, applicando la terza legge
della dinamica, ricaviamo che esiste anche una forza uguale esercitata dal secondo corpo
al primo. Da questa considerazione possiamo far entrare anche la massa del secondo
nella formula precedente. Se per approsimazione consideriamo k s = Gm2 dove G è una
r
Gm1m2
costante detta universale pari a 6.67E-11, ricaviamo: F12 =
R2
Una cosiderazione a parte potrebbe essere quella della convenzione del segno,
considerando che la forza è attrattiva dal corpo 1 al corpo 2 ed utilizzando un versore r̂
orientato dal corpo 1 al 2 il segno sarà negativo.
r
Gm1m2
F12 = −
rˆ
R2
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Pag. 16
LAVORO ED ENERGIA CINETICA
Il lavoro viene definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento effettuato:
r
W = Fl cosθ (forza costante). Nel caso la forza sia variabile dovremmo ricorrere ad un
integrale per calcolare il valore del lavoro. Considerando di trovare il valore della forza in
funzione dello spostamento effettuato, calcolando l’area tra gli estremi interessati,
troveremo il valore del lavoro totale effettuato.
xf
xf
r
r r
r
W = ∫ Fx ( x )dx o meglio W = ∫ Fdr
xi
xi
Le considerazioni tridimensionali devono poi essere valutate opportunamente con l’ausilio
dei versori:
xf
W = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz )
xi
L’unità di misura del lavoro è il joule [J] derivato da [N*m].
Valore del lavoro per la gravità
Considerando che la forza di gravità ha una precisa direzione e verso, possiamo
considerare che la forza sia pari al prodotto della massa per l’accelerazione di gravità e
quindi l’integrale del lavoro diventa:
xf
xf
xf
r
r
W = ∫ Fx ( x )dx = ∫ ( − mg )dy = −mg ∫ dy = −mg ( y f − y i )
xi
xi
xi
Valore del lavoro per le molle
Considerando che per le molle , utilizzando l’integrale sopra descritto, troviamo:
xf
xf
xf
r
r
1
W = ∫ Fx ( x )dx = ∫ ( −kx )dx = −k ∫ ( x )dx = − k ( x 2f − xi2 )
2
xi
xi
xi
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Pag. 17
Il teorema lavoro energia
Considerando la formula della velocità ricavata dalle equazioni del moto lineare, possiamo
ricavare che: a x ( x f − xi ) =
v 2f − vi2
2
r
r
e dalla considerazione che ΣF = ma , se sostituiamo
questi valori nel calcolo del lavoro:
xf
r
r
 v 2 − vi2  1 2 1 2
 = mv f − mvi
W = ∫ Fdx = F ( x f − xi ) = ma ( x f − xi ) = m f
 2
2
2
xi


L’energia cinetica di un corpo si definisce come:
1 r
K = mv 2
2
ha la stessa unità di misura del lavoro ed è sempre positiva perché contiene il quadrato
della velocità.
POTENZA
La potenza viene definita come la quantità di lavoro effettuata in un determinato tempo,
ovvero a parità di lavoro la potenza sarà inversamente proporzionale al tempo.
La potenza media viene definita da: P =
∆W
mentre la potenza istantanea viene definita
∆t
come il limite della potenza media quando ∆t tende a 0:
P=
dW
dt
La potenza si esprime in watt [W] ovvero [J] / [s] o [N*m] / [s].
Interessante è la cosiderazione che se il lavoro viene scomposto nelle sue componenti
fondamentali quali forza e spostamento, troviamo un interessante equazione:
r r
dW Fds r r
P=
=
= Fv
dt
dt
La potenza è data dal valore della forza applicata moltiplicata per la velocità, nel caso di
moto rotatorio bisogna poi opportunamente compiere delle sostituzioni con i relativi valori
di ω per la velocità
1[CV] = 75[Kgf/s] = 75 * 9.81 = 735.75 [N*m/s]
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Pag. 18
FORZE CONSERVATIVE
Alcune forze compiono lavoro indipendentemente dal percorso ma solo dal punto finale ed
iniziale. Per queste forze l’energia cinetica si conserva. Il lavoro compiuto si può definire
come:
r r
∫ Fdr = 0
Essenzialmente sono vettorialmente costanti come la forza di gravità, la forza elastica o la
forza coulombiana.
I campi conservativi sono quelle zone di spazio, piano, retta dove agiscono le forze
conservative.
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Pag. 19
ENERGIA POTENZIALE
L’energia potenziale si considera solamente nel caso di forze conservative, si indica con U
e l’unità di misura è sempre il joule.
b
Se consideriamo il lavoro fatto durante il percorso esso sarà:
b
r r
Wab = ∫ Fds possiamo così definire il valore dell’energia potenziale
a
pari a : U b − U a che quindi corrisponderà all’opposto del lavoro:
b
r r
U b − U a = − ∫ Fds
a
a
Energia potenziale gravitazionale
L’energia potenziale gravitazionale si ricava dalla considerazione del lavoro effettuato
dalla forza di gravità su un corpo nei pressi della terra. La formula del lavoro compiuto da
un corpo di massa m nello spostarsi da y i a y f è: W = − mg ( y f − y i ) . Dalle considerazioni
precedenti
ricaviamo
che
U yf − U yi = −( −mg ( y f − y i )) = mgy f − mgy i
e
quindi
più
generalmente troviamo che l’energia potenziale gravitazionale può essere definita da:
U = mgy
Energia potenziale elastica
Allo stesso modo dell’energia potenziale gravitazionale possiamo trarre le stesse
conclusioni con l’energia potenziale elastica.
1
1
1
1
W = − k ( x 2f − xi2 ) e quindi U xf − U xi = −( − k ( x 2f − xi2 )) = kx 2f − kxi2 da cui ricaviamo che:
2
2
2
2
1
U = kx 2
2
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Pag. 20
CONSERVAZIONE
DELL’ENERGIA MECCANICA
La conservazione dell’ energia meccancia si ottiene combinando il teorema del lavoro
energia
con
quello
dell’energia
potenziale,
il
lavoro
totale
compiuto
è:
Wtot = W = −(U f − U i ) = K f − K i= +U i − U f e riordinando i termini giungiamo alla conclusione
che: K f + U f = Ki + U i . Il termine K+U viene definito come E ovvero energia meccanica:
E = K +U
In un campo conservativo l’energia meccanica si conserva, ovvero: E f = Ei .
La dimostrazione del teorema si può fare con il classico esempio del sasso lanciato in alto.
Forze non conservative e lavoro interno
Nel caso dello studio di un fenomeno in cui alcune forze non risultassero conservative,
può essere d’aiuto il teorema della conservazione dell’energia meccanica, ovvero
possiamo considerare che:
K f − Ki = Wtot = Wcon + Wnoncon = −(U f − U i ) + Wnoncons.
da cui poi deriva:
E f = Ei + Wnoncons. .
Grazie a questa considerazione possiamo dedurre il valore del lavoro effettuato da una
forza non conservativa. Esso sarà sempre negativo in quanto valore da togliere all’energia
meccanica del sistema.
Wnoncons. = E f − Ei
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Pag. 21
QUANTIT À DI MOTO ED IMPULSO
Lo studio della quantità di moto è importante nella casistica dello studio degli urti.
Moto del centro massa
Dobbiamo considerare gli oggetti non più come puntiformi, ma come solidi, per
approssimare un solido ad un punto materiale ricorriamo alla definizione del centro di
massa.
r
∑m r
rˆ =
∑m
i i
i
Il vettore r rappresenta la posizione nello spazio del centro di massa, per la scomposizione
nei suoi elementi fondamentali bisogna ricorrere ai versori iˆ, ˆj, kˆ .
Dalla considerazione che può essere estremamente difficoltoso determinare il valore del
vettore r per ogni singola massa, si ricorre ad un integrale.
r
r=
r
1
r dm .
∫
∑ mi
dalla considerazione poi che la massa non è altro che il volume moltiplicato per la densità,
troviamo che :
r
r=
r
1
r ρdV
∫
∑ mi
Alternativamente si possono utilizzare entrambi i sistemi dove sia più comodo.
Quantità di moto
Per quantità di moto si definisce il valore:
r
r
p = mv
Interessante è la rielaborazione della seconda legge della dinamica,
r
r
r
r
r
dv d ( mv ) dp
Σ F = ma = m
=
=
dt
dt
dt
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Pag. 22
Impulso
L’impulso rappresenta il valore di una forza applicato per un brevissimo tempo
(tipicamente millisecondi).
Considerando che in un urto le forze entranti in gioco sono insignificanti rispetto a quella
r r
che genera l’urto si può scrivere che : dp = Fdt . Integrando poi l’equazione troviamo che :
r
r
r
r
p f − pi = ∫ Fdt = J , da cui deduciamo che l’impulso è pari alla differenza di quantità di
r
moto. Essendo talvolta difficile trovare il valore di F in funzione del tempo e considerando
che solitamente si tratta di una curva tipica, possiamo considerare il valore medio F per il
v
r
calcolo dell’impulso : J = F ∆t = ∆p
L’unità di misura dell’impulso sono i Newton per secondo [Ns]
CONSERVAZIONE
DELLA QUANTITÀ DI MOTO
Nel caso la somma delle forze risultanti applicate ad un corpo sia nulla, la quantità di moto
si conserva.
Lo si dimostra considerando la prima legge della dinamica, quando la velocità è costante
r
la somma delle forze applicate e nulla e quindi mv è costante nel tempo, se poi
consideriamo anche la seconda legge della dinamica scopriamo che la sommatoria delle
r
dp
forze dà come risultato il valore 0 e quindi anche
è pari a tale valore. Da queste
dt
considerazioni deduciamo che quando la somma delle forze applicate ad un corpo e nulla
la quantità di moto si conserva.
Pi = Pf
Urti elastici
Dalla conservazione della quantità di moto si possono dedurre due importanti equazioni
utili nello studio degli urti eleastici in una dimensione tra due corpi di massa m1 ed m2 :
m1i v1i + m2i v2i = m1 f v1 f + m2 f v2 f
e dalla conservazione dell’energia cinetica:
1
1
1
1
m1i v12i + m2i v22i = m1 f v12f + m2 f v22 f
2
2
2
2
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Urti anelastici
Nel caso degli urti anelastici la conservazione dell’energia cinetica non è più valida perché
esistono altre forze che compiono lavoro, l’unica legge valida rimane quella della quantità
di moto.
MOTO OSCILLATORE ARMONICO
Nello studio del moto oscillatore armonico si parte dalla formula fondamentale per la
descrizione dell’oscillazione:
x = A cos(ωt + φ )
dove :
A
Viene chiamata ampiezza.
ω
rappresenta la pulsazione o frequenza angolare.
ωt + φ
rappresenta la fase.
Il tempo totale per effetuare un periodo è dato dalla formula:
secondi [s], mentre la frequenza si definisce invece con: v =
T=
2π
. e si esprime in
ω
1
e si esprime in Hertz [Hz]
T
Dalla considerazione che possediamo la funzione di x rispetto al tempo, possiamo
determinare i valori della velocità e quelli dell’accelerazione semplicemente derivando tale
funzione:
r
r dx d ( A cos(ωt + φ ))
v=
=
= −ωAsin(ωt + φ )
dt
dt
r
r dv d ( −ωAsin(ωt + φ ))
a=
=
= −ω 2 A cos(ωt + φ )
dt
dt
essendo la seconda parte di quest’ultima equazione eguale a quella fondamentale,
possiamo anche scrivere : a = −ω 2 x .
r
r
I valori massimi di a e di v si ottengono quando il valore di sin(ωt + φ ) e cos(ωt + φ ) sono
pari ad 1.
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MOMENTO DELLE FORZE APPLICATE
Il momento di una forza viene considerato il valore
della
forza
moltiplicato
per
la
sua
distanza
perpendicolare minima dal punto di verifica.
r r r
τ = F ( r sinθ )
Essendo una moltiplicazione tra vettori il verso di
r
τ seguirà il principio della mano destra.
EQUILIBRIO DEI CORPI RIGIDI
Le condizioni per l’equilibrio dei corpi rigidi sono che la sommatoria delle forze applicate
ad un corpo sia pari a 0. Si devono quindi considerare le forze come vettore e come
momento, ovvero da una scomposizione di queste forze dovremmo stabilire che :
ΣFx = 0 ; ΣFy = 0 ; Στ = 0
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
Vengono definiti alcuni valori fondamentali della cinematica di un corpo rigido quali:
ω=
dθ
detta velocità angolare misurata in radianti al secondo [rad/s].
dt
α=
dω d 2θ
= 2 detta accelerazione angolare misurata in radianti al secondo ^2 [rad/s^2]
dt
dt
dalle considerazioni sopra fatte, troviamo una corrispondenza tra le equazioni del moto
lineare e quelle del moto rotatorio:
θ ( t ) = θ 0 + ωt
θ ( t ) = θ 0 + ω 0 t + αt 2
ω 2 = ω 02 + 2α (θ − θ 0 )
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Momento d’inerzia
Il momento d’inerzia di un corpo che ruota è definito dalla somma delle singole masse per
la distanza dal punto di rotazione, si indica con I e la sua unità di misura è il [Kg*m^2].
r
1 r
Consideriamo che K = ∑ mi vi2 , nel moto rotatorio ad esempio v è proporzionale al
2
r
raggio, quindi v = ωR , che sostituendo opportunamente nell’equazione precedente
1
diventa: K = ∑ mi (ωRi ) 2 . il valore di mi Ri2 è un valore da integrare, quindi possiamo
2
definire genericamente la formula dell’energia cinetica :
1
K = ω 2I
2
Con
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I = mR 2 .
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