Linguaggio della Matematica
• concetti primitivi: elementi fondamentali di natura intuitiva (punto,
retta, insieme, elemento di un insieme, ...).
• assiomi: enunciati, proposizioni vere a priori (gli assiomi di Euclide
in geometria ...).
• proposizioni: frasi, affermazioni per le quali a senso chiedersi se
siano vere (V) o false (F)
1. i maiali sono animali (V)
2. l’opossum è un marsupiale (V)
3. la Terra è piatta (F)
4. passerò l’esame di matematica ? (non è una proposizione
perchè non ha senso chiedersi se sia vera o falsa)
5. due è un numero giallo (non è una proposizione perchè la
proprietà di essere giallo non ha senso per un numero)
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Connettivi Logici
Le proposizioni possone essere unite tra loro, a formarne altre più complesse, i
teoremi, facendo uso dei connettivi logici:
Connettivo
e
o, oppure
non
implica
Simbolo
∧
∨
¬
⇒
Inglese
and
or
not
congiunzione
disgiunzione debole
negazione
implicazione
ESEMPI:
P =
“andiamo a lezione” , Q =
1. P ∧ Q =
2. P ∨ Q =
3. ¬ Q =
“andiamo sulla Luna”
“andiamo a lezione e sulla Luna” (entrambe)
“andiamo a lezione o sulla Luna” (almeno una delle due)
“non andiamo sulla Luna”
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Implicazione e Doppia Implicazione
• la proposizione P ⇒ Q si legge:
– P implica Q
– P è condizione sufficiente per Q
– Q è condizione necessaria per P
ESEMPI:
1. n è divisibile per 4 ⇒ n è divisibile per 2
2. “prendo 28” implica “passo l’esame”
• la proposizione P ⇔ Q si legge:
– P se e solo se Q
– P equivale a Q
– P è condizione necessaria e sufficiente per Q
– Q è condizione necessaria e sufficiente per P
ESEMPI:
1. n divisibile per 6 ⇔ n divisibile per 2 e 3
2. “passo l’esame di Matematica” se e solo se “prendo almeno 18”
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Quantificatori
introduciamo altri due simboli matematici, i quantificatori:
∀
“qualunque”
∃
“esiste”
ESEMPI:
1.
2.
3.
4.
∃
∀
∀
∃
x
x
x
x
tale che
si ha che
si ha che
tale che
x2 ≥ 1 (V)
x2 ≥ 1 (F)
x2 ≥ 0 (V)
x2 < 0 (F)
NEGAZIONE DI UNA PROPOSIZIONE:
come si nega una frase contenente dei quantificatori ?
∃ x tale che P
∀ x si ha che P
si nega con
si nega con
∀ x si ha che nonP
∃ x tale che nonP
ESEMPIO: la (4) è la negazione della (3)
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Insiemi 1 - Definizione
• potremmo pensare a un insieme una collezione di oggetti di natura
qualsiasi detti elementi dell’insieme stesso.
• ESEMPI:
1. V = {a, e, i, o, u} = {vocali}
2. A = {a, b, c, d, · · ·} = {lettere dell′ alf abeto}
3.
4.
5.
6.
7.
P = {2, 4, 6, 8, · · ·} = {numeri pari}
N = {0, 1, 2, 3, 4, · · ·} = {numeri naturali}
Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3 · · ·} = {numeri relativi}
Q = {numeri razionali}
R = {numeri reali}
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Insiemi 2 - simbolo di appartenenza ∈
• l’elemento a appartiene all’insieme A si scrive in simboli:
a∈A
• l’elemento a non appartiene all’insieme A si scrive in simboli:
a∈
/A
• ESEMPI:
1. a ∈ V ,
2. b ∈
/V ,
P
9∈
/P
2∈
√
3
∈
,
,
3∈
5
√
√
,
2∈
/
,
−1 ∈
/
Q
Q
R
R
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Insiemi 3 - Come si descrivono ?
rappresentazione estensiva: elencandone tutti gli elementi
per gli insiemi finiti
• V = {a, e, i, o, u}, A = {1, 2, 3, 4}, Y = {1, 2, a, b, c}
per gli insiemi infiniti: dall’elenco si deve dedurre in maniera non
ambigua la regola induttiva che consente di stabilire se un elemento
appartiene o non appartiene all’insieme
•
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, · · ·} è chiaro che rappresenta l’insieme dei
numeri pari.
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, · · ·} non è evidente che rappresenta l’insieme
dei numeri primi.
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Insiemi 4 - Come si descrivono ?
rappresentazione intensiva: caratterizzandone gli elementi tramite
una proprietà
• X= { x ∈ U tali che x gode della proprietà P }
•
•
•
( / “tale che” )
P = {n ∈ N / n divisibile per 2} = {n ∈ N / n = 2k,
X = {x ∈ R / x2 = 1} = {−1 , + 1}
A = {x ∈ R / x2 = 0} = {0}
k∈
N,
k 6= 0}
ATTENZIONE: non confondere un insieme con un elemento
0 ∈ {0} = {x ∈
R / x2 = 0}
0 elemento ,
{0} insieme
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Insiemi 5 - Conclusioni
1. un insieme è ben determinato quando è chiaro se un elemento vi
appartiene oppure no.
2. non importa l’ordine degli elementi
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 1, 2, 4} sono lo stesso insieme
3. non ci sono ripetizioni:
A = {1, 2, 3} SI , B = {1, 1, 2, 3} NO
4. esiste un unico insieme vuoto privo di elementi Ø
INSIEME VUOTO:
R / x2 + 1 = 0}
B = {x ∈ R / x2 + x + 5 = 0}
C = {(x, y) / x, y ∈ R e y = 3x e y = 3x + 5}
D = {q ∈ Q / q 2 = 2}
• A = {x ∈
•
•
•
(proprietà mai verificate)
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Insiemi 6 - Rappresentazione Grafica
a
u
• DIAGRAMMI DI EULERO – VENN
l’insieme viene rappresentato come
una regione di piano delimitata da
una curva.
e
i
o
V
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Insiemi 7 - Uguaglianza, Sottoinsiemi
• UGUAGLIANZA DI INSIEMI:
A e B sono uguali se contengono gli stessi elementi.
A = B ⇔ (∀x ∈ A ⇔ x ∈ B)
A = {−1, +1} ;
B = {x ∈
• SOTTOINSIEMI:
R / x2 = 1} ⇒ A = B
– A è contenuto in B
– A è sottoinsieme di B
– A è incluso in B
se gli elementi di A sono anche elementi di B
A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
V = {a, e, i, o, u} ⊆ {lettere dell′ alf abeto},
P ⊆ N, Q ⊆ R
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Ø ⊆ A per qualunque insieme A. Si dice che A è incluso strettamente in B oppure che A è un sottoinsieme proprio di B e si
scrive A ⊂ B se e solo se A ⊆ B e A 6= B.
Insiemi 8 - Operazioni
• UNIONE:
A ∪ B = {x / x ∈ A o x ∈ B}
esempio: {1, 2, 3} ∪ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
• INTERSEZIONE:
A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}
esempio: {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 4, 6, 8} = {2, 4}
• PRODOTTO CARTESIANO:
A × B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ B} = {insieme delle coppie ordinate}
esempio:
{a, b} × {1, 2, 3} = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)}
R2 = R × R , R3 = R × R × R , Rn
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Insiemi 9 - Operazioni, Diagrammi di Venn
B
U
AUB
A
A
B
A
B
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Insiemi 10 - Proprietà delle Operazioni
• PROPRIETÀ COMMUTATIVA:
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
x+y =y+x
x·y =y·x
• PROPRIETÀ ASSOCIATIVA:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
• PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• INSIEME VUOTO:
A∪Ø=A ,
A ∩ Ø = Ø , ∀A
x · (y + z) = x · y + x · z
x+0=x ,
x·0=0
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Insiemi 11 - Esercizi
ESERCIZI
1. dati gli insiemi
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {a, b, c}
C = {1, 8, 9, a, b, d, e}
determinare
A∪B , A∪C , B∪C
A∪B∪C
A∩B , A∩C , B∩C
A∩B∩C
2. dati gli insiemi
A = {x ∈ /x ≥ 2}
/x < 5}
B = {x ∈
determinare A ∩ B
3. dati gli insiemi
/x2 − 1 < 0}
X = {x ∈
Y = {x ∈
/x2 + x − 6 ≤ 0}
determinare X ∪ Y , X ∩ Y
R
R
R
R
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Insiemi 12 - Esercizi di riepilogo 1
1. dati gli insiemi
R / − 2 ≤ x ≤ 5} = [−2, 5 ]
√
√ 11
11
B = {x ∈ R / 2 < x ≤ 2 } =] 2, 2 ]
A = {x ∈
determinare
A∪B , A∩B
2. risolvere il sistema di disequazioni:
(
3x − 6 ≥ 0
x2 − 9 < 0
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Insiemi 13 - Esercizi di riepilogo 2
3. negare la proposizione:
qualunque gatto è bianco
4. determinare il campo di esistenza della funzione:
√
y = f (x) = 2 − x log(x + 5)
5. negare la proposizione: ∀ x ∈ A si ha che x ∈ B
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Numeri Reali 7 - Intervalli
INTERVALLI LIMITATI a, b ∈
•
•
•
•
intervallo
intervallo
intervallo
intervallo
R
INTERVALLI ILLIMITATI a, b ∈
•
•
•
R
R
chiuso
[a, b] = {x ∈
/ a ≤ x ≤ b}
/ a < x < b}
aperto
]a, b[= {x ∈
chiuso a sinistra e aperto a destra
[a, b[= {x ∈
chiuso a destra e aperto a sinistra
]a, b] = {x ∈
R / x ≥ a}
R / x > a}
R
[a, +∞[= {x ∈
]a, +∞[= {x ∈
] − ∞, +∞[=
INTORNI x0 ∈
R,
R / a ≤ x < b}
R / a < x ≤ b}
R
] − ∞, b] = {x ∈
] − ∞, b[= {x ∈
R / x ≤ b}
R / x < b}
δ>0
• si dice sl intorno del punto x0 di raggio δ l’insieme:
Iδ (x0 ) = {x ∈
R / x0 − δ < x < x0 + δ} =]x0 − δ, x0 + δ[
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Rappresentazione Decimale
• numeri naturali
m∈
, m = ak 10k + ak−110k−1 + · · · + a1 10 + a0
i coefficienti ai , interi fra 0 e 9, sono le cifre del numero m
esempio: 1527 = 1 · 103 + 5 · 102 + 2 · 10 + 7
• numeri razionali
q∈
, q = ±m + a110−1 + a210−2 + · · · + ak 10−k
m è un numero naturale, ai sono le cifre decimali di q
esempi:
1. 32 = 1.5 = 1 + 5 · 10−1
N
Q
2.
1
= 0.0625 = 0 · 10−1 +
16
1
= 0.166666 . . . = 0.16
6
6 · 10−2 + 2 · 10−3 + 5 · 10−4
5
,
= 0.454545 . . . = 0.45
3.
11
la rappresentazione decimale di un numero razionale è sempre periodica.
• numeri reali
r∈
, √q = ±m + a110−1 + a210−2 + · · · + ak 10−k + · · ·
esempio: 2 = 1.4142135623730950 . . .
R
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