elt-BETA

2. Componenti circuitali
2.1 Resistori
+
i(t)
v(t)
-
Un elemento a due morsetti viene chiamato resistore se in qualsiasi istante t, esiste
una relazione tra la tensione ai suoi capi v(t) e la corrente i(t), in un preassegnato
sistema di riferimento per le grandezze.
La più generale legge di lato sarà del tipo:
f(v(t),i(t),t)=0
(1)
Questa, fissato l’istante di tempo t, definisce implicitamente sul piano iv una curva
detta curva caratteristica del resistore all’istante t, che è l’insieme dei punti di
funzionamento consentiti ovvero i possibili valori che la coppia di variabili v(t) ed i(t)
può assumere all’istante t.
i
t
t
0
i  f(v)
v
Il caso rappresentato è quello del resistore non lineare (in quanto i e v non sono
legati da una relazione di proporzionalità) e tempo-variante (perché la sua
caratteristica è funzione del tempo).
Come caso particolare si hanno i resistori controllati in tensione e quelli controllati in
corrente.
Se la (1) si può scrivere nella forma
v=h(i,t)
Il resistore verrà detto controllato in corrente.
Quindi fissato l’istante di tempo t e nota la corrente i, si può univocamente
determinare v, mentre non è assicurato che nota la v si possa determinare i perché la i
potrebbe non essere una funzione ad un sol valore.
Se la (1) si può scrivere nella forma
i=k(v,t)
Il resistore verrà detto controllato in tensione.
Quindi fissato l’istante di tempo t e nota la tensione v, si può univocamente
determinare i, mentre non è assicurato che nota la i si possa determinare v perché la v
potrebbe non essere una funzione ad un sol valore.
2.1.1 Il resistore lineare tempo-invariante
Un resistore lineare tempo-invariante ha una caratteristica che non varia col tempo,
espressa dalla relazione:
v(t) = R i(t)
con R reale e costante, cui si dà il nome di resistenza.
v
+
-
i
R
La resistenza si misura in ohm ().L'inverso della resistenza è la conduttanza G, che
si misura in -1, o siemens:
i(t) = G v(t)
i
G
1
v
0
v
R
1
0
i
2.1.2 Un esempio di resistore non lineare:Il diodo a giunzione
Un esempio di resistore non lineare è costituito dal modello circuitale del diodo a
giunzione per il quale la corrente di lato è una funzione non lineare della tensione di
lato (controllato in tensione), secondo la relazione:

i(t)  I s exp(



v
)  1
V

T

KT
V 
 0.026V
T
q
Dove Is è una costante che rappresenta la corrente inversa di saturazione,gli altri
parametri sono la carica q dell’elettrone, la costante di Boltzmann k e T la
temperatura in gradi Kelvin T. A temperatura ambiente il valore di KT/q vale
approssimativamente 0.026 V.
i

i
0
v
v

Nell’analisi dei circuiti con resistori non lineari, spesso viene utilizzato un metodo di
approssimazione lineare a tratti con il quale porzioni di caratteristiche non lineari
sono approssimate da segmenti di retta consecutivi.
Un modello molto utilizzato nell’approssimazione lineare a tratti è quello del diodo
ideale la cui caratteristica nel piano vi consiste nell’unione del semiasse negativo
delle v e del semiasse positivo delle i, in quanto per tensioni negative la corrente è
identicamente nulla (circuito aperto) mentre la tensione si annulla per correnti
positive (corto circuito).
i

i
v
0
v

i  0
d

vd  0
v 0
d
i 0
d
2.1.3 Cortocircuito e circuito aperto
Due tipi speciali di resistore lineare e tempo-invariante sono il cortocircuito ed il
circuito aperto.Un elemento a due morsetti è detto cortocircuito se presenta ai suoi
capi una tensione identicamente nulla, qualunque sia il valore della corrente. Il corto
circuito è caratterizzato dalla relazione costitutiva:
v(t) = 0
i(t)
La caratteristica di un cortocircuito è l’asse i del piano iv.
v
0
i
Un elemento a due morsetti è detto circuito aperto se ha una corrente di lato
identicamente nulla, per qualsiasi tensione di lato.
Il circuito aperto è caratterizzato dalla relazione costitutiva:
i(t) = 0
La caratteristica di un cortocircuito è l’asse i del piano iv.
v(t)
i(t)
2.2 Potenza ed energia
Si consideri un generico bipolo ed in esso si fissino i versi di corrente e tensione
secondo la convenzione dell’utilizzatore:
+
i(t)
v(t)
-
Con tale convenzione si valuta positiva la potenza ceduta dall’ambiente esterno al
bipolo, negativa quella ceduta dal bipolo all’ambiente esterno.
La potenza istantanea scambiata dal bipolo con l’ambiente è uguale al prodotto del
valore istantaneo della tensione per il valore istantaneo la corrente.
P(t)=v(t)i(t) [Watt]
Poichè l’energia( in joule) è l’integrale della potenza , ne deriva che l’energia
scambiata dal bipolo con l’ambiente dall’istante to all’istante t è:
t
t
W   p(t ' )dt'   v(t ' )i(t ' )dt'
t
t
0
0
Nota la curva caratteristica del resistore nel piano vi, la potenza istantanea entrante in
un resistore all’istante t è univocamente determinata una volta che è indicato il punto
di lavoro ((i(t),v(t)) sulla stessa caratteristica; la potenza istantanea scambiata è
uguale all’area del rettangolo formato dal punto di lavoro e gli assi cartesiani del
piano vi.Per un bipolo orientato secondo la convenzione dell’utilizzatore, se il punto
di lavoro è nel primo o nel terzo quadrante la potenza che entra nel resistore è
positiva; cioè, il resistore riceve potenza dall’esterno. Se il punto di funzionamento è
nel secondo o nel quarto quadrante, la potenza che entra nel resistore è negativa; cioè,
il resistore fornisce potenza all’esterno. Per queste ragioni si dice che il resistore è
passivo se per ogni istante t la caratteristica si trova nel primo o nel terzo quadrante.
Le condizioni geometriche sulla caratteristica di un resistore passivo sono equivalenti
a
P(t)  0
Questa è la proprietà fondamentale dei resistori passivi: un resistore passivo non
fornisce mai potenza all’esterno.
Dalle caratteristiche è facile vedere che un diodo, un circuito aperto, un cortocircuito
ed un resistore lineare con R  0 sono resistori passivi.
E’ interessante osservare che un resistore lineare è attivo se e solo se la R(t) è
negativa per qualche istante di tempo t.
Ciò avviene perché la caratteristica di un resistore lineare è una retta che passa per
l’origine e la pendenza è uguale al valore della resistenza R(t), così se R(t)<0 la
caratteristica si trova nel II e nel IV quadrante.
Ne consegue che, se una corrente è iniettata nel resistore quando R(t)<0, il resistore
fornirà potenza all’esterno.
Di seguito viene mostrata la caratteristica di un resistore attivo:
2.3 Generatori indipendenti
2.3.1 Generatore indipendente di tensione
i
vs (t )


i
E
Un elemento a due morsetti è detto generatore indipendente di tensione se la tensione
stabilita ai morsetti è una funzione immutabile nota ed assegnata qualunque sia la
corrente i(t). Quindi un generatore indipendente ideale di tensione, è un bipolo
resistivo non lineare eventualmente tempo-invariante caratterizzato dalla relazione
costitutiva:
v(t) = vs(t) i(t)
con vs(t) funzione reale del tempo nota ed assegnata, eventualmente anche costante.
La caratteristica di un generatore di tensione è, in un istante di tempo fissato t:
i
v
0
vs (t )
2.3.2 Generatore indipendente di corrente

is (t )
v

Un elemento a due morsetti è detto generatore indipendente di corrente se eroga una
corrente funzione immutabile nota ed assegnata qualunque sia la tensione v(t) ai
morsetti.
Il generatore ideale indipendente di corrente è un bipolo resistivo non lineare ed
eventualmente tempo-invariante caratterizzato dalla relazione costitutiva:
i(t) = is(t) v(t)
con is(t) funzione reale del tempo nota ed assegnata, eventualmente anche costante.
La caratteristica di un generatore di corrente, in un istante di tempo t, è:
2.4 Forme d’onda tipiche dei generatori
2.4.1 La costante
Questa è la più semplice forma d’onda,è descritta dalla relazione:
f(t)=K con K costante
F(t)
k
0
2.4.2 Grandezze sinusoidali
Sono descritte da una relazione del tipo:
2
Y t   A cos( t   )  A cos(t   )
T
dove A è il valore massimo o ampiezza, T il periodo,  la pulsazione,  la fase
iniziale.
Dimensionalmente  
t  
2
rad
 2f si misura in
s
T
in rad
f in hertz=sec-1
2.4.3 Gradino unitario
La funzione gradino unitario è una funzione costante a tratti che presenta una
discontinuità di prima specie in un punto, generalmente nell’origine.
E’ definita da:
1
u(t )  
0
t 0
t0
U(t)
1
0
t
2.4.4 L’impulso di durata finita e area unitaria
Si definisce funzione impulso di durata finita una funzione costante a tratti che
presenta due discontinuità di prima specie ed è così definita:
0 t 0
 1
p (t )  
0t  


0 t  
In altre parole, p(t) è un impulso di durata , di altezza 1/, che inizia per t=0.
p(t)
1/
1
0

t
Al variare del parametro  si ottiene una famiglia di funzioni, accomunate dall’avere:

 p (t )dt  1
 
2.4.5 L’impulso di Dirac
L’impulso (t) trova rigorosa definizione nell’ambito della teoria delle
distribuzioni.Per le applicazioni di seguito considerate, è sufficiente darne la
definizione operativa tramite una sua proprietà integrale:
o
sin golare
 (t )  
t0
t 0
e la singolarità è tale che, per qualsiasi :

  (t )dt  1

Essa si rappresenta come:
 (t )
1
t
0
Si noti che:
p (t ) 

u (t )  u (t  )

Il secondo membro si può pensare come”rapporto incrementale” relativo alla
funzione u(t), quindi il suo limite al tendere di  a 0 è u’(t), il limite del primo
membro è, per definizione l’impulso (t).
 (t ) 
du(t )
dt
2.5 Capacitori
Si introduca la variabile ausiliaria:
ossia
t
q(t )   i ( )d

dq(t )
i (t ) 
dt
Il capacitore è un dispositivo a due morsetti per il quale ad ogni istante di tempo t la
carica immagazzinata q(t), precedentemente definita, e la tensione v(t) soddisfano ad
una relazione definita da una curva sul piano qv. Tale relazione in forma implicita è
del tipo:
f(q(t), v(t), t)=0
Questa curva è chiamata caratteristica del capacitore all’istante t ed esprime
graficamente la relazione esistente fra il valore istantaneo della carica q(t) ed il valore
istantaneo della tensione v(t). Tipicamente, la caratteristica di quasi tutti i capacitori
fisicamente realizzabili è monotonicamente crescente, cioè quando v aumenta anche
q. Per il capacitore valgono le classificazioni già esposte nel caso del resistore.
2.5.1 Il capacitore lineare tempo-invariante
v
+
-
i
C
Un capacitore si dice lineare quando la sua curva caratteristica, in un istante di tempo
t, è una retta passante per l’origine del piano qv. In questo caso la legge di lato è:
q(t)=C(t)v(t)
dove il parametro C è detto capacità e si misura in farad (F).
Se la capacità è costante, il capacitore è detto lineare tempo-invariante ed è
caratterizzato dalla relazione costitutiva:
q(t)=Cv(t)
o, in termini di corrente e tensione(derivando ambo i membri):
i (t )  C
dv(t )
dt
Per ottenere la tensione in funzione della corrente, basta integrare tra l’istante iniziale
t0 e l’istante t.
dv(t )
dt

1
C
i(t )
t dv(t ' )
1 t
dt'   i (t ' )dt'

t dt'
C t0
0
1 t
v(t )  v(t )   i (t ' )dt
0 Ct
0
Si noti che nella definizione del capacitore è di fondamentale importanza la
condizione iniziale sulla tensione o sulla carica.
2.5.2 Energia immagazzinata in un capacitore lineare tempoinvariante
L’energia immagazzinata in un capacitore lineare tempo-invariante si può calcolare
come l’energia assorbita tra l’istante t0 in cui il condensatore è scarico (v(t0)=0) e
l’istante corrente t.
t
t
t



 (t )   p( )d   i( )v( )d  C  v( )
dv( )
1
d  Cv 2 (t )
d
2
dove si è esteso l’intervallo di integrazione a- perché il valore dell’integrale(energia
immagazzinata) è nullo per t< t0.
t
t
t



 (t )   p( )d   i( )v( )d  C  v( )
Assumendo il capacitore lineare tempo-invariante
t
dv( )
1
 (t )  C  v( )
d  Cv 2 (t )

d
2
ovvero
dv( )
1
d  Cv 2 (t )
d
2
i(t )  C
dv(t )
dt
1
2
1
2
 (t )  Cv2 (t )  q(t )v(t ) 
1 2
q (t )
2C
Si noti che sul piano qv il punto di funzionamento sulla caratteristica individua un
triangolo avente base sull’asse delle q(vedere fig1).
L’area di questo triangolo è proprio pari all’energia immagazzinata nel capacitore.
(fig.1)
Assumendo un sistema di riferimento concorde a quella dell’utilizzatore, dal
momento che la caratteristica di un capacitore passa per l’origine del piano qv e si
trova nel I e nel III quadrante, l’energia immagazzinata è sempre non
negativa.(Prodotto fra grandezze concordi).Un capacitore è detto passivo se l’energia
immagazzinata è sempre non negativa. Un capacitore può essere passivo se la sua
capacità è non negativa, e attivo se la sua capacità è negativa.
Un capacitore attivo immagazzina energia negativa; cioè può fornire energia
all’esterno.
2.6 Induttori
Analogamente a quanto fatto per i capacitori, si introduca la grandezza integrale:
ossia:
t
 (t )   v( )d

d (t )
v(t ) 
dt
L’induttore è un dispositivo a due morsetti per il quale ad ogni istante di tempo t il
flusso (t), precedentemente definito, e la sua corrente i(t) soddisfano ad una reazione
definita da una curva sul piano i.
Questa curva è chiamata curva caratteristica dell’induttore all’istante t ed esprime
graficamente la relazione esistente fra il valore istantaneo del flusso (t) ed il valore
istantaneo della corrente i(t).
La classificazione in quattro modi degli induttori, secondo se siano lineari o non
lineari, tempo-varianti e tempo-invarianti controllati in tensione o flusso, segue la
modalità già trattata per i resistori ed i capacitori.
2.6.1 Induttore lineare tempo-invariante
v
+ i
-
L
Un induttore si dice lineare e tempo-invariante se è caratterizzato dalla relazione
costituitiva:
 (t )  Li(t )
con L reale e costante, cui si dà il nome di induttanza e si misura in Henry(H).
Derivando rispetto al tempo si ottiene la relazione che lega la tensione alla corrente
v(t )  L
di(t )
dt
Il fatto che la relazione fra tensione e corrente sia differenziale impedisce di tracciare
una caratteristica dell’induttore sul piano vi in quanto la tensione v(t) non impone,
fissato il valore della tensione, alcun vincolo su quello della corrente bensì sulla sua
derivata.Per ottenere la corrente in funzione della tensione basta integrare la relazione
precedente tra l’istante t0 in cui l’induttore è scarico (i(t0)=0) e l’istante corrente t.
di(t ) 1
 v(t )
dt
L
+
i(t)
v(t)
-
Si noti che nella definizione dell’ induttore è di fondamentale importanza la
condizione iniziale sulla corrente o sul flusso.
2.6.2 Energia immagazzinata in un induttore lineare tempo-invariante
L’energia immagazzinata in un induttore si può calcolare come l’energia assorbita tra
l’istante t0 in cui l’ induttore è scarico (i(t0)=0) e
l’istante corrente t.
 (t ) 
t
t
t



 p( )d   i( )v( )d  C  v( )
dv( )
1
d  Cv 2 (t )
d
2
dove si è esteso l’intervallo di integrazione a- perché il valore dell’integrale(energia
immagazzinata) è nulla per t< t0.
1
2
 (t )  Li2 (t ) 
1 2
1
 (t )   (t )i(t )
2L
2
Si noti che sul piano i il punto di funzionamento individua con la caratteristica e
l’asse delle  un triangolo. L’area di questo triangolo è proprio pari all’energia
immagazzinata nell’induttore.
Assumendo un sistema di riferimento concorde a quella dell’utilizzatore, dal
momento che la caratteristica di un induttore passa per l’origine del piano i e si
trova nel I e nel III quadrante, l’energia immagazzinata è sempre non
negativa.(Prodotto fra grandezze concordi).Un induttore è detto passivo se l’energia
immagazzinata è sempre non negativa. Un induttore può essere passivo se la sua
induttanza è non negativa, e attivo se la sua induttanza è negativa.
Un induttore attivo immagazzina energia negativa; cioè può fornire energia
all’esterno.
Si osservi che se la caratteristica di un induttore passa per l’origine del piano i e si
trova nel I e nel III quadrante, l’energia immagazzinata è sempre non negativa.
Un induttore è detto passivo se l’energia immagazzinata è sempre non negativa.
Collegamento di resistori in serie ed in parallelo

Partitore di corrente e di tensione