Risoluzione di problemi di fisica

Risoluzione di problemi di fisica
Mario Sandri
Anno scolastico 2004/2005
RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI FISICA
Problema 1
Una massa puntiforme m = 2 kg è soggetta ad una forza centrale con associata energia
potenziale radiale U ( r ) = −
A
, dove A = 2 J m6. Il momento angolare della massa è noto e
6
r
pari a L = 2 kg m2 s-1.
•
Stabilire se esiste una coordinata radiale di equilibrio per questa situazione ed, in
caso affermativo, calcolarne il valore.
•
Descrivere qualitativamente i possibili tipi di orbite della particella quando essa
possiede energia totale negativa oppure positiva, facendo ampio uso di appropriati
grafici dell’energia.
Risoluzione
Dato che la forza, a cui la massa è soggetta, è centrale è più convenente studiare il sistema in
coordinate polari r, θ e φ.
In questa situazione la forza viene a dipendere unicamente dalla coordinata radiale r e dunque
JJG
JG
JJG
F = F ( r ) ur dove ur rappresenta il versore radiale. Andando a calcolare il momento di forza si
ottiene
JG
G JG d L
τ =r∧F =
=0.
dt
G
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Il vettore momento di forza risulta essere uguale a zero in quanto il raggio vettore e la forza sono
paralleli da ciò si conclude che il loro prodotto vettoriale è nullo. Questo implica che la variazione
JG
del momento angolare nel tempo è nulla e che dunque L è costante. Da ciò si deduce che la
direzione di L è costante e dunque il moto avviene su un piano a φ assegnato: φ = φ(t) = φ0. Inoltre
si ottiene che date le condizioni iniziali L è assegnato:
JG JG
JJG
L = r0 ∧ mv0
JG JJG
dove r0 e v0 sono il vettore posizione e velocità iniziali. Poiché è stato dimostrato che il moto è
bidimensionale, si analizza il moto del corpo in due direzioni r e θ. La velocità del corpo è
rappresentata da un vettore con queste coordinate:
G
⎛ dr dθ ⎞
,0⎟
v = ( vr , vθ , 0 ) = ⎜ , r
⎝ dt dt ⎠
È possibile, a tale proposito, vedere qual è la forma generale che assume il momento angolare
JG G
G G
JJG JJG
G
JJG G
JJG G
JJG
π
dθ
L = L = r ∧ mv = r ∧ m vr + vθ = r ∧ mvr + r ∧ mvθ = r ∧ mvθ = r ⋅ mvθ sin = r ⋅ mvθ = r 2 m
2
dt
(
)
Invertendo la relazione precedente si ottiene (1):
vθ =
dθ
L
= 2
dt r m
Un campo di forze centrali è altresì conservativo, per cui l’energia meccanica H della particella,
data dalla somma dell’energia cinetica E e dell’energia potenziale U ( r )
H = E +U (r )
rimane costante nel tempo. Il suo valore è determinato dalle condizioni iniziali e vale
H=
1 JJG 2
mv0 + U ( r0 )
2
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In una posizione generica e con velocità generica l’espressione per l’energia assume la seguente
espressione
H=
2
2
1 G2
1
1 ⎡⎛ dr ⎞
⎛ dθ ⎞ ⎤
mv + U ( r ) = m ( vr2 + vθ2 ) + U ( r ) = m ⎢⎜ ⎟ + r 2 ⎜
⎟ ⎥ +U (r )
2
2
2 ⎢⎣⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠ ⎥⎦
Sostituendo nella precedente equazione la (1) si ricava
⎤
1 ⎛ dr ⎞ ⎡ L2
+ U ( r )⎥
H = m⎜ ⎟ + ⎢
2
2 ⎝ dt ⎠ ⎣ 2mr
⎦
2
Il termine tra parentesi quadra viene chiamato potenziale efficace e come si può osservare dipende
unicamente dalla coordinata radiale. Il primo termine invece della parentesi quadra viene chiamato
potenziale centrifugo. Nel caso in esame il potenziale efficace assume la seguente espressione
L2
A
1
2
− 6 = 2− 6
U eff ( r ) =
2
2mr
r
2r
r
Per valutare se esiste una coordinata radiale di equilibrio basta porre la derivata prima del
potenziale efficace uguale a zero e trovare per quali valori si ha l’equilibrio.
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0=
dU eff ( r )
dr
=−
1 12 1 ⎛
12 ⎞
+ 7 = 3 ⎜ −1 + 4 ⎟
3
r
r
r ⎝
r ⎠
Le soluzioni sono:
•
r = ∞ , questa rappresenta la soluzione in cui il corpo non è soggetto più a nessun potenziale
e dunque è libero di mantenere il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme;
•
1
r = (12 ) 4 = 1,86 m , che, poiché l’andamento del potenziale efficace è rappresentato dal
grafico precedente, rappresenta un punto di equilibrio instabile.
Per descrivere le possibili orbite è opportuno utilizzare il grafico già visto. In un tale grafico
l’energia meccanica totale essendo costante per qualsiasi valore della coordinata radiale sarà
rappresentata da una retta orizzontale.
La figura sopra mostra che per valori dell’energia meccanica totale maggiori di zero si hanno delle
orbite chiuse. Infatti la particella può stare in una regione definita da due coordinate radiali che si
ricavano dall’intersezione della curva del potenziale efficace con quella dell’energia totale.
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Invece la figura sopra mostra il caso in cui l’energia totale meccanica è negativa. In questa
situazione si hanno orbite aperte in cui la particella proviene dall’infinito, raggiunge la minima
distanza dal centro del campo e poi ritorna all’infinito. In entrambi i casi esaminati non è possibile
calcolare in maniera analitica le traiettorie.
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Problema 2
Una barretta di rame viene posta in contatto termico perfetto con due serbatoi ideali alle
temperature TH = 100 °C e TL = 20 °C. dopo un certo intervallo di tempo si riesce a stabilire
che l’entropia dell’universo è aumentata di 3 J/K in seguito al passaggio di calore operato fra
i due serbatoi tramite la barretta metallica.
•
Calcolare, in corrispondenza di questo intervallo temporale, quanta energia è stata
fatta fluire fra i due serbatoi.
•
Calcolare inoltre la variazione di entropia della sbarretta.
Risoluzione
Il sistema come si presenta può essere considerato come una macchina termica che non compie
lavoro. L’entropia dell’universo è data dalla somma di tre componenti: la variazione di entropia del
serbatoio a temperatura maggiore, quella del serbatoio a temperatura inferiore e della barretta
∆SUNIV = ∆S H + ∆S L + ∆Sbar
Considerando di essere in una situazione di regime in cui la barretta presenta un gradiente di
temperatura compreso tra le temperature dei due serbatoi e dunque con un flusso di calore continuo
tra gli stessi, è possibile affermare che l’entropia della barretta metallica è pari a zero
∆Sbar = 0
Con tale assunto otteniamo per la variazione di entropia dell’universo la seguente formulazione (1):
∆SUNIV = ∆S H + ∆S L
Il calcolo della variazione di entropia dei due serbatoi risulta, in formule, alquanto semplice. È
opportuno notare che essendo i serbatoi ideali vi sarà un flusso di calore costante tra i due. Tale
flusso è negativo per il serbatoio a temperatura maggiore in quanto il calore esce, mentre è positivo
per l’altro serbatoio in quanto il calore entra (per la convenzione generalmente adottata sui segni) e
dunque si avrà
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∆S H = −
∆S L =
Q
TH
Q
TL
Inserendo tali formule nella (1) si ottiene la seguente formula che lega l’entropia dell’universo con
il calore scambiato dai due serbatoi:
∆SUNIV = −
Q Q
+
TH TL
Con semplici operazioni matematiche è possibile ottenere l’espressione per il calore scambiato:
Q = ∆SUNIV
TH TL
TH − TL
Numericamente si ottiene Q = 4098,3 J , che rappresenta anche il flusso di energia scambiato tra i
due serbatoi.
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