Esercizi elementari di fluidodinamica

ISTITUZIONI DI INGEGNERIA AEROSPAZIALE
ESERCIZI ELEMENTARI DI FLUIDODINAMICA
ESERCIZI ELEMENTARI DI FLUIDODINAMICA
RICHIAMI INTRODUTTIVI
Il fluido viene considerato come un continuo, ossia vengono identificate alcune grandezze
macroscopiche che servono per descrivere il suo comportamento e le sue proprietà. Nel caso ideale
di fluido non viscoso, queste sono la pressione p, la densità  e la velocità V.
Per questi esercizi, considereremo soltanto fluidi ideali non viscosi.
Portata (in massa)
Specifica la massa di fluido che transita nell’unità di tempo attraverso la sezione A: V  A .
Analisi dimensionale: [ML3 ][LT1 ][L2 ]  [M][T 1 ]
Portata volumetrica
Specifica il volume di fluido che transita nell’unità di tempo attraverso la sezione A: V  A .
Analisi dimensionale: [LT1 ][L2 ]  [L3 ][T 1 ]
Conservazione della massa
Consideriamo il semplice caso di tubo di flusso con una
sezione di entrata E ed una sezione di uscita U. La
conservazione della massa ci impone di eguagliare la
portata in E con quella in U:
E VE  AE  U VU  AU .
U
Ne segue l’equazione di continuità nel fluido:
E
VA  cost
Nel caso di fluido incomprimibile, la densità  è costante in ogni punto, e quindi
VE  AE  VU  AU , e l’equazione di continuità si scrive VA  cost .
Conservazione dell’energia
Consideriamo solo il caso di fluido incomprimibile ( costante).
Per il tubo di flusso da E a U, la conservazione dell’energia (meccanica) consente di scrivere che la
variazione di energia cinetica, per unità di volume e per unità di tempo, corrisponde al lavoro
compiuto dalle pressioni in E ed in U per unità di tempo,
1
2
VU2  12 VE2  pE  pU ,
1
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ESERCIZI ELEMENTARI DI FLUIDODINAMICA
da cui risulta che si conserva la somma p  12 V 2 :
pE  12 VE2  pU  12 VU2 .
Ne segue l’equazione di Bernoulli nella sua forma più semplice:
p  12 V 2  cost
Analisi dimensionale di 12 V 2 : [ML3 ][L2T2 ]  [MLT2 ][L2 ]  [F][L2 ]
Qui:
 p è la pressione (nel gergo, questa viene anche chiamata “pressione statica”).

1
2
V 2 è l’energia cinetica per unità di volume del fluido (ha le dimensioni della pressione, e
nel gergo viene chiamata “pressione dinamica” e spesso indicata con la lettera q); infatti  è
la massa per unità di volume; V 2 è il prodotto scalare della velocità su sé stessa, V 2  V V .
 La costante “cost” ha le dimensioni della pressione, e nel gergo viene chiamata “pressione
totale” e indicata ad esempio come pT.
Il teorema di Bernoulli implica che la somma dei due termini in ogni punto considerato resta
costante, vale a dire che la cosiddetta pressione totale si conserva. Per cui la diminuzione di un
termine dovrà essere compensata dall’aumento dell’altro. Ad esempio, nel caso in cui aumentasse la
velocità, e quindi la pressione dinamica, avremo una diminuzione di pressione. Per potere trovare il
valore della “cost” dovremmo prima conoscere il termine statico e quello dinamico in un punto, ed
estendere poi il valore del binomio di Bernoulli a tutto il tubo di flusso (e a tutto il dominio, se i tubi
di flusso sono tutti uguali entrando nel dominio).
ESERCIZI
Esercizio 1
Dato un tubo con diametro di ingresso D1 = 16 mm e diametro di uscita D2 = 4 mm, sapendo che
nel tubo fluisce acqua che entra con velocità V1 = 0.5 m/s, determinare la velocità con cui l’acqua
esce dal tubo.
Imponendo la conservazione della massa,
V1  A1  V2  A2 ,
ed esplicitando l’area della sezione con il rispettivo diametro,
0.5 m/s  
 
D1 2
2
 V2  
 ,
D2 2
2
si ricava:
V2 
D12
 0.5 m/s  8 m/s .
D2 2
2
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Esercizio 2
Dato un tubo con portata di acqua in ingresso Q1 = 12 l/s e velocità in ingresso V1 = 2.6 m/s,
sapendo che la velocità in uscita è V2 = 10 m/s, si determinino i diametri di ingresso e uscita.
Trasformiamo la portata volumetrica nel Sistema Internazionale (cioè in m3/s), sapendo che 1 l =
0.001 m3. Si ottiene una portata in ingresso pari a Q1 = 12 · 0.001 m3/s = 0.012 m3/s.
Dall’espressione della portata è possibile ricavare il valore del diametro di ingresso D1. Infatti
Q1  V1  A1  V1  
da cui D12 
 
D1 2
2
 2.6 m/s   14 D12  0.012 m3 /s ,
0.012 m3 /s
 0.00588 m2 e quindi
1
 4 2.6 m/s
D1  0.00588 m2  0.0766 m .
Analogamente si procede per la sezione 2 e si trova:
D2  0.0391 m .
Esercizio 3
Ad un condotto circolare di diametro 0.10 m in cui scorre aria, viene collegato un tubo di Venturi,
consistente in una riduzione locale del condotto fino ad un diametro di gola di 0.07 m. Il condotto è
p1
p
2
2
1
strumentato con due prese di pressione che misurano le pressioni p1 = 765 mmHg prima della
strizione e p2 = 752 mmHg nella sezione di gola. Determinare la portata del condotto.
Per determinare la portata ci serve conoscere il valore della velocità in una delle due sezioni. Sono
incognite entrambe le velocità. Possiamo però utilizzare le due equazioni di conservazione a nostra
disposizione per chiudere il problema: equazione di continuità ed equazione di Bernoulli.
Iniziamo quindi con l’imporre la conservazione della massa, supponendo il fluido incomprimibile
(ipotesi sempre da verificare a posteriori) e ricavando una velocità in funzione dell’altra,
V1  A1  V2  A2
 V1 
A2
V2 .
A1
Il teorema di Bernoulli si può quindi scrivere
p1  12 V2 2
 
A2 2
A1
 p2  12 V22 ,
3
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
cioè p1  p2  12 V2 2 1 
2( p1  p2 )
V2 

 1
 
A2 2
A1
ESERCIZI ELEMENTARI DI FLUIDODINAMICA
   , da cui si ricava
A2 2
A1
.
Per ricavare V2 dobbiamo: calcolare il valore delle aree,
   
    
A1  
D1 2
2
A2
D2 2
2
  0.00785 m ,
  0.00385 m ;
0.10 m 2
2
2
0.07 m 2
2
2
conoscere la densità dell’aria, per cui assumiamo il valore standard a livello del mare,  = 1.225
kg/m3; esprimere la pressione in unità internazionali (cioè in Pa), usando la conversione: 1 mmHg =
133.32 Pa.
Risulta:
V2 
2( p1  p2 )

 1
 
A2
A1
2

2(765  752) mmHg  (133.32) Pa/mmHg

1.225 kg/m 1  
3

0.00385 2
0.00785

 61.04 m/s
Si può quindi calcolare la portata, considerando ad esempio la sezione 2:
Q  Q2  V2  A2  1.225 kg/m3  61.04 m/s  0.00385 m2  0.288 kg/s .
Occorre infine verificare che l’ipotesi di incomprimibilità sia effettivamente soddisfatta. Calcoliamo
il numero di Mach e verifichiamo che sia al di sotto del valore di riferimento standard 0.3, oltre il
quale tipicamente gli effetti di comprimibilità non sono più trascurabili.
Il numero di Mach M è dato dal rapporto tra la velocità locale del fluido V e la velocità del suono c,
M = V/c. La velocità del suono è la velocità con cui un’onda sonora si propaga nel fluido
considerato. Il valore di c varia da fluido a fluido (ad esempio, il suono si propaga più velocemente
nell’acqua che nell’aria), e varia con la sua temperatura. La velocità del suono si determina come
c   RT ,
in cui  è il rapporto cp/cv tra calore specifico a pressione costante e calore specifico a volume
costante (nel caso dell’aria si assume  = 1.4), R è la costante universale dei gas per unità di massa
(R = 287 J/(kg·K)), T è la temperatura assoluta, per cui assumiamo il valore standard a livello del
mare, T = 288.16 K. Nel nostro caso risulta quindi
c   R T  1.4  287 Nm kg 1 K 1  288.16 K  340.268 m/s .
Il numero di Mach nella sezione 2 vale quindi
M2 
V2
61.04 m/s

 0.18 .
c 340.268 m/s
Nota che la verifica è stata fatta proprio nella sezione 2 dove V2 > V1, e dove quindi il numero di
Mach è maggiore.
4
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Esercizio 4
Riferendosi al disegno a lato, si consideri che nella
sezione rettangolare 2, di dimensioni 20 cm × 30
cm, la pressione dinamica sia q2 = 1200 Pa. La
sezione 3 è circolare: calcolare il diametro D3
sapendo che la velocità V3 è pari a 11 m/s. Il fluido
considerato è aria in condizioni standard.
Conoscendo la pressione dinamica q2 si può
ricavare il valore della velocità V2:
q2  12 V2 2
 V2 
2q2
2 1200 Pa

 44.26 m/s

1.225 kg/m3
Imponendo la conservazione della massa si calcola l’area A3,
V2  A2  V3  A3
 44.26 m/s  0.2 m  0.3 m  11 m/s  A3
 A3 
44.26
 0.06 m2  0.2414 m2 ,
11
e quindi si ricava il diametro cercato,
A3  
 
D3 2
2
 D3 
4 A3


4  0.2414 m2

 0.55 m .
Esercizio 5
In figura è illustrata la camera di prova di una galleria del vento. La galleria è dotata di 14 ventole,
ciascuna con portata di 66.5 kg s-1. La camera di prova ha una sezione di 3.8 m  4 m ed è lunga 4.5
m. La sezione a monte del convergente è di 3.8 m  14 m. Assumendo che la pressione nella
sezione a monte del convergente sia pari a quella atmosferica in condizioni standard, determinare:
1. la velocità della vena in camera di prova;
2. la forza agente su ciascuna delle quattro pareti della camera di prova, indicandone il verso.
Sezione a monte del convergente
14 x 3.8 m
4.5 m
Camera di prova
4 x 3.8 m
5
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ESERCIZI ELEMENTARI DI FLUIDODINAMICA
La portata in massa complessiva dei ventilatori vale
Q  14  66.5 kg s1  931 kg s1 .
Le aree delle due sezioni valgono
A1  14.0  3.8 m2  53.2 m2 ,
A2  4.0  3.8 m2  15.2 m 2 .
Calcoliamo le velocità nelle due sezioni:
V1 
Q
931 kg s 1

 14.29 ms 1 ,
3
2
A1 1.225 kg/m  53.2 m
V2 
Q
931 kg s 1

 50.0 ms 1.
A2 1.225 kg/m3 15.2 m 2
Conoscendo la pressione nel condotto a monte del convergente, pari alla pressione atmosferica pa =
101325 Pa, calcoliamo la pressione totale,
pT  p1  12 V12  pa  12 V12  101325Pa  12 1.225 kg/m3  (14.29 ms 1 ) 2
 101325Pa  125 kg ms 2 /m2  101450 Pa .
Ricaviamo quindi la pressione nella camera di prova,
pT  p2  12 V22

p2  pT  12 1.225 kg/m3  (50 ms 1 )2
 101450 Pa  1531.25 kg ms2 /m2  99918.75Pa .
Ciascuna delle quattro pareti della camera di prova è sottoposta su una faccia alla pressione interna
e sull’altra faccia alla pressione esterna (la pressione atmosferica).
L = 4.5 m
Camera di prova
4 x 3.8 m
Per calcolare la forza derivante da questo sistema di pressioni applicate alle facce, è necessario
calcolare la differenza di pressione p tra l’interno e l’esterno, che risulta
p  p2  pa  99919Pa  101325Pa  1406 Pa .
Il segno meno indica che la pressione risultante è verso l’interno.
6
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Ciascuna delle pareti è sottoposta a una forza complessiva pari a p per l’area della sua superficie.
Le pareti hanno area
Ainf-sup  4.0  4.5 m 2  18 m 2 ,
Alaterale  3.8  4.5 m2  17.1 m2 .
Le azioni esercitate dalle forze di pressione sulle pareti risultano
Finf-sup  p  Ainf-sup  1406 Pa 18 m 2  25308 N,
Flaterale  p  Alaterale  1406 Pa 17.1 m 2  24043 N,
e sono dirette verso l’interno. La forza più elevata corrisponde a
Finf-sup  25308 
1
kg f  2580 kg f  2.580 ton .
9.81
Esercizio 6
Si consideri un velivolo in volo orizzontale rettilineo uniforme alla quota z = 4060, a cui la densità
vale  = 0.8144 kg m–3. Sul profilo dell’ala agiscono una distribuzione di pressioni sul dorso e una
sul ventre, che per semplicità si riconducono a distribuzioni trapezie secondo lo schema grossolano
di figura, con:
pD = 56923 Pa,
MD
pV = 66716 Pa,
pA = 61208 Pa.
MV
Determinare:
A. La velocità di volo V, nell’ipotesi
pA
pD
che la pressione nel punto di
ristagno sia pari a pV.
pA
B. Il coefficiente di pressione cp nei
pV
punti MV a MD a metà corda,
rispettivamente sul ventre e sul
dorso.
C. Il diagramma della distribuzione in corda del carico di portanza.
D. La posizione in corda del punto di applicazione della risultante della portanza.
E. Il valore del carico alare Q/S del velivolo, supponendo l’ala a pianta rettangolare.
A – Velocità di volo. Scriviamo il bilancio energetico di una corrente incomprimibile (equazione di
Bernoulli) lungo la linea di flusso che conduce al punto di ristagno,
1
1
2
pA  V 2  pp.ristagno  Vp.ristagno
.
2
2
7
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Qui pA,  e V sono la pressione ambiente, la densità dell’aria alla quota considerata e la velocità di
volo; la velocità Vp.ristagno è nulla per definizione.
Ricaviamo la pressione dinamica q della corrente asintotica, sfruttando l’ipotesi che la pressione nel
punto di ristagno sia pari a pV nota:
1
q  V 2  pp.ristagno  pA  pV  pA   66716  61208 Pa  5509 Pa ,
2
e quindi la velocità di volo,
V
2q
2  5509 Pa

 13529 m2 s 2  116.3 ms 1 .
3

0.8144 kg/m
B – Coefficienti di pressione. Calcoliamo la pressione nei punti medi richiesti:
1
1
( pD  pA )   56923  61208  Pa  59065 Pa ,
2
2
1
1
 ( pV  pA )   66716  61208  Pa  63962 Pa .
2
2
pMD 
pMV
Calcoliamo quindi i coefficienti di pressione secondo la definizione, cp 
cpMD 
cpMV 
pMD  pA
1
V 2
2
pMV  pA
1
V 2
2

 59065  61208 Pa  0.389 ,

 63962  61208 Pa  0.5 .
p  pA
:
1 V 2
2
5509 Pa
5509 Pa
C – Distribuzione in corda della portanza. La portanza è
data dalla differenza delle pressioni tra il ventre e il dorso
pV – pD
dell’ala. Nelle ipotesi dello schema grossolano adottato di
distribuzioni trapezie in corda, che terminano con lo
stesso valore di pressione al bordo di uscita, la portanza è
ovviamente distribuita in corda in forma triangolare. L’ordinata, al bordo di attacco, di tale
distribuzione di portanza vale
pV  pD   66716  56923 Pa  9793 Pa .
D – Posizione della risultante di portanza. La posizione del punto
di applicazione della risultante di portanza è nel baricentro della
figura del carico. Con una distribuzione di carico triangolare, si
trova quindi a 1/3 della corda.
c/3
c
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ESERCIZI ELEMENTARI DI FLUIDODINAMICA
E – Carico alare. Il carico alare di un velivolo è il peso diviso la superficie alare, Q/S. Possiamo
determinare il peso Q dall’equilibrio che deve sussistere con la portanza P, essendo il velivolo in
volo orizzontale rettilineo uniforme. La portanza è l’integrale, sulla superficie alare, del ‘carico’ di
portanza dovuto alla differenza di pressioni tra il ventre e il dorso dell’ala. Abbiamo appena
determinato la distribuzione in corda di tale carico, e (nell’ipotesi che l’ala sia a pianta rettangolare
ed in mancanza di informazioni più precise) supponiamo che tale distribuzione sia uniforme in
apertura.
La portanza vale quindi P  12  pV  pD  c b , mentre la superficie alare vale S  c b , dove c è la
corda del profilo e b l’apertura alare. Quindi calcoliamo
Q S  P cb  12 ( pV  pD )  12 9793 Pa  4897 Nm2 .
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
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................................................................................
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9