Appunti di Fisica

Appunti di Fisica
Sintesi dell’elettromagnetismo - onde elettromagnetiche
La corrente di spostamento
La legge di Ampère, C(B) = µo I (dove I è la corrente concatenata con le linee chiuse della circuitazione del
campo magnetico), non è sempre valida; ad esempio, nel circuito di Fig.1, circola corrente che però, a causa del
condensatore, non si concatena con le linee chiuse a e b, che sono comunque linee chiuse di campo magnetico; la
contraddizione si risolve introducendo il concetto di corrente di spostamento.
R
a
b
V (t) = Vo sin ωt
C
F ig.1
Prendendo in considerazione un condensatore piano, vuoto e di armature di area A, sia σq (t) la densità di carica
sulle armature; il flusso del campo elettrico attraverso una superficie di area A, posta tra le armature e parallela ad
esse, è:
ΦE (t) = E(t) A =
d ΦE (t) =
σq (t)
Q(t)
A=
ǫo
ǫo
d ΦE (t) d Q(t)
d Q(t)
=⇒ ǫo d ΦE (t) = d Q(t) =⇒ ǫo
=
= is (t)
ǫo
dt
dt
Il termine iS (t), chiamato da Maxwell “corrente di spostamento” e dovuto alla variazione del flusso del campo
elettrico tra le armature del condensatore, non rappresenta una corrente reale ma ne ha la stessa unità di misura e
lo stesso valore, ed è stato inserito da Maxwell nella legge di Ampère per renderla valida in senso generale.
La legge di Ampère diventa quindi C(B) = µo [i(t) + iS (t)] = µo
ñ
d ΦE (t)
i(t) + ǫo
dt
ô
(legge di Ampère-Maxwell)
Tra le armature del condensatore non scorre una corrente reale ma quella di spostamento, che genera comunque linee di campo magnetico; nella legge di Ampère-Maxwell, i(t) e iS (t) non sono mai diversi da zero
contemporaneamente (se i(t) 6= 0 =⇒ iS (t) = 0 e viceversa).
C. Luviner
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2
Le equazioni di Maxwell
Le equazioni di Maxwell costituiscono la sintesi delle leggi per i campi elettrico e magnetico; le quattro equazioni
di Maxwell nel vuoto sono:
ΦE =
Z
~ dS
~= Q
E
ǫo
legge di Gauss per il campo elettrico
Z
~ dS
~=0
B
legge di Gauss per il campo magnetico
ΦB =
~ d~l = − d ΦB (t)
E
dt
ô
ñ
I
~ d~l = µo i(t) + ǫo d ΦE (t)
C(B) = B
dt
C(E) =
I
Legge di Faraday-Neumann-Lenz
Legge di Ampère-Maxwell
Le ultime due evidenziano che il campo elettrico e quello magnetico sono in relazione tra loro, sono due aspetti
dello stesso campo, il campo elettromagnetico.
Le onde elettromagnetiche (OEM)
Elaborando le ultime due equazioni di Maxwell si ottengono equazioni differenziali; da esse si ottengono, come
soluzioni, funzioni d’onda per il campo elettrico e magnetico, con velocità di propagazione
c= √
1
v= √
(in un qualsiasi mezzo)
µǫ
m
1
≈ 3 · 108
(nel vuoto)
µo ǫ o
s
Supponendo onde piane, polarizzate linearmente e nel vuoto:
ñ
E(x, t) = Eo cos 2π
Ç
x
− ft
λ
åô
e
ñ
B(x, t) = Bo cos 2π
Ç
x
− ft
λ
åô
anche
E(x, t) = Eo cos (kx − ωt)
e
B(x, t) = Bo cos (kx − ωt)
anche
E(x, t) = Eo cos [k (x − ct)]
e
B(x, t) = Bo cos [k (x − ct)]
dove x è la posizione lungo la direzione di propagazione all’istante t, λ è la lunghezza d’onda, f è la frequenza
2π
ed ω = 2πf .
(λf = c) , k =
λ
C. Luviner
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3
In Fig.2 sono rappresentate le caratteristiche di un’onda alettromagnetica (nel vuoto, piana e polarizzata linearmente)
y
E
B
x
z
c
F ig.2
I campi E (vettori con linee continue) e B (vettori con linee tratteggiate) sono sempre perpendicolari tra loro ed
entrambi perpendicolari alla direzione di propagazione, il verso della velocità di propogazione è quello del moto di
una lampadina che ruota (durante l’avvitamento/svitamento) da E verso B, secondo l’angolo di 90o .
Si può ricavare la relazione fondamentale tra E e B dalla terza delle equazioni di Maxwell; in Fig.3, l’onda elettromagnetica si propaga lungo l’asse x , E è parallelo all’asse y e B è parallelo all’asse z .
y
c
~
E
F ig.3
b
a
~
B
z
d
~v
x
C. Luviner
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4
Calcoliamo la circuitazione C(E) di E lungo il perimetro del rettangolo abcd (ad es. in verso antiorario), dove
i lati a e c sono da considerarsi infinitesimi (a = c = dx). I contributi lungo i lati a e c sono nulli in quanto E
è perpendicolare ad essi; considerando E(x, t) il campo elettrico in corrispondenza del lato d, si può indicare con
E(x + dx, t) il campo elettrico in corrispondenza del lato b . Tenendo conto del verso di percorrenza del perimetro,
supponiamo il campo elettrico parallelo e nello stesso verso in b e quindi parallelo e di verso opposto in d (♪) , per
cui, ponendo dE(x, t) = E(x + dx, t) − E(x, t) ,
~ + dx, t) · ~b + E(x,
~
C(E) = E(x
t) · d~ = E(x + dx, t) b − E(x, t) d = (E(x + dx, t) − E(x, t)) b = dE(x, t) b
C(E) =
dE(x, t)
∂E(x, t)
b dx =
b dx
dx
∂x
dove è stata introdotta la derivata parziale in quanto si deriva rispetto ad x all’istante t (considerato costante).
Calcoliamo ora il flusso del campo magnetico attraverso la superficie del rettangolo abcd ; tenendo conto che B è
perpendicolare alla superficie del rettangolo,
ΦB (x, t) = B(x, t) b a = B(x, t) b dx
=⇒
∂B(x, t)
dΦB (x, t) dB(x, t)
=
b dx =
b dx
dt
dt
∂t
sostituendo nella terza equazione di Maxwell, si ottiene
∂E(x, t)
∂B(x, t)
=−
∂x
∂t
derivando E(x, t) = Eo cos (kx − ωt) rispetto ad x (derivata parziale), si ottiene:
∂E
= −kEo sin (kx − ωt)
∂x
derivando B(x, t) = Bo cos (kx − ωt) rispetto ad t (derivata parziale), si ottiene:
∂B
= ωBo sin (kx − ωt)
∂t
andando a sostituire, si ha
kEo = ωBo
=⇒
Eo =
ω
λ
Bo = 2πf
Bo = f λBo = cBo
k
2π
=⇒
E(x, t)
Eo
=
=c
Bo
B(x, t)
Elaborando in maniera analoga la quarta equazione di Maxwell, si ottiene
∂E(x, t)
∂B(x, t)
= − ǫ o µo
∂x
∂t
(♪)
nell’ipotesi che nei lati b e d il campo E abbia lo stesso verso, visto la distanza infinitesima tra essi (dx << λ)
C. Luviner
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5
Energia di un’onda elettromagnetica
Ricordando le espressioni delle densità di energia σE e σB , si ha
σB =
1 E2
1
ǫ o µo 2
1
B2 =
E = ǫo E 2 = σE
=
2µo
2µo c2
2µo
2
=⇒
σE = σB
In un’onda elettromagnetica la densità d’energia dovuta al campo magnetico è uguale a quella dovuta al campo
elettrico; la densità d’energia totale è σU = σE + σB = 2σE = 2σB .
Per il valore medio σ U di σU , si ha
σ U = (2σE )m = ǫo (E 2 )m =
1
1
B2
ǫo Eo2 =
2
2µo o
Considerando un elemento di superficie dA e con θ l’angolo formato tra il versore normale a dA ed il vettore
velocità dell’OEM, l’energia che attraversa dA nel tempo dt è data, nel vuoto, da
dU = σU dA cos θ c dt
P otenza
−−−−−−→
dP =
dU
= ǫo E 2 c dA cos θ
dt
~ · dA
~ , dove S
~ ha direzione e verso della velocità di propagazione
Ponendo S = ǫo E 2 c , si può scrivere dP = S
~
dell’onda e dA ha direzione e verso del versore normale all’elemento di superficie.
S = ǫ o E 2 c = ǫ o E B c2 = ǫ o E B
1
1
=
EB
ǫ o µo
µo
tenendo conto delle caratteristiche delle onde elettromagnetiche ed utilizzando la notazione vettoriale, si può scrivere, in un qualsiasi mezzo
~ =B
~ × ~v
E
e
~=
S
1
~ ×B
~
E
µ
(vettore di Poynting)
~ ha la direzione ed il verso della velocità di propagazione dell’OEM e la sua intensità S (modulo) rappreS
senta l’energia dell’OEM che attraversa, nell’unità di tempo, l’unità di superficie perpendicolare alla direzione di
propagazione.
S=
1
1
c 2
EB =
B
E2 =
µo
µo c
µo
per il calcolo del valore medio Sm di S , si tiene conto che, dalle equazioni di Maxwell, si possono scrivere E e B
1
come funzioni cosinusoidali di ampiezza rispettivamente Eo e Bo , e che cos2 (kx − ωt) m = ; si ha quindi
2
Sm
1
1
c
=
Eo Bo =
B2
Eo2 =
2µo
2µo c
2µo o
=⇒
intensità (media) dell’onda
I = Sm = c σ U
Ç
W
m2
å
Se I è l’intenità delle OEM sulla superficie A:
la potenza delle OEM è I · A , l’energia che arriva sulla superficie in un tempo t è I · A · t
nel caso di una sorgente puntiforme di OEM posta al centro di una superficie sferica di raggio R, la potenza della
sorgente è I · 4πR2 .
C. Luviner
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6
Quantità di moto di un’onda elettromagnetica
Le onde elettromagnetiche trasportano non solo energia ma anche quantità di moto; se incidono su una superficie,
esercitano su di essa una pressione (detta pressione di radiazione).
Prendendo in considerazione un’onda elettromagnetica che incide perpendicolarmente su una superficie A, il campo
E muove le cariche parallelamente alla superficie (e quindi non ne provoca il moto) mentre il campo B, per la forza
di Lorentz, impone alle cariche in movimento sulla superficie un moto perpendicolare alla superificie stessa, e quindi
la superficie acquista quantità di moto (ceduta dall’onda elettromagnetica).
La forza che l’onda elettromagnetica esercita su una carica è
Ä
ä
~ + ~vq × B
~
F~q = q E
Per rendersi conto che l’OEM trasporta quantità di moto e per quantificarlo, si può considerare il caso semplice di
un OEM che incide su una carica q, di massa m ed in quiete sull’asse x (Fig.2); per il campo elettrico, la carica
acquista una velocità vy lungo l’asse y, e quindi un’energia cinetica
Uk,q =
2
1
1
1
mvy2 = m ay t = m
2
2
2
Ç
qE
m
å2
t2 =
1 q2E 2 2
t
2 m
d’altra parte, mettendosi la carica in moto lungo y, su di essa agisce la forza di Lorentz Fx lungo x
Fx = q vy B = q ay t B = q
q 2 EB
qE
Bt=
t
m
m
la quantità di moto pq acquisita dalla carica è quindi
pq =
Uk,q
1
1 q 2 EB 2
1 1 q2 E 2 2
Fx t =
t =
t =
2
2 m
c2 m
c
Si può generalizzare il risultato ottenuto nel caso di un’OEM che incide perpendicolarmente su una superficie; se
viene completamente assorbita un’ energia U , la quantità di moto pa trasferita alla superficie è
pa =
U
c
quantità di moto trasferita per assorbimento totale dell’OEM
se la superficie è completamente riflettente, la variazione della quantità di moto dell’OEM è doppia, di conseguenza
è doppia la quantià di moto pr ceduta alla superficie, cioè
pr =
2U
c
quantità di moto trasferita per riflessione totale dell’OEM
C. Luviner
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7
Dividendo una quantità di moto per un tempo si ha una forza, dividendo quest’ultima per un’area si ha una pressione
P=
U
S
p
=
=
tA tAc
c
la pressione di radiazione Pr è quindi
Pr,a =
Sm
I
=
c
c
Pr,r =
2 Sm 2 I
=
c
c
pressione di radiazione per assorbimento totale dell’OEM
pressione di radiazione per riflessione totale dell’OEM
dove Sm = I è l’intensità media del vettore di Poynting (intensità dell’onda).
Se la direzione di propagazione dell’OEM e il versore normale alla superficie formano un angolo θ 6= 0 , le precedenti
quantità di moto e pressioni di radiazione si moltiplicano per cos θ .
Emissione e ricezione di onde elettromagnetiche (spiegazione in classe)
Polarizzazione delle OEM (spiegazione in classe)
Polarizzazione con polarizzatori (es. lenti Polaroid)
~ oscilla su un piano, Iθ = Io cos2 θ (legge di Malus), dove θ è l’angolo tra il
Se l’OEM è polarizzata, il campo E
~ e la direzione di polarizzazione del polarizzatore.
piano di oscillazione di E
~ oscilla in tutte le direzioni, passa metà dell’intensità dell’OEM, polarizzata
Se l’OEM non è polarizzata, il campo E
secondo la direzione di polarizzazione del polarizzatore; con teorema della media
1
Io
2π
Z
0
2π
ô2π
ñ
Io
1 1
=
(θ + cos θ sin θ)
cos θ dθ=
2π 2
2
0
2
Polarizzazione per riflessione
Le OEM non polarizzate che incidono su una superficie vengono in parte riflesse ed in parte rifratte, le OEM riflesse
hanno un grado di polarizzazione che dipende dall’angolo di incidenza; se la direzione dell’OEM riflessa forma un
angolo di 90o con la direzione dell’OEM rifratta, si ha una completa polarizzazione dell’OEM riflessa; l’angolo
di incidenza θB (uguale all’angolo di riflessione) che produce tale configurazione è detto angolo di Brewster ed il
campo elettrico dell’OEM riflessa oscilla con direzione parallela alla superficie.
Angolo di Brewster
ä
Ä
θB = atan n1,2
C. Luviner
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8
con n1,2 indice di rifrazione relativo del mezzo 2 (su cui avviene la riflessione) rispetto al mezzo 1 (di propagazione
dell’OEM incidente).
Si può giustificare il valore dell’angolo di Brewster dalla legge di Snell; indicando con θ1 l’angolo di incidenza e
n2
c
c
sin θ1
=
, con n1 =
ed n2 =
indici di rifracon θ2 l’angolo di rifrazione, per la legge di Snell si ha
sin θ2
n1
v1
v2
zione (assoluti) dei rispettivi mezzi di propagazione. Per la condizione di Brewster deve essere θ2 = 90o − θ1 , quindi
sin θ1
sin θ1
n2
sin θ1
=
=
= tan θ1 =
= n1,2
sin θ2
sin(90o − θ1 ) cos θ1
n1
se il mezzo 1 è l’aria ( naria ≈ 1 ) ed n l’indice di rifrazione (assoluto) del mezzo su cui avviene la riflessione, si può
scrivere semplicemente θB = atan(n) .
Diffrazione delle onde elettromagnetiche (spiegazione in classe)
Fenditura singola
L’intensità dell’OEM in un punto P di una superficie, posta ad una distanza D dalla fenditura, è

Ç
πd sin θ
λ
 sin

Iθ = Io 

πd sin θ
λ
å 2




dove θ è l’angolo formato dalla perpendicolare, dal centro della fenditura alla superficie, e la congiungente del
punto P con il centro della fenditura, d è l’ampiezza della fenditura e λ è la lunghezza d’onda dell’OEM.
Si hanno delle frange scure (minimi di intensità, simmetrici rispetto al massimo centrale ( θ = 0 )) se
πd sin θ
= hπ
λ
=⇒
sin θ = h
λ
d
con h = ±1, ±2,... per le primme frange scure, seconde ecc.
Risoluzione di una fenditura (criterio di Rayleigh)
L’angolo minimo di risoluzione per una fenditura di ampiezza d è
θm =
λ
d
(con θm in RAD)
Risoluzione di un foro circolare (criterio di Rayleigh)
L’angolo minimo di risoluzione per un foro circolare di diamtro D è
θm = 1.22
λ
D
(con θm in RAD)
C. Luviner
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Esercizi
Sintesi dell’elettromagnetismo - onde elettromagnetiche
1. Un condensatore, piano e vuoto, ha le armature circolari e su di esse la carica varia nel tempo; verifica che,
internamente ad esso, il rapporto tra le intensità dei campi magnetici in due punti è pari al rapporto tra le
distanze dei rispettivi punti dall’asse delle armature. Se R è il raggio delle armature e dq(t) la variazione di
carica su di esse, calcola il campo magnetico B ad una distanza 2R dall’asse delle armature; valuta inoltre
se è possibile che ci sia, ad un’altra distanza dall’asse delle armature, un valore del campo B uguale a quello
calcolato alla distanza 2R .
2. In un condensatore di 1 nF si ha
V
dV (t)
= 5 · 103 ; calcola la corrente di spostamento.
dt
s
3. Una sorgente luminosa da 75 W irradia uniformemente in tutte le direzioni; sapendo che il 5 % della potenza
viene trasformata in radiazione luminosa, calcola (a) l’intensità (media) delle OEM e (b) Eef f e Bef f , a
2 m di distanza dalla sorgente.
4. Calcola l’ampiezza del campo elettrico di un’onda elettromagnetica, avente Bo = 1.5 · 10−7 T , se si propaga
in un mezzo diamagnetico con costante dielettrica relativa uguale a 6.
5. Scrivi le espressioni E(x, t) e B(x, t) di un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto ed avente
Eo = 600 N/C e f = 20 M Hz .
6. Sapendo che l’ampiezza del campo magnetico di una radiazione elettromagnetica nel vuoto è 2.4 µ T , calcola
(a) l’ampiezza del campo elettrico, (b) la densità media di energia, (c) l’ampiezza del vettore di Poynting
dell’onda.
7. Valuta la potenza del sole se, in prossimità dell’atmosfera terrestre, si registra un’intensità I ≈ 1370 W/m2
(distanza terra-sole ≈ 1.5 · 1011 m ).
8. Calcola l’accelerazione di una vela spaziale quadrata, di massa 3500 kg e lato 800 m , sapendo che è situata
appena oltre l’atmosfera terrestre ed è totalmente riflettente alle radiazioni elettromagnetiche del sole, perpendicolari ad essa (trascura le altre forze).
9. Una radiazione elettromagnetica avente un’intensità di I = 1000 W/m2 incide perpendicolarmente su una
superficie circolare completamente assorbente e di raggio 7 m ; calcola (a) la potenza della radiazione sulla
superficie, (b) la forza della radiazione sulla superficie, (c) l’energia che attraversa la superficie in un giorno,
(d) lo spessore che dovrebbe avere la neve fresca (densità: 50 kg/m3 ), equamente distribuita sulla superficie
(perpendicolare a ~g ), per esercitare la stessa pressione della radiazione.
10. Un alunno, che con la sua tuta spaziale ha una massa di 200 kg , vaga nello spazio con velocità costante; per
rompere la monotonia, pensa di aumentare la propria velocità di 1 nm/s . Decide quindi di utilizzare il laser
portatile da 3 mW , con cui si distraeva a scuola durante le ore di fisica, puntandolo in verso opposto al suo
moto; per quante ore dovrà tenere acceso il laser?
C. Luviner
sintesi dell’elettromagnetismo - onde elettromagnetiche
10
11. Una superficie circolare C di raggio 5 m e massa 20 kg è composta da due parti, un cerchio centrale perfettamente riflettente e raggio 3 m e l’altra parte completamente assorbente; su di essa incide, perpendicolarmente,
una radiazione elettromagnetica di intensità 1340 W/m2 ; calcola: (a) l’accelerazione di C, (b) la variazione
della quantità di moto di C in 10 s.
12. Una luce monocromatica avente una lunghezza d’onda λ = 633 nm attraversa una fenditura di 0.3 mm e
forma la figura di diffrazione su uno schermo ad una distanza di 1.8 m; calcola la distanza della prima frangia
scura (una delle due) dalla proiezione del centro della fenditura sullo schermo.
13. In Fig.1 il foro circolare F ha il diametro di 2 mm e le due sorgenti puntiformi
S1 ed S2 emettono onde elettromagneiche di lunghezza d’onda è λ = 500 nm ; (a)
“S2 per il foro F , (b) valuta la
determina l’angolo limite di risoluzione θm = S1 F
separazione minima s tra le due sorgenti, poste ad una distanza d= 30 cm dal foro,
affinchè possano considerarsi distinte.
S1
F
d
s
S2
14. Una luce polarizzata linearmente incide su un polarizzatore con la direzione del
campo E parallela all’asse di trasmissione; calcola di quanti gradi deve essere ruotato il polarizzatore per ridurre l’intensità della luce ad 1/10 di quella incidente.
F ig.1 − Es.13
15. Una luce monocromatica avente una lunghezza d’onda λ = 546.1 nm attraversa una fenditura di 0.4 mm e
Iθ
forma la figura di diffrazione su uno schermo ad una distanza di 120 cm; determina il rapporto
in un punto
Io
dello schermo distante 4.1 mm dal centro del massimo principale.
16. Sapendo che l’angolo limite in aria per un materiale è di 34.4o , determina l’angolo di Brewster per tale materiale (polarizzazione per riflessione).