CAPITOLO 2
I triangoli e i criteri di congruenza
1. I POLIGONI CON GEOGEBRA
La costruzione di un poligono avviene mediante l'uso dello strumento 5-Poligono; la guida sintetica che si trova a
lato della Barra degli strumenti ci avvisa che dobbiamo:
Fare clic su tutti i vertici e nuovamente sul punto iniziale
Vale a dire che se il poligono eÁ un quadrilatero ABCD, dobbiamo cliccare nell'ordine sui punti A, B, C, D e di
nuovo su A, altrimenti il poligono non viene "chiuso".
Mediante la scheda ProprietaÁ del Menu contestuale (che si apre con un clic del tasto destro del mouse quando il
puntatore si trova sul poligono) possiamo poi modificare il colore e il livello di riempimento, lo stile e lo spessore
del tratto.
Nelle esercitazioni che seguono lavoreremo con i triangoli. Come prima cosa ci chiediamo quanti e quali elementi
eÁ necessario assegnare per costruire un triangolo. Osserviamo allora che, in base ai criteri di congruenza, due
triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:
1 due lati e l'angolo fra essi compreso
2 un lato e i due angoli ad esso adiacenti
3 i tre lati.
EÁ quindi possibile costruire un triangolo assegnando gli elementi indicati dai criteri in quanto gli altri vengono ad
essere automaticamente individuati.
Esercitazione 1. Costruire un triangolo dati due lati e l'angolo fra essi compreso
Nel piano euclideo disegniamo due segmenti e un angolo mediante due semirette a e b aventi l'origine V in comune (usa il menu contestuale per rinominare il punto).
Dobbiamo adesso trasportare i due segmenti ciascuno su uno dei lati dell'angolo. Per farlo possiamo usare lo
strumento Trasporto di un segmento che abbiamo costruito nel capitolo 1 oppure seguire questa procedura:
1 usando lo strumento 6-Compasso disegniamo la circonferenza di centro V, vertice dell'angolo, e avente come
raggio il primo lato: selezioniamo nell'ordine il primo lato e il punto V;
2 determiniamo il punto di intersezione della circonferenza con uno dei lati dell'angolo, per esempio il lato a: usiamo lo strumento 2-Intersezione di due oggetti e chiamiamo P questo punto;
3 ripetiamo i passi 1 e 2 per trasportare il secondo lato sull'altro lato dell'angolo e chiamiamo Q il punto di intersezione.
Abbiamo in questo modo individuato i tre vertici del triangolo.
4 Come ultimo passo disegniamo il triangolo VPQ con lo strumento 5-Poligono selezionando in senso orario oppure
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
1
antiorario i tre vertici e come ultimo di nuovo il primo;
per esempio clicchiamo nell'ordine su V, P, Q, V.
Per una migliore visualizzazione del triangolo, usando il
Menu contestuale, eÁ poi possibile nascondere gli oggetti ausiliari che sono serviti alla costruzione (togliere
la spunta su Mostra oggetto), come per esempio i
punti indicati con F e G e le due circonferenze.
I passi della costruzione geometrica
Il programma GeoGebra possiede uno strumento di
grande utilitaÁ che permette di visualizzare i passi che
sono stati affrontati per eseguire una costruzione; si
accede ad esso con il comando Visualizza/Protocollo di costruzione.
Come si vede anche dalla figura a lato, e che eÁ relativa
alla precedente esercitazione, nella finestra relativa a
questo comando, sono elencati nell'ordine tutti gli oggetti man mano costruiti ed eÁ anche possibile ripercorrere a ritroso, oppure in avanti, tutto il processo, sia
usando i quattro pulsanti che si trovano nell'ultima riga
della finestra, sia facendo un doppio clic su ciascuna
riga del protocollo.
Il primo pulsante riporta la costruzione direttamente al
passo iniziale, il quarto all'ultimo passo; i due intermedi
fanno rispettivamente retrocedere o avanzare la costruzione di un passo alla volta. Al centro eÁ indicato il passo
corrente rispetto al numero complessivo dei passi.
Uno strumento simile eÁ la Barra di navigazione per i
passi della costruzione a cui si accede sempre dal menu Visualizza.
In questa barra, che si apre normalmente nella parte inferiore della pagina grafica, ci sono gli stessi quattro pulsanti del Protocollo di costruzione e, piuÁ a destra, si trova il pulsante Esegui che consente la ricostruzione passo
passo dell'intera figura con un intervallo di tempo fra un passo e l'altro indicato dal numero di secondi nella casella a fianco. Al termine della riga un'icona permette di accedere direttamente al Protocollo di costruzione.
Esercitazione 2. Costruire un triangolo dati i tre lati
Disegniamo nel piano euclideo tre segmenti a, b, c, di
lunghezze non molto diverse tra loro, e assumiamo il
lato c come base del triangolo.
La costruzione eÁ molto semplice:
1 con centro in uno degli estremi del lato c tracciamo
la circonferenza avente per raggio il segmento a
(strumento 6-Compasso);
2 con centro nell'altro estremo del lato c tracciamo la
circonferenza avente per raggio il segmento b;
3 troviamo il punto di intersezione delle due circonferenze;
4 disegniamo il triangolo avente per vertici gli estremi
del lato c e il punto trovato al passo 3.
2
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Abbiamo cosõÁ disegnato il triangolo richiesto.
A questo punto si puoÁ controllare se questa costruzione funziona sempre. Proviamo a modificare la lunghezza
del lato a facendola dapprima diminuire e poi aumentare: in modalitaÁ 1-Muovi usiamo il metodo del trascinamento su uno dei punti estremi.
Ci accorgiamo che, ad un certo punto, le due circonferenze non si intersecano piuÁ e quindi non eÁ piuÁ possibile
definire il triangolo. Tutto cioÁ eÁ giustificato dal teorema relativo alle disuguaglianze triangolari:
in ogni triangolo ciascun lato eÁ minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Quando facciamo diminuire il lato a, ad un certo punto c diventa maggiore di a b; quando lo facciamo aumentare, c diventa minore di a b e le disuguaglianze triangolari non sono piuÁ rispettate.
Alla fine possiamo anche rivedere l'intera costruzione utilizzando il Protocollo di costruzione, oppure la Barra di
navigazione.
2. I POLIGONI CON CABRI
Gli strumenti indispensabili per eseguire una qualunque costruzione geometrica sono la riga ed il compasso: con
la riga tracciamo rette, semirette e segmenti, con il compasso tracciamo circonferenze, archi, trasportiamo segmenti.
Abbiamo giaÁ imparato ad usare gli strumenti del primo tipo nel precedente capitolo, in questo ci serviremo anche
degli strumenti legati all'uso del compasso che sono i seguenti:
n dall'icona Curve (la quarta da sinistra):
l
l
Circonferenza che permette di costruire una circonferenza che ha centro in un punto e che passa per un
altro punto (questo secondo punto definisce in sostanza la lunghezza del raggio)
Arco di Circonferenza che permette di
tracciare un arco di circonferenza dando
nell'ordine il primo estremo dell'arco, un
punto dell'arco ed il secondo estremo;
in questo caso non eÁ noto a priori dove
si trovi il centro della circonferenza.
n dall'icona Costruisci (la quinta da sinistra)
hai a disposizione lo strumento:
l
Compasso che permette di costruire
una circonferenza dando il raggio ed il
centro; il raggio puoÁ essere assegnato
cliccando su un segmento giaÁ disegnato
oppure su due punti che ne rappresentano gli estremi.
Nella figura a lato, come eÁ anche evidenziato,
abbiamo dato un esempio di utilizzo di questi
tre strumenti.
Esercitazione 1. La costruzione di un poligono
La procedura eÁ molto semplice se eseguita con lo strumento Poligono dall'icona Rette (la terza da sinistra): dopo aver selezionato questo strumento, clicca in un punto del piano (primo vertice del poligono) e poi sugli altri
punti che ne rappresentano i vertici seguendo l'ordine orario oppure antiorario; da ultimo, per "chiudere" il poligono, clicca di nuovo sul primo vertice.
La posizione di ciascun vertice puoÁ poi essere modificata mediante trascinamento.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
3
Il poligono puoÁ anche essere colorato con lo strumento Riempimento dell'icona Disegna (l'ultima a destra): dopo aver selezionato il colore, basta spostare il mouse sulla poligonale che delimita il poligono (compare il messaggio Questo poligono con il disegno del secchiello del colore) e cliccare.
La procedura per costruire un triangolo eÁ analoga; tuttavia Cabri mette a disposizione lo strumento Triangolo
con il quale non eÁ necessario chiudere il poligono: basta indicare i tre vertici e la poligonale viene tracciata automaticamente.
Esercitazione 2. La costruzione di un triangolo isoscele
Non esiste uno strumento predefinito per disegnare un triangolo isoscele e ogni volta occorre seguire la procedura appropriata a seconda degli elementi che sono noti. Per eseguire queste costruzioni ci servono anche gli
strumenti di trasporto dei segmenti e degli angoli che abbiamo imparato ad usare nel precedente capitolo; conviene quindi aprire queste macro in modo da averle a disposizione fra gli strumenti dell'icona Macro.
n Costruire un triangolo isoscele che abbia un
segmento a come base e un segmento b
come lato obliquo:
l disegniamo la semiretta della base e trasportiamo il segmento a su di essa
l usando lo strumento Compasso tracciamo le due circonferenze che hanno centro
negli estremi della base e per raggio il segmento b: clicca prima sul segmento b (il
raggio) e poi sull'estremo della base
l il vertice del triangolo e
Á uno dei due punti
di intersezione delle due circonferenze; essi si individuano con lo strumento Intersezione di due oggetti dell'icona Punti (la
seconda da sinistra)
l il triangolo puo
Á essere adesso tracciato
con lo strumento Triangolo.
A questo punto tutti gli oggetti che sono serviti alla costruzione (nel nostro caso la semiretta della base e le due
circonferenze) possono essere nascosti con lo strumento Mostra/Nascondi dell'icona Disegna; dopo aver selezionato lo strumento basta cliccare su questi oggetti: inizialmente essi appaiono tratteggiati, quando selezioni la
modalitaÁ Puntatore scompaiono dal disegno. Per rivederli basta agire di nuovo su Mostra/Nascondi.
n Costruire un triangolo isoscele che abbia un
segmento a come base ed un angolo come angolo alla base:
l
l
l
l
l
4
disegna la semiretta della base e trasporta
il segmento a su di essa
trasporta l'angolo su tale semiretta (il
vertice eÁ nell'estremo sinistro della base)
definisci una seconda semiretta che contiene a e che ha l'origine nell'altro estremo
della base e trasporta di nuovo l'angolo (il vertice eÁ nell'estremo destro della base)
definisci il terzo vertice del triangolo
ridisegna il triangolo e riempilo con un colore a tua scelta.
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Esercitazione 3. La costruzione di un triangolo e i criteri di congruenza
Un triangolo si puoÁ disegnare se sono noti i suoi vertici; grazie ai criteri di congruenza questi ultimi si possono
individuare se del triangolo sono noti almeno un lato e altri due elementi, per esempio un altro lato e l'angolo
fra essi compreso (I criterio), oppure gli angoli ad esso adiacenti (II criterio), oppure ancora gli altri due lati (III criterio).
Ti diamo le indicazioni essenziali per i primi due criteri e lasciamo come proposta di lavoro la costruzione in base
al terzo.
n Costruzione di un triangolo noti due lati e l'angolo fra essi compreso (primo criterio).
Basta disegnare l'angolo, trasportare i segmenti sui suoi lati e completare il triangolo con il terzo segmento.
n Costruzione di un triangolo noti un lato e i due angoli ad esso adiacenti (secondo criterio).
Puoi realizzare questa costruzione trasportando i due angoli sul lato assegnato.
Le figure che seguono illustrano il risultato che si ottiene nei due casi.
ESERCIZI
1. Costruisci un triangolo isoscele e verifica che la mediana e la bisettrice relative alla base sono rappresentate
dallo stesso segmento.
2. Costruisci un triangolo isoscele che abbia base e lato obliquo di lunghezze assegnate; trova poi le ampiezze
dei suoi angoli.
3. Costruisci un triangolo equilatero di lato assegnato.
4. Disegna due triangoli isosceli aventi la base in comune; verifica che la retta che passa per i vertici non comuni dei due triangoli eÁ mediana e bisettrice.
5. Disegna un triangolo isoscele ABC di vertice C e traccia le mediane AD e BE relative ai lati congruenti. Verifica che tali mediane sono congruenti e che i triangoli ADB e AEB sono congruenti.
6. Disegna un triangolo equilatero e il triangolo che si ottiene congiungendo i punti medi dei suoi lati; verifica
che tale triangolo eÁ anch'esso equilatero.
7. Di un triangolo sono assegnati due lati e l'angolo opposto a uno di essi. Determina il numero di triangoli che
si possono costruire con queste informazioni.
8. Due segmenti AB e CD, comunque disposti nel piano, sono le basi di altrettanti triangoli isosceli che hanno il
vertice P in comune. Trova il vertice P e disegna i triangoli.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
5
Matematica e storia
La storia della geometria
NecessitaÁ pratiche, curiositaÁ e desiderio di conoscere hanno sempre spinto l'uomo ad indagare il
mondo che lo circonda; le prime figure geometriche nacquero probabilmente in epoche primitive
dal tentativo di riprodurre il disco del Sole e della
Luna o la figura di un animale o dell'uomo stesso.
Nelle civiltaÁ piuÁ antiche, quale quella egiziana, le
conoscenze geometriche erano giaÁ abbastanza
sviluppate; bisognava ricalcolare i confini dei terreni che ogni piena del Nilo regolarmente cancellava, la costruzione delle piramidi e dei templi
comportava giaÁ anche delle conoscenze ad un certo livello di astrazione.
Ma per osservare uno sviluppo maggiore di questo
processo di astrazione occorre arrivare al VII secolo a.C., quando i matematici greci, ed in special
modo Talete, vennero a conoscenza, grazie soprattutto a numerosi viaggi in Oriente, degli studi
di popoli mediorientali e li rielaborarono in chiave
piuÁ formale.
Nella cultura greca si privilegiava lo studio teorico,
distinto dalle necessitaÁ pratiche, e questa tendenza, che la distingueva da altre culture, si accentuoÁ
con l'affermarsi della filosofia di Platone nella prima metaÁ del IV secolo a.C.. Questo processo di
progressivo allontanamento della geometria dai
suoi contenuti concreti per diventare sempre piuÁ
una costruzione del pensiero che studia i puri legami fra figure, trovoÁ quindi un ambiente ideale fra
gli studiosi della Magna Grecia.
Pitagora prima (VI secolo a.C.) ed Eudosso poi (IV
secolo a.C.) diedero un notevole contributo in questo senso, ma l'intervento piuÁ importante fu quello
di Euclide (300 a.C. circa), uno dei piuÁ famosi protagonisti della storia della matematica. Nella sua
opera, i 13 libri degli
Elementi, che sono il
primo trattato scientifico arrivato fino a noi,
Euclide raccolse le conoscenze geometriche
dell'epoca e le espose
in modo sistematico,
astratto e generalizzato, creando cosõÁ un modello di teoria matema- Euclide
6
tica che rimase insuperato per secoli. Nelle epoche
successive, il "metodo geometrico", esposto nei libri di Euclide fu stimato come il modo certo per ottenere risultati rigorosi e fu applicato allo studio di
altre scienze e persino della filosofia.
Per secoli Euclide fu considerato un'autoritaÁ scientifica indiscutibile e la sua geometria (la cosiddetta
geometria euclidea) costituõÁ il modello di base
per la rappresentazione della realtaÁ in gran parte
del mondo. Essa influenzoÁ non solo le dottrine speculative, ma l'arte, l'architettura, e la stessa psicologia dell'uomo, il suo modo di vedere le cose e
di pensare. Nei suoi libri Euclide segue uno schema logico ben preciso. Per prima cosa vengono
date le definizioni, chiamate "termini", cioeÁ la spiegazione del significato delle parole usate nel seguito. Successivamente vengono enunciate delle proposizioni non dimostrate, che sono di due tipi:
± le nozioni comuni, suggerite a chiunque dalla
realtaÁ; per esempio: "cose uguali ad una stessa
cosa sono uguali tra loro";
± i postulati, enunciati che si chiede di ritenere veri
e che sono riferiti piuÁ specificatamente agli enti
geometrici (postulato eÁ l'analogo di cioÁ che noi
oggi chiamiamo assioma); per esempio: "tutti
gli angoli retti sono uguali fra loro".
Ogni altra proposizione si chiama teorema e viene
dedotta da nozioni comuni e postulati mediante
processi di ragionamento chiamati dimostrazioni.
Naturalmente Euclide non fu il solo importante studioso di geometria dell'antichitaÁ.
Un contributo originale nella storia della geometria
si deve, ad esempio, ad Archimede di Siracusa
(287-212 a.C.), che, al contrario dell'autore degli
Elementi, fu interessato sempre alla soluzione di
problemi tecnici e pratici e soltanto in momenti successivi ne fornõÁ un'elaborazione teorica. Egli risolse in maniera geniale problemi riguardanti la misura di aree di figure limitate da linee curve, oppure
la misura di volumi, per esempio quello della sfera.
Con Archimede si chiuse un'epoca particolarmente
felice per la geometria. Infatti i Romani non diedero nessun contributo significativo a questa scienza
e neanche nel Medioevo ci furono progressi importanti.
Fu soltanto verso la fine del 1500 e l'inizio del
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1600, con il Rinascimento e la conseguente riscoperta dei testi classici (in particolare degli Elementi
di Euclide), che si risveglioÁ l'interesse per la geometria.
Con i lavori di Cartesio
(1596 -1662) e di Pierre de Fermat (16011655) nacque la geometria analitica, che
permetteva di studiare
le relazioni tra figure
geometriche, traducendole in relazioni algebriche, spesso piuÁ agevoli da sviluppare.
Questo metodo rese Cartesio
possibili grandi progressi nello studio delle curve, grazie alla contemporanea nascita del calcolo differenziale ed integrale, e nel 1795, con la pubblicazione di GeÂomeÂtrie descriptive, Gaspard Monge sistemoÁ definitivamente da un punto di vista teorico l'applicazione
dell'analisi matematica alla geometria, studiando
anche quella dello spazio con il sistema delle coordinate cartesiane.
Monge introdusse anche la geometria proiettiva,
cioeÁ il metodo, usato anche oggi nel disegno tecnico, di proiettare l'oggetto da rappresentare su due
piani perpendicolari fra loro, facendo poi ruotare
il piano verticale in modo da farli coincidere.
Fra la fine del Settecento e l'inizio dell'Ottocento,
comincioÁ a svilupparsi la critica ai fondamenti della geometria euclidea, (giaÁ avanzata sporadicamente da studi precedenti), con particolare riferimento al V postulato, il quale afferma che per un
punto esterno ad una retta passa una e una sola
parallela alla retta data.
Il primo che tentoÁ lo sviluppo di una geometria indipendente da questo postulato fu Gerolamo Saccheri (1667-1733); egli non metteva in dubbio la
validitaÁ di tale asserto, ma era convinto che esso
potesse essere dedotto dalle precedenti proposizioni. Nel tentativo di provare la sua tesi partendo
dalla negazione del V postulato, egli dedusse tutta
una serie di teoremi di geometria non euclidea. La
sua opera conobbe una certa fama dopo la sua
morte, ma poi andoÁ dimenticata.
All'inizio del XIX secolo, Karl Friedrich Gauss
(1777-1855) comincioÁ a pensare di costruire una
geometria che non ritenesse valido il quinto postulaQ Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
to di Euclide, ma non
pubblicoÁ mai i risultati
dei suoi studi. Su questa idea lavorarono anche, indipendentemente l'uno dall'altro, il matematico russo Nikolaj
Ivanovic Lobacewskji
(1793-1856) e l'ungherese
Janos
Bolyai
(1802-1860), che co- Gauss
struirono una geometria basata sulla considerazione che, data una retta
r ed un punto P fuori di essa, esistesse piuÁ di una
parallela per P a r ; a questa geometria fu dato il
nome di geometria iperbolica.
Un semplice modello che puoÁ far capire i presupposti su cui si basa la geometria iperbolica eÁ il seguente. Consideriamo una circonferenza e chiamiamo punto un qualsiasi punto interno a (non
sulla circonferenza); chiamiamo piano l'insieme
dei punti interni a e chiamiamo retta l'insieme
dei punti di una corda della circonferenza, esclusi
gli estremi della corda. In questo piano valgono i
primi assiomi della geometria euclidea, per esempio due punti distinti C e D individuano una e
una sola retta, la retta AB divide il piano in due semipiani in cui vale ancora l'assioma di partizione
(figura 1), ma non eÁ piuÁ vero che la parallela ad
AB per il punto P eÁ unica (figura 2): ci sono infinite
rette che non intersecano AB, comprese le due rette
rosse PA e PB (ricorda che abbiamo detto che le
rette sono prive degli estremi) che delimitano in
un certo senso il campo delle rette che non intersecano AB.
Figura 1
Figura 2
Nella geometria iperbolica valgono ancora molti
teoremi della geometria euclidea, per esempio gli
angoli opposti al vertice sono ancora congruenti
ed eÁ ancora vero che l'angolo esterno di un triangolo eÁ maggiore degli angoli interni non adiacenti;
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
7
non eÁ piuÁ vero invece che la somma degli angoli
interni di un triangolo eÁ un angolo piatto ed i triangoli simili non esistono piuÁ.
Successivamente George F.B. Riemann (18261866), sempre negando il quinto postulato di Euclide, costruõÁ un'altra
geometria, detta geometria ellittica, basata
sul presupposto che
per un punto esterno
ad una retta non si possa condurre alcuna parallela.
Un modello di geometria ellittica eÁ costruito
mediante una sfera, in
cui chiamiamo piano Riemann
la superficie della sfera, punto ogni coppia di punti diametralmente opposti, retta ogni circonferenza massima della sfera.
Con riferimento alla fi- Figura 3
gura 3, sono per esempio punti le coppie
A, A 0 ,
B, B 0 ,
P, P 0 ;
la retta r che passa per
i punti
A, A 0 e
B, B 0
eÁ la circonferenza massima che passa per A, A 0 ,
B, B 0 . Anche in questo
caso sono ancora validi
molti assiomi della geometria euclidea, ma le rette
parallele non esistono piuÁ: preso un punto
P, P 0
nel piano cosõÁ definito, non eÁ possibile trovare
una retta per tale punto che non intersechi la retta r.
Per cercare di capirne il motivo puoi fare il paragone con un'arancia: se tagli la buccia in liste molto
8
sottili che equivalgono alle circonferenze massime,
non riesci a fare in modo che ci siano due liste che
non si incontrano.
Il moltiplicarsi di queste
teorie e l'impossibilitaÁ
di verificarle empiricamente portoÁ scompiglio
nel mondo dei matematici, finche Felix Klein
(1849-1925) nelle sue
Considerazioni comparative intorno a ricerche
geometriche
recenti
(1872), pubblicate in
occasione del suo ingresso all'UniversitaÁ di Klein
Erlangen e per questo
piuÁ note come Programma di Erlangen,
evidenzioÁ una struttura
generale che comprende in se le varie discipline geometriche.
Nel 1899 David Hilbert (1862-1943) pubblicoÁ I fondamenti della
geometria, una sistemazione rigorosa delle
varie teorie assiomati- Hilbert
che. Egli considera tre
sistemi di oggetti che chiama punti, rette e piani,
la cui descrizione completa segue dagli assiomi
proposti, senza alcun riferimento all'intuizione. Le
nozioni geometriche non hanno quindi piuÁ un carattere di veritaÁ assoluto, bensõÁ relativo: esse vengono descritte dagli assiomi cui devono obbedire.
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1 Quanti triangoli equilateri sono presenti nella seguente figura?
a. 16
b. 20
c. 25
d. 26
es. 1
e. 27
e:
e. 5
d:
es. 2
2 Quanti pentagoni si vedono nella figura a fianco?
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
3 Nella figura a lato vedi un triangolo ABC in cui dal vertice A partono
due diversi segmenti con secondo estremo sul lato opposto, e lo stesso
accade dal vertice B. I quattro segmenti cosõÁ tracciati ripartiscono il
triangolo in 9 regioni disgiunte (salvo per i bordi). Se da ciascuno dei
due vertici A e B si tracciano quattro diversi segmenti, invece di due,
fino ad incontrare il lato opposto, qual eÁ il numero di regioni (disgiunte,
salvo per i bordi) in cui risulta ripartito il triangolo?
a. 16
b. 25
c. 36
d. 42
es. 3
b:
e. 49
4 Per i dodici anni di Jacob, i suoi genitori hanno ordinato al pasticciere dei dolci molto particolari... a
forma di triangolo con il perimetro di 12 cm. Tutti i lati dei triangoli hanno una misura in cm corrispondente ad un numero intero. Quante forme diverse il pasticciere potraÁ realizzare?
[3 forme]
5 Quando non ha niente da fare, Carla gioca con i fiammiferi. Oggi ne ha
disposti nove sulla sua scrivania, come nel disegno. Spostandone poi 3,
riesce a formare 5 triangoli. Disegna la figura ottenuta da Carla.
es. 5
6 Un unico pezzo di corda passa attraverso i fori di un foglio di cartone,
come mostrato nella prima figura. Quale dei seguenti disegni non puoÁ
essere cioÁ che si vede sull'altra faccia del cartone?
e:
a.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
b.
c.
d.
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
e.
9
Le costruzioni con il Geomag
Un gioco "matematicamente" creativo eÁ senza dubbio Geomag, un gioco di
costruzione realizzato con barre magnetiche di lunghezza variabile e sfere di
acciaio con le quali si possono costruire una infinitaÁ di forme e figure geometriche bidimensionali e tridimensionali, come per esempio quella in figura a
lato.
Anche se probabilmente non hai Geomag a casa tua o a scuola, puoi ugualmente eseguire le costruzioni proposte negli esercizi che seguono usando
delle strisce di cartoncino o delle cannucce per le bibite, tenute insieme
da legacci simili a quelli che si usano per chiudere i sacchetti per la conservazione dei cibi.
1 Per verificare una delle proprietaÁ piuÁ interessanti del triangolo, vale a dire la sua struttura
rigida, si puoÁ costruire un quadrilatero, appoggiarlo sul piano del tavolo e poi, premendo su
due vertici opposti, cercare di deformare il poligono; quello che si ottiene eÁ visibile in figura.
Quale operazione si deve fare per rendere rigido il quadrilatero?
2 Qual eÁ il numero minimo di segmenti che occorre tracciare per rendere rigida la struttura nella figura a lato?
3 Quanti triangoli isosceli diversi si possono costruire con 5 barrette
tutte uguali fra loro? E con 9 oppure 11?
4 Con un certo numero di barrette di due lunghezze diverse si possono costruire le figure che seguono.
In ciascuna figura individua:
a. i triangoli isosceli
b. i triangoli equilateri
c. i triangoli congruenti.
2 6
3 1, 2, 3
Tema 5 - Cap. 2: I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
1 basta tracciare una diagonale
10
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
