1
SCUOLA NAZIONALE DOTTORANDI DI ELETTROTECNICA
FERDINANDO GASPARINI
FORMULAZIONE FINITA
DELL’ELETTROMAGNETISMO
partendo dai fatti sperimentali
Enzo Tonti
z
E
Faraday law
Maxwell-Ampère
law
z
F
Qf
“
y
y
magnetic Gauss law
x
'
x
Qc
electric Gauss law “
{copertinaCubi}
Le otto equazioni scalari del campo elettromagnetico sono equazioni di bilancio nello
spazio-tempo. La figura illustra la proiezione in tre dimensioni di un ipercubo “esploso
dello spazio-tempo.
2
Udine 13-14 Giugno 2000
Palazzo Antonini, Università degli Studi di Udine
0.1. PREFAZIONE
0.1
3
Prefazione
Questa dispensa è stata scritta per il corso breve ET2000, Scuola Nazionale Dottorandi di
Elettrotecnica “Ferdinando Gasparini, che si terrà presso l’Università di Udine nei giorni
13 e 14 giugno 2000.
La dispensa è stata redatta in un paio di mesi e quindi soffre di frammentarietà, contiene ripetizioni, salti e forse anche qualche errore. Il lettore tenga conto che non ho
mai avuto occasione di fare un corso sul tema qui trattato in quanto “condannato da
circa quarant’anni ad insegnare la Meccanica Razionale, anche se mi occupo di Fisica
Matematica.
Mentre chiedo venia di questo, mi auguro che i lettori vorranno indicarmi queste deficienze in vista della possibilità di trasformare la dispensa in un libro. A costoro va, fin
d’ora, il mio grazie più sincero.
Desidero esprimere un particolare ringraziamento al prof. Andrea Stella che ha mostrato interesse per questo approccio, fornendomi l’incoraggiamento che mi mancava.
Ringrazio anche il collega Raffaele Martone che, con il collega Stella, mi ha rivolto l’invito a tenere questo ciclo: non potevano offrirmi occasione più bella per presentare quello
che ritengo un punto di vista nuovo ai dottorandi e ai ricercatori che lavorano in questo
campo. Un ringraziamento va ai colleghi Fabrizio Bellina e Francesca Cosmi che hanno
letto le bozze dandomi preziosi consigli. Ringrazio inoltre il dottorando Massimiliano
Marrone che per primo ha fatto le applicazioni numeriche e che mi ha coadiuvato nella
stesura del relativo capitolo.
Trieste, 5 giugno 2000
4
Indice
0.1
0.2
Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
9
1
Introduzione
1.1 Definizione operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le sorgenti del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
16
16
2
Elettrostatica
2.1 La carica Q: sorgente del campo elettrico . . . .
2.2 La prima legge dell’elettrostatica . . . . . . . . .
2.2.1 Induzione elettrostatica . . . . . . . . . .
2.2.2 La misura del flusso elettrico . . . . . . .
2.2.3 Il vettore induzione . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Il teorema di Gauss . . . . . . . . . . . .
2.3 La seconda legge dell’elettrostatica . . . . . . . .
2.3.1 Il vettore campo elettrico . . . . . . . . .
2.3.2 Equazione costitutiva . . . . . . . . . . .
2.3.3 Il vettore polarizzazione . . . . . . . . .
2.3.4 La legge di Coulomb . . . . . . . . . . .
2.3.5 La tensione elettrica . . . . . . . . . . .
2.3.6 Il potenziale elettrico . . . . . . . . . . .
2.3.7 La misura della tensione in un dielettrico
2.4 Equazione costitutiva U −I . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
Magnetostatica
3.1 La corrente I: sorgente del campo magnetico. . . . . .
3.2 La prima legge della magnetostatica . . . . . . . . . .
3.2.1 Il vettore campo magnetico . . . . . . . . . . .
3.2.2 La tensione magnetica . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 La natura assiale del vettore campo magnetico
3.2.4 Misura della tensione magnetica . . . . . . . .
3.2.5 La prima legge . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Il potenziale scalare magnetico . . . . . . . . .
3.3 La seconda legge della magnetostatica . . . . . . . . .
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5
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6
INDICE
3.4
3.3.1 Il vettore induzione magnetica . . . . . . . . . . .
3.3.2 La nascita del flusso magnetico . . . . . . . . . .
3.3.3 La natura assiale della densità di flusso magnetico
L’equazione costitutiva B−H . . . . . . . . . . . . . . . .
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47
4
Elettromagnetismo
4.1 Induzione elettromagnetica . . . . . . . . .
4.1.1 L’impulso della forza elettromotrice
4.1.2 La misura del flusso magnetico . . .
4.1.3 La legge di Maxwell-Ampère . . .
4.2 Le leggi del campo in forma finita . . . . .
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55
5
I complessi di celle
5.1 Il ruolo dei complessi di celle . . . . . .
5.2 Complessi simpliciali . . . . . . . . . .
5.2.1 Triangolazione di Delaunay . .
5.2.2 Circocentro . . . . . . . . . . .
5.2.3 Triangolazione generica . . . .
5.3 Complesso duale . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Complessi di Delaunay-Voronoi
5.4 Orientazione degli elementi spaziali . .
5.4.1 Orientazione interna . . . . . .
5.4.2 Orientazione esterna . . . . . .
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72
75
6
Analisi delle grandezze fisiche
6.0.3 Le sorgenti del campo . . . . . . . . . . . .
6.0.4 I potenziali del campo . . . . . . . . . . . .
6.1 Classificazione delle grandezze . . . . . . . . . . . .
6.2 I parametri fisici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Le variabili fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Variabili di configurazione . . . . . . . . . .
6.3.2 Variabili di sorgente . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Variabili energetiche . . . . . . . . . . . . .
6.4 Variabili globali nello spazio . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 La proprietà addittiva . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Le densità di linea, di superficie e di volume .
6.5 Associazione agli elementi spaziali . . . . . . . . . .
6.6 Associazione agli elementi temporali . . . . . . . . .
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93
7
Analisi delle equazioni fisiche
7.1 Le leggi di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Equazioni di struttura . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Legge di conservazione della carica . . . . .
7.2.2 Legge d’induzione elettrostatica . . . . . . .
7.2.3 Legge dell’induzione elettromagnetica . . . .
7.2.4 Legge di conservazione del flusso magnetico
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. 99
. 100
. 100
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7
INDICE
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115
116
Risoluzione numerica
8.1 Rettangoli ed esaedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Triangoli e tetraedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Il problema da risolvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Equazione di Poisson in forma finita . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Ricavo di E dai potenziali nei vertici . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Come ricavare E dalle tensioni sui lati . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Dati i flussi magnetici trovare B . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Osservazioni sul discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Equazione costitutiva Φ(Fm ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Calcolo per problemi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.2 Pseudocodice del modulo che calcola le tensioni magnetiche
8.7 Equazione costitutiva Ψ(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7.1 Pseudocodice del modulo che calcola il vettore V . . . . . .
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119
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122
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131
132
132
133
136
136
140
7.3
7.4
8
7.2.5 Legge di Maxwell-Ampère . . . . . .
Equazioni costitutive . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Verso la formulazione differenziale .
7.3.2 Campi uniformi . . . . . . . . . . . .
Equazione fondamentale . . . . . . . . . . .
7.4.1 Il problema fondamentale del campo .
7.4.2 L’equazione fondamentale . . . . . .
7.4.3 Sorgente impressa e indotta . . . . .
7.4.4 Sovrapposizione degli effetti . . . . .
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A Vettori assiali e polari
141
B Sulle definizioni operative
145
C Covarianza e controvarianza rese semplici
147
C.1 Versione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
D Successive overrelaxation
151
E Moto di una particella
153
E.0.1 Moto unidimensionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
E.0.2 Moto tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
F Punti di Gauss
F.1 Intervallo canonico . . . . . . .
F.1.1 Polinomi di terzo grado .
F.1.2 Polinomi di quinto grado
F.2 Intervallo generico . . . . . . .
F.3 Pezzo bivettore . . . . . . . . .
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157
158
158
159
159
8
INDICE
140
personaggi dell'elettromagnetismo
120
Coulomb
Galvani
100
Volta
Ampère
80
Gauss
Ohm
60
Faraday
Neumann
Kelvin
40
Kirchhoff
Maxwell
20
Lorentz
Hertz
0
(personaggi.m)
-20
1700
1750
{personaggiElet}
1800
1850
1900
Figura 1. I principali personaggi dell’elettromagnetismo. Nel 1800 Volta costruì la pila;
nel 1819 Oersted scoprì la deviazione dell’ago magnetico in prossimità di un filo percorso
da corrente; nel 1873 Maxwell pubblica il Treatise of Electricity and Magnetism.
1950
9
0.2. NOTAZIONI
0.2
Notazioni
I punti, le linee, le superfici ed i volumi sono degli enti spaziali elementari che ci servono
per descrivere lo spazio: ad essi daremo il nome di elementi spaziali. Analogamente gli
istanti e gli intervalli sono gli enti temporali elementari che ci servono per descrivere il
tempo: ad essi daremo il nome di elementi temporali.
Questi sei elementi si potrebbero rappresentare con le seguenti lettere: P, L, S , V I, T
che sono le iniziali dei rispettivi nomi1 . Senonchè vi sono alcuni inconvenienti: la lettera L
indica spesso la lunghezza di una linea; la lettera S indica spesso l’area di una superficie.
Le cose stanno peggio per la lettera V. Infatti già il termine “volume indica due cose
distinte: la regione di spazio e la sua misura. Così in architettura si parla spesso di
“volumi intendendo regioni di spazio mentre si afferma che il “volume di una stanza è
di 30 m3 . Analogamente la lettera T indica spesso la durata di un intervallo. Queste due
ragioni suggeriscono di usare i simboli in grassetto per indicare gli elementi spaziali.
Ciascuno di questi enti spaziali e temporali può possedere due tipi di orientazioni,
quella “interna e quella “esterna, come spiegheremo nella sezione (5.4). Per distinguere l’orientazione interna da quella esterna porremo un tilde sopra la lettera per indicare
l’orientazione esterna. Useremo quindi la seguente notazione:
elementi spaziali e temporali
punto
linea
superficie
volume (regione)
istante
intervallo
Termini ricorrenti.
P
L
S
V
I
T
P̃
L̃
S̃
Ṽ
Ĩ
T̃
loro misura
lunghezza
area
volume (misura)
L, L̃
S , S̃
V, Ṽ
periodo o durata
T, T̃
Un materiale si dice:
• omogeneo se le sue proprietà fisiche non variano con il posto;
• isotropo se non variano con la direzione.
Un campo si dice:
• uniforme se le grandezze che lo descrivono sono invarianti per traslazione;
• costante se sono invarianti nel tempo.
Il tasso di una grandezza è il rapporto tra una grandezza globale associata ad un intervallo
di tempo e la durata dell’intervallo. L’impulso di una grandezza è l’integrale della grandezza in un intervallo di tempo. Indicheremo l’impulso della grandezza generica F con
la notazione calligrafica F . In particolare:
Z
Z
Z
V[T ] =
V dt
E[T ] =
U dt
Fm [T̃ ] =
Fm dt
(1) {XZTE}
T
T
T̃
impulso di potenziale impulso di tensione impulso di tensione magnetica
1 Salvo
T che però si concilia con la tradizionale notazione di un periodo.
10
INDICE
Considerazioni epistemologiche.
Simboli. Ci rifacciamo ai simboli della International Union of Pure and Applied Physics
(IUPAP), revisione del 1987, pubblicato sulla rivista Physica (1987 ?). Ogni disaccordo
nella nomenclatura e nei simboli usati in questa dispensa deve ritenersi un errore del
presente autore che sarà grato a coloro che glielo segnaleranno.
Seguendo le raccomandazioni date nelle norme IUPAP l’aggettivo “specifico per designare una grandezza intensiva deve essere evitato il più possibile e deve in ogni caso
essere ristretto al senso “diviso per la massa.
Unità di misura. Faremo riferimento esclusivamente al Sistema Internazionale (SI).
A causa del poco tempo a disposizione nella redazione di questa dispensa indicheremo
con un unico simbolo E sia la forza elettromotrice che la tensione magnetica (quest’ultima
dovrebbe essere indicata con U) e con un unico simbolo Fm sia la forza magnetomotrice
che la tensione magnetica (quest’ultima dovrebbe essere indicata con Um ). La tensione
elettrica si deve utilizzare quando esiste il potenziale elettrico V e la tensione magnetica
si deve utilizzare quando esiste il potenziale scalare magnetico Vm .
11
0.2. NOTAZIONI
{HG5Z}
Tavola 1. Le grandezze fondamentali dell’elettromagnetismo. Le variabili
sottolineate denotano le grandezze globali. Le parentesi quadre indicano le
funzioni di dominio, le tonde le funzioni di punto.
~ P)
E(t,
campo elettrico
U[L]
tensione elettrica
U=
U[T, L]
impulso di tensione elettrica
U=
E[L]
forza elettromotrice
E[T, L]
impulso di forza elettromotrice
~ P)
B(t,
induzione magnetica
Φ[I, S]
flusso magnetico
~ P)
J(t,
densità di corrente
I[S̃]
corrente elettrica
I=
Qf [T̃, S̃]
flusso di carica
Qf =
ρ(t, P)
densità elettrica
Qc [Ĩ, Ṽ]
carica contenuta
~ P)
H(t,
campo magnetico
Um [L̃]
Z
E~ · d~L
ZL
U dt
ZT
E=
E~ · d~L
ZL
E=
E dt
T
Z
Φ=
~ · dS~
B
S
Z
~j · dS~
S̃
Z
T̃
Qc =
Z
tensione magnetica
Um =
Z
Um [T̃, L̃]
impulso di tensione magnetica
Um =
Fm [L̃]
forza magnetomotrice
Fm =
Fm [T̃, L̃]
impulso di forza magnetomotrice
Fm =
~ P)
D(t,
densità di flusso elettrico
Ψ [Ĩ, S̃]
flusso elettrico
Ṽ
ρ dV
ZL̃
Z T̃
ZL̃
T̃
Z
Ψ=
I dt
S̃
~ · d~L
H
Um dt
~ · d~L
H
Fm dt
~ · dS~
D
12
INDICE
Capitolo 1
Introduzione
Questa dispensa si rivolge a coloro che conoscono già l’elettromagnetismo.
Lo scopo che ci proponiamo è solo quello di presentare le grandezze e le equazioni
del campo elettromagnetico secondo un ordine molto pedagogico anche se poco usato,
mettendo in risalto alcune caratteristiche solitamente lasciate in penombra quando non
addirittura ignorate1 .
Vengono richiamati i fatti sperimentali che servono ad introdurre le principali grandezze fisiche e le principali leggi del campo.
Un primo obiettivo è quello di definire in modo operativo le principali grandezze usate
nell’elettromagnetismo dividendole in due grandi classi: le variabili di “configurazione
e quelle di “sorgente. Questa distinzione è indispensabile per una formulazione finita
dell’elettromagnetismo a partire dai fatti sperimentali.
Un secondo obiettivo è quello di mettere in evidenza che le grandezze “globali sono
associate agli “elementi spaziali e temporali.
Un terzo obiettivo è quello di distinguere le equazioni di “struttura da quelle “costitutive, cosa che spesso viene omessa nella presentazione tradizionale.
La situazione attuale. Le leggi del campo elettromagnetico sono state descritte da
Maxwell mediante equazioni differenziali. Esse possono anche essere scritte in forma
integrale effettuando integrazioni su linee, superfici, volumi ed intervalli di tempo. In
tempi più recenti si è constatato che, sempre nell’ambito differenziale, un linguaggio più
naturale è quello delle forme differenziali esterne. Nel seguito parleremo di formulazione differenziale per intendere sia la formulazione con equazioni differenziali che quella
con forme differenziali.
La risoluzione numerica delle equazioni dell’elettromagnetismo necessita di una formulazione finita. Questa è attualmente ottenuta mediante discretizzazione delle equazioni differenziali.
„ ecito porsi la domanda:
E
1 Questa presentazione prende lo spunto dalla scuola tedesca che fa capo al fisico sperimentale Pohl ed al
fisico teorico Mie [43], [44]. Si veda anche Sommerfeld [59, p.10].
13
14
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
è possibile scrivere direttamente le leggi del campo elettromagnetico in forma
finita senza passare attraverso la formulazione differenziale?
Mostreremo che questo è possibile in modo molto semplice e nel contempo faremo
vedere come la formulazione finita metta in luce alcune caratteristiche delle grandezze
fisiche e delle equazioni che sono spesso trascurate e talvolta addirittura ignorate dalla
formulazione differenziale.
Le grandezze integrali dell’elettromagnetismo si possono ordinare secondo lo schema
della tavola (1.1). Esse possono essere divise in due classi2 .
{LL1}
Tavola 1.1. Variabili integrali dell’elettromagnetismo.
variabili di configurazione
(SI units: weber)
funzione di gauge χ
Z
impulso potenziale elettr. V =
V dt
Z T
~ · d~L
momento elettrocinetico p =
A
L
Z Z
impulso di tens. elettr. E =
E~ · d~L dt
T L
Z
~ · dS~
flusso magnetico Φ =
B
S
Z Z
~k · dS~ dt
flusso di carica magn. Gf =
T S
Z
contenuto di carica magn. Gc =
g dV
U
Z Z
prod. carica magn. Gp =
τ dV dt
T
V
variabili di sorgente
(SI units: coulomb)
Z Z
prod. di carica elettr. Qp =
σ dV dt
T̃ Ṽ
Z
contenuto di carica elettr. Qc =
ρ dV
Z Z Ṽ
flusso di carica elettr. Qf =
J~ · dS~ dt
T̃ S̃
Z
~ · dS~
flusso elettr. Ψ =
D
S̃
Z Z
~ · d~L dt
impulso tens. magn. Fm =
H
T̃ L̃
Z
(nessun nome) α =
T~ · d~L
L̃
Z
impulso pot. scal. magn. Vm =
Vm dt
T̃
(nessun nome) η
La prima classe è formata da quelle variabili che descrivono la “configurazione del
campo, quali il potenziale scalare e vettore, nonché da quelle ad esse legate da operazioni
di prodotto o divisione per lunghezze, aree, volumi e durate. Queste verranno chiamate
variabili di configurazione e sono collocate sulla sinistra della tavola.
La seconda classe è formata da quelle variabili che descrivono le “sorgenti del campo, quali cariche e correnti, nonché da quelle ad esse legate da operazioni di prodotto o
divisione per lunghezze, areee, volumi e durate. Queste verranno chiamate variabili di
sorgente e sono collocate sulla destra della tavola.
Il prodotto di una variabile di sorgente per una di configurazione fornisce una variabile energetica, quali la potenza, l’energia, l’azione, come mostra la tavola (1.2). In
particolare il prodotto di due grandezze integrali delle due classi fornisce una azione3 .
2 Il
termine electrokinetic momentum è usato da Maxwell [42, § 585 e § 590].
nome di “azione si intende l’integrale nel tempo di una energia
3 Col
15
{ConfSourEner}
Tavola 1.2. Una classificazione delle variabili dell’elettromagnetismo.
variabili di configurazione
funzione di gauge
potenziale elettrico
impulso di potenziale elettrico
tensione elettrica
impulso di tensione elettrica
vettore campo elettrico
flusso magnetico
induzione magnetica
potenziale vettore magnetico
momento elettrocinetico
χ
V
V
U
E
E~
Φ
~
B
~
A
p
variabili energetiche
lavoro
calore
densità di energia elettrica
- densità di energia magnetica
vettore di Poynting
quantità moto elettrom.
densità di quantità di moto
azione elettromagnetica
variabili di sorgente
flusso di carica elettrica
contenuto di carica elettrica
corrente elettrica
densità di corrente
flusso (di)elettrico
induzione elettrica
intensità del campo magnetico
tensione magnetica
impulso di tensione magnetica
potenziale scalare magnetico
polarizzazione dielettrica
vettore magnetizzazione
W
Q
ue
um
S~
~
G
~g
A
Qf
Qc
I
J~
Ψ
~
D
~
H
Fm
Fm
Vm
~
P
~
M
16
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Una constatazione fondamentale è che tutte le grandezze integrali di una stessa classe
hanno le stesse dimensioni fisiche e quindi per tutte esse si può usare la medesima unità di
misura. Le variabili di configurazione hanno le dimensioni di un flusso magnetico, quelle
di sorgente hanno le dimensioni di una carica elettrica.
Si nota dalla tavola che nelle grandezze di sorgente gli elementi spaziali e quelli temporali sono dotati di una tilde: questo indica che l’elemento spaziale o temporale è dotato
di orientazione esterna, come spiegheremo nella sezione (5.4).
1.1
Definizione operativa
La tavola (1.1) mostra il legame tra le grandezze integrali e le funzioni di campo. In
questa sezione ci proponiamo di introdurre operativamente alcune grandezze integrali
senza costruirle a partire dalle funzioni di campo: per questa ragione useremo il termine
~ vengono introdotti
grandezze globali. Nella presentazione tradizionale i vettori E~ e B
riferendosi alla forza esercitata su una carica di prova rispettivamente in quiete ed in
moto. Successivamente per lo studio dei mezzi materiali vengono introdotti i due vettori
~ e H.
~ Questo porta a pensare che nel vuoto l’introduzione dei vettori D
~ ed H
~ risulti
D
~
~
~
~ 4.
inutile. Al punto che alcuni autori davano come definizione nel vuoto D = E ed H = B
~
~
~e
Altri autori fanno invece una distinzione sostanziale tra i vettori E e B da una parte e D
5
~
H dall’altra .
Come mostreremo in questo lavoro la formulazione discreta diretta dell’elettromagnetismo richiede come punto di partenza le grandezze globali, che sono scalari, non i
vettori di campo. Questo ci condurrà, nel passaggio alla formulazione differenziale, ad
~ B
~ da una parte e
effettuare in modo naturale una distinzione sostanziale tra i vettori E,
6
~
~
D, H dall’altra valida anche nel vuoto.
Una caratteristica della attuale presentazione è quello di effettuare una separazione
netta tra le equazioni di “struttura, che sono di validità globale e indipendenti dalla metrica
usata nello spazio, dalle equazioni “costitutive che hanno, al contrario delle precedenti,
validità locale, che dipendono dalla metrica e dal mezzo materiale includendovi come
caso limite il vuoto7 .
1.2
Le sorgenti del campo
• La carica elettrica in quiete è la sorgente del campo elettrico;
4 Abraham
[1]; Lorentz
essi Langevin [35]; Mie [43] [44]; Sommerfeld [59, p.9]; Van Dantzig [71]; Post [54]. La Internatio~ ed H
~ devono essere riguardati come fisicamente
nal Electrotecnical Commission nel 1930 ha stabilito che B
differenti. Si veda anche [17, p.163]
6 Il fatto che, secondo l’elettrodinamica quantistica, il “vuoto abbia una sua complessità (fotoni virtuali,
polarizzazione del vuoto) al punto da far ritenere che la prima coppia di vettori sia distinta dalla seconda coppia
e che su questo si fondino esperimenti in corso [83] indica che la identificazione tra le due coppie di vettori nel
vuoto è inopportuna e che la presentazione che svilupperemo è in armonia con l’elettrodinamica quantistica.
7 Questa separazione delle equazioni del campo elettromagnetico in due classi è stata effettuata da Van
Dantzig [71]. Vedere anche [72, p.86].
5 Fra
1.2. LE SORGENTI DEL CAMPO
17
• le cariche elettriche in moto stazionario (correnti costanti) sono le sorgenti del
campo magnetico;
• le cariche elettriche in moto non stazionario (correnti variabili) sono le sorgenti del
campo elettromagnetico.
La variazione di un campo magnetico, anche se lenta, produce un campo elettrico (induzione elettromagnetica). In modo simmetrico la variazione di un campo elettrico produce
un campo magnetico il quale però è rilevabile solo se la variazione avviene a frequenze
dell’ordine delle radioonde (corrente di spostamento).
Questo consente di dividere lo studio dell’elettromagnetismo in stadi:
•
•
•
•
•
elettrostatica;
magnetostatica;
conduzione elettrica;
campi lentamente variabili (tipico dell’elettrotecnica);
campi rapidamente variabili (tipico della radiotecnica)
18
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
Capitolo 2
Elettrostatica
2.1
La carica Q: sorgente del campo elettrico
La grandezza fondamentale dell’elettricità è la carica elettrica: essa è la sorgente del
campo elettrico. La presenza della carica elettrica si manifesta mediante l’attrazione e
la repulsione di corpi carichi. Essa è una grandezza addittiva. Di qui ne viene che il
confronto tra due cariche si può fare confrontando la forza che si esercita fra ciascuna
„ uesto il punto di partenza tradizionale.
carica ed una carica campione. E
Senonché è possibile misurare le cariche approfittando della loro attrazione e repulsio„ ufficiente un elettro-scopio ad ago connesso
ne senza misurare direttamente la forza. E
ad un pozzo di Faraday provvisto di scala graduata. Disponendo di n cariche identiche,
inserendole nel pozzetto di Faraday in successione e registrando le successive deviazioni
dell’ago sulla scala graduata si ottiene un elettro-metro. Con esso è facile misurare la
carica totale posseduta da un corpo. Si noti che una misura della forza presuppone la
taratura ovvero l’uso di un dinamometro, cosa che non è affatto richiesta per tarare un
elettroscopio.
Da un punto di vista spaziale1 si hanno due forme della carica: quella contenuta, Qc e
quella che fluisce, Qf . La carica contenuta è associata ad un volume dotato di orientazione
esterna (normali uscenti o entranti) e questo verrà indicato con la notazione Qc [Ṽ]. Si noti
che la locuzione “orientazione esterna per un volume indica quella di attraversamento
della sua superficie di bordo, non il fatto che le facce siano uscenti (possono essere anche
entranti). La carica fluente, il cui tasso si chiama corrente, ha la proprietà di suscitare un
campo magnetico e quindi di far deviare un ago magnetico. Questo consente di fare una
misura dinamica della carica che fluisce Q f con un galvanometro balistico. Quest’ultimo
misura il flusso di carica transitato lungo un filo in un assegnato intervallo. Questo implica
che il corpo sul quale si trovava la carica Q sia scaricato e che la carica venga raccolta
dallo strumento. Misurando la carica contenuta su un conduttore e quella che fluisce
1 Nella dinamica dei fluidi si utilizzano due punti di vista: quello materiale o Lagrangiano e quello spaziale o
Euleriano. Quando parliamo di carica posseduta da un corpo siamo nel punto di vista materiale mentre quando
facciamo riferimento ad una regione di spazio o volume di controllo e consideriamo la carica contenuta nel
volume e quella fluente attraverso il bordo del volume siamo nel punto di vista spaziale.
19
20
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
quando questo viene scaricato si constata che esse sono uguali: questo fatto esprime la
legge di conservazione della carica.
2.2
La prima legge dell’elettrostatica
La prima legge dell’elettrostatica coinvolge le seguenti variabili fisiche
• il flusso elettrico Ψ ;
~
• il vettore induzione elettrica D.
La prima legge. Faraday scoprì che se una carica q è racchiusa entro un involucro
sferico metallico neutro, una carica uguale e dello stesso segno appariva sulla superficie
della sfera. Egli verificò che il campo esterno è simmetrico indipendentemente dal fatto
che la sfera sia concentrica con la carica.
+
+
+
-
-
+
+
+
-
-
+
-
+
-
+
+-
+
+
-
+
-
-
{induzione}
-
+
-
+
+
+
+
Figura 2.1. La carica indotta sulla superficie esterna di un involucro metallico è uguale
a quella contenuta (figura tratta da Schelkunoff [56, p.24])
Se la carica esterna è rimossa mettendo momentaneamente a terra l’involucro sferico,
una carica uguale e di segno opposto a quella interna si raccoglie sulla parte interna e può
essere misurata [56, p.24].
La carica raccolta sulla superficie esterna dell’involucro metallico:
• non dipende dal mezzo che contorna la carica;
• non dipende dalla forma dell’involucro metallico;
• non dipende dalla dimensione dell’involucro metallico.
Questa legge della induzione elettrostatica costituisce il punto di partenza sperimentale di
quella che noi chiamiamo oggi legge di Gauss.
Possiamo esprimere a parole il risultato di questa esperienza: la carica elettrica che si
raccoglie sulla superficie esterna di qualunque guscio metallico chiuso contenente delle
cariche elettriche è uguale alla carica totale contenuta.
21
2.2. LA PRIMA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
2.2.1
Induzione elettrostatica
Flusso elettrico Ψ . Disponendo una superficie metallica di forma arbitraria, chiusa o
aperta, si raccolgono per induzione due cariche elettriche di segno opposto sulle due facce
della superficie. Fissata una faccia come positiva, la carica che si raccoglie su essa si
chiama flusso elettrico e si indica con la lettera Ψ . Avendo fissato una faccia come
positiva è come se avessimo fissato un senso di attraversamento della superficie e quindi
una orientazione esterna: per questo motivo indicheremo con S̃ la superficie e con S̃ la
sua area.
Se si dispone un dischetto metallico in un generico punto del campo elettrico si determinano per induzione elettrostatica due cariche opposte +Ψ e −Ψ sulle sue facce. Tali
cariche dipendono dal punto in cui è posto il centro del dischetto, dalla sua giacitura
Fig.(2.3) e dalla sua area.
Q
principal
face
I
Ψ
∼
S
electrometer
Figura 2.2. Il flusso Ψ che si raccoglie sui due dischetti dipende dalla giacitura. Fissata
una faccia come positiva, il flusso elettrico è la carica che si raccoglie su di essa.
n
-- - -
++
+ ++
n
- - +
+ + +
--
-
{two-coins}
-
+
++
+
++
nmax
--
Figura 2.3. La misura del flusso elettrico su un elemento di superficie dotato di
orientazione esterna. (Schelkunoff [56, p.25])
{dischetti}
Per piccole lamine la carica Ψ (in coulomb) risulta sensibilmente proporzionale all’area. Il rapporto
def Ψ
σ =
(C/m2 )
(2.1) {B10}
S̃
prende il nome di densità media di carica superficiale. Nella formulazione differenziale
tutte le volte che formiamo una densità (lineare, areale, volumica) facciamo tendere a zero
l’area e quindi definiamo come densità il limite della densità media. In questo caso
def
σ = lim
S̃ →0
Ψ
.
S̃
(2.2)
{B11}
22
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
O. Molte persone ritengono che una quantità “piccola debba essere preceduta da
un simbolo d o δ. Così scrivono δW, dW per indicare un piccolo lavoro, δS , dS per indicare una
piccola area, δV, dV per indicare un piccolo volume, ecc. Questo non è affatto necessario e per
giunta è sconveniente. Il tipico infinitesimo della matematica viene indicato con il simbolo o η
e non con δ o δη2 . Ad esempio il primo principio della termodinamica che molti scrivono nella
forma
δQ + δW = dU
{HD5}
(2.3)
può benissimo essere scritto nella forma [26, p.40]
q + w = dU
{GD5}
2.2.2
e nel finito
Q + W = ∆U
(2.4)
La misura del flusso elettrico
In un campo elettrostatico si consideri una sonda costituita da due lamine metalliche piane
identiche provviste di due manici isolanti3 . Mettendole a contatto, come indicato in figura
(2.2), per induzione si determina una concentrazione di cariche opposte sulle facce esterne
delle lamine. Allontanando le due lamine le cariche indotte rimangono imprigionate sulle
due lamine e si possono misurare. Fissando ad arbitrio una delle due facce (o una delle
due lamine) come positiva, la carica raccolta sulla faccia positiva è definita come flusso
elettrico e la si indica con Ψ . Si ha quindi
def
Ψ = carica sulla faccia positiva
{A662}
definizione del flusso elettrico
(2.5)
„ ssenziale il fatto che la carica raccolta sulla superficie non dipende dal materiale di
E
cui è fatto l’involucro: questo consente di assegnare un flusso elettrico direttamente alla
superficie geometrica. Inoltre si constata che il flusso elettrico non dipende dal mezzo.
Questo si può vedere ripetendo la misura dopo aver immesso del petrolio nella regione
ove si fa la misura [23, p.85]. Questa è una informazione preziosa che è comunemente
ignorata nei libri di fisica.
Per definire il segno del flusso si sceglie una delle due lamine come principale, ovvero
si fissa una faccia della superficie come positiva, fissando una orientazione esterna della
superficie oppure fissando una normale alla superficie e considerando positiva la faccia da
„ hiaro che il flusso elettrico così definito cambia segno al cambiare
cui la normale esce. E
dell’orientazione esterna alla superficie:
Ψ (−S̃) = −Ψ (S̃)
{P463}
2.2.3
condizione di disparità di Ψ .
(2.6)
Il vettore induzione
Lo scopo della definizione di una densità è quello di liberarsi dall’estensione dell’ente
spaziale (linea, superficie o volume) per ridursi a punti. Il ruolo di una densità è analogo a
2 E
„ erò vero che nella teoria dell’integrazione si continuano ad usare i simboli dL, dS , dV sotto segno di
integrazione.
3 See [24, p.71]; Fleury-Mathieu [23, p.61]; Maxwell [41, p.47]; Rojansky [55, p.230]; Schelkunoff [56,
p.25]; Jefimenko [32, p.80; p.225].
23
2.2. LA PRIMA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
quello della formazione del prezzo come rapporto costo/quantità: si ottiene un indicatore
indipendente dalla quantità e che svolge il ruolo di un fattore moltiplicativo.
Rimane ancora la dipendenza dalla giacitura: come liberarsene? Dal momento che la
giacitura è descritta dal versore ~n l’idea è di creare un vettore ~v(P) dipendente solo dal
posto, tale che si possa effettuare la fattorizzazione
(2.7)
σ(P, ~n) = ~v(P) · ~n.
{B12}
Come farlo? Innanzi tutto consideriamo che fra le infinite giaciture passanti per un punto
ve ne sarà una per la quale σ è massima e vale σmax . Si constata sperimentalmente che,
indicata con ~nmax la normale per la quale questo si realizza, per ogni altra giacitura ~n vale
la relazione
σ(P, ~n) = σmax (P) cos(α) = σmax (P) (~nmax · ~n).
(2.8) {B13}
Ecco che la doppia dipendenza dal punto P e dalla normale ~n viene fattorizzata nel
„ aturale allora definire un vettore
prodotto di due quantità σmax (P) ~nmax ed ~n. E
~ def
D
= σmax (P) ~nmax
(2.9)
{B14}
cui si dà il nome di vettore induzione elettrica. Questo vettore dipende solo dal posto.
Ora potremo scrivere la relazione (2.8) nella forma
~
σ(P, ~n) = D(P)
· ~n.
(2.10) {B15}
„ llora ovvio che il flusso elettrico che si forma sulla faccia positiva, scelta per convenE
zione, si può esprimere nella forma
Z
~
(2.11) {B16}
Ψ [S̃] =
D(P)
· d S~ .
S̃
Questa relazione non deve essere presa come definizione del flusso bensì come definizione
~ Perché? Perché il flusso Ψ si misura direttamente mentre D
~ si valuta come
del vettore D.
„ l flusso la grandezza globale associata alla superficie: il vettore induzione
rapporto. E
~
elettrica D(P)
è solo una sorte di prezzo vettoriale che ha il pregio di non dipendere né
dalla giacitura né dalla misura dell’elemento piano di superficie d S~ .
Il flusso elettrico è una grandezza associata alla superficie, è una funzione di domi~
nio mentre D(P)
è una funzione del punto. Per indicare che una grandezza è funzione
d’insieme si usano le parentesi quadre: Q[Ṽ], Ψ [S̃].
Ne viene che la legge dell’induzione elettrostatica di Faraday si può esprimere dicendo
che
P ’: il flusso elettrico Ψ relativo al bordo di un
volume Ṽ è uguale alla carica elettrica Q contenuta nel volume Ṽ.
Ricordando che il bordo di un volume, inteso come regione di spazio e non come misura
della regione di spazio, si indica con ∂Ṽ scriveremo la legge dell’induzione elettrostatica
di Faraday nella forma finita
Ψ [∂Ṽ] = Q[Ṽ]
♠
(2.12) {B19}
24
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
Le lamine metalliche e gli involucri di materiale conduttore hanno un ruolo fondamentale nella formazione delle nozioni del campo elettromagnetico in quanto, essendo
conduttori, consentono la distribuzione delle cariche libere nelle diverse regioni del conduttore. E questa distribuzione dipende dalla forma e dalle dimensioni del conduttore ma
è indipendente dalla natura del materiale che forma il conduttore. Questa indipendenza
dal materiale consente l’ardita estrapolazione di associare le cariche superficiali ad una
superficie geometrica invece che ad un conduttore.
2.2.4
Il teorema di Gauss
Utilizzando la relazione (2.11) potremo scrivere la legge di induzione elettrostatica di
Faraday (2.12) nella forma
Z
~
{B20}
(2.13)
D(P)
· d S~ = Q[Ṽ].
∂Ṽ
Qualora la carica Q[Ṽ] sia distribuita entro Ṽ potremo scrivere
Z
{B21}
Q[Ṽ] =
ρ(P) dV.
Ṽ
e la legge in questione si può esprimere
Z
Z
~
~
{B22}
D(P) · d S =
ρ(P) dV.
∂Ṽ
{B25}
Ṽ
(2.14)
(2.15)
Rimpicciolendo indefinitamente il volume Ṽ attorno ad un punto P arriveremo a scrivere
Z
~ 0 ) · d S~
D(P
ρ(P) = lim
∂Ṽ
Ṽ
Ṽ→0
.
(2.16)
Il secondo membro è una grandezza scalare a cui si dà il nome di divergenza del
~ e si scrive
vettore D
{B26}
~
ρ = div D
oppure
~
ρ = ∇ D.
(2.17)
Questa è la forma matematica data da Gauss alla legge dell’induzione elettrostatica di
„ vidente che essa descrive la legge sperimentale sotto due pesanti condizioni:
Faraday. E
1. la carica elettrica deve essere distribuita pur ammettendo discontinuità. Una carica
“puntiforme non è tollerata
~ deve essere continuo e derivabile entro ogni volume Ṽ. Questo non
2. il vettore D
accade quando vi sono due materiali diversi e il volume si trova a cavallo delle
superfici di separazione.
La formulazione integrale (2.15) è quindi più restrittiva della formulazione (2.12) in quan~ può essere discontinuo su S̃ ma non ammette cariche puntiformi. La forto il vettore D
mulazione differenziale (2.17) è ancor più restrittiva della formulazione integrale (2.15) in
2.3. LA SECONDA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
25
quanto soggetta alle due limitazioni suddette. Ne viene che la formulazione finita (2.12) è
più aderente al fatto fisico della formulazione in quanto non contiene limitazioni di natura
matematica.
O. Quantunque una carica puntiforme non abbia senso fisico torna spesso comodo
fare un modello puntiforme delle cariche elettriche libere, gli elettroni. Se poi si scopre che il campo
generato da una carica puntiforme ha una energia infinita la colpa dell’infinito non fisico non è della
carica (elettrone) ma del modello che ne abbiamo fatto. Ogni modello vale sotto certe condizioni,
entro certi limiti!
Volendo trattare teoricamente cariche puntiformi si può far uso della teoria delle distribuzioni
e rappresentare una carica puntiforme e mediante la distribuzione δ(P). L’integrale allora non è più
secondo Lebesgue ma diventa solo un simbolo per indicare un funzionale lineare e continuo. La
relazione (2.15) deve allora intendersi nel senso della teoria delle distribuzioni ovvero delle funzioni
generalizzate [Ligthill][Vekua]. Con questo formalismo si può trattare bene la teoria dell’elettromagnetismo ma non si può certo fare dell’analisi numerica. La relazione (2.15), intesa nel senso
della teoria delle distribuzioni, ha la stessa generalità della relazione (2.12).
La teoria delle distribuzioni, nota anche come teoria delle funzioni generalizzate, è nata con lo
scopo di estendere la notazione differenziale a funzioni che non sono derivabili, quali la funzione a
gradino introdotta dall’ingegner Heaviside. In un primo tempo è stata usata formalmente dall’ingegnere elettrotecnico e fisico P.A.M. Dirac ma solo nel 1955 il matematico francese Laurent Schwarz
le diede un vestito matematico rigoroso.
Una distribuzione è un funzionale lineare e continuo sullo spazio delle funzioni di classe C0∞ ,
cioé delle funzioni infinitamente derivabili (donde il simbolo di ∞ come apice) e a supporto compatto, ovvero diverse da zero in una regione (=supporto) chiuso (=contenente i suoi punti di accumulazione) e limitato. Le funzioni generalizzate però, a differenza delle funzioni ordinarie, non si
possono moltiplicare fra loro, non possono dotarsi di norma, non possono essere approssimate con
successioni di funzioni e quindi non sono trattabili numericamente. Esse quindi non possono essere
utilizzate nell’elettromagnetismo computazionale.
2.3
La seconda legge dell’elettrostatica
La seconda legge dell’elettrostatica coinvolge le seguenti variabili fisiche
• il vettore campo elettrico E~
• la tensione elettrica U;
• il potenziale elettrico V.
2.3.1
Il vettore campo elettrico
La constatazione che le cariche si attraggono o si respingono suggerisce di istituire una
grandezza fisica che misuri l’intensità di questa azione. Si constata che, in presenza di
un campo elettrico, una carica elettrica “esploratrice q posta in un generico punto di un
~
campo elettrico subisce una forza F.
~ e si annulla per q = 0.
Tale forza dipende da q : F(q)
O. Una funzione di una variabile y(x) che si annulla per x = 0 ammette una
rappresentazione
y = a x + b x2 + c x3 + ...
(2.18) {S44}
26
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
in cui a è il primo coefficiente significativo. Per x piccolo vale l’approssimazione
y = a x.
(costo=prezzo × quantità)
(2.19) {S46}
Ne viene che il coefficiente a gioca il ruolo del prezzo di una merce. Si può scrivere
a = lim
{B45}
x→0
y(x)
.
x
(2.20)
La forza F~ dipende dal posto e dalla carica esploratrice q e può esprimersi nella forma
2
~ q) = E(P)q
~
~
F(P,
+ G(P)q
+ S~ (P)q3 + .....
{S47}
(2.21)
~ G,
~ S~ , .... dei vettori. In particolare se q è piccolo vale l’approssimazione
Essendo E,
{C48}
essendo
{C49}
~ q) = E(P)
~
F(P,
q
(2.22)
~ q)
F(P,
def
~
E(P)
= lim
.
q→0
q
(2.23)
~
Nasce così il vettore campo elettrico E.
Osserviamo che introducendo una carica esploratrice in un campo elettrico preesistente si altera la posizione delle cariche che generano il campo [52, p.39]. Ne viene che il
~ dà una misura del campo alterato dalla presenza della carica di
semplice rapporto F/q
prova. Esso costituisce una misura del campo preesistente in una delle tre ipotesi seguenti
[Schelkunoff] [56, p.8]:
• Le sorgenti del campo sono tenute fisse;
• il punto in cui è posta la carica esploratrice è così lontano dalle cariche che generano
il campo da non influenzare la loro posizione;
• la carica elettrica è così piccola da non influenzare la posizione delle sorgenti.
Dal momento che l’alterazione è tanto più piccola quanto minore è il valore della carica di
prova si è portati a fare il limite del rapporto come nella (2.23). L’operazione di limite si
scontra però con il fatto che la carica più piccola conosciuta è quella dell’elettrone e quindi
l’operazione di limite, voluta dalla matematica, è in contrasto con la fisica. Come sempre
ci si deve accontentare di fare un modello del campo ignorando la natura discreta della
carica elettrica. Einstein ha detto: “l’elettrone è uno straniero nell’elettromagnetismo
[59, p.236].
2.3.2
Equazione costitutiva
Per lo studio del campo elettrico abbiamo introdotto due vettori
~ che descrive la distribuzione di carica su una superficie conduttrice;
1. il vettore D
2. il vettore E~ che descrive la forza su una carica esploratrice.
2.3. LA SECONDA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
27
„ aturale attendersi che vi sia una relazione tra i due vettori. Ad esempio una relazione
E
finita del tipo
~ = D(
~ E).
~
D
{S26}
(2.24)
dipenderà dal mezzo nel quale si trova il campo e costituisce una equazione costitutiva o
materiale.
Consideriamo infatti un condensatore a facce piane parallele (le armature) separate
da un dielettrico che sia omogeneo ed isotropo. Il dielettrico deve essere sottile, così da
poter trascurare gli effetti ai bordi, oppure il condensatore deve essere provvisto d’anelli
di guardia o essere sferico, con dielettrico sottile. Il campo elettrico fra le armature è
allora sensibilmente uniforme, sopratutto nella eegione centrale, ed è dato da E = U/d.
def
D =
Ψ
S
E=
U
.
d
(2.25) {S27}
In questo modo si constata sperimentalmente che nel vuoto ed in un mezzo i due vettori
~ ed E~ hanno la stessa direzione e lo stesso verso.
D
~ ∝ E.
~
D
(2.26) {S28}
Introducendo una costante materiale ε potremo scrivere la proporzionalità precedente
nella forma
~ = ε E.
~
D
(2.27) {S29}
La ε si chiama costante dielettrica.
O. La relazione (2.27) esprime una legge in quanto afferma la equidirezionalità dei
due vettori e la loro proporzionalità ma al tempo stesso definisce la costante del mezzo . Sarebbe
improprio chiamarla equazione di definizione. Allo stesso modo la legge di Ohm U = RI esprime
una legge in quanto afferma la proporzionalità di I e U ma al tempo stesso definisce la resistenza R
del conduttore. Sarebbe improprio chiamarla equazione di definizione. Questo fatto è caratteristico
di tutte le equazioni costitutive: mentre esprimono un comportamento consentono di definire e
quindi di misurare un parametro del mezzo.
La costante dielettrica nel vuoto è indicata con ε0 .
~ = ε0 E~
D
2.3.3
nel vuoto
(2.28) {KD42}
Il vettore polarizzazione
~ può avere o non avere la direzione di E~ ed inoltre può
Nella materia, invece, il vettore D
~ nella materia ed il vettore D
~
essere lineare o non lineare. La differenza tra il vettore D
nel vuoto descrive la natura e le proprietà del materiale. Posto
def
~
~ E)
~ − ε0 E~
P(E)
= D(
(2.29) {S31}
~ il vettore polarizzazione del dielettrico. In molti dielettrici il vettore P(
~ E)
~
chiamiamo P
~ (come nel vuoto). Possiamo allora scrivere
ha la direzione di E~ ed è proporzionale ad E,
law
~
P(E)
= ε0 χ E~
che caratterizza molti dielettrici.
(2.30) {S32}
28
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
Ne viene che per questi dielettrici vale la relazione costitutiva
~ E)
~
D(
=
=
=
=
ε0 E~ + ε0 χ E~
ε0 (1 + χ) E~
.
ε0 εr E~
ε E~
(2.31) {S40}
~ E)
~ non ha la stessa direzione di E~ si dicono anisotropi. Quelli
I dielettrici per i quali P(
~
~
per i quali P( E) ha la direzione di E~ ma non vale la proporzionalità si dicono non lineari.
2.3.4
La legge di Coulomb
Una conseguenza della equazione costitutiva è la legge di Coulomb: essa si ottiene appli~ e l’equacando la legge dell’induzione elettrostatica di Faraday4 che porta a definire D
~
zione costitutiva che permette di ricavare E.
Applichiamo la legge dell’induzione elettrostatica di Faraday ad una carica a simmetria sferica Q che si trovi in un mezzo omogeneo ed isotropo. Se consideriamo una
superficie sferica ∂V che abbia il suo centro nel centro della carica, potremo scrivere
Ψ [∂Ṽ] = Q.
{C27}
(2.32)
~ sarà normale alla superficie e di uguale modulo in
Per ragioni di simmetria il vettore D
tutti i punti della superficie sferica. Potremo allora scrivere il flusso
Ψ [∂Ṽ] = 4πr2 D.
{S57}
(2.33)
Combinando le due ultime equazioni si ottiene
D=
{S58}
Q
.
4πr2
(2.34)
Poichè nel vuoto vale l’equazione costitutiva (2.27) ne viene
E=
{S59}
D
1 Q
.
=
ε0 4πε0 r2
(2.35)
~ ed E~ hanno la stessa direzione e della relazione di definzione di E~
Tenuto conto che D
ne viene
1 Qq ~r
{S60}
F~ =
(2.36)
4πε0 r2 r
che è la legge di Coulomb.
In questa deduzione la legge di Coulomb è conseguenza della legge di induzione elet~ e della legge costitutiva del vuoto.
trostatica di Faraday, della creazione del vettore D
O. Alcuni autori si pongono la domanda del perché la forza sia inversamente proporzionale al quadrato del raggio e non, piuttosto, ad una generica potenza del raggio o ad un’altra
4 Schelkunoff:
“Coulomb’s law can be derived from Faraday’s law of electrostatics induction.[56, p.24]
29
2.3. LA SECONDA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
funzione del raggio, ad esempio F ∝ exp(−r)/r2 . La legge di induzione elettrostatica impone che il
flusso elettrico sia uguale alla carica contenuta. Nel caso di una carica a simmetria sferica ne viene
che, per la supposta omogeneità ed isotropia del mezzo, la densità σ = D deve essere uniforme
sulla superficie di una sfera concentrica alla carica e quindi deve essere σ = Q/(4πr2 ). Il quadrato
del raggio è quindi immediata conseguenza della uniforme distribuzione della densità elettrica sulla
sfera.
La legge di Coulomb non vale se il mezzo è inomogeno o anisotropo. In particolare
non vale se il mezzo è formato da materiali diversi. Vedremo fra poco che dalla legge di
Coulomb si potrà indurre una proprietà del campo che varrà anche per mezzi inomogenei
e anisotropi e quindi risulterà del tutto indipendente dal mezzo. La proprietà che indurremo costituirà quindi una legge, la seconda legge dell’elettrostatica, che conterrà la legge
di Coulomb come caso particolare.
2.3.5
La tensione elettrica
Dal momento che il vettore E~ nasce da una forza e la circolazione di una forza lungo una
linea dà il lavoro, è naturale considerare la circolazione di E~ lungo una linea:
Z
~ · d L.
~
(2.37) {S41}
U[L] =
E
L
La circolazione U[L] associata alla linea prende il nome di tensione elettrica lungo la
linea L.
Tavola 2.1. Come il vettore E~ è la forza per unità di carica, così la tensione è
il lavoro per unità di carica.
W[L] =
*
HH
j
H
~
~
F(P)
= q E(P)
U[L] =
Z
L
F~ · d~L
L
E~ · d~L
Z
HH
j
H
* W[L] = q U[L]
Osservando che il lavoro W lungo una linea è
Z
Z
~
~
W[L, q] =
F · dL =
q E~ · d ~L = q U[L]
L
{lav}
L
(2.38) {Z99}
ne viene che la tensione elettrica è uguale al lavoro per unità di carica.
♣ [FUORI POSTO] D. Ricordiamo che una linea chiusa si dice riducibile se mediante una deformazione continua, che mantiene sempre la linea nella regione in cui il campo è
„ vidente che ogni linea chiusa riducibile si può concepire
definito, si può contrarre ad un punto. E
come bordo di una superficie. Due linee chiuse si dicono riconciliabili se con una deformazione
30
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
continua si possono portare l’una nell’altra senza farle uscire dalla regione in cui il campo è definito. Così un cappio fatto con una corda se si avvolge attorno al tronco di un albero non è riducibile;
un sentiero che forma un circuito attorno ad un lago non è riducibile. Due sentieri che partendo da
un punto giungano ad uno stesso punto passando l’uno da una parte di un laghetto l’altro dall’altra
parte non sono riconciliabili.
E’ facile constatare che nel campo coulombiano la tensione elettrica lungo una generica linea chiusa è nulla:
U[∂S] = 0
{HY6D}
{GPZ7}
(2.39)
nel campo coulombiano.
Consideriamo ancora un mezzo omogeneo ed isotropo e in esso il campo elettrico generato da tante cariche: ritenendo valido il principio di sovrapposizione degli effetti (si veda
pagina 116) ne viene che il campo elettrico in ogni punto del campo è la somma di quelli
generati dalle singole cariche puntiformi che compongono le cariche:
Z
Z X
n
n Z
n
X
X
~
~
~
~
U[∂S] =
E · dL =
Ek · d L =
E~ k · d ~L =
Uk [∂S] = 0. (2.40)
∂S
∂S k=1
k=1
∂S
k=1
Dal momento che ciascuno di questi campi è coulombiano e quindi vale la proprietà (2.39)
ne risulta che nel campo risultante vale la stessa proprietà:
U[∂S] = 0
{HYUU}
(2.41)
in un mezzo omogeneo ed isotropo.
Anisotropia. L’anisotropia riguarda la relazione D − E. Dal momento che la tensione è
fatta solo con il vettore E~ l’eventuale anisotropia del mezzo non ha nessuna conseguenza
sulla validità della relazione (2.41) e quindi
U[∂S] = 0
{H35U}
(2.42)
in un mezzo omogeneo.
Inomogeneità. Consideriamo due mezzi materiali omogenei e la loro superficie di separazione, come in figura (2.4a).
a)
{attraversa}
S''
S'
S
b)
S
c)
Figura 2.4. La tensione elettrica lungo un circuito che attraversa mezzi diversi è nulla.
Consideriamo un cammino chiuso, bordo di una superficie S, che passi da un mezzo
all’altro. Esso si può scomporre in due cammini, l’uno nel primo mezzo e l’altro nel
secondo. Indichiamo con S0 ed S00 le due superfici in cui è decomposta la superfice S,
come in figura (2.4b). Avremo separatamente:
{HJRT5}
U[∂S0 ] = 0
e
U[∂S00 ] = 0.
(2.43)
31
2.3. LA SECONDA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA
Dal momento che il pezzo di linea che si trova sulla superfice di separazione viene
percorso due volte in sensi opposti ne viene
U[∂S] = U[∂S0 ] + U[∂S00 ] = 0
in un mezzo inomogeneo.
(2.44)S5D
e quindi anche lungo una linea chiusa che passa attraverso due materiali diversi la tensione
è nulla. Questa proprietà vale anche se la linea passa attraverso numerosi mezzi materiali
diversi, come in figura (2.4c). In particolare, un mezzo la cui omogeneità sia variabile con
continuità può essere approssimato con una serie di innumerevoli straterelli infinitesimi
con caratteristiche fisiche diverse. Ne viene che anche per materiali genericamente non
omogenei la proprietà (2.41) rimane valida. Quindi
U[∂S] = 0
per qualunque mezzo.
(2.45) {UZ9ID}
Siamo quindi pervenuti, attraverso un processo di induzione alla
S ’. La tensione elettrica lungo ogni linea
chiusa riducibile è nulla.
Potremo scrivere
law
U[∂S] = 0.
(2.46) {S42}
♠
Dal momento che la tensione elettrica lungo una linea è proporzionale al lavoro fatto {circ}
muovendo una carica esploratrice ne viene che la seconda legge dell’elettrostatica può
anche essere espressa dicendo che il lavoro fatto per muovere una carica esploratrice
lungo un generico cammino chiuso è nullo.
2.3.6
Il potenziale elettrico
Il fatto che la circolazione lungo ogni linea chiusa riducibile è nulla consente di operare
come segue: fissato ad arbitrio un punto P0 del campo la circolazione da P ad un generico
punto P0 lungo qualsiasi linea L da P a P0 dà
V(P, P0 ) =
Z
P
P0
E~ · d ~L = −
Z
P
P0
E~ · d ~L.
(2.47) {S43}
La funzione V(P), definita a meno di una costante arbitraria, prende il nome di potenziale
elettrico nel punto P.
Il modo più naturale di rilevare una tensione fra due corpi carichi è quello di congiungere i due corpi con un filo conduttore e registrare la presenza di una corrente lungo un
filo. Per misurare la tensione fra due punti di un campo si connettono i due punti con un
filo conduttore. Senonché alle estremità del filo si raccolgono subito per induzione delle
cariche che bilanciano la differenza di potenziale. Occorre quindi eliminare con continuità tali cariche: questo si può fare ionizzando l’aria circostante le due estremità con una
fiamma o, meglio, con una sostanza radioattiva [52, p.61].
Per istituire la misura della tensione ricordiamo come si opera per misurare una forza. Una
forza si può misurare approfittando del fatto che vi sono corpi deformabili: per rendere vistosa
32
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
la deformazione si ricorre ad una molla come campione. Disponendo di tante forze uguali, ad
esempio pesi, si aggiungono successivamente e si rileva di volta in volta l’allungamento della molla
campione. Effettuata la taratura la molla campione è divenuta un dinamometro. Non ha importanza
che la molla abbia un allungamento proporzionale alla forza: è sufficiente che la sua lunghezza abbia
un andamento monotono con la forza applicata e che riassuma la stessa lunghezza sotto l’azione
della stessa forza. Un secondo modo di misurare la forza è quello dell’equilibramento con delle
„ uesto il metodo usato nella bilancia a stadera. In pratica si tratta di annullare lo
forze note. E
„ uesto il metodo
spostamento che la forza tende a produrre con l’azione di un’altra forza nota. E
dell’annullamento dello spostamento.
Torniamo alla misura della tensione elettrica U. Un primo metodo consiste nel disporre di tante tensioni uguali, ad esempio tante batterie elettriche identiche, e nel misurare
la corrente che passa dopo averle disposte in serie. Lo strumento così tarato diventa un
tensiometro elettrico o voltmetro elettrostatico [10].
Un secondo metodo nasce dall’idea di potenziale elettrico, corrispondente alla nozione di altezza dell’acqua in un vaso. Nel caso dell’acqua si può misurare sia la quantità di
acqua sia l’altezza che il pelo libero assume nel vaso. Se il vaso è cilindrico l’altezza e
la quantità sono proporzionali: il rapporto tra quantità di acqua e altezza del pelo libero
prende il nome di capacità del vaso cilindrico ed ha le dimensioni di un’area, l’area della
sezione retta del vaso.
Nel caso elettrico si può misurare il potenziale di un corpo connettendolo mediante un
filo con un generatore a tensione variabile di cui l’altra estremità è collegata a terra e scegliendo la tensione che annulla la corrente nel filo: è questo il metodo di zero. La tensione
che annulla è, per definizione, il potenziale elettrico V del corpo carico rispetto alla terra.
Si noti che il potenziale, come la temperatura, sono riferiti ad uno zero convenzionale (la
terra ed il ghiaccio fondente rispettivamente).
2.3.7
La misura della tensione in un dielettrico
Consideriamo un campo elettrostatico. Possiamo misurare la tensione lungo una linea da
un punto A a un punto B con un metodo usato da Faraday [50, p.519]. Questo funziona
così: mettiamo in A e B due piccole sfere metalliche di raggi rA e rB . Se le colleghiamo
con una spira di piccola sezione, le cariche si muovono da una sfera all’altra mantenendo
l’insieme delle due, sfera e filo, allo stesso potenziale.
Supponiamo che la capacità del filo si possa trascurare in confronto con la capacità
delle due sferette così che possiamo trascurare la carica sul filo. Ne viene che se le sfere sono sufficientemente piccole da rendere trascurabile l’influenza delle cariche che si
sono raccolte sulle sfere sulle sorgenti del campo elettrico circostante. In queste ipotesi
denotiamo con qA la carica sulla sfera A e con qB quella raccolta sulla sfera in B: sarà
qA = −qB .
Se stacchiamo la connessione delle due sfere le cariche rimangono imprigionate. Nel
centro della sfera il potenziale della carica q collezionato sulla sua superficie è q/(4πr).
Il fatto che il potenziale delle due sfere connesso con il filo siano uguali implica che
{GZ23}
VA +
qB
qA
= VB +
4πrA
4πrB
(2.48)
2.4. EQUAZIONE COSTITUTIVA U −I
33
da cui otteniamo
{GZ24}
!
−qA 1
1
(2.49)
+
4π rA rB
quindi possiamo misurare la tensione misurando la carica raccolta sulle due sfere.
In particolare se scegliamo B a terra la sfera B diventa la Terra e quindi VB = 0 e
1/rB = 0: ne segue
−qA
(2.50) {GZ28}
VA =
.
4πrA
La tensione si riferisce a linee dotate di orientazione interna.
U AB ≡ VB − VA =
2.4
Equazione costitutiva U −I
La conduzione elettrica in un mezzo conduttore è regolata dalla legge di Ohm:
in regime stazionario la tensione elettrica fra due punti di un conduttore filiforme in assenza di forze d’altra natura (piezo-elettriche, termo-elettriche,
diffusive, chimiche, dinamiche) è proporzionale alla intensità della corrente
che passa nel conduttore.
U=RI
(2.51) {S21}
La legge di Ohm, sperimentata a corrente costante, è ritenuta valida anche in regime
variabile [61, p.387]. Vedremo però che il rapporto causa-effetto tra la tensione e la conseguente corrente esige di principio un tempo di ritardo tra l’applicazione della tensione
e lo stabilirsi della corrente e quindi la scrittura U(t) = R I(t) nasconde questo fatto. La
cosa ha importanza sia dal punto di vista fisico che dal punto di vista numerico.
O. Si considerino due recipienti connessi da un tubo molto lungo e molto stretto. Il
primo recipiente sia pieno di acqua ed il secondo sia vuoto. Si sollevi il recipiente pieno rispetto
a quello vuoto creando un dislivello H. L’acqua impiega un certo tempo a raggiungere un regime
stazionario e quindi la relazione tra il dislivello H (altezza idraulica) e la portata Q, ovvero H = R Q,
analogo alla legge di Ohm, è valido solo a regime.
A questo scopo occorre segnalare una proprietà caratteristica, che sfugge alla trattazione differenziale la quale non distingue gli istanti primali da quelli duali, come spiegheremo a pagina 93. Una tensione media, essendo il rapporto tra un impulso di tensione
elettrica e la durata dell’intervallo
U(t̃) =
E[T]
T
(2.52) {OC5E}
è naturalmente associata ad un istante duale t̃ come mostra la figura (6.1). La corrente,
invece, essendo il rapporto tra il flusso di carica elettrica e la durata dell’intervallo duale
Qf [T̃]
(2.53) {PC5E}
T̃
è naturalmente associato ad un istante primale t. Se ora facciamo una “inversione temporale, ovvero cambiamo l’orientazione interna degli intervalli primali, cambia l’orientazione di T quindi, per la proprietà di disparità delle grandezze globali cambia segno E[T]
I(t) =
34
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
e quindi U(t̃). Questo cambiamento non comporta il cambiamento del segno di Qf [T̃] e
quindi quello di I(t). Quindi per una inversione temporale si ha
U(t) = −R I(t)
(2.54) {UD6E}
ovvero la legge di Ohm non è invariante per inversione temporale. Questo fatto caratterizza la natura irreversibile della conduzione elettrica ovvero la produzione di calore dovuta
all’effetto Joule.
Dal momento che gli istanti duali si trovano a cavallo di quelli primali, come mostra
la figura (6.1), una versione discreta della legge di Ohm è
U(t̃n ) = R
{YD87}
I(tn−1 ) + I(tn )
2
(2.55)
Questa è la relazione usata nella trattazione numerica. Si vede facilmente che il passaggio
al limite voluto dalla trattazione differenziale nasconde questa differenza in quanto fa
collassare istanti duali e istanti primali.
2.4.1
Riassunto
Nell’elettrostatica abbiamo introdotto due vettori
1. il vettore E~ utilizzabile per misurare la forza agente su una carica di prova
~ utilizzabile per valutare la densità di carica indotta su una superficie
2. il vettore D
I due vettori svolgono quindi due ruoli distinti, anche nel vuoto. Gli esperimenti
indicano quale è la relazione tra i due vettori in diversi mezzi.
~ = ε0 E~ nel vuoto sempliceNon è accettabile dal punto di vista logico definire D
mente perchè una definizione non può contenere una costante materiale. Per determi~ e quindi occorre avere in precedenza definito
nare ε0 occorre misurare sia E~ che D
~
~
indipendentemente D ed E.
Il fatto poi che la costante ε0 , una volta misurata consenta di usare uno solo dei due
~ non giustifica la scelta di D
~ = ε0 E~ come definizione.
vettori, solitamente E,
~
~ è un vettore di superficie [39,
Il vettore E è un vettore di linea mentre il vettore D
p.154]
Capitolo 3
Magnetostatica
La presentazione dell’elettrostatica che abbiamo fatto, parte con l’introduzione del flusso
~ In un secondo tempo si introduce il vettore
elettrico Ψ e quindi del vettore induzione D.
~ ed E.
~
E~ ed in un terzo tempo si introduce la relazione costitutiva tra D
In modo analogo, la presentazione che faremo della magnetostatica parte dall’intro~ Sucduzione della tensione magnetica [o forza magnetomotrice] e quindi del vettore H.
~
cessivamente viene introdotto il flusso magnetico V ed il vettore B. In un terzo tempo si
~ = B(
~ H).
~
introduce l’equazione costitutiva B
~
Questa presentazione contrasta con quella tradizionale che presenta prima E~ e poi D
~
~
e prima B e poi H.
3.1
La corrente I: sorgente del campo magnetico.
Il campo magnetico è generato dalle cariche in moto, ovvero dalle correnti elettriche.
La corrente media I¯ è il flusso di carica Qf [S̃, T̃] diviso per la durata T̃ dell’osservazione
Qf [S̃, T̃]
¯ def
(3.1) {U202}
I(t)
=
T̃
La carica che fluisce Qf si può anche chiamare impulso di corrente [51, p.12].
La corrente si misura con un galvanometro o un amperometro a secondo della sua
intensità. Riguardo al segno della corrente si sceglie ad arbitrio una orientazione lungo
il filo fissando un ordine dei morsetti dell’amperometro a zero centrale, e si associa ad
„ vvio che invertendo l’orientazione cambia il segno della
essa la corrente misurata. E
corrente misurata e quindi la corrente elettrica lungo un filo è associata ad una linea con
orientazione interna.
Se la corrente non viene incanalata in un filo ma si considera quella che attraversa una
data superficie, come nel caso delle correnti di Focault, si vede che la corrente cambia
segno al cambiare della orientazione esterna della superficie, definita dalla normale alla
superficie. Quindi la corrente è associata alle superfici con orientazione esterna.
35
36
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
Si noti che ordinariamente parliamo di corrente lungo un filo conduttore per intendere
quella che attraversa una sua sezione normale, come accade per la corrente d’acqua lungo
un fiume. Questo evita l’errore di ritenere che la corrente sia associata ad una linea.
3.2
La prima legge della magnetostatica
La prima legge del magnetismo coinvolge le seguenti variabili fisiche
• la tensione magnetica Fm
~
• il vettore campo magnetico H
• il potenziale scalare magnetico Vm .
3.2.1
Il vettore campo magnetico
Per iniziare la descrizione quantitativa del campo magnetico esaminiamo l’azione del
campo su un ago magnetico. Consideriamo una bobina sufficientemente lunga da poter
considerare entro di essa il campo magnetico uniforme.1 Disponiamo in essa un ago
magnetico posto trasversalmente all’asse della bobina e tenuto da un filo di una bilancia
di torsione, come mostra la Fig. (3.1).
M
t
L
2i
2i
n
L
i
i
2n
a)
b)
Figura 3.1. Il magnetoscopio
{torsione4}
In presenza della corrente nella bobina l’ago magnetico ruota tendendo a portarsi parallelo all’asse della bobina. La completa rotazione è però impedita dalla torsione del filo
1 La
descrizione che segue si trova in Pohl [52, p.86]
37
3.2. LA PRIMA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
di sostegno. Per riportare l’ago nella posizione trasversale occorre torcere all’indietro il
filo applicando un momento torcente Mt . Si ricordi che il momento torcente di un filo è
proporzionale all’angolo di rotazione.
Si constata che l’entità del momento torcente è proporzionale alla corrente i1 che passa
nella bobina, al numero n1 di spire ed inversamente proporzionale alla lunghezza L1 della
bobina.
n1 i1
(3.2) {S01}
.
Mt ∝
L1
Si constata che cambiando la bobina, ovvero prendendo una bobina con n2 spire, anche
composta da più strati di avvolgimento, con lunghezza L2 e facendo passare una corrente i2 si ha lo stesso momento torcente (e quindi la stessa rotazione iniziale dell’ago
magnetico) quando si realizza la condizione
n1 i1 n2 i2
(3.3) {S22}
=
.
L1
L2
Evidentemente l’uguaglianza della rotazione o del momento torcente indica l’uguaglianza
dei campi nell’interno delle due bobine. Ne viene che la grandezza scalare
def n i
H =
(3.4) {S02}
L
è adatta a caratterizzare l’intensità del campo magnetico. Si noti che l’osservazione della
uguaglianza dei momenti torcenti non presuppone una taratura del dispositivo il quale
funziona quindi da magnetoscopio.
i
i /2
2n
i /2
I=ni
n
i
Figura 3.2. Solenoidi di uguale ampiezza con lo stesso numero di amperspire (da [46,
p.238]).
{solenoide}
Per dire da che parte gira l’ago dobbiamo fissare un verso all’asse del solenoide. Questo è dato con la solita regola del cavatappi applicato al senso della corrente. Sia ~t il
versore che indica la direzione orientata.
„ llora opportuno “elevare la grandezza scalare H alla “dignità di vettore
E
~ = H ~t.
H
(3.5)
Questo vettore prende il nome di intensità del campo magnetico.
{S05}
38
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
3.2.2
La tensione magnetica
Rifacendoci al paragrafo precedente possiamo introdurre la tensione magnetica lungo
l’asse della bobina
def
Fm = n i.
(3.6)
Fm
.
L
(3.7)
Ne viene che
H=
{S04}
In questo modo si può vedere H come il rapporto tra la tensione magnetica lungo l’asse
della bobina e la lunghezza della bobina. In generale entro un campo uniforme la tensione
magnetica lungo un segmento di retta ~L si può definire come
def
~ · ~L.
Fm [L̃] = H
{S17}
(3.8)
Se il campo magnetico non è uniforme questa definizione si generalizza così
def
Fm [L̃] =
{S18}
Z
L̃
~ · d ~L.
H
(3.9)
~ ed H.
~ Nella regione interna ad un condensatore con armature piane
O. Parallelo tra D
sufficientemente estese il campo elettrico è sensibilmente uniforme e nell’interno di un solenoide
rettilineo sufficientemente esteso il campo magnetico è sensibilmente uniforme.
campo elettrico
~ = Ψ ~n
D
S
flusso elettrico/area
{S06}
campo magnetico
~ = Fm ~t
H
L
tensione magnetica/lunghezza
(3.10)
L’analogo del condensatore a facce piane e parallele dell’elettrostatica è il solenoide rettilineo
della magnetostatica. Il condensatore a facce piane e parallele è stato il cavallo di battaglia di
Faraday così come il solenoide è stato il cavallo di battaglia di Ampère.
3.2.3
La natura assiale del vettore campo magnetico
La tensione magnetica è quindi una grandezza fisica globale associata ad una linea. Quello
che non viene solitamente precisato è che tale linea deve essere dotata di orientazione
esterna, vale a dire di un senso di rotazione attorno alla linea. Infatti cambiando il senso
~ esso è
della corrente la tensione magnetica muta nella sua opposta. Quanto al vettore H
associato ad un senso di rotazione attorno alla linea mediante la regola del cavatappi: è in
~ è definito a meno di una convenzione sulla vite. Per
questo momento che si vede che H
questo motivo esso è chiamato vettore assiale2 .
2 Per
la distinzione assiale/polare si veda l’appendice (A).
{S03}
3.2. LA PRIMA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
3.2.4
39
Misura della tensione magnetica
In un campo magnetostatico si consideri una sonda costituita da un solenoide di sezione
piccola comparata alla lunghezza e lo si alimenti con una corrente di verso ed intensità tali
da annullare il campo magnetico totale nel suo interno3 . Se n è il numero totale di spire
ed i0 la corrente necessaria, la corrente totale che avvolge l’asse del solenoide è I0 = ni0 .
Ciò significa che per ricreare il campo magnetico nell’interno del solenoide, qualora le
sorgenti esterne fossero rimosse, occorre far passare una corrente opposta ieq = −i0 . La
grandezza
(3.11) {L384}
Fm = n ieq
è la tensione magnetica relativa alla linea che forma l’asse del solenoide.
La tensione magnetica è associata al segmento di linea L̃ che forma l’asse del solenoide ed il suo segno è legato ad un senso di rotazione attorno a tale segmento scelto come
„ vidente
positivo. Tale senso è, per definizione, l’orientazione esterna del segmento. E
che
(3.12) {P469}
Fm [−L̃] = −Fm [L̃]
condizione di disparità di Fm .
3.2.5
La prima legge
Consideriamo un lungo filo rettilineo immerso in un mezzo omogeneo ed isotropo, in
particolare nel vuoto o nell’aria, ed esaminiamo il campo magnetico che si crea intorno al
filo quando in esso passa una corrente I.
Misuriamo il valore H disponendo una bobinetta compensatrice lungo un piccolo arco
di circonferenza coassiale al filo. Facendo passare nelle n spire della bobinetta di lunghezza a una corrente i in senso opposto, in modo da annullare il campo nel suo interno, si
può valutare H. Essendo H = n i/a (a parte il segno) si trova
H=
I
2πr
mezzo omogeneo ed isotropo
(3.13) {Z01}
essendo r la distanza del filo. Evidentemente nessuna misura potrà mai confermare il valore π. Il fatto è che, con le unità di misura del sistema S I, eseguendo la misura si trova
per denominatore, a secondo della precisione, il valore 6.28, 6.2831, ecc. Per estrapolazione siamo portati a ritenere che il valore teorico sia 2 π. Questo valore deve intendersi
misurato nei limiti della precisione della misura. Questa è la legge di Biot e Savart.
La relazione (3.13) vale anche nelle immediate vicinanze di un filo non rettilineo. [16,
p. 438]
O. Spesso si legge l’affermazione che per r = 0 si ha H = ∞. Si tratta di una
estrapolazione puramente matematica, fisicamente assurda. Infatti un filo per essere percorso da
3 Questa è chiamata bobinetta compensatrice: vedi Fouillé [24, p.224]; Pohl [51, p.66]; Schelkunoff [56,
p.41]. Langevin [35, p.496] osserva che, in luogo di un solenoide, si potrebbe usare un cilindretto metallico
superconduttore avendo questo la proprietà di annullare il campo magnetico interno. In un superconduttore
immerso in un campo magnetico, infatti, si producono delle correnti superficiali spontanee così come in un
conduttore si produce una carica superficiale spontanea. L’effetto di queste correnti è quello di annullare il
campo magnetico interno così come l’effetto delle cariche superficiali in un conduttore è quello di annullare il
campo elettrico interno.
40
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
corrente deve avere un benché minimo spessore. Si constata che la corrente scorre nella sezione del
filo con densità uniforme sicché sull’asse del filo il campo è nullo (altro che infinito!). Questo ci
insegna che occorre mantenere sempre il contatto con l’esperienza per non fare affermazioni prive
di riscontro fisico.
E’ chiaro che se il mezzo non è isotropo la legge non può valere: infatti la legge
presuppone la simmetria assiale e quindi l’isotropia.
Vediamo ora come dalla legge di Biot e Savart si possa indurre una legge che abbia
una validità più generale.
Liberiamoci dal rettilineo. Scomponendo il filo percorso da corrente in tanti pezzetti
rettilinei di lunghezza ~Lk ciascuno di questi pezzetti contribuirà alla creazione di una parte
~ Si tratta di indurre una possibile relazione tra l’elemento di corrente I ~Lk ed
del campo H.
~ k che esso dà alla creazione del vettore H
~ in un punto generico.
il contributo H
I
I
rk
~k
IL
H~
a
H~ k
‰
H~
~
uk
M
a)
{secondaLaplace}
b)
c)
~ in un
Figura 3.3. a) La seconda formula di Laplace fornisce il contributo al campo H
punto dato da un elemento di corrente. Come verifica della formula ipotizzata si deve
riottenere la formula di Biot-Savart in b) o quella del campo nel centro di una spira come
in c).
Con riferimento alla figura (3.3) ed indicando con ~uk il versore diretto dal punto medio
M dell’elemento di corrente con il punto in cui si vuole calcolare il campo, la formula di
Laplace è
{KDE7}
{KDTE}
~k =
H
I ~
Lk × ~uk
4 π rk2
ovvero
~=
dH
I
d~L × ~u
4 π r2
(3.14)
che è nota come seconda legge di Laplace.
Come verifica di questa formula si può calcolare l’intensità del campo magnetico nel
centro di una spira circolare di raggio a percorsa da una corrente I, come illustrato in
figura (3.3c) e quindi verificare se il valore coincide con quello sperimentale. Il valore
ottenuto è
I
H=
(3.15)
2a
e l’esperienza lo conferma nei limiti della precisione della misura.
O. Il lettore sarà stupito dal fatto che la II legge di Laplace non sia qui scritta
con la notazione tradizionale usando quantità infinitesime e quindi il linguaggio differenziale. Il
41
3.2. LA PRIMA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
fatto è, che una grandezza infinitesima non deve portare necessariamente il simbolo “ d davanti alla
grandezza. Vi è poi una seconda ragione: la verifica della bontà della formula si fa a posteriori
determinando il campo dovuto ad un filo rettilineo indefinito (che non si può avere!) e quindi
effettuando una misura esatta (che non si avrà mai!). Ne viene che noi ci dobbiamo accontentare di
ottenere un accordo tra il valore teorico e la misura sperimentale a meno di una tolleranza che tiene
conto delle nostre esigenze, da una parte, e della precisione dello strumento, dall’altra. Un risultato
“esatto appaga la nostra sete di perfezione ma non avrà mai riscontro nella realtà. Noi siamo abituati
a ritenere che un risultato “esatto sia l’ideale verso il quale deve tendere una teoria quando invece lo
scopo di qualunque teoria fisica è quello di essere in accordo con i fatti sperimentali: questo implica
che deve essere in grado di fornire il valore di una grandezza con una tolleranza convenuta.
Tornando alla legge di Biot e Savart si constata che a causa della simmetria circolare
si può scrivere
(3.16) {Z02}
2πrH = I.
~ lungo la circonferenza coasIl prodotto a primo membro è la circolazione del vettore H
siale, chiamata forza magnetomotrice ed indicata con Fm . Ne viene che la legge di Biot
e Savart si può esprimere in una forma equivalente
Fm [lungo la circonferenza] = I [che attraversa il cerchio].
(3.17) {ZPZ2}
~ dal raggio
Questa versione della legge non fa riferimento esplicito alla dipendenza di H
e quindi può avere una validità più estesa, come ora vedremo.
Indipendenza dalla linea. Il fatto interessante della relazione (3.17) è che la forza magnetomotrice è la stessa per qualunque circonferenza coassiale. Inoltre, dal momento che
~ è diretto tangenzialmente alla circonferenza ne viene che la tensione lungo
il vettore H
un segmento radiale e quella lungo un segmento parallelo al filo Fig. (3.5a) sono nulle.
Inoltre le tensioni lungo qualsiasi arco di circonferenza coassiale delimitato da uno stesso
settore, come gli archi BC e AD in Fig. (3.4b), sono uguali.
I
C
U m3 = 0
r
i
a)
H
U m2
B
D
A
U m4 = ¡ U m2
U m1 = 0
b)
~ con la bobinetta compensatrice; (destra) la
Figura 3.4. (sinistra) la misura del vettore H
forza magnetomotrice lungo il percorso chiuso ABCDA è nulla.
{circuito}
Ne viene che lungo il circuito ABCDA indicato in Fig. (3.4) la forza magnetomotrice
è nulla.
42
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
La forza magnetomotrice lungo un generico segmento di linea, comunque inclinato,
come il segmento AB di Fig. (3.5b) è uguale a quello di qualunque spezzata che congiunga
i medesimi punti. Ne viene che la circolazione lungo una linea chiusa che avvolga il filo
(una sola volta) è uguale alla corrente I che attraversa il circuito. Se la linea chiusa non
avvolge il filo la forza magnetomotrice è nulla.
I
I
I
D
C
B
B
F
A
E
A
a)
c)
b)
Figura 3.5. Ogni linea chiusa non riducibile può essere approssimata con una linea composta di archi di circonferenze coassiali, di segmenti paralleli al filo e di segmenti radiali.
Il contributo non nullo alla forza magnetomotrice è dato solo dagli archi di circonferenza.
{Biot-Savart}
Quindi la forza magnetomotrice lungo un circuito che avvolge il filo è uguale alla
corrente I concatenata con il circuito qualunque sia la forma del circuito:
(3.18)
Fm [lungo un generico circuito] = I [che attraversa il circuito].
{MCYD}
Questa formulazione presuppone ancora che la corrente passi in un solo filo rettilineo
indefinito.
Se ora consideriamo un circuito che avvolga due fili percorsi da corrente I1 ed I2
~ sarà la
essendo applicabile il principio di sovrapposizione 4 , in ogni punto il vettore H
~ 1 ed H
~ 2 e quindi
somma di H
Fm [lungo il bordo di una superficie] = I [che attraversa la superficie]
(3.19)4
In generale si trova:
P : (legge di Ampère) la forza magnetomotrice Fm lungo il bordo di una superficie dotata di orientazione esterna è
uguale alla corrente che attraversa la superficie.
che costituisce la prima legge della magnetostatica dovuta ad Ampère. In formule
Fm [∂S̃] = I[S̃].
{SD8F}
4 Per
il principio di sovrapposizione si veda pagina 116.
♠
(3.20)
43
3.3. LA SECONDA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
3.2.6
Il potenziale scalare magnetico
Consideriamo una regione di spazio nella quale non vi siano correnti. Per la legge di
Ampère in tale regione la tensione magnetica lungo ogni linea chiusa è nulla. Ne viene
che ad ogni punto P si può associare un potenziale magnetico Vm (P) definito come la
tensione magnetica da un punto prefissato A della regione al punto generico:
def
Vm (P) = Fm (AP) =
{UDY7}
Z
P
A
~ · d ~L
H
(3.21)
avendo fatto la convenzione Vm (A) = 0. La nuova grandezza fisica è associata al punto
e dipende dall’orientazione esterna di questo. Infatti, con riferimento alla figura (3.6), si
vedere che il segno del potenziale magnetico dovuto ad una spira dipende dal senso in cui
la corrente percorre una spira. Tale senso indica una orientazione esterna della semiretta
uscente dal punto e quindi una orientazione esterna del punto.
I! ¡I
P Vm
I
I! ¡I
Um
Um ! ¡ Um
Vm ! ¡ Vm
I
Figura 3.6. Il potenziale scalare magnetico in un punto dipende dall’orientazione esterna
del punto.
{magnetico-2}
Dal momento che la tensione magnetica Fm è il tasso dell’impulso di tensione magnetica Fm [T̃, L̃] ne viene che anch’essa è il tasso dell’impulso di potenziale magnetico
Vm [T̃, L̃] e quindi eredita una associazione all’intervallo pur essendo funzione dell’istante (duale), come si vedrà a pagina 93.
3.3 La seconda legge della magnetostatica
La seconda legge della magnetostatica coinvolge le seguenti variabili fisiche
~
• il vettore induzione magnetica B;
• il flusso magnetico Φ.
3.3.1
Il vettore induzione magnetica
Il vettore campo elettrico E~ è stato introdotto considerando la forza agente su una carica
~ misurando la forza agente su un “elemento
di prova. In analogia si introduce il vettore B
di corrente.
Consideriamo un campo magnetico uniforme come quello che si ha nell’intraferro di
un magnete ad anello illustrato in figura (3.7b).
44
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
M
t
M
t
Q
F
F
P
+
a)
b)
Figura 3.7. a) La nascita del vettore campo elettrico E~ dalla misura della forza agente
~ dalla misura della
su una carica elettrica. b) La nascita del vettore induzione magnetica B
forza agente su un elemento lineare di corrente (si veda la figura (3.8).
{torsione1}
Disponiamo un elemento di filo rettilineo PQ di lunghezza L percorso da corrente
nell’interno di tale campo uniforme (3.8). Tale elemento di filo si trovi all’estremità di
un braccio di una bilancia di torsione. Facendo passare una corrente di intensità i si
vede sperimentalmente che l’elemento di filo subisce una forza che tende a far ruotare il
braccio. La rotazione dell’asticciola è limitata da una forcella. Riportando l’elemento di
corrente nella posizione iniziale mediante l’applicazione di un momento torcente Mt sul
braccio, si misura l’intensità F della forza esercitata. L’esperimento indica che tale forza
dipende dalla direzione dell’elemento di filo rispetto alla direzione del campo uniforme ed
è massima quando l’elemento di filo è perpendicolare alla direzione del campo. Facendo
infatti ruotare il campo con il dispositivo indicato in figura si verifica la seguente legge
{PSF6}
F ∝ i L sin(α).
(3.22)
Questa proporzionalità si può tramutare in uguaglianza introducendo una variabile atta a
caratterizzare il campo. Indicatala con B scriveremo
{GU7S}
F = B i L sin(α).
(3.23)
Vediamo ora come tener conto delle informazioni relative alle direzioni. Dal momento
che il segno della forza cambia invertendo il senso della corrente è spontaneo introdurre,
in luogo della grandezza scalare L, un vettore ~L cui daremo come direzione quella dell’elemento rettilineo di filo ed come senso il senso della corrente. Dal momento che la forza
ed il campo sono vettori siamo portati a caratterizzare l’azione del campo mediante un
3.3. LA SECONDA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA
45
vettore che abbia come modulo B e come direzione quella del campo. Il senso del vettore
verrà fissato in modo che si possa scrivere
~
F~ = i ~L × B.
{JSS5}
(3.24)
i
~
S
Q
~
L
P
~
F
~
s
~
B
Figura 3.8. Lavoro fatto spostando un elemento di corrente.
{sposta}
~ per caratterizzare il campo maAbbiamo costruito in tal modo un secondo vettore B
~ nasce con
gnetico: ad esso si dà il nome di vettore induzione magnetica. Il vettore B
l’intento di descrivere la forza che un campo magnetico esercita su un elemento di corrente
~ descrive l’intensità della sorgente.
mentre il vettore H
3.3.2
La nascita del flusso magnetico
Supponiamo ora che l’elemento di filo subisca un piccolo spostamento ~s . Tale spostamento comporta un lavoro W dato da5
~ · ~s.
W = F~ · ~s = i (~L × B)
(3.25) {MCT6}
Per le proprietà del prodotto misto potremo scrivere
~ · ~s = (~s × ~L) · B.
~
(~L × B)
(3.26) {VPD7}
Il prodotto vettoriale a secondo membro dà il vettore area S~ dell’elemento di superficie
generato dall’elemento L nello spostamento s. Indicato tale vettore area con S~ potremo
scrivere
~ · S~ .
W[S] = i B
(3.27) { UFP0}
Questo ci porta ad introdurre la grandezza
def
~ · S~
Φ[S] = B
5 Qui
seguiamo la presentazione di Mie [44, p.148]
(3.28) {U9ZZ}
46
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
alla quale si dà il nome di flusso magnetico. Potremo allora scrivere
(3.29) {REPS}
W[S] = i Φ[S].
Questa definizione si generalizza ad un campo magnetico non uniforme nel modo tradizionale: consideriamo una superficie S e dividiamola in tanti elementi piani dS. Il flusso
magnetico del campo attraverso la superficie è definito come
Z
def
~
{CP45E}
(3.30)
Φ[S] =
B(P)
· d S~ .
S
{PC6D}
Consideriamo non un solo elemento di corrente ma un circuito, ad esempio una spira,
e facciamogli compiere un moto tale che alla fine il circuito si ritrovi nella configurazione
iniziale. Ogni punto del circuito descriverà allora una linea chiusa e l’insieme di queste
linee formerà una superficie chiusa. Così se la spira è una circonferenza e la facciamo
ruotare attorno ad un suo diametro generiamo una superficie sferica; se la facciamo ruotare attorno ad una retta che non la intercetti generiamo una superfice torica. In tutti i casi
si genera una superficie chiusa. Una superficie chiusa racchiude sempre un volume (ad
esempio sfera o toro) e quindi può vedersi come il bordo di un volume. Se il volume è
dotato di orientazione interna anche la superficie è dotata di orientazione interna anche e
quindi si può scrivere ∂V. Il lavoro compiuto durante questa generazione è
Z Z
Z
~
~
~
(3.31)
W[∂V] = i
B(P) · ( d ~s × d L) = i
B(P)
· d S~ = i Φ[∂V].
s
L
∂V
Orbene l’esperienza dice che
S : se muoviamo un circuito, sia rigido
che deformabile, ad esempio una spira percorsa da corrente, in un campo
magnetico statico in modo da riportarlo alla posizione iniziale non si compie
alcun lavoro [44, p.148].
In formule
Φ[∂V] = 0.
♠
(3.32)D7
Si noti che questa relazione è analoga a quella del campo elettrostatico che afferma essere
nullo il lavoro fatto in un campo elettrico costante muovendo una carica q lungo una linea
chiusa 31.
Cosa accade se il campo magnetico è variabile? Quando si calcola un integrale di
linea o di superficie o di volume di una funzione o di un vettore che dipende oltre che
dal posto anche dal tempo si intende che l’integrazione viene fatta mantenendo costante
l’istante, come se il campo variabile fosse congelato a quell’istante. Questo è semplicemente conseguenza della nozione di integrazione parziale. La stessa cosa avviene nella
definizione di derivazione parziale in cui le altre variabili rimangono congelate. Ebbene
la seconda legge del campo magnetostatico rimane valida, anche se il campo magnetico è variabile ad esempio perché si sta spegnendo lentamente o bruscamente: il flusso
magnetico sul bordo di un volume è nullo ad ogni istante. Vedremo che non accade lo
stesso della tensione elettrica: in un campo costante nel tempo (elettrostatica) essa è nulla
3.4. L’EQUAZIONE COSTITUTIVA B−H
47
su qualunque linea chiusa ma se il campo varia essa (sempre essendo calcolata a tempo
congelato) non è nulla, ovvero varia da un istante all’altro.
O. Confronto tensione elettrica-flusso magnetico. Come la tensione elettrica U si
può interpretare come il lavoro per unità di carica così il flusso magnetico si può interpretare come
lavoro per unità di corrente:
W
W
U=
(3.33) {PJD6}
Φ= .
q
i
volt =
3.3.3
joule
coulomb
weber =
joule
.
ampere
La natura assiale della densità di flusso magnetico
Nel paragrafo precedente abbiamo rappresentato l’elemento di area individuato dai due
vettori ~s ed ~L mediante il vettore S~ ottenuto facendo il prodotto vettoriale dei due vettori.
Questo implica che il vettore S~ è associato alla superficie mediante la regola del cavatappi
e quindi è un vettore assiale: esso muta segno se si cambia la vite destra nella vite sinistra.
Dal momento che il flusso magnetico Φ non dipende, ovviamente, dalla vite, ne viene che
~ vi deve dipendere ovvero anche B
~ è un vettore assiale. Questo si
anche il vettore B
può vedere direttamente dalla formula (3.24) in cui viene usato il prodotto vettoriale: dal
momento che né la forza F né il vettore ~L dipendono dalla regola della vite, e si chiamano
perciò vettori polari, il vettore B vi deve dipendere per compensare la dipendenza dalla
vite del prodotto vettoriale.
3.4
L’equazione costitutiva B−H
~ ed H
~ dipende dal mezzo: essa può essere investigata con il dispositivo
La relazione tra B
di Fig.(3.9a).
N1
B
I
G
N2
+
H
0
C
+
4
3
2
A
1
Figura 3.9. a) Il dispositivo per la determinazione della relazione H − B nei materiali
ferromagnetici. b) La relazione risultante per i materiali ferromagnetici.
{magnete}
48
CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA
Consideriamo un provino di forma torica6 . Se consideriamo un avvolgimento con
N1 spire in ciascuna delle quali passa una corrente I, indicando con L0 la circonferenza
media del toro se la sezione trasversale ha dimensioni piccole rispetto al raggio del toro,
il campo magnetico nel suo interno sarà approssimativamente uniforme per cui
H=
{GZ4Z}
N1 I
.
L0
(3.34)
Agli estremi di un secondo avvolgimento formato da N2 spire, alla chiusura del circuito
si registrerà una variazione di flusso (inizialmente nullo)
N2 B S = R q
{HYZ7}
donde
B=
Rq
N2 S
(3.35)
essendo R la resistenza del circuito secondario; q la carica registrata nel secondario; S
l’area della sezione del toro. In questo modo, per ogni valore di I possiamo misurare sia
H che B e quindi possiamo ottenere il diagramma H − B.
6 Qui
ci rifacciamo alla presentazione di Someda [58, p.24]
Capitolo 4
Elettromagnetismo
Per secoli i fenomeni elettrici sono stati considerati del tutto distinti da quelli magnetici. Una cosa era l’elettrizzazione per strofinio, le palline di sanbuco, la carica
delle bottiglie di Leida, la generazione di corrente mediante una pila; tutt’altra cosa
erano i magneti permanenti e le bussole. Un giorno dell’anno 1819, durante un esperimento, il fisico danese Oersted si accorse che quando in un filo passava una corrente un ago magnetico posto nelle vicinanze del filo si spostava: un fatto elettrico,
la conduzione, interagiva con un fatto magnetico. E’ così caduto un muro divisorio
tra due branche della scienza che erano adiacenti e non lo sapevano! Nacque così
l’elettro-magnetismo.
4.1
Induzione elettromagnetica
Se mettiamo due sferette metalliche connesse da un sottile filo metallico entro un campo
elettrico, ad esempio fra le due armature di un condensatore, per induzione elettrostatica
esse si caricano come indica la figura (4.1a). Staccando il filo che li unisce è possibile
vedere che sulle due sferette si sono accumulate due cariche di opposto segno. Questo
indica che attraverso il filo metallico è stato percorso per un tempo brevissimo da cariche
elettriche.
49
50
CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO
------
+
+
+
+
+
a)
+
+
+
+
+
b)
Figura 4.1. Due modi di caricare due sferette di cariche di opposto segno.a) tenendole
ferme in un campo elettrostatico; b) muovendole in un campo magnetostatico.
{bello}
„ ufficiente
Esiste un altro modo, a priori insospettabile, per caricare le due sferette. E
far muovere l’intero apparato, cioé le due sferette ed il filo che le congiunge, in un campo
magnetico perpendicolare alla velocità. Infatti le cariche positive inizialmente in quiete
lungo il filo muovendosi insieme al filo sono soggette ad una forza che è diretta lungo il
filo secondo la formula ... Ne viene che cariche di segno opposto si accumulano sulle due
sferette. Infatti staccando il contatto col filo si constata che le sferette sono elettrizzate
Si vede così che durante il moto del filo passa una corrente dall’una all’altra sferetta.
Si determina allora una differenza di potenziale che crea nell’interno un campo elettrico
che si oppone all’ulteriore moto delle cariche. Le cariche cessano di muoversi quando si
realizza la condizione che la forza dovuta al campo magnetico uguaglia quella dovuta al
campo elettrico che si è instaurato nel filo:
{KST5D}
qvB = qE
+
+
+
+v
+
e quindi
vB = E
(4.1)
Questo esperimento suggerisce di costruire il dispositivo di figura (4.2). Esso è composto
di un filo metallico piegato ad “U immerso in un campo magnetico uniforme con il vettore
B perpendicolare al piano che contiene il filo. Una sbarretta metallica viene fatta scorrere
strisciando con le due estremità sui due rami del filo ad “U. In conseguenza del moto della
sbarretta le cariche positive migrano verso l’alto e giunte ad una estremità della sbarretta
possono proseguire il loro moto lungo il percorso ad “U ricongiungendosi con quelle di
opposto segno. Nel circuito ABCD si determina così una corrente indotta dal moto della
sbarretta metallica, e quindi una forza elettromotrice registrata dal voltmetro.
+
+
+
+
+
51
4.1. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
∆Φ
B
C
V
D
v
A
{FaradayInd}
Figura 4.2. La variazione del flusso magnetico nel circuito induce una forza
elettromotrice tra i due estremi delle guide.
A causa del movimento il flusso magnetico concatenato con il circuito varia. L’esperimento dice che tra i due estremi C e D delle guide si manifesta una forza elettromotrice
di intensità E. La relazione tra le grandezze in gioco è
E=−
∆Φ
∆t
(4.2)ST
Questa relazione esprime la legge dell’induzione di Faraday-Neumann.
coulomb
secondo
J~
I
B~_
'_
Fm = I
newton
weber
weber
secondo
E~
H~
V = ¡ '_
newton
coulomb
i
Figura 4.3. Analogia tra il campo magnetico prodotto da una corrente ed il campo
elettrico prodotto da un flusso magnetico variabile (da Rojansky, [55, p.343])
{analFiloSpirale}
52
CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO
Figura 4.4. Analogia tra il campo magnetico prodotto da una corrente ed il campo elettrico prodotto da un flusso magnetico variabile. Si noti che il campo in entrambi i casi si
annulla sull’asse del cilindro/solenoide.
{Biot}
F
“
I
Q
Farada
y: “ = Q
Amp ere:Fm = I
Figura 4.5. Analogia tra la legge di Faraday dell’induzione elettrostatica e quella di
Ampère delle correnti.
4.1.1
{anal-Far-Amp}
L’impulso della forza elettromotrice
Introducendo la grandezza
def
E =
Z
T
E dt
(4.3)1
possiamo scrivere la legge dell’induzione così
E[∂S̃, T̃] = Φ[S̃, Ĩ− ] − Φ[S̃, Ĩ+ ]
(4.4)2
Anche per questa grandezza vale la relazione
{P466}
E(−L) = −E(L)
condizione di disparità di E.
(4.5)
53
4.1. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
4.1.2
La misura del flusso magnetico
Il flusso magnetico è stato introdotto mediante la formula
Z
~ · ~n dS
Φ[S] =
B
(4.6)1
S
~ Esso è anche uguale al lavoro fatto
Esso può quindi essere calcolato a partire da B.
muovendo un elemento di filo diviso per l’area generata. Dal momento però che neanche
il lavoro si misura (non esiste un “ergometro) ma bensì si calcola W = F~ · S~ ne viene che
Φ non si può misurare direttamente usando la sua definizione.
La legge di Faraday, una volta sperimentata, fornisce un modo semplice per misurare
il flusso relativo ad una superficie. Si consideri una spira aperta i cui due estremi siano
connessi ad un voltmetro balistico, ovvero ad uno strumento in grado di misurare l’impulso di tensione elettrica. Spegnendo il campo o allontanando il magnete o allontanando
la spira in modo che il campo magnetico sia nullo nella regione in cui si trova la spira si
avrà Φ+ = 0 e quindi si ottiene un impulso di tensione U tale che
E = Φ−
(4.7)2
0
Φ
before
E
after
Figura 4.6. Aprendo un circuito (a sinistra) o allontanando un magnete (a destra) il flusso
attraverso la sonda (la spira al centro) si annulla e quindi si ha un impulso di tensione. Per
la legge di Faraday-Newman esso è uguale al flusso che contatena la sonda in presenza
del campo magnetico.
{spira1}
Ne viene dunque che il flusso preesistente Φ− è uguale all’impulso di tensione misurato.
Ne viene il procedimento di misura della Φ: per misurare il flusso magnetico concatenato ad un circuito si può misurare l’impulso di tensione generato tra i due capi del
circuito dall’annullamento del campo.
Il termine flusso magnetico attraverso una superficie è improprio. Esso sembra indicare qualcosa che attraversa la superficie. Nulla di tutto ciò. Ad una spira percorsa da
corrente utilizzata come rivelatrice di un campo magnetico si può associare un flusso magnetico semplicemente misurando l’impulso di tensione che si genera ai capi della spira.
La parola “flusso ricorda un fluire di qualcosa attraverso la superficie come il flusso di acqua attraverso una sezione di un tubo. Ma nel caso del flusso magnetico non c’è nulla che
attraversa la superficie. Il termine “flusso è già di per sé equivoco: gli manca l’aggettivo
“attraverso per completare l’equivoco!
54
CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO
Il segno del flusso magnetico non dipende da una normale alla superficie (l’orientazione esterna della superficie) ma dal senso in cui la corrente percorre il bordo della
superficie.
Occorre fare attenzione che quando si introduce la normale ad un elemento di superficie questa può essere indipendente dalla orientazione interna o dipendente dalla orientazione interna per mezzo della regola della vite.
La normale indotta dalla orientazione interna della superficie dipende dalla regola
della vite e quindi è un vettore assiale. Dal momento che invece il flusso è una grandezza
che non ha certo bisogno della regola della vite esso deve essere scritto come
Z
~ · ~n dS
(4.8)3
Φ[S] =
B
S
~ deve essere un vettore assiale per compensare l’assialità di ~n.
in cui anche B
Invece il flusso elettrico utilizza la normale ~n come vettore predefinito, che è assegna~ è pure esso
to indipendentemente dalla regola della vite è un vettore polare e quindi D
polare:
Z
~ · ~n dS
D
Ψ[S̃] =
(4.9)4
S̃
Dunque quando nei libri di calcolo vettoriale si dice che il flusso di un vettore è dato da
un integrale del tipo (4.8) o (4.9) si tace sul fatto che vi sono due tipi di flussi, quello della
(4.8) e quello della (4.9).
{elica1}
Figura 4.7. L’orientazione interna di una superficie può essere associata ad una
orientazione esterna mediante la vite destra o sinistra
~ . Quando consideriamo
Il prototipo dei vettori assiali è il vettore velocità angolare ω
una ruota che gira dobbiamo precisare in che senso gira: occorre vedere come è diretta
la velocità dei punti del disco. Per istituire la velocità angolare come vettore occorre
decidere da che parte orientarlo. Questo si fa usando la vite destrogira e quindi il vettore
~ ha una velocità legata alla vite: per questa ragione esso è un vettore assiale.
ω
4.1.3
La legge di Maxwell-Ampère
Nella magnetostatica abbiamo presentato la legge di Ampère (3.20). Nel passaggio ad un
campo magnetico variabile la legge si modifica come segue:
Fm [∂S̃, T̃] = Ψ[S̃, Ĩ+ ] − Ψ[S̃, Ĩ− ] + Qf [S̃, T̃]
♠
(4.10)3
55
4.2. LE LEGGI DEL CAMPO IN FORMA FINITA
„ uesta la legge di Ampère-Maxwell in forma finita.
E
4.2
Le leggi del campo in forma finita
Possiamo riassumere le 4+1 leggi del campo elettromagnetico nel modo seguente
Ψ [∂Ṽ, Ĩ]
E[∂S, T]
Φ[∂V, I]
Fm [∂S̃, T̃]
Qf [∂Ṽ, T̃]
=
Q[Ṽ, Ĩ]
=
Φ[S, I− ] − Φ[S, I+ ]
=
0
=
Ψ [S̃, Ĩ ] − Ψ [S̃, Ĩ ] + Q [S̃, T̃]
=
(4.11)4
f
−
+
Qc [Ṽ, Ĩ− ] − Qc [Ṽ, Ĩ+ ]
Questa scrittura è l’equivalente della forma integrale
Z
∂Ṽ
~ · dS~ =
D
Z Z
T
Z
∂V
∂S
∂S̃
Z Z
T̃
Ṽ
ρ dV
E~ · d~L dt +
"Z
S
~ · dS~
B
#T
=0
0
~ · dS~ = 0
B
Z Z
T̃
Z
∂Ṽ
(4.12) {TZ8}
~ · d~L dt −
H
"Z
J~ · dS~ dt +
"Z
S̃
Ṽ
#T̃ Z Z
~ · dS =
J~ · dS~ dt
D
0
T̃
S̃
#T̃
ρ dV
= 0.
0
Le equazioni (4.11) costituiscono la forma finita delle equazioni di Maxwell. La corrispondente formulazione differenziale in forma indipendente dal sistema di coordinate
è
~ = ρ
div D
∂B
rot E~ = −
∂t
~ = 0
div B
(4.13)5
~
~ = + ∂ D + J~
rot H
∂t
∂ρ
div J~ = − .
∂t
56
CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO
orientazione interna
orientazione esterna
volumeV˜
linea
L
bordo∂L
superficieS
bordo∂V˜
superficieS̃
bordo∂S
bordo∂S̃
volumeV
lineã
L
bordo∂L̃
bordo∂V
interv
allo
T
bordo∂T
interv
allo
T̃
istan
teI
istan
teĨ
bordo∂T̃
Figura 4.8. Gli elementi spaziali e temporali dotati di estensione ed il loro bordo.
{G787IT}
Per l’applicazione queste equazioni devono essere scritte in un sistema di coordinate,
ad esempio in coordinate cartesiane.
Analogamente le equazioni in forma finita devono essere scritte in forma locale usando un complesso di celle. Quando le equazioni (4.11) sono applicate alle celle dei due
57
4.2. LE LEGGI DEL CAMPO IN FORMA FINITA
complessi otteniamo la forma algebrica locale delle equazioni
{K896}
X
c
E[τ
,
l
]
+
Φ[t
,
s
]
−
Φ[t
,
s
]
= 0
βα
n+1
α
n+1
β
n
β
α
X
dkβ Φ[tn , sβ ] = 0
β
X
c̃αβ Fm [τ̃n , l̃β ] − Ψ [t̃n+1 , s̃α ] − Ψ [t̃n , s̃α ] = Qf [τ̃n , s̃α ]
β
X
d̃hα Ψ [t̃n , s̃α ] = Qc [t̃n , ṽh ]
α
X
f
c
c
d̃
Q
[τ̃
,
s̃
]
+
Q
[
t̃
,
ṽ
]
−
Q
[
t̃
,
ṽ
]
= 0.
hα
n
α
n+1
h
n
h
α
(4.14)
In particolare le due equazioni di evoluzione possono essere scritte (ricordando che c̃αβ =
cβα )
X
Φn+1
= Φnβ −
cβα En+1/2
α
β
α
X
(4.15) {K89F6}
♠
cβα (Fm )nβ − (Qf )nα .
Ψαn+1/2 = Ψαn−1/2 +
β
Questo sistema di equazioni è quello usato per le applicazioni numeriche, come vedremo
nel capitolo (8), in particolare nello schema di pagina ??. Queste equazioni mostrano
chiaramente che i due flussi, quello elettrico e quello magnetico, sono da valutare sugli
istanti primali e duali rispettivamente. L’alternarsi degli istanti primali e duali assomiglia al salto della cavallina, come mostra la figura (4.9), e questo è infatti il nome dato
a questo algoritmo (leapfrog algoritm). Esso è usato nel metodo delle Finite Differences in Time Domain, brevemente FDTD che è uno dei metodi di maggior applicazione
nell’elettromagnetismo computazionale.
t̃n
t̃n +1
t
tn − 1
tn
Figura 4.9. Il salto della cavallina.
{cavallina}
58
CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO
Tavola 4.1. La corrispondenza tra la formulazione finita e quella differenziale
del campo elettromagnetico.
finite formulation
domain functions
field laws
1
2
Faraday’s law
X
cβα E[τn , lα ] + Φ[tn , sβ ] − Φ[tn−1 , sβ ] = 0
~=0
curl E~ + ∂t B
+
n × (E~ − E~ − ) = 0
(
α
magnetic Gauss’ law
X
dkβ Φ[tn , sβ ] = 0
~=0
div B
~+ − B
~ −) = 0
n · (B
(
β
3
Maxwell-Ampère’s law
X
c̃αβ Fm [τ̃n , l̃β ] − Ψ [t̃n+1 , s̃α ] − Ψ [t̃n , s̃α ]
~ − ∂t D
~ =J
curl H
+
~
~ −) = K
n × (H − H
(
β
4
= Qf [τ̃n , s̃α ]
electric Gauss’ law (electrostatic induction)
X
d̃hα Ψ [t̃n , s̃α ] = Qc [t̃n , ṽh ]
~ =ρ
div D
~+ − D
~ −) = σ
n · (D
(
α
5
6
7
charge conservation law
X
d̃hα Qf [τ̃n , s̃α ] + Qc [t̃n+1 , ṽh ] − Qc [t̃n , ṽh ] = 0
(
α
general solution of magnetic Gauss’ law
X
Φ[tn , sβ ] =
cβα p[tn , lα ]
k
material laws
s̃α
8 Ψ [t̃n , s̃α ] = E[τn , lα ]
τn lα
1 τ̃n L̃β
9 Fm [τ̃n , l̃β ] =
Φ[tn , sβ ]
µ sβ
10 Ohm’s law
!
Qf [τ̃n , s̃α ]
E[τn , lα ] E[τn+1 , lα ]
=σ
+
τ̃n s̃α
2 τn lα
2 τn+1 lα
div J + ∂t ρ = 0
n · (J+ − J− ) = 0
(
~ = curl A
B
n × (A+ − A− ) = 0
(
E~ = −grad V − ∂t A
V+ − V− = 0
α
general solution of Faraday’s law
E[τn , lα ]
X
=−
gαk V[τn , pk ] − p[tn , lα ] − p[tn−1 , lα ]
{EE80}
differential formulation
field functions
~ = E~
D
~ = 1B
~
H
µ
J = σE~
Capitolo 5
I complessi di celle
Nella trattazione differenziale hanno un ruolo essenziale i sistemi di coordinate in
quanto associano ai punti dello spazio una terna di numeri, le coordinate del punto.
Le variabili fisiche usate nella trattazione differenziale sono funzioni del punto e quindi le coordinate permettono di mettere in relazione punti dello spazio con numeri (i
valori della variabili). Nella trattazione finita si usano grandezze fisiche globali che
sono associate non solo a punti, ma a linee, a superfici e a volumi. Quindi i sistemi di
coordinate non bastano più: occorre avere un telaio di riferimento capace di esibire
questi elementi spaziali. Questo ruolo è svolto dai complessi di celle in quanto questi
esibiscono i vertici, gli spigoli, le facce ed i volumi.
5.1
Il ruolo dei complessi di celle
I complessi di celle svolgono un ruolo analogo ai sistemi di coordinate; essi consentono
di evidenziare nel dominio gli elementi spaziali di cui ha bisogno la trattazione finita e
cioè i volumi, le facce, gli spigoli e i vertici.
Nella formulazione differenziale le coordinate hanno un ruolo essenziale in quanto
permettono di descrivere i punti con delle coppie di numeri nel bidimensionale o delle
terne nel tridimensionale. I punti sono i protagonisti della geometria nella formulazione
differenziale in quanto questa fa uso delle funzioni di punto.
Al contrario in una formulazione finita si usano le funzoni di insieme e queste sono
riferite non solo ai punti ma anche alle linee, alle superfici ed ai volumi. Ne viene che i
complessi di celle, con i loro vertici, spigoli, facce e volumi offrono i referenti spaziali
per le grandezze globali e quindi sono indispensabili per la formulazione finita.
5.2
Complessi simpliciali
Tutte le volte che si studia un campo si fissa una regione dello spazio, il dominio, delimitato da un bordo. Per fare una trattazione finita del campo è necessario dividere il
dominio in tante cellette di forma arbitraria e di dimensioni opportune. Si ottiene in tal
59
60
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
modo un complesso di celle. I complessi più semplici da trattare sono formati da triangoli nel bidimensionale e da tetraedri nel tridimensionale. Dal momento che i triangoli e
i tetraedri sono rispettivamente i poligoni ed i poliedri più semplici il complesso da essi
formato prende il nome di complesso simpliciale. I triangoli e i tetraedri sono i simplessi
nel bidimensionale e nel tridimensionale rispettivamente.
{easyforo}
Figura 5.1. Un esempio di complesso di Delaunay con maglie più fitte in alcune zone
del dominio.
La figura (5.1) mostra un complesso simpliciale ottenuto con un generatore automatico di maglie1 .
Faremo riferimento a complessi simpliciali. Le ragioni che suggeriscono di usare un
complesso simpliciale in due o tre dimensioni sono almeno tre:
• la prima è che un dominio di forma generica anche contenente cavità può essere
delimitato da una o più poligonali come mostra la figura (5.1). La triangolazione
può appoggiarsi sui lati di queste poligonali nonchè sulle superfici di separazione
di materiali diversi, come indicato in figura (5.12). Questo non è possibile se la
maglia2 , è fatta di rettangoli3 .
• la seconda è che i simplessi consentono l’infittimento in alcune regioni e la rarefazione in altre. Questo consente di infittire il complesso nelle regioni in cui le
variazioni delle grandezze sono più rapide e di rarefarle dove le variazioni sono più
lente. Ciò consente di diminuire notevolmente il numero delle celle del complesso a parità di approssimazione del risultato. Questo non è possibile se la maglia è
costituita da rettangoli.
• L’interpolazione dei valori di una grandezza nell’interno di ogni simplesso è particolarmente semplice, come vedremo.
5.2.1
Triangolazione di Delaunay
Il complesso simpliciale più semplice nel bidimensionale è quello costituito da triangoli
equilateri. Esso però ha lo svantaggio di non poter essere adattato al bordo del dominio
{easy}
1 E’ stato ottenuto con il programma easymesh che si trova all’indirizzo:
http://www-dinma.univ.trieste.it/ ˜nirftc/research/easymesh/
2 Noi usiamo il termine “complesso di celle che è da ritenersi, per il momento, equivalente ad altri termini
come tessellatura, magliatura, grigliatura, rete, reticolo e similari.
3 La maglia rettangolare è stata la causa della tramonto del metodo delle differenze finite!
61
5.2. COMPLESSI SIMPLICIALI
oltre al fatto di non potersi infittire in alcune parti del dominio. I più vicini ai complessi formati da triangoli equilateri sono i complessi di Delaunay4 . Prima di presentarli
dobbiamo fare alcune considerazioni riguardo due triangoli adiacenti.
3
3
3
3
O
I
B
C
1
1
1
1
2
2
baricentro: mediane
ortocentro: altezze
2
2
incentro: bisettrici
circocentro: assi
Figura 5.2. I quattro “centri di un triangolo.
{centriIT}
Intanto ricordiamo che in un triangolo esistono quattro centri significativi: il baricentro, l’incentro, il circocentro e l’ortocentro, come mostra la figura (5.2). Mentre il baricentro e l’incentro sono sempre interni al triangolo, il circocentro e l’ortocentro possono
trovarsi all’esterno: questo capita quando i triangoli sono ottusangoli. Noi prenderemo in
considerazione il circocentro ed il baricentro.
5.2.2
Circocentro
Il pregio del circocentro, intersezione degli assi di un triangolo, sta nel fatto che il segmento che congiunge i circocentri di due triangoli adiacenti è perpendicolare al lato comune,
come mostra la figura (5.3a) .
Dalla figura (5.3) si vede che il circocentro di un triangolo acutangolo si trova all’interno del triangolo stesso. Se quindi si considerano due triangoli adiacenti T 1 e T 2 ,
entrambi acutangoli, il segmento C1C2 che connette i loro circocentri è diretto dal triangolo T 1 al triangolo T 2 . Al contrario, se uno dei due triangoli adiacenti presenta un angolo
ottuso il segmento C1C2 è diretto dal triangolo T 2 al triangolo T 1 .
Facciamo vedere che in questo caso una soluzione numerica darebbe risultati errati. Ad esempio, in un campo termico, se indichiamo con T 1 e T 2 le temperature misurate nei punti C1 e C2 e
supponendo che T 1 > T 2 il calore fluisce dalla regione dalla regione più calda verso quella più fredda attraverso la faccia comune del triangolo t1 al triangolo t2 . Ciò è espresso dalla legge costitutiva
di Fourier:
S
(5.1) {B07}
Q = (−λ) (T 1 − T 2 )
L
dova S denota l’area della faccia comune, L la lunghezza del segmento C1 C2 e λ la conducibilità
termica. In questa relazione è sottinteso che la differenza di temperatura venga misurata lungo una
direzione ortogonale alla faccia. Se il verso del segmento C1 C2 è opposto al senso che va dal triangolo t1 al triangolo t2 , il risultato è che l’applicazione della formula (5.1) genera un flusso opposto
a quello naturale. Questo implica un errore nel calcolo numerico che si può diffondere all’intera
regione di integrazione anzichè rimanere localizzato. Per evitare tale inversione dobbiamo richiedere che i due triangoli adiacenti abbiano forma tale che non vi sia inversione dei centri. Occorre
dunque assicurarsi che i circocentri di due triangoli adiacenti non si scavalchino come invece accade
in figura (5.3d). Il criterio trovato da Delaunay è il seguente: per ogni triangolo il cerchio
4 Chiamati
anche complessi di Dirichlet.
62
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
passante per i tre vertici non deve contenere altri vertici del complesso delle celle. Per
dimostrare questo si faccia riferimento alla Fig.(5.4). Sia PQR un triangolo ottusangolo e
C1 il suo circocentro. C1 giace sull’asse dei lati, in particolare sull’asse n del lato PR. Si
consideri una linea r con origine in P e comprendente il punto S come vertice del triangolo adiacente PRS . Se S si trova all’interno del cerchio, ad esempio in S 0 , l’asse di PS 0
intersecherà l’asse n in C1 che giace prima del centro C1 . Al contrario, se S giace in S 00 ,
l’asse di PS 00 si troverà C2 dopo C1 . Abbiamo dimostrato che se S giace esternamente al
cerchio del triangolo PQR (condizione di Delaunay) il centro del triangolo adiacente PRS
giace più lontano del centro del triangolo dato rispetto al lato comune PR. Una triangolazione che soddisfi le condizioni di Delaunay in tutti i suoi triangoli è detta triangolazione
di Delaunay.
Il criterio di Delaunay è valido anche per i tetraedri: in tal caso la sfera contenente i
quattro vertici del tetraedro non deve contenere altri vertici.
Esistono diversi generatori di maglie che costruiscono automaticamente una triangolazione di Delaunay per un dominio di forma qualsiasi, anche contenente buchi.
t2
t2
C2
C2
t1
C2
C1= C2
C1
C1
C1
t2
t1
t1
a) ottimo
{Delaunay1IT}
t2
t1
c) non valido
b) buono
d) non valido
Figura 5.3. I segmenti che congiungono i circocentri di due triangoli adiacenti sono
ortogonali al lato comune. I circocentri di due triangoli distinti è bene che siano distinti
come in a) e b).
r
S
S" r
r
S'
P
C1
n
P
n
C2
1
2
Q
Q
1
2
R
a)
{BB122}
P
C1
C1 = C 2
Q
1
R
b)
C2 n
2
R
c)
Figura 5.4. La condizione di Delaunay assicura che C1 e C2 non siano invertiti, come in
a, né coincidenti, come in b).
Osserviamo che è opportuno considerare un dominio piano come un dominio tridimensionale racchiuso tra due piani paralleli situati a piccola distanza tra loro, come se si
63
5.2. COMPLESSI SIMPLICIALI
trattasse di una lastra sottile. Questo porta a considerare in luogo di triangoli dei prismi,
come mostrato in Fig.(5.5).
strato
strato
a)
{BB11}
b)
Figura 5.5. Un complesso simpliciale nel piano è opportuno che sia considerato formato
di prismi di spessore uniforme.
Questo ha almeno due vantaggi: il primo è che si può mantenere una terminologia
unificata tra problemi piani e tridimensionali parlando di volumi (volumi dei prismi e
volumi dei tetraedri); il secondo è che, come vedremo, il complesso duale risulta sfalsato
nella terza dimensione.
5.2.3
Triangolazione generica
Sovente il dominio bidimensionale ha un contorno composto di tratti orizzontali e verticali, come mostrato in figura (5.6a). Questi domini si possono decomporre in rettangolini
come in figura (5.6b). Ciascuno di questi rettangolini può essere suddiviso in due triangoli rettangoli aventi come ipotenusa una diagonale del rettangolo. Si ottiene così un
complesso simpliciale, come si vede in figura (5.6c) che non è del tipo di Delaunay in
quanto la circonferenza che passa per tre vertici contiene un altro vertice. Ne consegue
che i circoncentri coincidono e si trovano a metà dell’ipotenusa. In questo caso conviene
prendere in considerazione i baricentri come punti rappresentativi dei singoli triangoli.
64
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
a)
b)
c)
d)
Figura 5.6. Un dominio formato da rettangoli, come in a), può essere decomposto in
tanti rettangoli come in b), ciascuno dei quali, a sua volta, può essere diviso in due triangoli. Si ottiene così un complesso simpliciale come in c), che non è del tipo di Delaunay.
Pertanto è conveniente usare come punti interni rappresentativi i baricentri. Il complesso
duale si ottiene congiungendo direttamente i baricentri dei triangoli adiacenti, come in d).
arturo
5.3
{rettangoli}
Complesso duale
Dato un complesso di celle di forma a priori arbitraria si può considerare all’interno di
ogni cella un punto. Congiungendo tali punti interni per ogni coppia di celle adiacenti si
ottiene un secondo complesso di celle cui si dà il nome di complesso duale.
Se il complesso è formato da quadrati nel bidimensionale o da cubi nel tridimensionale, come indicato in figura (??), si può prendere il centro di ogni quadrato/cubo
come punto interno. Questo centro è nel contempo il baricentro ed il circocentro (nel
bidimensionale) o lo sferocentro (nel tridimensionale).
{num}
Figura 5.7. ♣ cubi3 ♣a) La cella duale nel bidimensionale è sfalsata rispetto alle celle
primali. b) Idem nel tridimensionale.
65
5.3. COMPLESSO DUALE
time
E,U
V
Ψ ,Q f
Ψ ,Q c
z
Qc
Vm
Φ
Φ
x
x
Ψ ,Q f
space
E,U
Fm ,Q f
y
Φ
Φ
V
y
E,U
V
Ψ ,Q f
a)
{BB56G}
Fm ,Um ,Q f
Fm
b)
space
E,U
Figura 5.8. (left) A space complex and the associated variables;
three-dimensional space-time and the associated variables.
(right) a
Se il complesso è simpliciale del tipo di Delaunay si può prendere come punto interno
o il circocentro (rispettivamente lo sferocentro nel tridimensionale) oppure il baricentro
come in figura (5.9a e b). Nel primo caso i poligoni e i poliedri che ne derivano sono
chiamati poligoni di Voronoi; nel secondo caso i poligoni ed i poliedri sono chiamati
poligoni baricentrici.
Se si scelgono i baricentri è opportuno considerare come poligono/poliedro duale
quello che ha come vertici i baricentri non solo delle celle ma anche delle facce e dei
lati, come mostrato in figura (5.9b)
1/3 area del triangolo
h
Figura 5.9. a) Il poligono duale ottenuto congiungendo i circocentri di due triangoli adiacenti (poligono di Voronoi).b) Il poligono ottenuto congiungendo i baricentri dei
triangoli con i baricentri dei lati.
{tre-poliIT}
66
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
C
a)
b)
Figura 5.10. a) I baricentri del tetraedro, delle sue facce e dei suoi spigoli. b) Le facce
del poliedro duale si ottengono componendo le 6 faccette indicate in figura. Ciascuna
di queste è un quadrilatero congiungente il baricentro del tetraedro con i baricentri delle
facce e degli spigoli.
{tetra2}
Il lettore sarà d’accordo sul fatto che sia più semplice disegnare nel tridimensionale un
complesso formato da cubi piuttosto che da tetraedri. Questo lo spingerà, probabilmente,
a preferire i cubi anche nel calcolo numerico. In tal modo ci si priverebbe della possibilità
di infittire le celle nelle regioni in cui le variazioni dei gradienti sono maggiori e di quella
di adattare il complesso alle superfici del bordo.
Per evitare questo il lettore deve tener presente che per la impostazione numerica nel
tridimensionale non è affatto necessario disegnare un complesso simpliciale e tanto meno
il suo duale. Al più occorre disegnare un solo tetraedro con le sei faccette baricentriche.
In figura (5.11) abbiamo illustrato le fasi per fare questa costruzione a mano libera.
67
5.3. COMPLESSO DUALE
k
k
k
j
j
j
h
h
h
c)
b)
a)
k
k
k
j
j
h
j
h
d)
h
e)
i
j
i
i
i
f)
i
i
j
j
A~ 2
A~ 6
~T e
A h /3
h
6
5
h
g)
k
3
4
A~ 1
i
k
h
h
i
h)
A~ 5
{costruisciG}
h
k
4
1
~T e
A h/4
~
A~ 3 A 4
2
i)
√
1/ 3
i
Figura 5.11. Le fasi della costruzione delle sei faccette del poliedro duale contenute nel
tetraedro.
Figura 5.12. Un campione formato da tre materiali diversi: si possono generare
automaticamente dei complessi simpliciali con infittimento scelto a piacere.
{easyVariMaterIT}
68
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
I baricentri delle cellette possono essere presi come vertici di un secondo complesso di
celle: questo secondo complesso lo chiameremo duale del precedente che verrà chiamato
primale. La figura (5.22 a) mostra una cella duale nel caso di un complesso formato da
rettangoli, mentre in (5.22b) si ha la stessa cosa per un complesso simpliciale.
Perché il termine “duale? Tutto nasce dalla constatazione sorprendente che sussiste la
seguente corrispondenza:
• ad ogni vertice del complesso primale corrisponde una cella del duale;
• ad ogni spigolo del complesso primale corrisponde una faccia del duale;
• ad ogni faccia del complesso primale corrisponde uno spigolo del duale;
• ad ogni cella del complesso primale corrisponde un punto del duale;
Una corrispondenza tra elementi di dimensioni complementari prende il nome di
corrispondenza di dualità.
Si possono allora classificare gli elementi spaziali orientati secondo gli schemi della
tabella (??).
5.3.1
Complessi di Delaunay-Voronoi
La coppia formata da un complesso simpliciale di Delaunay e dai relativi poligoni/poliedri
di Voronoi prende il nome di complesso di Delaunay-Voronoi.
Per i metodi numerici è conveniente considerare i complessi di Delaunay-Voronoi5 .
La figura (5.13) indica un complesso di Delaunay-Voronoi nel piano. Si vede come i poligoni di Voronoi siano in realtà dei prismi sfalsati rispetto ai prismi di Delaunay. Parleremo
indifferentemente di triangoli di Delaunay e di “prismi di Delaunay, così come parleremo
indifferentemente di poligoni di Voronoi e di “prismi di Voronoi.
5 Cavendish,
Hall, Porsching [15, p.338]
5.3. COMPLESSO DUALE
magginiElasto}
69
Figura 5.13. Per studiare campo piano di spostamenti si può usare una triangolazione.
Ogni triangolo deve però interpretarsi come la base di un prisma in quanto occorre tener
conto del fatto che esiste uno spessore. Il complesso duale, formato qui da esagoni regolari è a sua volta da interpretare come formato da prismi esagonali. I prismi esagonali e
quelli triangolari sono sfalsati anche nello spessore.
Nel tridimensionale possiamo scegliere un complesso di celle formato dalle linee
coordinate e dalle superfici coordinate di un sistema di coordinate come quello formato da coordinate polari. Complessi di celle formati dalle linee e dalle superfici coordinate
sono utili quando si vuole passare al limite per ottenere la formulazione differenziale.
Abbiamo già detto che la nozione di complesso di celle in un contesto finito corrisponde alla nozione di sistema di coordinate in un contesto differenziale. Possiamo aggiungere
che la coppia di celle Delaunay-Voronoi corrisponde ad un sistema di coordinate ortogonali. Inoltre un complesso di celle formato da parallelotopi 6 corrisponde ad un sistema
di coordinate cartesiane. Indicheremo le celle del complesso duale con una tilde in alto.
Il complesso di celle ed il suo duale sono stati presentati nel bidimensionale e nel
tridimensionale. Esso però si possono introdurre nell’unidimensionale, come riportato
nella figura (5.14).
6 Il termine parallelotopo comprende quello di parallelogramma nel bidimensionale e di parallelepipedo nel
tridimensionale e lo estende a dimensioni superiori a tre.
70
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
punto duale
L
L
>
:
>:
8
><
L
L
punto primale
1P
1L
1L
1P
B
P
>:
8
><
8
><
x
P
P
L
~
8
>
<
~
~
P
>:
~
P
A
~
>:
>
:
~
~L
8
><
8
>
<
L
>:
8
><
~
segmento duale
~
segmento primale
b)
a)
Figura 5.14. Un complesso di celle ed il suo duale in una dimensione.
{unidimG}
Dopo aver diviso l’intervallo AB in intervalli più piccoli (le celle unidimensionali), si
possono considerare dei punti interni ai singoli intervalli come vertici del complesso duale. La scelta più spontanea per i vertici del duale è quella dei punti medi degli intervalli.
Si noti che gli intervalli duali relativi ai due sistemi A e B risultano spezzati.
Per denotare gli elementi spaziali di un complesso di celle e del suo duale introdurremo la notazione seguente.
P
L
S
V
=
=
=
=
punto
linea
superficie
volume
=
=
=
=
vertice
spigolo
faccia
cella
Per denotare gli elementi spaziali del complesso duale porremo una tilde sopra la
lettera corrispondente: P̃, L̃, S̃, Ṽ.
E’ immediato constatare che gli elementi spaziali del complesso duale corrispondono
a quelli del complesso primale in ordine inverso, come mostra la figura (??) .
{complessi-1-2-3}
Figura 5.15. Gli elementi spaziali esibiti da un complesso di celle e dal suo duale.
La figura (??) mostra delle celle formate mediante un sistema di coordinate curvilinee.
Questo tipo di celle è comodo quando si voglia passare da una formulazione finita ad una
differenziale. I numeri che stanno davanti ai simboli 1P, 3L, 3S, 1V indicano le famiglie
di elementi. Ad esempio 3L indica che vi sono tre famiglie di linee (spigoli delle celle) e
cioè tante quante sono le linee coordinate.
71
5.3. COMPLESSO DUALE
Quando si considera un complesso simpliciale, che è più adatto alla risoluzione numerica dei problemi di campo, questi numeri scompaiono.
Se nel problema esaminato interviene il tempo, possiamo costruire un complesso di
celle ed il suo duale sull’asse dei tempi, come indicato in figura (5.16).
Figura 5.16. I due complessi di celle, primale e duale, sull’asse dei tempi.
{tempo-primale-duale}
Chiameremo elementi temporali gli istanti I e gli intervalli T del complesso primale
con i relativi duali Ĩ e T̃.
Si può considerare anche uno spazio-tempo bidimensionale come indicato in figura
(5.17).
schema puro
~~
IL
IP
tempo t
TL
IL
P
~
P
L
~~
TP ~TP ~
P L
P
P
~~
IL
TP
~~
IP
~~
TL
~~
TL
IP
~~
TP
IL
~
P
x
~~
IP
TL
a)
schema misto
~
IL
tempo t
~
~
TL IP
~
IL
b)
P
~
TP
~
P
L P
~
P
~
TP
~ ~
L P
~
IP
~
TL
x
~
IP
~
TP
~
TL
~
IL
~
TP
~
IL
~
TL
~
IP
P
Figura 5.17.
{spazio-tempo}
Combinando gli otto elementi spaziali P, L, S, V, P̃, L̃, S̃, Ṽ con i quattro elementi temporali I, T, Ĩ, T̃ si ottengono 8 × 4 = 32 elementi spazio-temporali. La tavola (??) mostra
uno schema degli elementi spaziali e temporali. ♣ CONGELATO
72
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
3
3
2
2
1
1
2-simplex
2
2
3-simplex
2-cell
3-cell
1
1
2
4-simplex
4-cell
Figura 5.18. (above) The p -cells of a simplicial complex and (below) those of a cell
complex. In both lines the last two pictures shows the three-dimensional projection of a
four-dimensional simplex and of a four-dimensional cube respectively.
5.4
{orienta}
5
3
1
1
1-simplex
5
4
4
4
4
3
{BB93}
Orientazione degli elementi spaziali
Una caratteristica degli elementi spaziali è quella di poter essere orientati. Comunemente
in fisica si fa uso della nozione di orientazione senza fornire un’adeguata presentazione.
La prima cosa che deve essere detta è che vi sono due tipi di orientazione di un elemento
spaziale, quella interna e quella esterna. Ciascuna orientazione è dotata di versi.
Un’altra cosa comunemente non specificata è che anche i punti, pur essendo privi di
misura, possono (e debbono!) essere orientati nell’uno o nell’altro modo.
Vedremo che se dotiamo di orientazione interna gli elementi spaziali del complesso
primale automaticamente gli elementi spaziali del complesso duale risultano dotati di
orientazione esterna.
5.4.1
Orientazione interna
Una linea può essere percorsa in un senso o nel senso opposto: fissare un senso di percorso vuol dire dare una orientazione interna alla linea. La nozione di orientazione è
indispensabile in fisica perché le grandezze fisiche che associamo alle linee cambiano
segno al cambiare dell’orientazione. Allo stesso modo il lavoro di una forza dipende dalla orientazione della linea; la tensione elettrica tra due punti cambia segno al cambiare
dell’orientazione della linea (cioé invertendo i terminali del voltmetro).
3
2
73
5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI SPAZIALI
orientazione interna
P
L
S
V
{CC15ITG}
Orien
tazione
internadiun punto:
un puntoè orien
tatopositiv
amente
seè un pozzo.
Orien
tazione
internadiuna linea:
è lanozione
baseusataperdare
un signi
ficatoall’
orien
tazione
di
tutti
glialtri
elemen
tigeometrici.
Orien
tazione
internadiuna superficie:
tazione
compatibile
dei
è un’orien
suoispigoli,
peres.ilversoper
isuoibordi.
percorrere
Orien
tazione
internadiun volume:
è un’orien
tazione
compatibile
delle
suefacce.
E’equiv
alen
tealla
regola
della
vite.
orientazione esterna
Orien
tazione
esterna
diun punto:
è l’orien
tazione
internadel
volumeche contiene
ilpunto.
P̃
Orien
tazione
esterna
diuna linea:
è l’orien
tazione
internadella
superficieche attra
versalalinea.
L̃
Orien
tazione
esterna
diuna superficie:
scelta
diun orien
tazione
internao
esterna
della
normale.
S̃
Ṽ
Orien
tazione
esterna
diun volume:
scelta
diun orien
tazione
internaod
esterna
delle
normali.
Figura 5.19. I due tipi di orientazione di un elemento spaziale.
Una volta orientata la linea si può dare una orientazione interna ad una superficie:
basta dare una orientazione interna, ovvero un senso di percorso, al suo bordo. L’orientazione interna di una superficie si può indicare con una freccia curva. Ad esempio, il flusso
magnetico prodotto da una spira percorsa da corrente cambia segno al cambiare del senso della corrente: è questa una grandezza fisica il cui segno è vincolato all’orientazione
interna della superficie.
z
z
y
x
a)
b)
y
x
Figura 5.20. L’orientazione interna di un volume equivale alla regola della vite.
{elica}
Se si prende un cubo e si assegna una orientazione interna ad una sua faccia quindi si
propaga questa orientazione alle altre facce in modo che le orientazioni siano compatibili,
si dice che si è data una orientazione interna al cubo. Evidentemente invece del cubo si
può orientare un generico poliedro o una sfera o un cilindro. Nel caso di un cilindro si
vede che le frecce curve sulle due basi hanno sensi opposti e invitano a torcere il cilindro:
così facendo le generatrici del cilindro si attorcigliano dando luogo ad un’elica o ad una
vite. Se si cambia l’orientazione interna del cilindro le generatrici si attorcigliano nel
senso opposto e si genera l’elica opposta. Di qui si vede che una vite destra (come le
comuni viti da ferro e da legno) o sinistra equivale all’orientazione interna di un volume.
Se si considera un tetraedro con tre spigoli ortogonali il cambiamento dell’orientazione interna equivale al cambiamento della mano destra con la mano sinistra.
Ha senso orientare i punti? Si. Basta osservare che da una “sorgente l’acqua esce,
mentre in un pozzo l’acqua entra. La nozione di sorgente e di pozzo è usata nel campo
elettrico: le cariche positive sono sorgenti e quelle negative sono pozzi. Le linee di campo
escono da una carica positiva ed entrano in quella negativa.
74
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
Diremo pertanto che un punto è dotato di orientazione interna se consideriamo le
linee uscenti o quelle entranti come positive. A prima vista sembra privo di senso geometrico parlare di orientazione di un punto in quanto questo non ha misura. Basta però
pensare che quando una nozione non ha significato immediato le si può dare un significato in modo da mantenere certe proprietà formali. Consideriamo le potenze ad esponente
intero del tipo 3m . Secondo la definizione diretta 34 = 3 × 3 × 3 × 3, ovvero si deve
moltiplicare la base per se stessa tante volte quante ne indica l’esponente. Stante questa definizione l’espressione 30 è priva di significato: infatti essa indica il prodotto di
3 × 3 × 3... zero volte! Si scopre poi la regola preziosa 3m /3n = 3m−n . Questa regola,
originariamente, vale se m > n. Cosa succede per m = n ? La regola estesa a questo caso
fornisce l’uguaglianza: 3m /3m = 1 . Dunque all’espressione 30 che non ha significato
diretto si può dare significato assegnando, per convenzione, il valore 1. In tal modo si
conserva la proprietà formale.
La stessa cosa si può fare per dare una orientazione interna ad un punto. Dal momento che il punto non ha misura tale nozione non può essere data direttamente. Ma
considerando che dal punto possono partire ed arrivare linee si può definire l’orientazione interna considerando come positive le linee uscenti e come negative quelle entranti.
Questo induce una orientazione interna al punto che diventa sorgente o pozzo.
Facciamo ora vedere che, per ragioni storiche, il punto è stato implicitamente orientato
come pozzo anzichè come sorgente.
Consideriamo il grafico di una funzione y = f (x) e consideriamo la definizione di
“incremento della funzione tra il valore in x e quello in x + h, come indicato in figura
(5.21a).
y'
y
x'
O
∆y
f (x)
-1
+1
y ''
r'
y
P
f (x +h)
x
r ''
r
h
x''
O
x
O
{incremento}
Figura 5.21. a) La tradizionale definizione dell’incremento di una funzione implica l’orientazione dei punti come pozzi. b) Il vettore raggio è sempre orientato dall’origine verso
il punto e quindi il punto è orientato come un pozzo.
Chiamiamo numero di incidenza tra un punto orientato ed una linea orientata il numero +1 se le due orientazioni sono concordi, -1 se sono discordi e 0 se i due non sono
incidenti. Se si orientano i punti come pozzi (linee positive entranti) si vede che i numeri
di incidenza di due estremi dell’intervallo h sono rispettivamente -1 e +1. Questi numeri
coincidono con i coefficienti dei valori f (x) ed f (x + h) nella definizione dell’incremento.
75
5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI SPAZIALI
Quindi: la definizione di incremento di una funzione utilizza implicitamente la nozione di
punto orientato come pozzo. Una seconda ragione che indica una orientazione implicita
dei punti come pozzi (linee positive se entranti) si ha nella considerazione del vettore raggio. In figura (5.21b) si vede che il vettore ~r è, per definizione, orientato dall’origine di
un sistema di assi al punto considerato.
Le figure (5.22) e (5.23) mostrano rispettivamente un complesso di celle nel bidimensionale e nel tridimensionale con le orientazioni interne dei rispettivi elementi spaziali.
primale
duale
P
S̃
Lx
primale
duale (Voronoi)
P
S̃
L
L̃
S
P̃
L̃ y
Sxy
Ly
L̃ x
S xy
P̃
a)
b)
Figura 5.22. Un complesso di celle primale e duale in due dimensioni. A sinistra delle
celle rettangolari, a destra delle celle triangolari.
Lx
Sxy
Ly
L̃x
L̃z
S̃yz
S yz
V
1P
~
1V
3L
~
3S
3S
~
3L
1V
~
1P
Lz
S̃xy
L̃ y
Ṽ L̃ z
S̃ zx
S zx
a)
b)
Figura 5.23. Un complesso di celle cubiche: il cubo ombreggiato è il duale. La tabella a destra classifica gli elementi dei due complessi in uno schema che sarà utilizzato
intensivamente più tardi.
5.4.2
{BB1IT}
{BB17IT}
Orientazione esterna
Un tessuto o una medaglia hanno un diritto e un rovescio. Orientare una superficie vuol
dire anche fissare una sua faccia come positiva ed una come negativa ovvero fissare un
senso di attraversamento chiamando negativa la faccia di ingresso e positiva quella di
uscita. Questo tipo di orientazione si dice “esterna in quanto presuppone l’immersione
della superficie nello spazio. L’orientazione interna di una superficie si poteva fissare
stando nell’interno della superficie e percorrendola, non attraversandola. Quindi diremo
76
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
che una superfice è dotata di orientazione esterna quando è stato fissato un senso di attraversamento o, che è equivalente, quando è stata prescelta una sua faccia come positiva.
Faremo riferimento alla figura (5.19) parte destra.
Se consideriamo il calore che attraversa una superficie il suo segno dipende dalla
orientazione esterna prefissata: sarà positivo se il flusso di energia (calore) va nel senso
dell’orientazione esterna.
Se consideriamo la carica elettrica indotta su un dischetto di rame posto in un campo
elettrico dobbiamo prima dire quale faccia consideriamo positiva. Infatti la carica indotta
su una faccia è opposta a quella indotta sulla faccia opposta. Se su una faccia c’è la carica
di 7 coulomb e sull’altra -7 coulomb, quale delle due potremo designare col nome di
carica indotta? Sarà quella indotta sulla faccia che consideriamo positiva.
Anche una linea può avere una orientazione esterna: basta considerare un segmento di
linea immerso nello spazio e un senso di rotazione attorno al segmento. Il modo migliore
di vederlo è quello di disporre il segmento attraverso un elemento di superficie dotato di
orientazione interna. La freccia curva che dà l’orientazione interna della superficie fissa
una orientazione esterna del segmento. E’ come se il segmento fosse l’asse di rotazione di
un disco: ruotando nell’uno o nell’altro senso il disco si definisce una orientazione esterna
dell’asse.
Anche un volume può essere dotato di una orientazione esterna: basta considerare
positive le linee uscenti e negative quelle entranti. Solitamente si dice che un volume è
“orientato quando si fissano le normali uscenti o entranti dal suo bordo.
-V
V
a)
{orientaVolume}
V
˜
˜
-V
b)
Figura 5.24. a) orientazione interna di un cubo; b) orientazione esterna.
Questa dualità tra linee e superfici, tra punti e volumi ci consente di dare senso alla
nozione di orientazione esterna di un punto. Basta considerare un cubo dotato di orientazione interna e un punto posto al centro di esso: i sensi di rotazione sulle facce del volume
possono vedersi come sensi di rotazione delle semirette con origine nel punto. Quindi un
punto si dirà dotato di orientazione esterna quando siano stati fissati dei sensi di rotazione
delle semirette con origine nel punto. Per rendere evidente questa orientazione si consideri il centro della pupilla dell’occhio: se si guardano le lancette di un orologio alla
semiretta con origine nel centro della pupilla è associata l’orientazione oraria del moto
delle lancette.
Si può vedere che il potenziale magnetico in un punto di un campo magnetico è una
grandezza fisica associata ai punti dotati di orientazione esterna: esso cambia segno se si
cambia l’orientazione esterna del punto.
Mentre l’orientazione interna di un elemento spaziale (linea, superficie, volume) non
richiede di considerare l’elemento stesso immerso in una varietà mono-, bi- o tri-dimensionale,
77
5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI SPAZIALI
al contrario l’orientazione esterna esige questa immersione e dipende dalla dimensione
della varietà entro la quale l’elemento è considerato immerso.
Consideriamo segmento di retta nello spazio, la sua orientazione esterna consiste in un
senso di rotazione attorno al segmento. E’ come se il segmento fosse l’asse di rotazione
di un disco: ruotando nell’uno o nell’altro senso il disco si definisce una orientazione
esterna dell’asse. Se consideriamo il segmento di retta in un piano la sua orientazione
esterna consiste in un senso di attraversamento. Se consideriamo un segmento di retta
appartenente ad una retta la sua orientazione esterna consiste nel concepire il segmento
come fosse soggetto a trazione o compressione.
L̃
L
˜
˜
-L
˜L
-˜
L
˜
-L
a)
b)
c)
Figura 5.25. Orientazione esterna di un segmento di retta: a) nello spazio; b) nel piano;
c) in una retta.
{orientaSegmento}
Consideriamo un poligono, ad esempio un triangolo o un rettangolo. Se il poligono
è immerso nello spazio la sua orientazione esterna è costituita da un senso di attraversamento ovvero dal considerare una faccia come negativa e l’altra come positiva. Se invece
il poligono è considerato in un piano, la sua orientazione esterna consiste nel considerare
le semirette uscenti come positive e quelle entranti come negative o viceversa.
z
y
˜
˜S
-S
˜S
˜
-S
x
y
x
a)
b)
Figura 5.26. Orientazione esterna di un elemento di superfice: a) nello spazio; b) nel
piano.
z
y
P
˜
x
{orientaPoligono}
˜
˜P
-P
a)
y
˜
-P
b)
˜P
x
c)
x
˜
-P
Figura 5.27. Orientazione esterna di un punto: a) nello spazio, b) nel piano, c) su una
retta.
{orientaPuntoEsterna}
Il momento statico di un sistema di masse valutato rispetto ad un piano è un esempio
di grandezza fisica associata ad un piano con orientazione esterna: infatti il segno del
momento statico di una massa dipende dal senso prescelto di attraversamento del piano.
78
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
La figura (5.28) riassume la nozione di orientazione esterna di quattro elementi spaziali immersi nel tridimensionale, nel bidimensionale e nell’unidimensionale rispettivamente.
3D
L
˜
S
˜
V
˜
2D
L
˜
S
˜
P
˜
P
˜
P
˜
1D
inner orientation
L
˜
outer orientation
IR 3
IR 2
IR 1
{esterna}
Figura 5.28. L’orientazione esterna di un elemento spaziale dipende dalle dimensioni
dello spazio di immersione.
L’orientazione di un elemento spaziale si mantiene per proiezione, come mostra la
figura (5.29).
5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI SPAZIALI
orientazione interna
79
orientazione esterna
IR 3
IR 2
IR 1
ta-orientazIT}
Figura 5.29. Quando un elemento spaziale o spazio-temporale è proiettato in uno spazio
di dimensione inferiore le orientazioni interna od esterna dell’oggetto di partenza danno
luogo alle corrispondenti orientazioni della proiezione.
La figura (5.30) mostra dei complessi di celle in spazi di diversa dimensione, assieme
alle orientazioni degli elementi spaziali che li compongono. Si osservi il fatto importante che una volta assegnate le orientazioni interne agli elementi del complesso primale
risultano assegnate quelle esterne del duale.
80
CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE
y
P
S
L̃
L̃
P̃
>:
>:
8
><
8
><
L̃
P̃
P̃
P
x
>:
L
>:
8
><
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P
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L
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P̃
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x
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L
P
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P̃
L
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Ĩ
Ĩ
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Ĩ
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tempo t
tempo
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I
8
><
S
I
>:
Ṽ
>:
z
x
ĨL̃
T̃ L̃
TS
spazio
TL
f
L̃
Figura 5.30. Complessi di celle. (a) unidimensionale; (b) bidimensionale; (c) tridimensionale; (d) sull’asse dei tempi; (e) in uno spazio-tempo bidimensionale; (f) in uno
spazio-tempo tridimensionale.
{BB55IT}
La tavola (??) mostra degli schemi di classificazione degli elementi spaziali di un
complesso di celle e del suo duale.
Capitolo 6
Analisi delle grandezze fisiche
Noi dedichiamo poca attenzione all’introduzione delle grandezze fisiche che
pur sono le pietre sulle quali è fondata la descrizione matematica della fisica.
Solitamente le introduciamo di soppiatto, man mano che ci servono, senza
presentarle, senza analizzarle, spesso senza darne una definizione.
Consideriamo un generico fenomeno fisico. Individuiamo in esso un “causa che chiameremo sorgente del fenomeno ed un “effetto che chiameremo configurazione del fenomeno.
La sorgente sarà descritta da una variabile fisica che indicheremo con s, dall’iniziale
del termine “sorgente. L’effetto sarà descritto da una variabile fisica che chiameremo
genericamente “potenziale e che indicheremo con la lettera V.
Tali variabili possono essere grandezze scalari o vettoriali, grandezze globali o funzioni del posto.
Vi è una regola valida per tutte le teorie fisiche: se la sorgente è una grandezza scalare
anche il potenziale è una grandezza scalare; se la sorgente è un vettore anche il potenziale
lo è.
Esempi. Nella conduzione termica le sorgenti di calore sono descritte dalla quantità di calore
erogato nell’unità di tempo ovvero da una grandezza scalare. Il corrispondente “potenziale termico
è la temperatura, che è una grandezza scalare.
Nell’elettrostatica la sorgente è la carica elettrica (scalare) ed il potenziale elettrico è uno
scalare.
Nella meccanica dei solidi deformabili la sorgente è una forza (vettore) ed il potenziale è lo
spostamento (vettore).
Nel campo gravitazionale la sorgente è la massa (scalare) ed il potenziale gravitazionale è uno
scalare.
Nel magnetismo posso prendere come variabile di sorgente il vettore densità di corrente J~ e
~
come potenziale il vettore A.
81
{grandezze}
82
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
6.0.3
Le sorgenti del campo
Con il termine campo si intende uno stato fisico dello spazio o della materia che vi è
contenuta.
Ogni campo ha delle sorgenti, cioè delle cause. Così
i generatori di calore sono le sorgenti del campo termico;
le cariche elettriche in quiete sono le sorgenti del campo elettrico;
le cariche elettriche in moto sono le sorgenti del campo elettromagnetico;
le masse sono le sorgenti del campo gravitazionale;
le forze su un corpo solido sono le sorgenti del campo delle deformazioni;
le forze su un continuo fluido sono le sorgenti del campo delle velocità.
Le sorgenti possono essere concentrate in piccole regioni o in punti o distribuite in una
regione del dominio o in tutto il dominio. Sovente sono distribuite uniformemente su tutto
il dominio (è il caso del peso). Se le sorgenti non variano nel tempo né come intensità né
come distribuzione spaziale, allora il campo da esse generato può essere costante oppure
stazionario. In un simile campo le variazioni delle funzioni di campo sono solo variazioni
spaziali. Se le sorgenti invece variano con il tempo allora anche il campo da esse generato
è variabile nel tempo; le variazioni delle funzioni di campo sono sia spaziali che temporali.
6.0.4
I potenziali del campo
La configurazione di un campo è descritta da una o più funzioni del posto e del tempo
alle quali si dà il nome di potenziali del campo. Tali sono il potenziale elettrico, quello
gravitazionale (usato in geodesia), la temperatura (potenziale termico), lo spostamento
nella meccanica dei solidi, la velocità in quella dei fluidi, ecc. La tavola (6.1) mostra i
potenziali e le sorgenti di diversi campi.
{FFF}
Tavola 6.1. I potenziali e le sorgenti dei principali campi della fisica classica.
campo
elettrico
gravitazionale
termico
elastico
fluidodinamico
magnetico
potenziale
potenziale elettrico V
potenziale gravitazionale V
temperatura T
spostamento ~u
velocità ~v
velocità dilatazione volumica θ
~
potenziale vettore magnetico A
sorgente
carica elettrica Q
massa m
generazione di calore P
forza F~
forza F~
pressione p
densità di corrente J~
6.1. CLASSIFICAZIONE DELLE GRANDEZZE
6.1
83
Classificazione delle grandezze
Classificare vuol dire dividere in classi. Si divide un insieme di elementi o di nozioni in
classi al fine di mettere ordine; si mette ordine per lavorare con più facilità, per semplificare, per facilitare la comprensione e per tante altre ragioni. Ogni classificazione si basa
su un criterio: il successo e l’utilità di una classificazione sta nel criterio scelto. Il criterio
che intendiamo presentare è quello del ruolo che la grandezza svolge nell’ambito di una
teoria.
Per fare una analogia si possono classificare gli uomini secondo la loro razza, bianca, gialla, nera, australiana, ecc. oppure secondo il ruolo che svolgono nella società:
casalinghe, operai, impiegati, dirigenti, ecc.
Ebbene la più spontanea classificazione basata sul ruolo svolto dalla grandezza è quella che distingue le costanti fisiche e le variabili fisiche. Questi termini sono convenzionali1 e non impediscono che una variabile mantenga costante il suo valore durante un
processo e quindi si comporti da costante così come non impediscono ad una costante di
dipendere da un’altra grandezza, ad esempio la temperatura, e quindi di comportarsi da
variabile.
Una prova della validità di questa tradizionale classificazione sta nel fatto che esistono
libri che raccolgono i valori delle costanti fisiche.
In matematica il termine “parametro denota una quantità che è costante in un dato
contesto ma che può assumere diversi valori nel passare da un contesto all’altro. Ad
esempio una retta ha l’equazione parametrica y = a x + b: le quantità a e b sono parametri
mentre x ed y sono variabili. I parametri a e b caratterizzano una retta: assegnando loro
un valore si precisa una determinata retta. Per tener conto della possibile variazione delle
“costanti fisiche è opportuno usare per esse il nome di parametri fisici. Si ha quindi la
seguente suddivisione
parametri fisici
(6.1)1
grandezze fisiche
variabili fisiche
6.2
I parametri fisici
Con questo nome si intendono quelle grandezze che caratterizzano la natura di un sistema
fisico. Anche i parametri, a loro volta, possono classificarsi in funzione del ruolo che
svolgono in una teoria: vi sono parametri che caratterizzano un sistema nella sua globalità,
altri che caratterizzano un materiale, altri che intervengono nelle interazioni tra due campi,
altri che descrivono un processo, ecc.
6.3
Le variabili fisiche
Le variabili fisiche sono quelle grandezze che specificano un attributo variabile di un sistema, come l’energia potenziale e quella cinetica di un sistema, l’intensità di una sorgente,
1 Agazzi
[2, p.178]
84
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
il potenziale elettrico in un punto, l’allungamento di un’asta, i flussi scambiati tra due
sistemi, ecc.
Vi è una prima classificazione poco nota ma molto utile: è quella che individua tre
classi di variabili fisiche in funzione del ruolo che esse svolgono in una teoria: variabili
di configurazione, variabili di sorgente e variabili energetiche. Faremo riferimento alla
tavola 1.2.
6.3.1
Variabili di configurazione
Sono quelle che danno la configurazione di un sistema fisico e tutte quelle legate a queste da operazioni di somma, differenza, passaggio al limite, derivazione e integrazione,
divisione per una lunghezza, un’area, un volume e per un intervallo di tempo. Queste
relazioni non devono contenere costanti fisiche. A questa classe appartengono le variabili
geometriche e cinematiche della meccanica dei continui quali gli spostamenti, le velocità,
le velocità angolari, le coordinate generalizzate della meccanica analitica, i potenziali, le
affinità della termodinamica irreversibile, ecc.
6.3.2
Variabili di sorgente
Sono quelle che descrivono le sorgenti di un campo e tutte quelle variabili che sono legate
ad esse da operazioni di somma, differenza, passaggio al limite, derivazione e integrazione, divisione per una lunghezza, un’area, un volume e un intervallo di tempo. Queste
relazioni non devono contenere costanti fisiche. A questa classe appartengono le variabili
statiche e dinamiche della meccanica dei continui, quali le forze, la quantità di moto, il
momento angolare, l’imulso, ecc che creano il campo gravitazionale, le cariche elettriche
che creano il campo elettrico, le correnti, le forze generalizzate della meccanica analitica,
ecc.
6.3.3
Variabili energetiche
Sono le variabili ottenute dal prodotto di una variabile di configurazione per una variabile
di sorgente. Fra queste il lavoro, l’energia nelle sue diverse forme, come l’energia potenziale, l’energia cinetica, l’energia interna, l’energia libera, l’energia di campo; la potenza,
la co-energia, le funzioni di Lagrange e di Hamilton, l’azione, ecc.
parametri fisici
variabili di configurazione
grandezze fisiche
variabili di sorgente
variabili fisiche
variabili energetiche
(6.2)65
O. Questa classificazione è stata introdotta da Hallen nel 1947 [27, p.1], quindi
indipendentemente da Penfield e Haus nel 1967 [49, p.155] e, indipendentemente, dal presente
autore nel 1972 [62], [63]. La tabella che segue confronta la terminologia dei tre autori.
6.4. VARIABILI GLOBALI NELLO SPAZIO
Hallen
Penfield
attuale
6.4
variabili di forza
variabili geometriche
variabili di configurazione
85
variabili di sorgente
variabili meccaniche
variabili di forza
variabili di sorgente variabili energetiche
Variabili globali nello spazio
Di solito si mettono in evidenza tre caratteristiche delle grandezze fisiche:
il campo a cui appartengono (ottica, acustica, fisica atomica, ecc.);
le dimensioni fisiche (ad esempio: MLT −2 );
la natura matematica (scalari, pseudoscalari, vettori, vettori assiali, ecc).2
Ebbene: cosa altro si può dire sulle grandezze fisiche che non sia già stato detto?
Il grande fisico inglese James Clark Maxwell [40], aveva richiamato l’attenzione sul
fatto che alcune grandezze sono associate alle linee, altre alle superfici. Questa distinzione non è stata recepita dalla letteratura successiva. Se si aggiunge che vi sono grandezze
fisiche associate ai punti ed altre associate ai volumi, tradizionalmente le intensive e le
estensive presentate in termodinamica, si vede far capolino un’altra possibile classificazione delle grandezze basata sulla naturale associazione che molte di esse hanno ai quattro
elementi spaziali, cioè ai punti, alle linee, alle superfici ed ai volumi, come vedremo nel
seguito.
I punti, le linee, le superfici ed i volumi sono i mattoni costitutivi degli elementi dello
spazio: essi sono delle varietà di dimensione 0,1,2 e 3 rispettivamente.
In tutti i campi della fisica si trovano variabili fisiche associate ad uno dei quattro
elementi spaziali:
la temperatura T [P]
il potenziale elettrico V[P]
• sono associate ai punti:
il potenziale gravitazionale Vg [P]
lo spostamento ~u[P] di un punto.
il lavoro di una forza lungo una linea W[L];
la tensione elettrica lungo una linea U[L]
la tensione magnetica Fm [L̃];
l’allungamento di un segmento ∆L[L].
il flusso magnetico Φ[S];
il flusso elettrico Ψ [S];
• sono associati alle superfici:
il calore attraverso una superficie Q[S];
il flusso di carica elettrica Q[S].
• sono associate alle linee:
• sono associate ai volumi:
Si veda la tavola (7.9).
la massa M[V] contenuta in un volume;
la carica elettrica Q[V] contenuta in un volume;
~
la quantità di moto P[V]
entro un volume
~
la forza di volume F[V].
86
{ConfSourEnerGen}
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Tavola 6.2. Una classificazione delle grandezze fisiche in base al ruolo da esse
svolto in una teoria.
variabili
di configurazione
variabili geometriche
e cinematiche
coordinate generalizzate
spostamento, velocità
tensore di deformazione
velocità di deformazione
vorticità, vel. angolare
potenziale velocità
acceleraz. gravità
frequenza, vettore d’onda
fase, differenza di fase
potenziale gravitazionale
temperatura, affinità
potenziale chimico
potenziale elettrico
vettore campo elettrico
flusso magnetico
induzione magnetica
ecc.
variabili
di sorgente
variabili statiche
e dinamiche
forze generalizzate
forza, impulso
quantità di moto
massa gravitazionale
densità di massa
momento angolare
pressione, sforzo
entropia
flussi termodinamici
carica elettrica
flusso dielettrico
corrente elettrica
vettore campo magnetico
vettore induz. elettrica
potenziale magnetico
ecc.
parametri (o costanti)
capacità termica
costante dielettrica
carica dell’elettrone
massa del protone
conducibilità termica
resistenza elettrica
modulo di elasticità
temperatura di fusione
numero di Avogadro
numero di Reynolds
velocità del suono
indice di rifrazione
velocità della luce
costante di Planck
viscosità
ecc.
?
variabili energetiche
lavoro, calore
energia potenziale
energia cinetica
energia interna
energia libera
energia elettrom.
potenza
densità di energia
vettore di Poynting
funzione di Lagrange
funzione di Hamilton
azione
ecc.
87
6.4. VARIABILI GLOBALI NELLO SPAZIO
Per indicare la associazione di queste grandezze agli elementi spaziali abbiamo posto
l’elemento stesso entro parentesi quadra. Questa notazione ha il pregio di essere in armonia con la notazione che usa la parentesi tonda per indicare le comuni funzioni di punto.
Ad esempio
Z
Z
Z
~
~
M[V] =
ρ(P) dV
Φ[S] =
B(P)
· d S~
W[L] =
F(P)
· d ~L (6.3)
V
S
{HV5F}
L
~
~
Mentre le grandezze ρ(P), B(P),
F(P)
sono delle funzioni del punto, le grandezze corrispondenti M[V], V[S], W[L] sono delle funzioni di dominio. Queste ultime variabili,
ottenute per integrazione delle funzioni di punto su un dominio tridimensionale (V), bidimensionale (S) e unidimensionale (L), si chiamano solitamente grandezze integrali o
grandezze globali. Noi useremo sistematicamente il termine grandezze globali.
Il fatto di preferire l’espressione variabile globale in luogo di variabile integrale risiede nella constatazione che in laboratorio si misurano principalmente variabili globali e
che quelle locali si deducono per formazione della relativa densità. Così nella meccanica
dei solidi si misura l’allungamento di un segmento mediante un estensimetro e successivadef
mente si valuta l’allungamento unitario = ∆L/L. Nell’elettromagnetismo si misurano
correnti, flussi e tensioni che sono grandezze globali nello spazio: successivamente si
~ B,
~ D,
~ E,
~ H.
~
valutano le corrispondenti densità ρ, J,
Questa naturale associazione delle variabili globali agli elementi spaziali è comunemente sottintesa: noi intendiamo metterla in evidenza e farne oggetto di una accurata
analisi in quanto essa si rivelerà preziosa per ottenere una razionale classificazione delle
variabili fisiche e delle equazioni che le legano.
6.4.1
La proprietà addittiva
Ci proponiamo di mostrare che le variabili globali soddisfano, per definizione, la proprietà
addittiva sui relativi elementi spaziali.
Linee. Consideriamo ora una grandezza fisica globale associata alle linee. Tale è, ad
esempio il lavoro W di una forza lungo una linea L in un campo di forze. Anche qui la
grandezza è addittiva. Questo significa che, dividendo la linea in tanti pezzi Lk , vale la
proprietà
X
[
se
Lk
L=
k
ne viene
W[L] =
W[Lk ].
(6.4)
k
Anche questa proprietà vale, evidentemente, per tutte le grandezze globali associate alle
linee. Consideriamo ad esempio il dislivello tra due punti di una strada in montagna: se d1
e d2 sono i dislivelli relativi ai tratti di strada L1 ed L2 evidentemente il dislivello relativo
ai due tratti è d1 + d2 .
Superfici. Consideriamo della materia che fluisce attraverso una superficie S̃. Se dividiamo la superficie in tanti pezzi S̃k la materia che fluisce su tutta la superficie è la somma
{MCU5V}
88
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
di quelle che fluiscono sui singoli pezzi. In formule
[
se
S̃ =
S̃k
ne viene
Q[S̃] =
X
k
Q[S̃k ].
(6.5)
k
„ vidente che tale addittività, che solitamente diamo per scontata per il solo fatto che
E
eseguiamo delle integrazioni sulle superfici, sussiste per tutti i flussi, non solo per quelli
di materia. Infatti la stessa cosa vale per il flusso di energia, di carica elettrica, di entropia,
per il flusso magnetico, ecc.
Volumi. Consideriamo infine una grandezza globale associata ai volumi, quale la massa
M contenuta entro un volume. Se dividiamo il volume Ṽ in tanti pezzi Ṽk vale la proprietà
[
X
{MCO5V}
(6.6)
se
Ṽ =
Ṽk
ne viene
M[Ṽ] =
M[Ṽk ].
k
k
Questa è la tradizionale proprietà addittiva che presentano le grandezze estensive usate nella termodinamica. Fra queste ricordiamo il contenuto di carica, il contenuto di
entropia, il contenuto di energia, il contenuto di quantità di moto.
Vale la pena di osservare che questa addittività vale se i pezzi degli elementi spaziali
non si sovrappongono, ovvero se sono disgiunti. In simboli
{P7V56}
L1 ∩ L2 ∩ ... ∩ Ln = ∅
S1 ∩ S2 ∩ ... ∩ Sn = ∅
V1 ∩ V2 ∩ ... ∩ Vn = ∅ (6.7)
Quindi la addittività è una proprietà generale delle grandezze globali associate ad
elementi spaziali dotati di misura.
6.4.2
Le densità di linea, di superficie e di volume
Dalle grandezze globali si formano le grandezze densitarie dividendole per la misura dell’elemento spaziale al quale sono associate. Si ottengono così le densità medie di linea,
di superficie o di volume. Le grandezze densitarie, brevemente chiamate densità, sono
funzioni del posto.
Così la densità di massa, la densità di carica, la densità di entropia, la densità di
quantità di moto sono funzioni del posto. Si può precisare meglio questa dipendenza
osservando che il semplice rapporto tra la massa ed il volume è una densità media e,
come tale, eredita una associazione ai volumi. Solo quando si fa il limite di tale rapporto
facendo contrarre il volume ad un punto la densità diventa funzione del punto. Per le
densità di volume avremo
{GC6F}
{HC45D}
M[Ṽ]
(6.8)
Ṽ
In modo simile, considerato un elemento di superficie piana di normale ~n definiremo
~ mediante la formula
implicitamente il vettore induzione magnetica B
M[Ṽ] = hρi Ṽ
def
~ · S~
Φ[S] = h Bi
−→
−→
def
ρ = lim
V−→0
def
Bn = lim
S−→0
Φ[S]
Sn
(6.9)
{IECR}
89
6.5. ASSOCIAZIONE AGLI ELEMENTI SPAZIALI
ed infine, indicato con ~t il versore tangente ad un elemento di linea retta ~L
def
~ · ~L
W[L] = hFi
{HC5D}
−→
def
Ft = lim
L−→0
W[L]
L
(6.10)
Per il fatto che le grandezze densitarie sono ottenute da quelle globali, sarà naturale tener conto della dipendenza indiretta che le densità hanno con l’elemento spaziale al quale
sono associate le rispettive grandezze globali. Si potrebbe chiamare questa “dipendenza
ereditaria. Per le grandezze densitarie useremo le due espressioni
• diremo che è associata ad un elemento spaziale per intendere che la grandezza
globale corrispondente è associata a quell’elemento spaziale.
• diremo che è funzione del punto per intendere che dipende dal punto.
Con questo criterio3
la densità di carica elettrica diremo che è associata al volume ma che è funzione del
punto; la pressione diremo che è associata alla superficie ma che è funzione del punto; il
vettore campo elettrico E~ è associato alle linee ma è funzione del punto.
Esempi di variabili globali nello spazio e nel tempo sono riportati nella tavola (7.9).
„ pportuno dire subito, a scanso di equivoci, che questa associazione non
O. E
riguarda tutte le variabili fisiche; che i criteri di associazione non sono sempre evidenti e che per
alcune grandezze vi sono ambiguità nell’associazione.
Queste ambiguità sono quasi sempre riconducibili ad una ambiguità nella denominazione di
una grandezza che non è completamente specificata da un solo termine o al fatto che l’associazione
è relativa al “punto di vista, quali il punto di vista lagrangiano o euleriano.
Poniamoci la domanda: a quale elemento spaziale è associata una forza? Vi sono forze di
volume, quali è il peso e la forza d’inerzia che sono associate ai volumi, come è ovvio; vi sono forze
di superficie, quali la spinta che un corpo riceve quando è immerso in un fluido, che sono associate
alle superfici. In un campo di forze queste sono associate alle linee come conseguenza del fatto
che esse danno luogo a circolazioni del vettore lungo una linea e quindi a tensioni: tipica è la forza
agente su una particella carica che dà luogo alla tensione elettrica, grandezza associata alla linea.
6.5
Associazione agli elementi spaziali
Riguardo le grandezze fisiche si parla delle dimensioni delle grandezze, della loro natura
matematica, scalari, vettori, tensori; del fatto che siano vettori assiali o polari; dell’essere
costanti fisiche o variabili fisiche. Raramente si parla della distinzione tra grandezze
globali e loro densità. Raramente si distinguono le variabili nelle tre classi: variabili di
configurazione, di sorgente ed energetiche. Conseguenza di questa mancata distinzione è
il fatto che non sia stato messo in evidenza il fatto fondamentale che le variabili globali
di ogni teoria fisica sono associate ad un elemento spaziale.
3 Avvisiamo il lettore che l’introduzione di questa distinzione tra i due termini, dovuta al presente autore,
deve essere sempre esplicitata per evitare incomprensioni o contestazioni.
90
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Le grandezze fisiche globali dell’elettromagnetismo che sappiamo misurare sono sei:
sorgente
Qc
|
densità e tassi (medi): hρi
grandezze globali:
discreto
densità e tassi:
al limite
grandezze di campo:
{global}
ρ
↓
ρ
Qf
|
hii
i
↓
J~
configuraz
E
|
hEi
E
↓
E~
Φ
|
↓
~
B
sorgente
Ψ
|
hσi
σ
↓
~
D
Fm
|
hFm i
(6.11) {M832}
Fm
↓
~
H
Tavola 6.3. Le variabili globali dell’elettromagnetismo da usarsi nella formulazione finita e le corrispondenti funzioni di campo della formulazione
differenziale.
formulazione finita
contenuto di carica elettrica Qc
flusso di carica elettrica Qf
impulso di tensione
E
impulso di tensione magnetica Fm
flusso magnetico
Φ
flusso elettrico
Ψ
−→
−→
−→
−→
−→
−→
formulazione differenziale
ρ densità di carica elettrica
J~ densità di corrente elettrica
E~ intensità del campo elettrico
~ intensità del campo magnetico
H
~ induzione magnetica
B
~ induzione elettrica
D
Notiamo che le grandezze globali dell’elettromagnetismo sono di tipo scalare e che i
vettori nascono come conseguenza della associazione delle grandezze globali a linee e superfici e sono richieste dalla formulazione differenziale. Quindi la formulazione discreta
dell’elettromagnetismo utilizza solo grandezze scalari.
Se facciamo attenzione alla definizione operativa che abbiamo dato constateremo che
le grandezze globali sono associate agli elementi spaziali fondamentali, tali sono i punti,
le linee, le superfici ed i volumi, alcuni dotati di orientazione interna, altri di orientazione
esterna.
91
6.5. ASSOCIAZIONE AGLI ELEMENTI SPAZIALI
space association
source variables
outer orientation
dual complex
configuration variables
inner orientation
primal complex
ph
~ ;p ]electric potential impulse
’ h [¿
n
k
~
electric charge content Q c[tn ;vh ]
lfi
~ n ;lfi ] emf impulse
E [¿
electric flux “ [tn ;~sfi ]
electric charge flow
sfl
~ ;s ] magnetic flux
'[t
n fl
vk
~
Q f[¿n ;sfi ]
~
lfl
~ ]
magnetic potential impulse V m [¿n ;p
k
~
p
k
n
tn¡ 1
fl
~
tn
~n
¿
¿n
tn
~
tn+1
timeaxis
~
~ ]
Q c[tn ¡1 ;vh ] Q f[¿n ;~sfi ] Q c[tn ;v
h
~
~
~
;
F
[
¿
;l
]
“ [tn ¡ 1 sfi ]
n fl
“ [tn ;sfi ]
m
~
]
[
¿
;p
configuration variables V
k E [tn ;lfi ]
n
inner orientation
φ[tn ;p h ]
primal complex
ssociaElettro}
~s
fi
~
mmf impulse F [¿n ;lfl ]
time association
~ ]
~ ;l ]
I[tn ;s
E [¿
fi
n fi
~ n ;p h ]
p k ] V [¿
V m [~tn ;~
~
~
~ ;p ] '[t
'[tn ;sfl ] ’ [¿
n +1;sfl ]
n
k
~
~
F [t ;l ]
source variables
outer orientation
dual complex
~
v
h
Figura 6.1. L’associazione delle grandezze elettromagnetiche agli elementi spaziali e
associa
temporali.
92
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Per renderci meglio conto di questa associazione consideriamo una regione di spazio
entro la quale ha sede un campo elettrico. Ci sarà comodo introdurre una complesso di
celle, ad esempio formato di parallelepipedi, come indicato in figura (6.2), in quanto esso
ci consente di evidenziare gli elementi fondamentali dello spazio. Questi sono i punti (P)
che si identificano con i vertici delle celle; le linee (L) che si identificano con gli spigoli;
le superfici (S) che si identificano con le facce ed i volumi (V) che si identificano con le
celle.
Indichiamo con Qc la carica contenuta in una cella. Il fatto stesso che si usi il termine
“contenuto indica che è stato definito un interno ed un esterno: questo indica che il volume
è orientato con le normali uscenti o entranti ovvero possiede una orientazione esterna.
Indichiamo con Ψ il flusso elettrico relativo ad una faccia: occorre distinguere i due
lati della faccia ovvero occorre usare l’orientazione esterna. Dovendo ora considerare il
potenziale elettrico è naturale associarlo ai punti “centrali delle celle, ad esempio ai loro
baricentri. Ne viene che la tensione elettrica è associata alle congiungenti i baricentri.
Si delinea in tal modo un secondo complesso di celle, che ha come vertici i “centri delle
celle.
Questo secondo complesso lo chiameremo primale mentre il complesso di partenza
verrà chiamato duale.
Si vede così che le quattro grandezze globali dell’elettrostatica, rispettivamente il potenziale V, la differenza di potenziale U, il flusso elettrico Ψ e la carica contenuta Qc
hanno un naturale referente spaziale. Due grandezze sono riferite agli elementi spaziali
di un complesso, altre due a quelli di un complesso duale.
V
electric
poten
tial
refers
tothepoin
ts
oftheprimalcomplex
electricfleld
chargecontent Q c
electric
refers
tothevolumes
ofthedualcomplex
ux “
electric
refers
tothesurfaces
ofthedualcomplex
electric voltage
U
refers
tothelines
oftheprimalcomplex
magnetic fleld
magneticux '
refers
tothesurfaces
oftheprimalcomplex
magnetic
chargecontentG c
refers
tothevolumes
oftheprimal
complex
{analogies1}
magnetic
poten
tial
Vm
refers
tothepoin
ts
ofthedualcomplex
magnetic voltage
Um
refers
tothelines
ofthedualcomplex
Figura 6.2. Gli elementi spaziali a cui sono associate le grandezze globali
dell’elettromagnetismo.
Consideriamo ora una regione di spazio entro la quale ha sede un campo magneti-
93
6.6. ASSOCIAZIONE AGLI ELEMENTI TEMPORALI
co. Introdotti due complessi di celle duali l’uno dell’altro, indichiamo con Gc la “carica
magnetica contenuta in una cella4 e con Φ il flusso magnetico relativo ad una faccia.
Dovendo ora considerare il potenziale magnetico Vm è naturale associarlo ai vertici
delle celle duali. Ne viene che la differenza di potenziale magnetico, ovvero la tensione
magnetica Fm è associata ai lati del complesso duale.
Si vede così che le quattro grandezze globali della magnetostatica, rispettivamente il
potenziale magnetico Vm , la differenza di potenziale Fm , il flusso magnetico Φ e la carica
magnetica contenuta Gc hanno un naturale referente spaziale.
Due grandezze sono riferite agli elementi spaziali di un complesso, altre due a quelli di
un complesso duale. Una analisi parallela consente di mettere in evidenza l’associazione
delle grandezze globali agli elementi del tempo.
6.6
Associazione agli elementi temporali
Finora abbiamo considerato complessi di celle nello spazio. Ora consideriamo un complesso di celle nel tempo.
Consideriamo l’asse dei tempi e dividiamolo in tanti piccoli intervalli (primali) come
indicato nella tavola (6.4)
Tavola 6.4. A time cell complex and its dual.
{tempo}
{Z669}
τ̃n
dual
primal
- d
tn−1
t̃n
t
-
τn
-
- d
tn
t̃n+1
t
-
τn+1
Gli istanti primali sono orientati come pozzi, come avviene per i punti dello spazio.
Questo è conseguenza della convenzione che vuole che l’incremento di una funzione sia
def
definito come ∆t f = + f (t + τ) − f (t). In questa espressione i segni + e - si possono
considerare come i numeri di incidenza +1 e -1 tra l’intervallo τ e i due istanti t e t + τ,
def
ovvero ∆t f = (+1) f (t + τ) + (−1) f (t).
Gli intervalli primali, indicati con ..., τn , τn+1 , ..., sono dotati di orientazione interna,
vale a dire sono orientati nel senso degli istanti crescenti ..., tn−1 , tn , tn+1 , ....
Usando il principio che gli elementi del complesso duale subiscono l’orientazione
delle corrispondenti celle primali, ne viene che gli istanti duali ..., t̃n , t̃n+1 , ... sono dotati
di orientazione esterna, vale a dire hanno la stessa orientazione degli intervalli primali.
Per lo stesso principio gli intervalli duali ..., τ̃n , τ̃n+1 , ... sono dotati di orientazione
esterna, in quanto subiscono l’orientazione interna degli istanti primali.
4 Alcuni fisici ritengono che possa esistere a livello quantistico una carica magnetica isolata, una carica “nord
„ tato mostrato da Dirac che la esistenza dei monopoli potrebbe spiegare il
ed una “sud, i così detti monopoli. E
fatto che la carica elettrica sia quantizzata: si veda [57, p.134], [31, p.251]
t
- d tn+1
94
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
L’inversione temporale è null’altro che l’inversione dell’orientazione interna degli intervalli del complesso primale e coincide, per definizione, con l’inversione dell’orientazione degli istanti duali. Ne viene che se una grandezza è associata agli intervalli del
primale o agli istanti del duale essa cambia segno per inversione temporale e, viceversa,
se una grandezza è associata agli intervalli del duale o agli istanti del primale essa non
cambia segno per inversione temporale.
Le variabili di sorgente sono riferite ad elementi spaziali e temporali dei relativi com„ vidente che la carica elettrica contenuta sia riferita agli istanti di tempo
plessi duali. E
mentre quella fluente sia riferita agli intervalli: rimane ora da stabilire se istanti ed intervalli sono del complesso primale o duale. Dal momento che la carica contenuta è riferita
ai volumi del complesso duale dotati di orientazione esterna, è naturale, per coerenza con
la descrizione relativistica, che anche gli istanti siano quelli del complesso duale. Quindi
scriveremo Qc [Ĩ, Ṽ]. Ne viene che il flusso di carica è riferito agli intervalli del duale:
Qf [T̃, S̃].
Dal momento che il flusso elettrico è la carica riferita ad una superficie con orientazione esterna ne viene che pure esso è riferito agli istanti del duale: Ψ [Ĩ, S̃].
L’impulso di tensione magnetica è, per definizione, l’opposto del flusso di carica che
passa nella bobina compensatrice in un dato intervallo di tempo e quindi anch’esso è
associato all’intervallo duale: Fm [T̃, L̃].
Le variabili di configurazione sono riferite agli elementi spaziali del complesso primale, dotati di orientazione interna. Per coerenza con la descrizione relativistica esse sono
riferite agli elementi temporali del complesso primale dell’asse dei tempi.
In sintesi
{J215}
Qc [Ĩ, Ṽ]
Qf [T̃, S̃]
Ψ [Ĩ, S̃]
Fm [T̃, L̃]
E[T, L]
Φ[I, S]
(6.12)
La associazione delle variabili globali dell’elettromagnetismo agli elementi temporali è
riassunta in figura (6.3) nonché nella figura (6.1) a pagina 91.
6.6. ASSOCIAZIONE AGLI ELEMENTI TEMPORALI
complessodi celleprimale
orien
tazioneinterna
complessodi celleduale
orien
tazioneesterna
ussoelettrico
“fl
corren
teelettrica
Ifl
c
carica
elettrica
Qh
tensione
magnetica
Um fi
sfl
~
lfl
pk
~h
v
~
lfi
s
sfi
tensione
elettrica
U fl
ussomagnetico
'fi
{formagIT}
Figura 6.3. Associazione delle grandezze globali dell’elettromagnetismo alle celle di un
complesso e del suo duale.
95
96
CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE
Capitolo 7
Analisi delle equazioni fisiche
I libri di fisica e quelli di tecnica sono pieni di formule: se ne scrivono tante, spesso
se ne scrivono troppe. Siamo tutti consapevoli che mescolando poche equazioni in
modi diversi se ne possono ottenere molte altre e spesso ci divertiamo a moltiplicarle
dimenticando che il lettore sarà frastornato dalle troppe formule. In un mare di formule c’è il naufragio dei concetti! Raramente ci fermiamo ad esaminare i diversi tipi
di equazioni, a vedere come sono composte, quali ne sono gli elementi costitutivi.
7.1
Le leggi di campo
Una legge è una relazione che lega (legge=lex=lega) gli attributi di uno o più sistemi e che
quindi descrive un fenomeno. Essa può essere qualitativa o quantitativa. Se gli attributi
del fenomeno sono quantitativi si possono esprimere con delle grandezze fisiche e allora
la legge fisica è espressa da formule matematiche che legano tali grandezze, ovvero da
equazioni. Le equazioni presenti in ogni teoria fisica sono il risultato della composizione
di equazioni appartenenti ai tre tipi seguenti
• equazioni di struttura, dette anche equazioni di campo;
• equazioni costitutive dette anche equazioni materiali o fenomenologiche, talvolta
equazioni di stato o equazioni di comportamento.
• equazioni di definizione, che servono a definire le densità, i tassi, le grandezze
energetiche, ecc.
Componendo fra loro equazioni di questi tre tipi si ottengono le equazioni fondamentali
che legano le sorgenti del campo con i corrispondenti potenziali del campo.
7.2
Equazioni di struttura
Le equazioni di struttura sono quelle equazioni che legano fra loro le variabili di configurazione e quelle che legano fra loro le variabili di sorgente. Quindi sono le equazioni che
legano fra loro le variabili fisiche associate alle celle di uno stesso complesso. Esse sono:
97
{equazioni}
98
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
• le equazioni di bilancio che utilizzano un volume V ed il suo bordo ∂V oppure Ṽ e
∂Ṽ ;
• le equazioni circuitali che utilizzano una superficie S ed il suo bordo ∂S oppure S̃ e
∂S̃;
• le differenze spaziali che utilizzano una linea L ed i suoi due estremi ∂L oppure L̃
e ∂L̃ ;
• le differenze temporali che legano un intervallo T con i suoi istanti estremi ∂T
oppure T̃ e ∂T̃.
„ na caratteristica delle equazioni di struttura di riferirsi ad una varietà p-dimensionale ed
E
al suo bordo di dimensione(p − 1). Con riferimento alle tavole di pagina ?? e seguenti le
equazioni di struttura connettono le grandezze contenute in una colonna con quelle della
stessa colonna. Esse hanno alcuni aspetti comuni:
1. coinvolgono i quattro elementi spaziali P, L, S, V ed i due elementi temporali I, T
nonché le loro combinazioni. Si tratta di 4 × 2 = 8 elementi. Tenuto conto che
ciascuno di questi elementi possiede due orientazioni, interna o esterna, vi sono in
totale 8 × 2 = 16 elementi.
2. esse valgono qualunque sia la forma e l’estensione degli elementi spazio-temporali
coinvolti: sono indipendenti da proprietà metriche vale a dire non utilizzano la
nozione di lunghezza, area, volume (nel senso di misura di una regione) e di durata
in questo senso esse sono equazioni topologiche;
3. non coinvolgono parametri materiali;
Per queste ragioni esse verranno chiamate equazioni di struttura.
Il punto (2) implica che le equazioni di struttura siano valide sia in un contesto finito
che in uno infinitesimo. Per esempio l’equilibrio si può applicare ad un atomo in un
reticolo cristallino (10−10 m) così come ad una nave (102 m) alla fonda: in entrambi i casi
la somma delle forze di superficie e di quelle di volume deve essere nulla.
Questo implica che non sono le equazioni di struttura le responsabili della formulazione differenziale delle leggi fisiche.
Useremo i seguenti simboli per le grandezze globali:
Qc [Ṽ, Ĩ]
Qf [S̃, T̃]
Ψ [S̃, Ĩ]
Fm [L̃, T̃]
F [L, T]
Φ[S, I]
la carica elettrica contenuta in un volume Ṽ ad un istante Ĩ;
la carica che fluisce attraverso la superficie S̃ durante l’intervallo T̃
il flusso elettrico sulla superficie S̃ all’istante Ĩ;
l’impulso di forza magnetomotrice lungo la linea L̃ nell’intervallo T̃
l’impulso di forza elettromotrice lungo la linea L nell’intervallo T
il flusso magnetico relativo alla superficie S ad un istante I
Le grandezze dell’ultima riga sono funzioni di campo, scalari e vettoriali.
99
7.2. EQUAZIONI DI STRUTTURA
Tavola 7.1. Le grandezze elettromagnetiche
{JH54}
variabili di sorgente
globali
Qc [Ṽ, Ĩ]
tassi
densità
7.2.1
ρ(~r, t)
variabili di configurazione
Qf [S̃, T̃] Fm [L̃, T̃] Ψ [S̃, Ĩ] E[L, T]
I[S̃, T̃]
Fm [L̃, T̃]
~j(~r, t)
~ r, t)
H(~
Φ[S, I]
E[L, I]
~ r, t)
D(~
~ r, t)
E(~
~ r, t)
B(~
Legge di conservazione della carica
L’incremento della carica contenuta entro un volume, durante un intervallo di tempo, è opposto alla carica uscita dal bordo del volume durante il
medesimo intervallo.
Qc [Ṽ, Ĩ+ ] − Qc [Ṽ, Ĩ− ] + Qf [∂Ṽ, T̃] = 0
(7.1)
{56}
Per arrivare alla formulazione differenziale si dividono i due membri per la durata T̃ dell’intervallo T̃ quindi si effettua un passaggio al limite:
Qc [Ṽ, Ĩ+ ] − Qc [Ṽ, Ĩ− ]
+ I[∂Ṽ, Ĩ] = 0
T̃
Z
Z
d
~j(~r, t) · dS~ = 0
ρ(~r, t) dV +
dt Ṽ
∂Ṽ
Z
Z
∂t ρ(~r, t) dV +
∇ · ~j(~r, t) dV = 0
Ṽ
Ṽ
(7.2) {31}
(7.3) {45}
(7.4) {24}
dovendo valere per qualunque volume dovrà essere
∂t ρ(~r, t) + ∇ · ~j(~r, t) = 0
(7.5) {29}
Gli esperimenti conducono alle seguenti quattro leggi del campo elettromagnetico.
7.2.2
Legge d’induzione elettrostatica
Il flusso elettrico indotto sul bordo di un volume ad ogni istante è uguale alla
carica contenuta nel volume a quell’istante.
Ψ [∂Ṽ, Ĩ] = Qc [Ṽ, Ĩ]
Per passare alla formulazione differenziale scriviamo
Z
Z
~ r, t) · dS~ =
D(~
ρ(~r, t) dV
∂Ṽ
Ṽ
(7.6)
(7.7) {65}
100
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Z
Ṽ
~ r, t) dV =
∇ · D(~
Z
Ṽ
ρ(~r, t) dV
(7.8) {244}
dovendo valere per qualunque volume dovrà essere
~ r, t) = ρ(~r, t).
∇ · D(~
7.2.3
(7.9) {67}
Legge dell’induzione elettromagnetica
L’impulso della tensione elettrica lungo il bordo di una superficie durante
un intervallo è opposto alla variazione del flusso magnetico attraverso la
superficie durante il medesimo intervallo.
E[∂S, T] + Φ[S, I+ ] − Φ[S, I] = 0
{76}
{71}
{72}
{73}
(7.10)
Per ottenere la formulazione differenziale dividiamo per la durata T e passiamo al limite ottenendo
d
E[∂S, I] + Φ[S, I] = 0
(7.11)
dt
Z
Z
~ r, t) · d~L + d
~ r, t) · dS~ = 0
E(~
B(~
(7.12)
dt S
∂S
Z
Z
~ r, t) dS~ + ∂t B(~
~ r, t) · dS~ = 0
∇ × E(~
(7.13)
S
S
dovendo valere per qualunque superficie dovrà essere
~ r, t) + ∂t B(~
~ r, t) = 0
∇ × E(~
{724}
7.2.4
(7.14)
Legge di conservazione del flusso magnetico
Il flusso magnetico totale associato al bordo di un volume ad ogni istante è
nullo.
Φ[∂V, I] = 0
{86}
{85}
Per passare alla formulazione differenziale
Z
~ r, t) · dS~ = 0
B(~
(7.15)
(7.16)
∂V
Z
{84}
V
{87}
~ r, t) dV = 0
∇ · B(~
(7.17)
~ r, t) = 0
∇ · B(~
(7.18)
101
7.2. EQUAZIONI DI STRUTTURA
inner orientation
{G787G}
outer orientation
∼
∼
surface S
volume V
surface S
volume V
boundary ∂S
boundary ∂V
∼
boundary ∂ S
∼
boundary ∂ S
Figura 7.1. Le quattro varietà alle quali fanno riferimento le leggi del campo
elettromagnetico.
7.2.5
Legge di Maxwell-Ampère
L’impulso della tensione magnetica lungo il bordo di una superficie durante
un intervallo è uguale alla somma della variazione del flusso elettrico e del
flusso di carica attraverso la superficie nell’intervallo.
Fm [∂S̃, T̃] = Ψ [S̃, Ĩ+ ] − Ψ [S̃, Ĩ− ] + Qf [S̃, T̃]
(7.19) {96}
Dividendo per la durata T e passando al limite si ottiene
d
Ψ [S̃, Ĩ] + I[S̃, Ĩ]
dt
Fm [∂S̃, Ĩ] =
Z
Z
S̃
~ r, t) · d~L = d
H(~
dt
∂S̃
Z
~ r, t) · dS~ =
∇ × H(~
Z
Z
S̃
~ r, t) · dS~ +
D(~
S̃
~ r, t) · dS~ +
∂t D(~
S̃
(7.20) {91}
~j(~r, t) · dS~
Z
S̃
~j(~r, t) · dS~
(7.21) {92}
(7.22) {93}
dovendo valere per qualunque superficie dovrà essere
~ r, t) = ∂t D(~
~ r, t) + ~j(~r, t).
∇ × H(~
(7.23) {94}
L’analisi che abbiamo fatto delle grandezze fisiche dell’elettromagnetismo combinata con i rudimenti della topologia algebrica ci consente ora una descrizione puramente
algebrica dell’elettromagnetismo.
102
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
z
z
p
¿
t
Vm
t
V
p
p
x
y
t
'
'
x
U
'
¿
y
x
z
U
z
U
¿
Um
“
U
y
t
Um
y
“
x
Um
z
“
ere’s
Maxw ell-Amp
law
z
Farada
y’slaw
Um
Qf
“
y
y
magnetic
Gauss’
law
x
'
x
electric Gauss’
law
Qc
“
Figura 7.2. Space-time objects and global variables associated with them. The picture
of the last row is a four-dimensional cube exploded.
{ipercubo8}
103
7.2. EQUAZIONI DI STRUTTURA
Tavola 7.2. Le due leggi del campo magnetico espresse in varie forme
{ZZ1}
in forma globale (=valida per una regione finita)
orientazione interna
orientazione esterna
il flusso magnetico
relativo al bordo di un volume
è nullo
la tensione magnetica
relativa al bordo di una superficie
è uguale alla intensità della corrente
che attraversa la superficie.
Φ[bordo volume] = 0
Fm [bordo superficie] = I[superficie]
Φ[∂V] = 0
Fm [∂S̃] = I[S̃]
in forma integrale
Z
∂V
in forma integrale
Z
~ · d S~ = 0
B
∂S̃
~ · d ~L =
H
Z
S̃
J~ · d S~
in forma locale (=valida per una regione infinitesima)
a) nei punti di regolarità
~=0
div B
~=0
∇· B
a) nei punti di regolarità
~ = J~
rot H
~ = J~
∇× H
in forma differenziale tensoriale
in forma differenziale tensoriale
j
εi jk ∇ j × Hk = J i
∇jB = 0
o anche (h < i < j)
o anche (h < i < j)
∇ j Bi j − ∇i jBh j + ∇ j Bhi = 0
∇h Hk − ∇k Hh = Jhk
in termini di distribuzioni e cobordo
in termini di distribuzioni e cobordo
δΦ(2) = 0(3)
δUm
(1) = I(2)
con le forme differenziali esterne
con le forme differenziali esterne
1
Bhk dxk ∧ dxk
2!
= 0 (forma pari)
def
φ(2) =
dφ(2)
b) nei punti di discontinuità
condizioni di raccordo
B−n = B+n
1
k
jhk dxk ∧ dxk um
(1) = Hk dx
2!
dum
(forma dispari)
(1) = i(2)
def
i(2) =
b) nei punti di discontinuità
condizioni di raccordo
~t
Ht− = Ht+ + K
~
K=corrente
superficiale
104
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
{ZZ2}
Tavola 7.3. Le due leggi del campo elettrico espresse in varie forme
in forma globale (=valida per una regione finita)
orientazione interna
orientazione esterna
la tensione elettrica
relativo al bordo di una superficie
è nulla
il flusso elettrico
relativo al bordo di un volume
è uguale alla carica
contenuta nel volume.
U[bordo superficie] = 0
Ψ[bordo volume] = Q[volume]
U[∂S̃] = 0
Ψ[∂V] = Q[V]
in forma integrale
Z
∂S̃
E~ · d ~L = 0
in forma integrale
Z
∂V
~ · d S~ =
D
Z
V
ρ · dV
in forma locale (=valida per una regione infinitesima)
a) nei punti di regolarità
a) nei punti di regolarità
rot E~ = 0
~ =ρ
div D
∇ × E~ = 0
in forma differenziale tensoriale
~ =ρ
∇· D
in forma differenziale tensoriale
i jk
∇ jD j = ρ
ε ∇ j Ek = 0
o anche (h < i < j)
o anche (h < i < j)
∇h Ek − ∇k Eh = 0
∇h Di j − ∇i Dh j + ∇ j Dhi = ρ
in termini di distribuzioni e cobordo
in termini di distribuzioni e cobordo
δU(1) = 0
δΨ(2) = Q(3)
con le forme differenziali esterne
con le forme differenziali esterne
u(1) = Ek dxk
1
Dhk dxk ∧ dxk
2!
(forma pari)
ψ(2) =
d u(1) = 0
b) nei punti di discontinuità
condizioni di raccordo
Et− = Et+
1
ρhi j dxh ∧ dxi ∧ dx j
3!
= q(3) (forma dispari)
q(3) =
dψ(2)
b) nei punti di discontinuità
condizioni di raccordo
D−n = D+n + σ
105
7.2. EQUAZIONI DI STRUTTURA
{MED6}
Tavola 7.4. Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di struttura del
campo elettromagnetico: prima equazione dell’elettrostatica.
discrete formulation
continuous formulation
global formulation
Z integral formulation
Z
~
~
D · dS =
ρ dV
Ψ [∂Ṽ, Ĩ] = Qc [Ṽ, Ĩ]
−→
↓
differential forms
(d = exterior differential)
−→
↓
d̃hα Ψα = Qh
α
differential equation
−→
global formulation
Φ[∂V, I] = 0[V, I]
−→
−→
dφ(2) = 0
B+ = B−
n
n
↓
local formulation
differential equation
(
dkβ Φβ = 0k
~ · d S~ = 0
B
differential forms
(d = exterior differential)
↓
β
∂V
↓
local formulation
(δ = coboundary operator)
X
~ =ρ
∇· D
D+ = D− + σ
n
n
integral
formulation
Z
↓
δΦ(2) = 0(3)
dψ(2) = q(3)
D+ = D− + σ
n
n
↓
local formulation
X
Ṽ
↓
local formulation
(δ = coboundary operator)
δΨ(2) = Q(3)
∂Ṽ
−→
~=0
∇· B
B+n = B−n
106
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Tavola 7.5. Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di struttura del
campo elettromagnetico: seconda equazione dell’elettromagnetismo.
{MED8}
discrete formulation
continuous formulation
global formulation
integral formulation
E[∂S, T] + Φ[S, ∂T] = 0
Z Z
−→
∂S
↓
+ ∆t Φ(2) = 0(2)
−→
differential equation
cαβ Eβ + ∆t Φα = 0α
~
∂B
=0
∇ × E~ +
∂t
E+ = E−
t
t
−→
integral formulation
f
Fm [∂S̃, T̃] − Ψ [S̃, ∂T̃] = Q [S̃, T̃] −→
↓
f
δ Em
(1) − ∆t Ψ(2) = Q(2)
−→
↓
− ∆t Ψ α =
∂S̃
T̃
~ · d ~L dt −
H
"Z
S̃
~ · d S~
D
# t2
Z Z
=
t1
differential forms
(d = exterior differential)
m
du(1) − ψ̇(2) = i(2)
H + = H − + Kt
t
t
↓
local formulation
β
Z Z
↓
local formulation
(δ = coboundary operator)
cαβ Em
β
=0
t1
↓
global formulation
X
# t2
du(1) + φ̇(2) = 0
+
−
Et = Et
local formulation
β
S
~ · d S~
B
differential forms
(d = exterior differential)
↓
X
"Z
↓
local formulation
(δ = coboundary operator)
δFm
(1)
T
E~ · d ~L dt +
differential equation
Qfα
−→
~
~ − ∂ D = J~
∇× H
∂t
Ht+ = Ht− + Kt
S̃
T̃
J~ · d S~ dt
107
7.3. EQUAZIONI COSTITUTIVE
7.3
Equazioni costitutive
Le equazioni che legano le variabili di sorgente con quelle di configurazione di una stessa teoria fisica prendono il nome di equazioni costitutive1 . La tavola (7.6) mostra le
principali equazioni costitutive della fisica.
configuration variables
source variables
Volumes
Points
Surfaces
Lines
str
uc
tur
er
oa
d
constitutive bridge
I constitutive
bridge
constitutive bridge
Surfaces
Lines
constitutive bridge
phenomenology river
Figura 7.3. Le equazioni costitutive sono dei ponti tra le due sponde: quella della
variabili di configurazione e quella delle variabili di sorgente.
{fiume}
Le equazioni costitutive hanno le seguenti proprietà caratteristiche:
1. legano le variabili di sorgente con quelle di configurazione;
2. dipendono dalla metrica in quanto coinvolgono nozioni di lunghezza, area, volume
e richiedono la nozione di perpendicolarità;
3. contengono costanti materiali e parametri del sistema;
4. sono sperimentate e quindi valide in regioni di uniformità del campo.
1 Si
chiamano anche equazioni materiali o di stato o fenomenologiche.
108
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Mentre le equazioni di struttura hanno un carattere universale quelle costitutive hanno
un carattere particolare: sono valide entro certi limiti, possono essere diverse per materiali
diversi, ecc. 2 .
2 Una chiara distinzione tra i due tipi di equazioni si trova in Van Dantzig [71, p.86] che usava il termine di
equazioni di legame per le equazioni costitutive e di equazioni fondamentali per le equazioni di struttura.
109
7.3. EQUAZIONI COSTITUTIVE
legge:
N
¢L
¥
S
L
L
N
S
def N
=
¢L
def ¢
†=
S
L
L
law
= E†
L
legge:
- + - + - + -
+
+
+
+
+
+
+
“
“
U
¥
S
L
S
def “
D =
def U
E =
S
U
L
law
D = †E
L
legge:
n spire
N i
U
¥
nS
L
S
N spire
def
B =
U
U
nS
def N
H =
i
L
law
i
B = „H
Figura 7.4. Il confronto tra tre equazioni costitutive diverse mostra chiaramente
l’esistenza di uno stesso modo di procedere.
{spirale1}
110
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Tavola 7.6. Le principali equazioni costitutive.
{LL785}
reversible phenomena
Ψ law U
def Ψ
def U
= D =
E =
S
L
S
L
1
Φ law Fm
= µ
S
L
2
7.3.1
law
p = m
def
B =
Φ
S
∆x
T
3
(dynamics)
4
Hooke
N law ∆l
= E
S
L
5
(shear)
T law ∆l
= G
S
h
6
thermodyn.
∆U = Cv T
7
thermodyn.
law
Fm
L
B = µH
def
∆x
T
p = mv
def
∆l
L
σ = E
def
∆l
h
τ = Eγ
def
H =
v =
def
σ =
N
S
T
S
def U
u =
V
def
τ =
law
D = E
=
γ =
law
law
law
law
law
∆u = cv T
law
p = nR
irreversible phenomena
T law
∆v
def T
def ∆v
= −µ
τ =
γ =
S
h
S
h
8
Newton
9
Fourier
∆T
Q law
= −λ
S
L
q =
10
Ohm
Q law
∆V
= −σ
S
L
J =
11
Fick
Q law
∆c
= −D
S
L
q =
12
Darcy
Q law
∆H
= −K
S
L
q =
def
def
def
def
Q
S
p =
Q
S
E = −
Q
S
j =
Q
S
j =
def
T
V
law
τ = −µγ
∆T
L
law
q = −λp
∆V
L
J = σE
def
∆c
L
q = −D j
def
∆H
L
q = −K j
def
law
law
law
Verso la formulazione differenziale
La nostra presentazione dell’elettromagnetismo ha come punto di partenza la definizione
operativa delle 6 grandezze globali
{L8F}
Qf
Qc
E
Fm
Φ
Ψ
(7.24)
111
7.3. EQUAZIONI COSTITUTIVE
l’enunciato delle 4+1 leggi del campo in forma discreta (globale) e delle 3 equazioni
costitutive in forma discreta (locale).
Il nostro obiettivo attuale è quello di mostrare come partendo dalla formulazione
discreta si arriva a quella differenziale deducendo le corrispondenti grandezze locali
J~
ρ
E~
~
H
~
D
~
B
(7.25) {HZ8}
e le 4+1 leggi del campo in forma differenziale e le 3 equazioni costitutive in forma
algebrica.
Questo procedimento è l’opposto di quanto si fa normalmente: di solito si definiscono
le grandezze differenziali e si deducono le grandezze integrali.
tradizionale presentazione:
attuale presentazione:
variabili locali
variabili globali
−→
−→
variabili globali
variabili locali.
L’abitudine alla scrittura diretta delle grandezze e delle leggi in forma differenziale
nasconde il fatto che il passaggio alla formulazione differenziale avviene i tre tappe:
1. si considerano dapprima regioni in cui i campi elettrici e magnetici siano uniformi
per definire le grandezze locali e per poter esprimere le 3 equazioni costitutive come
legame tra queste grandezze locali.
2. Si passa quindi a considerare regioni in cui i campi elettrici e magnetici siano affini
per istituire gli operatori algebrici GRAD, CURL e DIV. Le equazioni costituive
sperimentate in regioni di campo uniforme sono valide anche in campi affini. Le
equazioni del campo di Maxwell, per poter legare le variabili di sorgente con quelle
di configurazione hanno bisogno che i campi siano localmente affini (nei campi
uniformi le sorgenti distribuite non possono esistere).
3. Infine si effettua il passaggio al limite considerando i campi affini come approssimazioni del primo ordine dei campi generici. In questa fase gli operatori algebrici
grad, rot e div divengono operatori differenziali mentre le equazioni costitutive
rimangono di tipo algebrico.
7.3.2
Campi uniformi
Per dedurre dalle grandezze globali le funzioni di campo occorre considerare regioni di
spazio ove il campo possa considerarsi uniforme: infatti mostreremo che in una regione
di uniformità le grandezze globali dipendono linearmente dagli elementi spaziali ai quali
sono associate. Solitamente l’uniformità si enuncia dicendo che i vettori del campo sono
indipendenti dal punto. Questa definizione presuppone la nozione di vettori di campo che
finora non abbiamo introdotto.
D. Diremo che un campo è uniforme quando le grandezze fisiche associate
agli elementi spaziali (punti, linee, superfici e volumi) sono invarianti per traslazione
dell’elemento spaziale al quale fanno riferimento.
La nozione di traslazione è di tipo affine e quindi non coinvolge il confronto di
lunghezze e aree relative a giaciture diverse quindi non coinvolge la metrica.
112
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Il campo elettrico uniforme si realizza nell’interno di un condensatore a facce piane
parallele e indefinite; il campo magnetico uniforme si realizza nell’interno di un solenoide
rettilineo indefinito e un flusso di corrente uniforme si realizza in una vasca elettrolitica
con gli elettrodi a facce piane parallele indefinite.
Dal momento che in laboratorio non esiste nulla di “indefinito si intende che i campi
sono considerati uniformi relativamente alla sensibilità dello strumento di misura. Questi
ultimi sono caratterizzati da una precisione e sono comunemente divisi in classi di precisione. Sia manifesta qui la nozione di “tolleranza che permea tutta la fisica oltre che la
nostra vita di tutti i giorni. Questo indica che l’attributo “indefinito implica un processo di
passaggio al limite e quindi di una idealizzazione della realtà. E’ in questo mondo ideale
che vive la formulazione differenziale.
Se vogliamo una descrizione più aderente alla realtà dobbiamo introdurre la nozione
di “tolleranza, e accontentarci di descrivere il mondo fisico con un prestabilito grado di
precisione. Questo non può essere reso piccolo a piacere perchè deve fare i conti sia con
gli strumenti di misura che con la natura discreta della materia e dell’energia.
In conclusione: considerare un campo “uniforme significa considerare una regione di
spazio Ω entro la quale le grandezze associate agli elementi spaziali mantengano lo stesso
valore relativamente ad una convenuta tolleranza.
7.4
7.4.1
Equazione fondamentale
Il problema fondamentale del campo
Il problema fondamentale dei campi è il seguente:
assegnata la regione in cui ha sede il campo;
assegnata la natura dei materiali che si trovano nella regione;
assegnate le sorgenti del campo;
assegnate le condizioni sul bordo del campo;
determinare la configurazione del campo.
Per sostanziare questa presentazione esaminiamo i problemi fondamentali dei principali campi della fisica.
campo elettrico: assegnata una regione di spazio; precisata la natura dei materiali che
vi si trovano (dielettrico, metallo, vuoto, ecc.); assegnata la distribuzione delle
cariche elettriche nella regione; precisate le condizioni al contorno della regione
(pareti metalliche, dielettriche, vuoto, ecc.); determinare il potenziale elettrico in
ogni punto della regione.
campo termico: assegnata una regione di spazio; precisata la natura dei materiali che
vi si trovano; assegnata la distribuzione delle sorgenti di calore nella regione; precisate le condizioni al contorno della regione (isolanti, conduttori, fluidi, vuoto,
ecc.); determinare la temperatura in ogni punto della regione.
campo degli spostamenti: considerato un corpo solido deformabile; precisata la natura
del materiale (elastico, plastico, viscoelastico, ecc.); precisato se si tratta di un
113
7.4. EQUAZIONE FONDAMENTALE
problema di statica o di dinamica; assegnata la distribuzione delle forze sul corpo e
quelle agenti sul contorno; precisate le condizioni al contorno del corpo (appoggio,
incastro, bordo libero, ecc.); determinare in ogni istante lo spostamento in ogni
punto del continuo.
campo fluido: assegnata una regione di spazio; precisata la natura del fluido (perfetto
o viscoso; incomprimibile o comprimibile, ecc.); precisato il tipo di moto (stazionario o non stazionario, laminare o turbolento, irrotazionale o rotazionale, ecc.);
precisata la distribuzione delle forze agenti nella regione e quelle agenti sul contorno; precisate le condizioni al contorno della regione (impermeabile, a frontiera
libera, ecc.); determinare in ogni punto e ad ogni istante la velocità, la pressione
ed eventualmente la temperatura del fluido.
campo elettromagnetico: assegnata una regione di spazio; precisata la natura dei materiali che vi si trovano; assegnata la distribuzione delle cariche delle correnti elettriche nella regione; precisate le condizioni al contorno della regione (pareti metalliche, dielettriche, vuoto, ecc.); determinare il potenziale elettrico e magnetico
in ogni punto della regione.
campo gravitazionale: assegnata una regione di spazio; data la distribuzione delle masse nella regione; precisate le condizioni al contorno della regione; determinare il
potenziale gravitazionale in ogni punto della regione. E’ questo un problema che
s’incontra in geodesia.
7.4.2
L’equazione fondamentale
Questo problema è tipico di tutta la scienza: assegnate le cause, determinare gli effetti.
Per risolvere il problema fondamentale, occorre mettere in relazione la causa (sorgente)
e l’effetto (potenziale). La relazione è espressa da una equazione chiamata equazioni
fondamentale. Si veda lo schema di figura (7.5).
effetti (incogniti)
potenziali ?
problema fondamentale
equazione fondamentale
cause (note)
sorgenti !
Figura 7.5. L’equazione fondamentale di un campo esprime il legame tra la sorgente del
campo ed il suo potenziale.
{equazioniCampo}
Le equazioni di campo portano solitamente il nome di coloro che le hanno scoperte,
come mostra la tavola (7.7).
A titolo esemplificativo abbiamo raccolto nella tavola (7.8) le più comuni equazioni
di campo scritte in forma di equazioni differenziali. Osserviamo che alcune equazioni, ad
es. l’equazione di Poisson, appaiono in diversi campi fisici.
Indichiamo genericamente con σ la grandezza che descrive la sorgente del campo, sia
essa uno scalare, un vettore o un insieme di scalari e vettori. Indichiamo in corripondenza
114
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Tavola 7.7. Le equazioni fondamentali dei campi fisici portano il nome dei
loro scopritori.
campo
termico
elettromagnetico
diffusione
fluidodinamico (per fluidi perfetti)
fluidodinamico (per fluidi viscosi)
acustico (in un fluido o in un solido)
gravitazionale (classico)
gravitazionale (relativistico)
ampiezza di probabilità (meccanica quantistica)
dell’elettrone (meccanica quantistica relativistica)
{autori}
equazione di
Fourier
Maxwell
Fick
Eulero
Navier-Stokes
D’Alembert
Poisson
Einstein
Schrödinger
Dirac
con ϕ la variabile (scalare, vettore o insieme dei due) che descrive la configurazione del
campo.
La variabile di sorgente σ è legata al potenziale ϕ da una equazione: dal momento che
essa lega le due variabili fondamentali, descriventi la causa e l’effetto, a tale equazione si
dà il nome di equazione fondamentale. Essa è esprimibile nella forma generale
N(ϕ) = σ
{Z05}
(7.26)
ove con N intendiamo un “operatore, sia esso differenziale, integrale, algebrico, ecc.
Meccanica della particella. . L’equazione fondamentale della meccanica della particella è
{Z06}
m
d2
~r(t) = f~(t).
dt2
(7.27)
Essa è una equazione lineare e le due variabili, quella di sorgente ( f~) e quella di configurazione (~r)
sono entrambi vettori. A velocità relativistiche l’equazione diventa nonlineare:
d~r(t)
d
dt
= f~(t).
{Z07}
(7.28)
m0 s
!2
dt
dr(t)
1−
dt
Elettrostatica. Nel campo elettrostatico indichiamo con (ρ) la variabile di sorgente e con (V) il
potenziale. L’equazione fondamentale è quella di Poisson
{Z08}
−ε0 ∆V(P) = ρ(P)
(7.29)
essendo ρ(P) la densità di carica e V(P) il potenziale elettrico. Entrambi sono grandezze scalari
funzioni del posto.
115
7.4. EQUAZIONE FONDAMENTALE
7.4.3
Sorgente impressa e indotta
La sorgente del fenomeno può essere impressa ovvero può agire indipendentemente dalla
configurazione del sistema o indotta ovvero dipendere dalla configurazione del sistema.
Scriveremo quindi l’equazione fondamentale nella forma
N(ϕ) = σ imp + σ ind (ϕ).
(7.30) {Z09}
Esempio. Nel moto armonico forzato e smorzato agiscono tre forze
f~ imp (t)
f~ el = −k ~r(t)
per cui l’equazione fondamentale è
d~r(t)
f~ visc = −h
dt
d~r(t)
d2 ~r(t)
= f~ imp (t) − k ~r(t) − h
.
dt2
dt
Se la resistenza invece di essere viscosa è aerodinamica si ha
!2
1
d~r(t)
f~ aerod = − ρ C x s
2
dt
m
(7.31) {Z10}
(7.32) {Z11}
(7.33) {Z12}
che non è lineare.
Ricordiamo che un operatore N si dice lineare, e allora lo indicheremo con L, se
soddisfa le due condizioni (λ è un generico numero reale)
L(λϕ) = λL(ϕ)
proprietà omogenea
(7.34) {Z13}
L(ϕ + ϕ ) = L(ϕ ) + L(ϕ )
proprietà addittiva
1
2
1
2
che si possono riassumere nella unica forma
L(λϕ1 + µϕ2 ) = λL(ϕ1 ) + µL(ϕ2 ).
(7.35) {Z14}
Ebbene vi sono diversi fenomeni fisici in cui l’operatore N nella equazione (7.30) è lineare. Chiameremo queste equazioni intrinsecamente lineari. Al contrario vi sono diversi
casi in cui la sorgente indotta, cioè quella dipendente dalla configurazione del sistema o
del campo, sono funzioni nonlineari del potenziale.
Esempi. L’equazione di moto di un corpo rigido con un asse fisso è
Iz ϕ̈(t) = Mz (t)
(7.36) {KD7E}
ed è intrinsecamente lineare. Qundo però si studiano le grandi oscillazioni pendolari si perviene
all’equazione
I ϕ̈(t) = −mgL sin (ϕ(t))
(7.37) {Z15}
ma ha una sorgente indotta (dipendente dalla configurazione) che è nonlineare.
Le equazioni della fluidodinamica sono, invece, intrinsecamente nonlineari. Indicata con f~ la
forza di volume, con p la pressione (sorgenti) e con ~v la velocità l’equazione fondamentale dei fluidi
perfetti incomprimibili (equazione di Eulero) è
ρ0
cioé intrinsecamente nonlineare.
∂~v
∂~v
+ ρ0 k vk = f~ − ∇p.
∂t
∂x
(7.38) {Z16}
116
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
7.4.4
Sovrapposizione degli effetti
In diversi fenomeni fisici si realizza la seguente circostanza: facendo agire contemporaneamente due sorgenti, caratterizzate dalle variabili σ1 ed σ2 , la configurazione risultante
è descritta dalla somma dei rispettivi potenziali ϕ1 e ϕ2 . In simboli
σ1 → ϕ1
λσ1 → λϕ1
σ 1 + σ 2 → ϕ1 + ϕ2
σ2 → ϕ2
.
(7.39)5
Quando questo capita si dice che vale il principio di sovrapposizione degli effetti.
Dimostriamo che quando vale il principio di sovrapposizione degli effetti l’equazione
fondamentale è lineare. Infatti essendo
L(ϕ1 ) = σ1
{Z17}
ne viene
L(ϕ2 ) = σ2
L(λϕ1 ) = λσ1
L(ϕ1 + ϕ2 ) = σ1 + σ2 .
(7.40)
(7.41)6
Viceversa la linearità dell’operatore comporta la validità del principio di sovrapposizione degli effetti.
Quando l’equazione fondamentale è lineare allora l’applicazione contemporanea di
due sorgenti ha come effetto la somma dei due effetti prodotti separatamente dalle due
sorgenti. Quindi per equazioni lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti.
Esempi. L’elettromagnetismo è intrinsecamente lineare e quindi, in assenza di sorgenti indotte,
vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Considerando lo spostamento di cariche e correnti,
ove questo può avvenire, in funzione del campo da loro stesse creato, le sorgenti indotte dipendono
in modo generalmente nonlineare dal potenziale e quindi, a causa di questo, non si può applicare il
principio di sovrapposizione degli effetti.
La linearità intrinseca dell’elettromagnetismo si manifesta, ad esempio, nel fatto che due onde
elettromagnetiche (ad esempio due raggi luminosi) che si intersecano nel vuoto proseguono il loro
cammino senza alterazione. La non linearità indotta si manifesta in presenza di certi materiali e dà
luogo, ad esempio, alla ottica nonlineare [Bloembergen].
La meccanica dei solidi deformabili è, al contrario, intrinsecamente nonlineare. E’ sufficiente
fare l’esperimento seguente: una lama metallica incastrata ad un estremo è soggetta ad una forza
(la “sorgente σ) nell’estremo libero. Raddoppiando la forza non raddoppia lo spostamento (il “potenziale ϕ). La proporzionalità ha luogo solo in modo approssimato se ci limitiamo a piccole forze
che producono piccoli spostamenti.
Ecco la ragione per la quale nella scienza delle costruzioni ci si limita, generalmente, alle
piccole deformazioni.
♣ CONGELATE LE TAVOLE RIASSUNTIVE ♣
{effetti}
117
7.4. EQUAZIONE FONDAMENTALE
{EQDIFF}
Tavola 7.8. Un campionario di equazioni della fisica: accanto al nome
abbiamo posto una data indicativa [DA COMPLETARE].
Equazione di Newton (1687 ?)
dinamica particella
m
d2
~r(t) = f~(t)
dt2
Equazione di d’Alembert (17...)
acustica nei fluidi
1
∂tt V(t,~r) − ∆V(t,~r) = 0
c2
Equazione di Poisson (1812 ?)
il prezzemolo della fisica
−∆V(t,~r) = ρ(t,~r)
Equazione di Fourier (1822)
conduzione termica
ρ cv ∂t T (t,~r) − K ∆T (t,~r) = σ(t,~r)
Equazioni di Navier-Stokes (1822): fluidodinamica
)
(
" 2
# ∂~v(t,~r)
v (t,~r)
ρ(t,~r)
+ ∇ × ~v(t,~r) × ~v(t,~r)
+∇
∂t
2
−(λ + µ)∇ ∇ · ~v(t,~r) − µ∆~v(t,~r) = f~vol (t,~r)
∂ρ(t,~r)
+ ∇ · (ρ(t,~r)~v(t,~r)) = 0
∂t
Equazione di Navier (1827) : elastodinamica
ρ∂tt ~η(t,~r) − µ ∇2~η(t,~r) + (λ + µ) ∇ (∇ · ~η(t,~r)) = f~(t,~r)
Equazioni di Maxwell (1865): elettromagnetismo
~
~
∇ · B(t,~r) = 0
∇ · D(t,~r) = ρ(t,~r)
∇ × E(t,~
∇ × H(t,~
~ r) + ∂t B(t,~
~ r) = 0
~ r) − ∂t D(t,~
~ r) = ~j(t,~r)
Equazione di Helmholtz (187...)
acustica, onde elettrom.
∆ψ(~r) + k2 ψ(~r) = 0
Equazioni di Einstein (1916): gravitazione relativistica
1
Rµν (gαβ , ∂γ gαβ , ∂γδ gαβ ) − R (gαβ , ∂γ gαβ , ∂γδ gαβ ) = −χT µν (gαβ )
2
Equazione di Schrödinger (1926): meccanica quantistica
!2
!
1 h
h
∆Ψ (t, ~r) + i
∂t Ψ (t, ~r) = eUΨ (t, ~r)
2m 2π
2π
118
{AA2}
CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE
Tavola 7.9. Elenco delle principali variabili globali con l’ente spaziale e
temporale al quale sono associate.
funzione iconale
funzione di gauge
spostamento iniziale
funzione di Jacobi
funzione di fase (di un’onda)
potenziale delle velocità
spostamento
impulso del potenziale gravitaz.
impulso del momento elettrocin.
differenza di fase (nel tempo)
impulso di temperatura
circolazione magnetica
numero d’onde
cammino ottico
differenza di fase (nello spazio)
spostamento relativo
circolazione della velocità
impulso di tensione elettrica
impulso di tensione magnetica
impulso di tensione termodin.
flusso elettrico
flusso magnetico
flusso dei vortici
flusso di massa
flusso di energia (lavoro, calore)
flusso di quantità di moto
flusso di carica elettrica
flusso di particelle
flusso di entropia
flusso di probabilità
flusso di momento angolare
contenuto di massa
contenuto di energia
contenuto di di carica
contenuto di entropia
contenuto di quantità di moto
contenuto di particelle
contenuto di probabilità
contenuto di momento angol.
produzione di energia
produzione di entropia
produzione di massa
produzione di particelle
impulso di volume
in un punto
in un punto
di un punto
in un punto
in un punto
in un punto
di un punto
in un punto
in un punto
in un punto
in un punto
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
lungo una linea
su una superficie
su una superficie
su una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
attraverso una superficie
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
in a volume
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
ad un istante
ad un istante
ad un istante
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
ad un istante
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
in un intervallo
Capitolo 8
Risoluzione numerica
{numerico}
Questo capitolo della dispensa raccoglie materiale informe. L’autore ha pensato di
mettere ugualmente questi pezzi affinché i dottorandi possano essere facilitati nella
impostazione numerica della formulazione finita che abbiamo presentato. Il metodo
numerico che si sviluppa dalla formulazione finita ha preso il nome di metodo delle
celle.
La formulazione finita dell’elettromagnetismo si presta in modo immediato alla formulazione numerica. Per impostare e risolvere i problemi elettromagnetici è sufficiente
scegliere un complesso di celle nello spazio ed uno nel tempo ed applicare ad essi la
formulazione finita rispettando rigorosamente l’associazione delle grandezze globali ai
rispettivi elementi spaziali e temporali.
Il complesso primale può essere di due tipi:1
• formato di celle rettangolari in 2D e a forma di parallelepipedi rettangoli in 3D;
• formato da triangoli in 2D e da tetraedri in 3D (complessi simpliciali).
Esaminiamo separatamente i due casi.
8.1
Rettangoli ed esaedri
Data la regione di lavoro entro la quale vogliamo determinare il campo elettromagnetico
si suddivide in rettangoli se si tratta di una regione piana (2D) e in esaedri se si tratta di
una regione spaziale (3D). Si veda la figura (5.6b) a pagina (5.6). Questa suddivisione
assomiglia a quella in uso per il metodo delle differenze finite ma ne differisce per il fatto
che in tale metodo (Finite Difference Method = FDM) interessano solo i nodi.
Nel metodo delle differenze finite si costruisce un reticolo regolare di punti più che di
una suddivisione in celle. Infatti gli spigolo, le facce e le celle stesse non hanno nessun
1 In linea di principio il complesso primale può anche essere formato da poligoni o poliedri generici, ma non
si vede il vantaggio che questo comporti.
119
120
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
ruolo. Al contrario nel metodo delle celle i vertici (nodi), gli spigoli, le facce e le celle
hanno un ruolo essenziale in quanto è ad esse che vanno associate le variabili globali.
Se la regione di lavoro ha una forma arbitraria la suddivisione in celle a forma di rettangoli o di esaedri porta ad avere sul bordo della regione delle celle spezzate. Questo
rende farraginosa la imposizione delle condizioni di bordo in quanto costringe ad adattare
ai vertici ai lati e alle facce le condizioni date sul bordo. Questo si fa a base di interpolazioni non scevre di inconvenienti oltre che di arbitri. Questo difetto non c’è se si usa una
suddivisione in simplessi, come vedremo nella sezione successiva.
Un secondo inconveniente si ha quando si voglia fare una suddivisione più fitta in
alcune parti della regione, la dove i gradienti variano più rapidamente. In questo caso
l’obbligo di seguire le coordinate cartesiane impone che l’infittimento debba prolungarsi
anche al di fuori della zona in cui interessa aumentando così notevolmente il numero di
celle, soprattutto in 3D.
Per quanto riguarda il complesso duale il modo più spontaneo è quello di considerare
i centri di ogni rettangolo o esaedro e di considerare tali centri come vertici del secondo complesso. Si badi che questa suddisione baricentrica non è obbligatoria potendosi
individuare con altri criterii i vertici del complesso duale.
8.2
Triangoli e tetraedri
La divisione in simplessi è di gran lunga da preferire nella costruzione di un complesso di
celle. Questa si può ottenere mediante generatori di mesh sia in 2D che in 3D. Ne esistono
diversi sia gratuiti che a pagamento. Per il 2D noi ne usiamo uno gratuito che si chiama
Easymesh e che si può prelevare dal sito indicato nella nota di pagina (60).
Riguardo la formazione del complesso duale si hanno diverse possibilità. Intanto
osserviamo che le celle duali possono concepirsi come regioni di influenza dei vertici
(nodi) ovvero come dominii di influenza, paragonabili ai terreni che circondavano ogni
castello dei signorotti dell’epoca. 2
Scegliere quindi un complesso duale equivale a fissare, con un qualche criterio, le regioni di influenza dei nodi del complesso primale. In un triangolo si possono intravedere
due scelte molto spontanee: l’una è quella dei centri delle circonferenze circoscritte a
ciascun triangolo l’altra è quella dei baricentri dei triangoli. A priori si potrebbero prendere anche i centri dei cerchi inscritti (incentri) o l’intersezione delle altezze (ortocentri)
o altri punti usando altri criteri. Uno dei requisiti naturali è che i “centri siano interni al
triangolo.
Le scelte più comuni sono quelle dei circocentri e dei baricentri in 2D e degli sferocentri e dei baricentri in 3D.
8.3
Il problema da risolvere
Il problema fondamentale del campo elettromagnetico può enunciarsi nel modo seguente:
2 Si noti che il nome “dominio usato in matematica trae origine dal dominio del “dominus dei tempi passati
(domus = casa).
8.3. IL PROBLEMA DA RISOLVERE
121
• Data una regione di spazio contenente, a priori, diversi mezzi materiali;
• assegnate le cariche elettriche in quiete o in moto nell’interno della regione, cioé le
sorgenti del campo presenti nella regione;
• assegnate le condizioni al bordo della regione che riassumono gli effetti delle sorgenti che si trovano all’esterno della regione;
• assegnata la natura dei materiali che si trovano nella regione;
• determinare il campo elettromagnetico nella regione.
Nella formulazione differenziale classica si assumono come grandezze incognite i due
~ in ogni punto della regione. In altri casi si assumono il potenziale elettrico
vettori E~ e H
~
V ed il vettore potenziale magnetico A.
Nella formulazione finita che abbiamo presentato si possono assumere come incognite
le corrispondenti grandezze globali:
1. tensione elettrica U e quella magnetica Um ;
2. l’impulso di potenziale elettrico V ed il momento elettrocinetico p
3. il flusso magnetico Φ e quello elettrico Ψ
1) Se si assumono come incognite le tensioni elettriche e magnetiche si devono determinare:
a) le tensioni elettriche Uα associate agli spigoli delle celle primali lα
b) le tensioni magnetiche Umβ associate agli spigoli delle celle duali l̃β .
2) Se si assumono come incognite l’impulso di potenziale (o il potenziale) e il momento elettrocinetico si devono determinare:
a) gli impulsi di potenziale Vh associati ai vertici delle celle primali ph
b) i momenti elettrocinetici pα associati agli spigoli delle celle primali lα .
3) Se infine si assumono come incogniti i flussi allora si devono determinare
a) i flussi magnetici Φβ associati alle facce delle celle primali sβ
b) i flussi elettrici Ψα associati alle facce delle celle duali s̃α .
Una volta determinate e tensioni o i flussi si può risalire ai vettori nell’interno delle
singole celle mediante le relazioni spiegate nel seguito del presente capitolo. La tavola
(??) è da vedere insieme alla tavola (6.1) di pagina 91. ♣ CONGELATA TAVOLA ♣
122
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
8.4
Equazione di Poisson in forma finita
In elettrostatica la variabile di configurazione più opportuna è certamente il potenziale
elettrico V. Dal momento che i potenziali elettrici sono associati ai vertici del complesso
primale si possono considerare come incogniti gli N0 potenziali
(8.1)
V1 , V1 , ...VN0 .
{HY523}
To show how simple one can make a finite formulation of electrostatics let us consider
a plane electrostatic field with either localized or distributed charges. Let us construct in
the region a Delaunay-Voronoi triangulation as shown in Fig.(8.1 b). The equations are
X
X
X
def
{FK4}
cβα Uα = 0
−→
Uα = −
gαk Vk .
(8.2)
d̃hα Ψα = Qch
k
α
α
♣ CONGELATA ♣ With reference to Fig.(8.1) let us suppose that on two sides the potential is given while on the other two sides the electric flux is given. Let us denote
by V1 , V2 , V3 , V4 the unknown potentials and by V5 , V6 , V7 , V8 , V9 those assigned. Let
Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 be the electric flux across the broken cells 1, 2, 3.
flu
x
as
Ω
potential assigned
sig
ne
d
flux assigned
The four balance equations are
X
d̃hα Ψα = Qch + Ψh
V2
V1
V4
for h=1, 2, 3 and
X
d̃4α Ψα = Qc4
where
(8.3)
s̃α
Uα
with
Uα = Vh − Vk .
(8.4)
lα
The four unknowns Vk are determined by the four balance equations. We want to remark
that the flux assigned is easily introduced in the balance equations of the broken polygons:
this must be compared with the Neumann conditions that, on the contrary, convert the
flow into the corresponding normal derivative of the potential in order to be considered as
boundary conditions for the Poisson equation.
The discrete variables Vh , Uα , Ψα , Qch and their relations are outlined in Table (??).
Ψα = “9
V9
V8
V7
V6
α
α
{SIE}
V3
Figura 8.1. How to deal with boundary conditions in electrostatics.
{EE23}
{JH3}
“2
“1
V5
potential assigned
“3
123
8.4. EQUAZIONE DI POISSON IN FORMA FINITA
Poisson’s equation. Once the material equation is given the relation which solves the
fundamental problem is
X
{LM2}
α
s̃α X
gαk Vk = Qch
d̃hα −
lα
k
with s̃α ⊥ lα .
(8.5)
Equation (8.5) is the finite version of Poisson’s equation. From the property d̃hα = −gαh
it follows
X
X
s̃α
def
where
Lhk = gαh gαk .
(8.6)
Lhk Vk = Qch
lα
α
k
{JD8}
L = ||Lhk || is the capacity matrix that is symmetric. This is the algebraic property corresponding to the self-adjointness of the Laplacian operator. The self-adjointness property, which allows variational formulation, is an immediate consequence of an algebraic
property and does not require any integration by parts.
8.4.1
Ricavo di E dai potenziali nei vertici
Mostriamo come ricavare il vettore E~ nell’interno di ogni simplesso in termini dei potenziali nodali.
Faremo l’approssimazione di ritenere che nell’interno di ogni simplesso il potenziale
sia una funzione affine3 delle coordinate cartesiane ovvero:
(8.7)
V(x, y, z) = a + E x x + Ey y + Ez z.
{MDS6}
Vogliamo allora ricavare le componenti E x , Ey , Ez in termini dei potenziali nei vertici.Indichiamo con h, i, j, k i quattro vertici di una cella vc ordinati in modo da formare
una vite destra.
Intermezzo geometrico. Se indichiamo con ~Li , ~L j , ~Lk i tre vettori che descrivono i lati orientati che escono dal vertice h come mostra la figura (8.2) possiamo scrivere
Lix
L jx
Lkx
Liy
L jy
Lky
Liz
L jz
Lkz
E
V − Vh
x
i
E
V
=
y
j − Vh
E
V −V
z
k
h
c
c
.
(8.8) {H7K7}
c
3 Il termine “affine suona strano ma è più preciso del termine “lineare comunemente usato. Si ricordi che
una funzione lineare deve annullarsi quando la variabile indipendente si annulla, cosa che non fa una funzione
del tipo (8.7) a causa del termine a. Al più si può dire che la funzione (8.7) ha un andamento lineare.
124
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
k
y
A~i
j
Li
h
A
L hy
L jy
j
A~k
Ve
e
Lh
Lj
~
L
fl
x
fl
A kx A
ix
A jx
i
~ fi
L
h
i
L hx
L jx
fi
k
i
i
A~h
j
~
L
A~j
x
j
Figura 8.2. La proiezione di un tetraedro sulle tre superfici coordinate.
{proietta-tetra}
~i = 1 ~Lk × ~L j . Con riferimento alla
La faccia Ai , opposta al vertice iè descritta dal vettore A
2
figura (8.2) si ottiene
~k ~j
~i
~i = 1 ~Lk × ~L j = 1 Lkx Lky Lkz A
{RFD1}
(8.9)
2
2 L jx L jy L jz da cui
Aix =
{HXW1}
1
2
Lky
L
jy
Lkz
L jz
L
Aiy = − 12 kx
L jx
Lkz
L jz
Lkx
L
jx
1
2
Aiz =
Lky
L jy
.
(8.10)
~ j, A
~k , A
~h . La faccia A j opposta al vertice j è descritta dal
Analoga relazione si può ottenere per A
1 ~
~
~
vettore A j = 2 Li × Lk .
Con riferimento alla figura (8.2) si ha
1
2
~j =
A
{RFD8}
~i
~Li × ~Lk = 1 Lix
2 Lkx
~j
Liy
Lky
~k
Liz
Lkz
(8.11)
per cui
A jx =
{HXW4}
1
2
Liy
L
ky
Liz
Lkz
L
A jy = − 21 ix
Lkx
Liz
Lkz
A jz =
~k =
La faccia Ak opposta al vertice k è descritta dal vettore area A
~
L
fl
~
L
{dividiCubo}
h
Lix
L
kx
Liy
Lky
(8.12)
~L j × ~Li .
k
k
j
1
2
1
2
~ fi
L
i
j
~
L
~
L
fl
h
~ fi
L
i
Figura 8.3. Ogni cubo e ogni parallelepippedo si può dividere in sei tetraedri di uguale
volume. Ne viene che il volume di un tetraedro è 1/6 di quello del parallelepippedo che
lo contiene.
125
8.4. EQUAZIONE DI POISSON IN FORMA FINITA
Con riferimento alla figura (8.2) si ha
~k =
A
{RFD0}
1
2
1
2
~i
L jx
Lix
L jx
L
ix
L jz
Liz
~L j × ~Li =
~k
L jz
Liz
~j
L jy
Liy
(8.13)
per cui
Akx =
1
2
L jy
L
iy
L jz
Liz
Aky =
− 21
Akz =
L jx
L
ix
1
2
L jy
Liy
.
(8.14) {HXW0}
Il volume orientato del tetraedro è vc = 1/6 (~Li × ~L j ) · ~Lk , come mostra la figura(8.3) Usando
la regola di Cramer si ottiene
Ex
=
−
i
1 h
Aix Vi + A jx V j + Akx Vk + Ahx Vh
3 vc
(8.15) {KU67}
avendo usato la relazione −(Aix + A jx + Akx ) = Ahx , come mostra la figura Fig.(8.2).
Ricordando che E~ = −∇φ ovvero dati due punti h e k è Vhk = Vk − Vh si ha
Vh
A
A
A
A
E
hx
ix
jx
kx
x
1
Vi
A
A
A
A
E
in IR3
=
hy
iy
jy
ky
y
V
3
v
j
E
c
Ahz Aiz A jz Akz c
z
Vk
c
(8.16) {L12}
c
mentre nel bidimensionale si ha
(
8.4.2
Ex
Ey
)
c
1
=
2 ac b
"
Ahx
Ahy
Aix
Aiy
A jx
A jy
#
V
h
Vi
c
V j c
in IR2
(8.17) {L11}
Come ricavare E dalle tensioni sui lati
In elettrostatica la somma delle tensioni su un circuito è nulla mentre in elettromagnetismo non lo
è. Qualora siano state calcolate le tensioni elettriche sui lati del primale può interessare il calcolo
del vettore E~ nei simplessi. Distingueremo due casi:
a) la somma tensioni sia nulla. In questo caso si può trovare un campo uniforme in grado di
fornire lungo i lati le tensioni assegnate. Con riferimento alla figura (8.6b))
E L + Ey Lhy = Vh
x hx
E x Lix + Ey Liy = Vi
E L +E L
= V
x
jx
y
jy
(8.18) {L13}
j
Dal momento che la somma delle tensioni su una circuito è nulla ne viene che la terza equazione è
combinazione lineare delle altre due e pertanto si può scrivere
(
E x Lhx + Ey Lhy = Vh
(8.19) {L14}
E x Lix + Ey Liy = Vi
Da questa si ricava, come indicato in figura (8.4), Aix = b Liy e Ahx = b Lhy donde
1 Vh
Lix Vi def L
Ex =
∆ = hx
Lhy Liy 2∆ Lhy Liy (8.20) {L24}
126
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
A hy
j
A~h
j b
A~h
Li
A hx
A iy
A~i
Lh
L hy
A ix
L iy
h
Ex
Ey
L hx
E~
i
Lj
h
i
L ix
A~j
Figura 8.4. Ogni complesso bidimensionale è, in realtà, un complesso di prismi di spessore b. I vettori area hanno (evidentemente) una scala diversa dai vettori che descrivono
gli spigoli orientati.
{tria-aree}
e quindi
Ex
Ey
{L15}
=
1
(Aix Vh − Ahx Vi )
2 b ac
=
1
(Aiy Vh − Ahy Vi )
2 b ac
(8.21)
verifica: posto Vh = Vi − V j e Vi = V j − Vh si ricava
{L23}
Ex
Ey
=
1
[Aix (Vi − V j ) − Ahx (V j − Vh )]
2 b ac
=
1
(Ahx Vh + Aix Vi + A jx V j )
2 b ac
=
1
[Aiy (Vi − V j ) − Ahy (V j − Vh )]
2 b ac
=
1
(Ahy Vh + Aiy Vi + A jy V j )
2 b ac
(8.22)
che coincidono con le (8.17).
b) somma tensioni NON nulla. Per interpolare la tensione si tratta di trovare un campo affine
tale che la circolazione del vettore lungo i lati sia uguale alle tensioni. Un campo affine in due
dimensioni ha la struttura generale
(
{L18}
Ex
Ey
=
=
a + bx + cy
e + f x + gy
(8.23)
127
8.4. EQUAZIONE DI POISSON IN FORMA FINITA
j
j
j
i
i
i
h
h
h
Figura 8.5. Un esempio di campo vettoriale affine.
tre-triangoli}
Un esempio di campo affine è illustrato in figura (8.5) nella quale si visualizza l’andamento
lineare della componenti del vettore. Questo campo dipende da 3 × 2 = 6 parametri che si possono
determinare in funzione delle 2 × 3 = 6 componenti dei tre spostamenti nodali. Dal momento
che noi abbiamo assegnate le tre tensioni lungo i tre lati occorre considerare un particolare campo
affine. Eccone uno
(
Ex = a + 0 x + c y
(8.24) {L19}
Ey = e − c x + 0 y
Questo campo dipende da tre parametri. In un campo affine la circolazione di un vettore lungo un
segmento di retta è uguale al prodotto scalare del vettore calcolato nel punto medio del segmento
per il vettore della retta. Quindi, con riferimento alla figura (8.6b dovremo avere
j
j
ij
ij
jh
M
N
i
P
b)
h
hi
jh
hi
a)
i
h
Figura 8.6. Il calcolo del campo E~ uniforme che fornisce le tre tensioni assegnate sui tre
lati. a) caso in cui la somma delle tensioni è nulla: il campo è uniforme; b caso in cui la
somma non è nulla: il campo è affine.
{Nedelec}
128
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
E x (M) Li jx + Ey (M) Li jy
E x (N) L jhx + Ey (N) L jhy
E (P) L + E (P) L
x
hix
y
hiy
ovvero
{L21}
=
Vi j
=
V jh
=
Vhi
y + y x + x i
j
i
j
Li j x + e − c
Li j y
2
2
y + y x + x j
h
j
h
a+c
L jh x + e − c
L jh y
2
2
x + x y + y h
i
h
i
Lhi x + e − c
Lhi y
a+c
2
2
a+c
(8.25) {L20}
=
Vi j
=
V jh
=
Vhi
(8.26)
Raccogliendo si ottiene
{LD21}
y + y x + x
i
j
i
j
a
L
+
e
L
+
c
L
−
L
i
j
x
i
j
y
i
j
x
i
j
y
2
2
y + y x + x
j
h
j
h
a L jh x + e L jh y + c
L jh x −
L jh y
2
2
x + x y + y
h
i
h
i
L
−
L
a
L
+
e
L
+
c
hi
x
hi
y
hi
x
hi
y
2
2
=
Vi j
=
V jh
=
Vhi
(8.27)
Risolvendo questo sistema si ottengono le tre costanti a, c, e e quindi con la formula (8.24) siamo in
grado di interpolare il vettore E~ in ogni punto interno al triangolo. La figura (8.6b) è stata ottenuta
usando questa formula mediante il programma Nedelec.m in MATLAB riportato in fondo a questo
testo.
% Nedelec.m
% riferimento a "elettromagnetismo.tex"
%
% Si assegna un triangolo e le tensioni sui lati.
% Le tensioni non hanno somma nulla.
% Si cerca un vettore E(x,y) interpolato in modo affine
% le cui circolazioni sui tre lati
% siano uguali alle tensioni preassegnate.
% il campo affine ha la forma:
% Ex(x,y) = a + 0 x + c y
% Ey(x,y) = e - c x + 0 y
clc ; clear all;
% ----------modalita’ grafica-------------close; h1 = figure(2) ;
% set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ;
set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ;
whitebg(’w’);
hold on ; pause on ; axis off ; zoom on
axis equal ;
%
--------------------- Dati ---------------------------% assegna delle coordinate dei vertici
8.4. EQUAZIONE DI POISSON IN FORMA FINITA
xh = 3; xi = 9; xj = 5;
yh = 2; yi = 5; yj = 8;
% assegna le tensioni sui lati
Vij = 9;
Vjh = 12;
Vhi = 5;
% ------------------------------------------------------% disegna i nodi ed il triangolo
% ------------------------------------------------------f = 0.2; % fattore di scala per i vettori
raggio =0.03;
f_palla(xh,yh, 0.06, ’k’)
text(xh,yh,’ h’,’fontsize’,18)
f_palla(xi,yi, 0.06, ’k’)
text(xi,yi,’ i’,’fontsize’,18)
f_palla(xj,yj, 0.06, ’k’)
text(xj,yj,’ j’,’fontsize’,18)
line([xh xi],[yh yi],’color’,’k’)
line([xi xj],[yi yj],’color’,’k’)
line([xj xh],[yj yh],’color’,’k’)
% ------------------------------------------------------% calcola il campo
% ------------------------------------------------------Lijx = xj-xi; Lijy = yj-yi;
Ljhx = xh-xj; Ljhy = yh-yj;
Lhix = xi-xh; Lhiy = yi-yh;
%
%
%
a*Lijx + e*Lijy + c ( (yi+yj)/2*Lijx - (xi+xj)/2*Lijy ) = Vij
a*Ljhx + e*Ljhy + c ( (yj+yh)/2*Ljhx - (xj+xh)/2*Ljhy ) = Vjh
a*Lhix + e*Lhiy + c ( (yh+yi)/2*Lhix - (xh+xi)/2 Lhiy ) = Vij
A=[ Lijx Lijy ( (yi+yj)/2*Lijx - (xi+xj)/2*Lijy )
Ljhx Ljhy ( (yj+yh)/2*Ljhx - (xj+xh)/2*Ljhy )
Lhix Lhiy ( (yh+yi)/2*Lhix - (xh+xi)/2*Lhiy )];
V=[Vij; Vjh ; Vhi];
X = A \ V; % ATTENZIONE: barra rovescia
a = X(1); e = X(2); c = X(3);
% ------------------------------------------------------% disegna il campo
% ------------------------------------------------------for x=3 : 0.5 : 9
for y=2 : 0.5 : 8
Ex = a + 0*x + c*y;
Ey = e - c*x + 0*y;
xf = x + f*Ex;
yf = y + f*Ey;
plot(x,y,’k’);
f_palla(x,y, raggio, ’b’)
line([x xf],[y yf],’color’,’k’);
129
130
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
end
end
% ------------------------------------------------------% verifica
% ------------------------------------------------------xM = (xi+xj)/2; yM = (yi+yj)/2;
text(xM,yM,’ ij’,’fontsize’,14)
Ex = a + 0*xM + c*yM;
Ey = e - c*xM + 0*yM;
Vijn = Ex*Lijx+Ey*Lijy;
fprintf(’assegnato
%4.1f verifica
%4.1f \n’, Vij, Vijn)
%
xN = (xj+xh)/2; yN = (yj+yh)/2;
text(xN,yN,’ jh’,’fontsize’,14)
Ex = a + 0*xN + c*yN;
Ey = e - c*xN + 0*yN;
Vjhn = Ex*Ljhx+Ey*Ljhy;
fprintf(’assegnato
%4.1f verifica
%4.1f \n’, Vjh, Vjhn)
%
xP = (xh+xi)/2; yP = (yh+yi)/2;
text(xP,yP,’ hi’,’fontsize’,14)
Ex = a + 0*xP + c*yP;
Ey = e - c*xP + 0*yP;
Vhin = Ex*Lhix+Ey*Lhiy;
fprintf(’assegnato %4.1f verifica %4.1f \n’, Vhi, Vhin)
%
Questo programma utilizza la funzione seguente:
%
function f_palla(xC, yC, r, col)
traccia una circonferenza di centro C e raggio r
d = 2*pi /8;
T = 0 : d :2*pi;
X = xC + r*cos(T); Y = yC + r*sin(T);
fill(X,Y,col,’era’,’back’,’edgecolor’,col);
Congruenza di E. Dati 6 esagoni regolari, come da figura (8.7) e assegnate le tensioni elettriche
su tutti i lati orientati si domanda il vettore E nel vertice 1 valutandolo di volta in volta per coppie
di lati uscenti dal vertice 1. Ogni coppia di lati è relativa ad un triangolo.
131
8.4. EQUAZIONE DI POISSON IN FORMA FINITA
10
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
8
8
2
6
9
4
3
3
2
7
1
2
A
4
0
1
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
-2
-4
4
10
5
6
6
12
5
-6
-8
11
-10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
campo a–ne
triangolo E x
Ey
1
13:00 2:31
2
1:61 8:89
3
11:00 14:31
4
11:00 9:69
5
22:39 3:11
6
13:00 ¡ 2:31
media: 12:00 6:00
esatto
:
12:00 6:00
10
Figura 8.7. dida
{campoE}
Per fare il test del programma campoE.m si comincia col supporre che il campo assegnato sia
uniforme.
8.4.3
Dati i flussi magnetici trovare B
Supponiamo che per ciascuna delle quattro facce del tetraedro sia assegnato il flusso magnetico Φ.
Supponiamo che i quattro flussi siano tali da rendere soddisfatta la legge di Gauss ovvero che la
loro somma sia nulla.
Φh + Φi + Φ j + Φk = 0.
(8.28) {L33}
In questo caso si dice che il flusso è solenoidale. Mostriamo che in tale ipotesi si può interpolare
~ nell’interno del tetraedro con un campo vettoriale uniforme. In
il vettore induzione magnetica B
altre parole sarà possibile determinare un campo vettoriale uniforme che fornisca sulle quattro facce
i quattro flussi assegnati.
A~ k
A~ k
Sk
α
k
vk
α
k
vk
S
Bk
A k cos(α k)
Figura 8.8. a) Il calcolo del flusso magnetico su una faccia; b) i vettori e le grandezze
usate nel campo magnetostatico.
{flusso2}
~ di tipo uniforme il flusso magnetico Φ
Postulato un campo del vettore induzione magnetica B
132
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
~ sarà
su una superficie descritta dal vettore A
~· A
~ = Φ.
B
(8.29) {L221}
Con questa formula proviamo ad imporre che sulle quattro facce il flusso uguagli quattro flussi
preassegnati.
Ahx Bx + Ahy By + Ahz Bz = Φh
= Φi
Aix Bx + Aiy By + Aiz Bz
{LR1}
(8.30)
A
B
+
A
B
+
A
B
= Φj
jx
x
jy
y
jz
z
Akx Bx + Aky By + Akz Bz = Φk .
Ricordiamo che la somma dei vettori-area delle facce di un qualsiasi poliedro è identicamente nulla.
In particolare per un tetraedro sarà
~h + A
~i + A
~j + A
~k = 0
A
{L32}
ovvero
Ahx + Aix + A jx + Akx = 0, ecc.
(8.31)
Se sommiamo le prime tre equazioni e teniamo conto delle relazioni (8.31) e (8.28) otteniamo la
quarta equazione. Dunque solo tre equazioni sono indipendenti. Eliminando la quarta abbiamo
giusto tre equazioni per determinare le tre incognite Bx , By , Bz . Posto
Ahx
∆ = Aix
A jx
{L22}
Ahy
Aiy
A jy
Ahz
Aiz
A jz
(8.32)
si ricava
{LK23}
1
Bx =
∆
Φh
Φi
Φj
Ahy
Aiy
A jy
Ahz
Aiz
A jz
A
1 hx
; By = Aix
∆
A jx
Φh
Φi
Φj
Ahz
Aiz
A jz
A
1 hx
; Bz = Aiy
∆
A jy
Ahy
Aiz
A jz
Φh
Φi
Φj
(8.33)
~ in termini di tre dei quattro flussi assegnati.
Queste formule forniscono le componenti di B
8.5
Osservazioni sul discreto
8.6
Equazione costitutiva Φ(Fm )
Con riferimento alla figura (8.9), indichiamo con Φβ il flusso magnetico associato alla faccia sβ del
complesso primale e indichiamo con Fβ la tensione magnetica associata alla linea spezzata l̃β del
complesso duale che è relativa alla faccia sβ del complesso primale sia in 2D che in 3D, indicata
con spessore grosso in figura (8.9). Ciascuna di queste tensioni sarà somma di due addendi relativi
ai due tratti contenuti nelle due celle che hanno la faccia sβ in comune.
Ci proponiamo di utilizzare l’equazione costitutiva F ↔ Φ per calcolare tutte le tensioni
magnetiche Fβ con k = 1, ...N2 una volta noti tutti i flussi magnetici Φβ con k = 1, ...N2 .
8.6. EQUAZIONE COSTITUTIVA Φ(FM )
133
Φ β
Φ β
a)
b)
Fβ
Fβ
Figura 8.9. a) il flusso e la tensione magnetica in 2D; b) idem in 3D.
{tensione1}
A~q
e
A~r
r
~r
L
~q
L
~p
L
Fq
e
q
Fr
c
r
a
c
b
b
A~p
p
'q
q
'r
Fp
a
p
'p
b)
a)
c)
H~ c
Fq
Fr
H~ b
'q
c
b
'r
a
Fp
d)
'p
H~ a
e)
Figura 8.10. a) Il materiale è omogeneo (non necessariamente isotropo) entro ciascuna
cella; b) il campo magnetico è uniforme entro ciascuna microcella.
8.6.1
{micro}
Calcolo per problemi piani
Facendo riferimento alla figura (8.10), consideriamo la generica cella primale bidimensionale c, e
siano p, q, r le tre facce. Dividiamo la cella primale in tre microcelle che denoteremo con c1, c2, c34 .
Faremo le seguenti ipotesi:
• il materiale sia omogeneo entro ciascuna cella: lo supporremo, per generalità, anisotropo;
• il campo magnetico sia uniforme ento ciascuna cella.
Potremo scrivere
~ a = ~L p · H
~b
F p = ~L p · H
4 L’idea
e analoghe per Fq e Fr .
delle microcelle per la suddivisione baricentrica è dovuta all’ing M. Marrone: si veda [38]
(8.34) {IC65}
134
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
~ entro ciascuna microcella
Esprimiamo le tensioni magnetiche in funzione di H
{FR2}
{FR3}
Hax L px + Hay L py
Hax Lrx + Hay Lry
=
Fp
=
Fr
Hbx L px + Hby L py
Hbx Lqx + Hby Lqy
=
Fp
=
Fq
Hcx Lqx + Hcy Lqy
Hcx Lrx + Hcy Lry
=
Fq
=
Fr
L px
Hx
=
Hy
Lrx
a
−1
L py
Fp
Fr
Lry
(8.35) {FR1}
L px
Hx
=
Hy
Lqx
b
−1
L py
Fp
Fq
Lqy
(8.36)
Lqx
Hx
=
Hy
Lrx
c
−1
Lqy
Fq
Lry
Fr
(8.37)
Le equazioni costitutive sono:
{FR4}
µ xx
Bx
=
By
µyx
a
Hx
µ xy
µyy e Hy a
µ xx
Bx
=
By
µyx
b
µ xy
Hx
µyy e Hy b
µ xx
Bx
=
By
µyx
c
Hx
µ xy
µyy e Hy c
(8.38)
~p, A
~q , A
~r i vettori-area delle tre facce della cella e se osserviamo che ogni
Se indichiamo con A
microcella divide queste facce in due parti uguali, possiamo esprimere i flussi sulle 6 facce delle
microcelle mediante le espressioni
{FR7}
Φ̄ pa
1
A px
=
2
Φ̄ pb
1
A px
=
2
1
Aqx
Φ̄qc =
2
A py
Bx
By
a
1
Arx
Φ̄ra =
2
A py
Bx
By
b
1
Aqx
Φ̄qb =
2
Aqy
Bx
By
c
1
Arx
Φ̄rc =
2
Ary
Bx
By
a
Aqy
Bx
By
b
Ary
Bx
By
c
(8.39)
che si possono scrivere
Φ̄ pa
Φ̄ra
=
{JV723}
=
1 A px A py
2 Arx Ary
e
a
a
P
Q
Fp
Ra S a c F r
µ xx
µyx
µ xy L px
µyy
Lrx
−1
Fp
L py
Fr
Lry
(8.40)
8.6. EQUAZIONE COSTITUTIVA Φ(FM )
Φ̄ pb
Φ̄qb
=
{JV724}
=
Φ̄qc
Φ̄rc
=
=
1 A px A py
2 Aqx Aqy
b
b
M1,1 M1,2
b
b
M2,1
M2,2
µ xx
µyx
Fp
Fr
c
1 Aqx Aqy
2 Arx Ary
c
c
M1,1 M1,2
c
c
M2,1 M2,2
µ xx
µyx
Fq
Fr
135
µ xy L px
µyy e Lqx
−1
L py
Fp
Fq
Lqy
(8.41)
µ xy Lqx
µyy e Lrx
−1
Lqy
Fq
Fr
Lry
(8.42) {JV725}
c
Dal momento che i flussi attraverso le facce della cella sono
Φ p = Φ̄ pa + Φ̄ pb
Φq = Φ̄qb + Φ̄qc
(8.43) {FR10}
Φr = Φ̄rc + Φ̄ra
conviene scrivere
Φ̄ pa
0
Φ̄
ra
Ma
1,1
0
=
a
M2,1
Φ̄ pb
Φ̄qb
0
Mb
1,1
M b
=
2,1
0
0
Φ̄qc
Φ̄
rc
0
0
=
0
a
M1,2
0
a
M2,2
0
0
0
b
M1,2
b
M2,2
0
Fp
Fq
F
r
(8.44) {JS723}
0
Fp
0
Fq
F
0
r
(8.45) {JS724}
Fp
Fq
F
r
(8.46) {JS725}
e
e
e
e
0
0
c
M1,1
c
M1,2
c
M2,1
c
M2,2
e
e
Quindi
a
b
(M1,1 + M1,1 )
Φp
b
M2,1
Φq
=
a
Φ
M2,1
r
e
b
M1,2
b
c
(M2,2
+ M1,1
)
c
M2,1
a
M1,2
c
M1,2
a
c
(M2,2
+ M2,2
)
e
Fp
Fq
F
r
(8.47) {YR92}
e
Invertendo per ogni cella questa matrice si potrà scrivere
Fp
Fq
F
r
Φp
Φ
=
[S
]
q
e
Φ
r
e
e
(8.48) {CTZ83}
ovvero si potranno scrivere, cella per cella, le tensioni magnetiche in funzione dei flussi magnetici.
136
8.6.2
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
Pseudocodice del modulo che calcola le tensioni magnetiche
% sono note tutte le Φ(k): si vogliono trovare tutte le F(k)
inizializzare a zero tutte le componenti F(k)
% passare in rassegna una cella alla volta
ciclo su e da 1 a emax
% occorre passare da una numerazione locale ad una globale
p = E(e, 1); q = E(e, 2); r = E(e, 3);
calcola L px , L py , Lqx , Lqy , Lrx , Lry
calcola A px , A py , Aqx , Aqy , Aqx , Aqy
assegna le tre componenti µ xx , µ xy , µyy relative alla cella e
calcola le tre matrici Ma , Mb , Mc
componi la matrice Me
forma la matrice inversa: S e = Me−1
F p = S 1,1 Φ(p) + S 1,2 Φ(q) + S 1,3 Φ(r)
Fq = S 2,1 Φ(p) + S 2,2 Φ(q) + S 2,3 Φ(r)
Fr = S 3,1 Φ(p) + S 3,2 Φ(q) + S 3,3 Φ(r)
% aggiungi agli F(k) i valori appena calcolati:
F(p) = F(p) + F p
F(q) = F(q) + Fq
F(r) = F(r) + Fr
fine ciclo su e
% A questo punto sono note tutte le F(k).
8.7
Equazione costitutiva Ψ(V)
Consideriamo una cella duale. Nel caso che si tratti di una cella di Voronoi ad ogni lato lα del
complesso primale corrisponde una faccia s̃α del duale. Ne viene che tanti sono i lati che si dipartono
da un nodo (=vertice primale) tante sono le facce della cella duale.
Nel caso di una divisione baricentrica, invece, la cella duale è un poliedro con molte più facce
(le chiameremo faccette) in quanto nell’interno di ogni cella primale vi cadono due faccette in 2D
e tre faccette in 3D. Ne viene che, per mantenere la corrispondenza tra il numero di lati primali lα e
quello di facce duali s̃α (cosa preziosa per mantenere intatta la scrittura delle equazioni di campo)
dovremo riguardare ogni faccia della cella duale non più come una singola superficie piana ma bensì
come una superficie poliedrica composta di tante faccette.
Facciamo riferimento al caso 2D. Dato un nodo h, come indicato in figura (8.11a) consideriamo
la cella duale (8.11b) ed i lati da esso uscenti. Decomponiamo la cella duale in microcelle a, b, ...
come indicato in figura (8.11c). Al generico lato lα corrisponde una faccia poliedrica composta
da due faccette, come indicato in figura (8.11d) e (8.11e). Ciascuna delle due faccette è contenuta
in una cella diverso, indicati con e ed f in figura (8.11e). Consideriamo ora la microcella a di e
contenuta nella cella duale h.
137
8.7. EQUAZIONE COSTITUTIVA Ψ(V)
microcella
cella
dualeṽh
nodo h
b
faccette
faccette
a
h
a)
b)
microcella
c)
faccia
duales̃α
faccia
duales̃α
f
b
a
h
e
h
latoprimale
lα
d)
f
lα
a
h
α
aα e
e
aβ
e
lβ
Ψ αb
a
Ψ α
Ψ
Vα ′
b
a
a
h
h
g)
Vβ ′
h)
Consideriamo i semilati lα /2 e lβ /2 che delimitano nella microcella a. Indichiamo con Vα0 e Vβ0
le due tensioni relative ai semilati in questione ed indichiamo con Ψaα e con Ψaβ i flussi dielettrici
relativi alle due faccette del duale contenute nella cella c. Varranno le due relazioni
Vα0 = Vα0 + Vα00
Potremo scrivere
1
Vα0 = ~lα · E~ e
2
Ψα = Ψaα + Ψbα
e analoghe
e
Ψ
Figura 8.11. Suddivisione baricentrica
{tensione2}
a
α
a
e
β
f)
latoprimale
lα
e)
(8.49) {JU73}
(8.50) {I665}
a
β
138
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
Esprimiamo le tensioni elettriche in funzione di E~ entro ciascuna microcella
Eax lαx + Eay lαy
Eax lβx + Eay lβy
=
2Vα0
=
2Vβ0
−1 0
Vα
lαy
V0
lβy
β
lαx
Ex
= 2
Ey
lβx
a
e analoghe per le altre microcelle. Le equazioni costitutive sono:
xx xy
Ex
Dx
=
Ey
Dy
yx yy
{FPE4}
(8.52)
a
a
a
(8.51) {FYR1}
e analoghe. Se indichiamo con ~s p , il vettore-area di una faccetta
Ψaα
{FYZ7}
=
saαx
saαy
Dx
Dy
a
Ψaβ
=
saβx
saβy
Dx
Dy
a
(8.53)
che si può scrivere
a
Ψα
Ψa
β
{JVFF3}
=
a
sαx
2
saβx
=
a
P
a
R
Quindi
saαy xx xy
saβy
yx yy
0
Qa
Vα
0
Sa V
−1 0
Vα
lαy
V0
lβy
β
(8.54)
β
a
Ψ
α
Ψaβ
{NV89}
lαx
lβx
=
Pa Vα0 + Qa Vβ0
=
Ra Vα0 + S a Vβ0
(8.55)
Consideriamo un nodo comune a 5 lati e calcoliamo il flusso relativo alle corrispondenti 5 facce
spezzate.
“2
“1
“3
2
3
1
2
3
1
4
5
5
4
“4
{pentagono}
Figura 8.12. dida
“5
139
8.7. EQUAZIONE COSTITUTIVA Ψ(V)
1
Ψ
5
Ψ1
1
=
P1 V50 + Q1 V10
=
R1 V50 + S 1 V10
=
P2 V10 + Q2 V20
=
R2 V10 + S 2 V20
3
Ψ
2
Ψ3
3
=
P3 V20 + Q3 V30
=
R3 V20 + S 3 V30
4
Ψ
3
Ψ4
4
=
P4 V30 + Q4 V40
=
R4 V30 + S 4 V40
5
Ψ
4
Ψ5
5
=
P5 V40 + Q5 V50
=
R5 V40 + S 5 V50
2
Ψ
1
Ψ2
2
{NV01}
(8.56)
Il flusso relativo alle cinque “facce, ciascuna composta di due faccette è dato da
Ψ1
Ψ2
Ψ3
Ψ4
Ψ5
Ψ1
Ψ2
Ψ3
Ψ4
Ψ5
1
S + P2
R2
0
=
0
Q1
Q2
S + P3
R3
0
0
2
=
=
=
=
=
Ψ11 + Ψ21
Ψ22 + Ψ32
Ψ33 + Ψ43
Ψ44 + Ψ54
Ψ55 + Ψ15
0
Q3
S 3 + P4
R4
0
0
0
Q4
S 4 + P5
R5
(8.57) {NV02}
R1
0
0
Q5
S 5 + P1
V10
V20
V30
V40
V50
(8.58) {NV04}
Risolvendo questo sistema si ottengono le cinque quantità V10 , V20 , V30 , V40 , V50 in funzione delle Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , Ψ5
in numerazione locale.
Si devono ora aggiungere alle V(k) i cinque valori trovati (passando dalla numerazione locale a
quella globale).
140
8.7.1
CAPITOLO 8. RISOLUZIONE NUMERICA
Pseudocodice del modulo che calcola il vettore V
% sono assegnate tutte le Ψ(k): si vogliono trovare tutte le V(k)
inizializzare a zero tutte le componenti V(k)
% passare in rassegna una cella alla volta
ciclo su n da 1 a nmax
i=0
[G]=0
ciclo su e da 1 a emax
se n è un vertice di e
i=i+1
individua i due lati p e q con vertice in n
calcola L px , L py , Lqx , Lqy
calcola s px , s py , sqx , sqy
assegna le tre componenti xx , xy , yy relative alla cella e
calcola le quattro quantità P(i), Q(i), R(i), S (i) con la (8.54)
PIAZZA le quattro quantità negli elementi della matrice G ...
risolvi il sistema {Ψ} = [G]{V 0 }
fine se
fine ciclo su e
% aggiungi ai V(k) i valori V’:
ciclo su k da 1 a latimax
V(k)=V(k)+ G.... ♣
fine ciclo su k
fine ciclo su n
% A questo punto sono note tutte le V(k).
Appendice A
Vettori assiali e polari
Tutte le volte che si vuole rappresentare un elemento di superficie piana viene spontaneo introdurre
una vettore normale alla superficie di modulo uguale all’area dell’elemento. Un elemento di superficie piana può essere dotato di orientazione interna od esterna. L’orientazione, dell’uno o dell’altro
tipo è essenziale per decidere da che parte deve puntare il vettore normale. Questo comporta che
si utilizzi un regola di associazione quale la regola della vite o della mano destra o dell’omino di
Ampère (tre metodi equivalenti). Noi sceglieremo la regola della vite ed in particolare la vite destra
(che è la comune vite da ferro o da legno).
Il prodotto vettoriale tra i due vettori, indicato da Gibbs con il segno “ × , si scrive
~ = ~u × ~v.
w
(A.1) {TQZ7}
Si noti che se i due vettori sono di tipo usuale, quali uno spostamento, una forza, una velocità, il
~ ha un verso subordinato alla vite destra o sinistra che è stata scelta. Una volta che sia
vettore w
stata scelta la vite destra è ovvio che questa non ha motivo di essere cambiata nella vite sinistra.
Ciononostante è interessante osservare che qualora si decidesse di cambiare la vite destra nella vite
~.
sinistra cambierebbe il senso del vettore w
Un vettore che sia subordinato alla regola della vite si chiama vettore assiale. Per contrapposizione un vettore non subordinato alla regola della vite viene chiamato polare1 .
I francesi usano indicare un vettore assiale sovrapponendo alla lettera una freccetta curva in
luogo della tradizionale freccetta rettilinea. Purtroppo questa manca nei caratteri tipografici usuali:
in questo capitolo ci accontentiamo di usare un piccolo archetto in luogo di una freccetta curva:
vettore assiale:
w̆ = ~u × ~v.
(A.2)65
Nella meccanica si introduce il momento di una forza rispetto all’origine di un sistema di assi
mediante la formula
momento di una forza:
def
M̆ = ~r × F~
(A.3)5Z
avendo indicato con ~r il vettore raggio e con F~ la forza applicata all’estremità del vettore raggio.
Sempre in meccanica si introduce il momento angolare rispetto all’origine di una particella che ha
quantità di moto ~p con la formula
momento angolare:
1 Spesso
un vettore assiale viene chiamato pseudovettore.
141
{assiale}
def
L̆ = ~r × ~p.
(A.4)67
142
APPENDICE A. VETTORI ASSIALI E POLARI
In cinematica si introduce la velocità angolare di un corpo rigido come un vettore assiale ω̆ tale che
la velocità di un punto generico individuato dal vettore raggio ~r sia data dalla formula
velocità:
(A.5)68
~v = ω̆ × ~r.
Dal momento che sia il vettore ω̆ che il prodotto vettoriale utilizzano la regola della vite ne viene
che entrambi cambiano segno al cambiare della vite destra nella vite sinistra e quindi il vettore ~v
non cambia segno, come deve essere dal momento che la velocità è un vettore polare.
Nell’elettromagnetismo quando si introduce il vettore induzione magnetica si fa uso del prodotto vettoriale. Dal momento che la forza e la velocità sono entrambi vettori polari il vettore induzione
magnetica deve essere di tipo assiale ovvero
forza:
F~ = q~v × B̆.
(A.6)69
Il flusso magnetico è associato ad una superficie dotata di orientazione interna e quindi non dipende
dalla vite. La formula è correttamente scritta nella forma
Z
flusso magnetico:
Φ=
(A.7)70
B̆ · d S̆ .
S
Analogamente il vettore campo magnetico H̆ è definito mediante la regola della vite ed è quindi di
tipo assiale. Infatti quando si trattava di decidere il verso da dare ad H̆ si è considerato il senso
della corrente nel solenoide e con la vite si è fissato il verso di H̆. Anche la tensione magnetica
è indipendente dalla regola della vite. Dal momento che H̆ vi dipende l’elemento di linea dotato
di orientazione esterna (un senso di rotazione attorno alla linea) deve essere rappresentato da un
vettore assiale dL̆
Z
tensione magnetica:
Fm =
L̃
H̆ · dL̆.
(A.8)71
La mancata distinzione tra vettori assiali e polari nella notazione tradizionale è una perdita di
informazione.
{HH123}
Tavola A.1. Alcune formule che combinano vettori assiali e polari.
Z
S̃
flusso magnetico:
Φ=
L
E~ · d ~L
tensione magnetica:
Fm =
S~ = E~ × H̆
densità di quantità
di moto elettrom.
~=D
~ × B̆
G
1 ~ ~
E·D
2
1
T trasl = ~p · ~v
2
densità di energia
magnetica
um =
en. cin. rotatoria
T rot
Ψ=
tensione elettrica:
U=
corrente di energia
(vettore di Poynting)
densità di energia
elettrica
en. cin. traslatoria
Z
~ · d S~
D
flusso elettrico:
ue =
Z
B̆ · d S̆
S
Z
L̃
H̆ · d S̆
1
B̆ · H̆
2
1
= L̆ · ω̆
2
Come regola generale: gli elementi di superficie con orientazione interna e i segmenti di linea
con orientazione esterna devono essere rappresentate da vettori assiali.
143
Se vogliamo rappresentare un elemento di superficie piana a forma di parallelogramma dotata
di orientazione interna mediante un vettore, detti ~a e ~b i due vettori che ne formano i lati e che
hanno l’origine in comune scriveremo
S̆ = ~a × ~b.
vettore-area:
(A.9)45
E’ evidente che un elemento di superficie dotato di orientazione esterna deve essere descritto
da un vettore polare. E’ facile rappresentare con le mani un’orientazione esterna: se la palma di
una mano aperta rappresenta l’elemento di superficie piana facendola attraversare dal dito indice
dell’altra mano indichiamo una orientazione esterna. Senonché nessuno ha trovato un modo per definire matematicamente la normale ad un elemento di superficie ... se non partendo dall’orientazione
interna della medesima ed applicando la regola della vite!
Vediamo come si procede. In primo luogo si osserva che la vite destra è quella comunemente
scelta per gli assi cartesiani x, y, z. Una trasformazione della base ~e x , ~ey , ~ez (terna destra) nella base
~e x0 , ~ey0 , ~ez0 (terna sinistra) può essere, ad esempio,
~e x0 = ~ey
~ey0 = ~e x
~ez0 = ~ez
~e 0
x
~ey0
~e 0
z
ovvero
0
= 1
0
1
0
0
0
0
1
~e
x
~ey .
~e
z
(A.10)892
Il determinante di questa trasformazione è −1. Più in generale si può fare una trasformazione
~e 0 = c xx ~e x + c xy ~ey + c xz ~ez
x
~ey0 = cyx ~e x + cyy ~ey + cyz ~ez
(A.11)10
~e 0 = c ~e + c ~e + c ~e
z
ovvero
~e 0
x
~ey0
~e 0
z
zx
c
1,1
= c2,1
c
3,1
x
c1,2
c2,2
c3,2
zy y
c1,3
c2,3
c3,3
zz z
~e
x
~ey
~e
z
(A.12)893
in cui la matrice c prende il nome di matrice di transizione. Indicando con ∆ il determinante di
questa matrice si vede facilmente che se la nuova terna è sinistra il determinante è negativo. Ne
viene che il segno del determinante della matrice di transizione indica il passaggio da una terna
destra ad una terna sinistra e viceversa. Avremo
sgn(∆) ≡
∆
.
|∆|
Fra i due simboli equivalenti è più comodo usare il secondo.
fine
(A.13)832
144
APPENDICE A. VETTORI ASSIALI E POLARI
Tavola A.2. Natura vettoriale dei vettori dell’elettromagnetismo (S~ è il vettore
di Poynting).
orientazione interna
orientazione esterna
vettore di linea
associato a linee
~ P
~
E,
polare
~ M
~
H,
assiale
vettore di superficie
associato a superfici
~
B
assiale
~ J,
~ S~
D,
polare
{HDO7}
Appendice B
Sulle definizioni operative
Molti libri di fisica sostengono che in fisica non si debbono usare grandezze che non siano misurabili.
Nulla è più sciocco di questo tabù.
~ che non è misurabile, l’entropia S che
Gli stessi autori usano il potenziale vettore magnetico A
non è misurabile, l’energia potenziale V che non è misurabile, la funzione d’onda ψ della meccanica
quantistica che non è misurabile. Si tratta di un malinteso che viene erroneamente attribuito ad
Heisenberg.
„ vidente che la fisica debba partire da grandezze misurabili ma nel corso del suo svolgimento
E
è libera di introdurre grandezze che non sono direttamente misurabili purché da esse si possano
ottenere grandezze misurabili.
Così la funzione d’onda ψ, definita a meno di un fattore di fase exp(iφ) non è misurabile ma
il prodotto ψψ∗ integrato su una regione di spazio dà la probabilità di trovare una particella entro
quella regione e quest’ultima è una grandezza misurabile.
L’energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria e come tale non è misurabile.
La sua variazione però dà il lavoro ceduto o assorbito dal sistema cioé una quantità misurabile.
~ definito a meno del gradiente della funzione di gauge ξ non
Il potenziale vettore magnetico A,
~ che è misurabile.
è misurabile ma il suo rotore è il vettore induzione magnetica B
L’entropia non è misurabile ma la variazione dell’entropia di un sistema è il rapporto Q/T essendo Q il calore assorbito da un sistema e T la temperatura assoluta alla quale questo assorbimento
avviene.
Per togliere quindi questo tabù citiamo le opinioni di alcuni fisici di grande rilievo.
“E’ assolutamente falso, sebbene lo si dica spesso, che l’immagine del mondo della fisica
contenga, o possa contenere, soltanto grandezze direttamente osservabili. Al contrario, grandezze direttamente osservabili non si trovano assolutamente nell’immagine del mondo. [M. Plank,
Autobiografia Scientifica, Einaudi, 1956, pag. 78.]
“It is not true that we can pursue science completely by using only those concepts which are
directly subject to experiment. [Feynmann, Lectures on physics, vol. III, pag. 29.]
“Non tutte le grandezze di cui si serve il fisico nei suoi ragionamenti possono essere osservate e
misurate. Alcune servono solo come strumenti necessari al calcolo, ma si trascurano nelle verifiche
sperimentali. Ponendosi da un punto di vista puramente fenomenologico, si è cercato di espellere
145
146
APPENDICE B. SULLE DEFINIZIONI OPERATIVE
dalle teorie fisiche tutte le grandezze non misurabili; la dottrina energetica e, più recentemente, la
meccanica quantistica di Heisenberg sono esempi notevoli di tentativi del genere. Ma questi tentativi non sono mai completamente riusciti e nelle teorie intervengono sempre certe grandezze non
misurabili: così in meccanica ondulatoria la famosa funzione d’onda Ψ. Nondimeno le grandezze
misurabili hanno una importanza maggiore, perché solo per esse la teoria può ricevere l’indispensabile controllo sperimentale delle sue conseguenze.. . .
“Insomma, ci sembra che non bisogna esagerare la portata della distinzione tra grandezze misurabili
e grandezze semplicemente definibili. [de Broglie, Fisica e Miscrofisica, Einaudi, pag. 89-92.]
“Now we do not accept the posivistic standpoint, according to which only observables may be
employed in theoretical physics, but instead are of the opinion that the introduction of not directly
observable quantities is justified whenever the resulting conclusions agree with experiment (as in
the kinetic theory of gases). Nevertheless we demand that the concepts introduced in a hypothesis
may be based at least on an imaginary experiment, i.e. an observational method, even if it cannot
be carried out in practice. [A. Sommerferld, Electrodynamics, Academic Press, pag. 72.]
“It is often said that it was a metaphysical idea which led Heisenberg to the principle of matrix
mechanics, and this statement is used by the believers in the power of pure reason as an example in
their favour. Well, if you were to ask Heisenberg, he would strongly oppose this view. As we worked
together I think I know what was going on in his mind. At that time we were all convinced that
the new mechanics must be based on new concepts having only a loose connection with classical
concepts, as expressed in Bohr’s postulate of correspondence. Heisenberg felt that quantities which
had no direct relation to experiment ought to be eliminated. He wished to found the new mechanics
as directly as possible on experience. If this is a ’metaphysical’ principle, well, I cannot contradict;
I only wish to say that is is exactly the fundamental principle of modern science as a whole, that
which distinguishes it from scholasticism and dogmatic systems of philosophy. But if it is taken
(as many have taken it) to mean the elimination of all non-observables from theory, it leads, to
nonsense. For instance, Schroedinger’s wave function ψ is such a non-observable quantity, but it
was of course later accepted by Heisenberg as a useful concept. He stated not a dogmatic, but a
heuristic principle. He found by an act of scientific intuition the spurious conceptions that have to
be eliminated. I shall try to describe this. [Max Born, Experiment and Theory in Physics, Dover,
1956, pag. 18.]
fine
Appendice C
Covarianza e controvarianza rese
semplici
Fin dalle scuole inferiori si insegnano le equivalenze tra le unità di misura: ad esempio 2 kg= 2000 g.
In generale una grandezza fisica è composta da una unità di misura e da un valore numerico. Se
l’unità di misura diventa più piccola il valore numerico diventa più grande, ovvero l’unità di misura
ed il valore variano in modo contrario. Se l’unità è c volte più piccola il valore della grandezza è
moltiplicato per 1/c. Quello che non si dice nelle scuole inferiori è che le due parti della grandezza
sono “controvarianti. Si può enunciare questa regola: il valore di qualunque grandezza fisica è
controvariante rispetto alla sua unità di misura.
Passiamo ora a considerare il prezzo di un bene. Esso è per definizione il rapporto tra il costo e
la quantità:
costo
.
(C.1) {A02}
prezzo =
quantità
Se 3000 g di zucchero costano 6000 L il prezzo è
p=
6000 L
= 2 L/g.
3000 g
(C.2) {A10}
Se cambiamo l’unità di misura delle quantità il prezzo cambia: come?
p0 =
6000 L
= 2000 L/kg.
3 kg
(C.3) {A15}
Siamo passati dal grammo al kilogrammo, una unità di misura 1000 volte più grande. Questa volta
vediamo che il prezzo è 1000 volte più grande ovvero cambia come l’unità di misura della quantità.
Se l’unità di misura è c volte la precedente anche il prezzo è c volte il precedente. Si dice che
„ iusto che il prezzo vari come l’unità di misura in quanto nella
i due enti sono covarianti. E
sua definizione la quantità si trova a denominatore. Il termine “controvarianza significa varianza
contraria, il termine “covarianza significa varianza come.
Si noti che il prezzo, come tutte le grandezze, è controvariante rispetto al cambiamento della
sua unità di misura: risulta invece covariante rispetto al cambiamento dell’unità di misura delle
quantità.
Quando andiamo a fare la spesa acquistiamo un certo numero n di beni: siano qk le quantità dei
beni e pk i loro prezzi. Per convenzione le grandezze controvarianti si indicano con l’indice in alto
147
148
APPENDICE C. COVARIANZA E CONTROVARIANZA RESE SEMPLICI
(apice) mentre le grandezze covarianti si indicano con l’indice in basso (pedice). La spesa è:
S =
n
X
pk qk .
(C.4) {A06}
k=1
La spesa non cambia se cambiamo l’unità di misura delle quantità. Infatti se moltiplichiamo l’unità
di misura per c risulta
1
0
{A25}
(C.5)
qk = qk
pk0 = cpk
c
e quindi
!
X
X
1 k X
0
S0 =
{A30}
pk0 qk =
q =
(C.6)
pk qk = S .
(c pk )
c
k
k
k
Diremo che la spesa è invariante rispetto al cambiamento dell’unità di misura delle quantità. La
relazione (C.6) è una forma lineare nelle qk e nelle pk ovvero è una forma bilineare.
Abbiamo così introdotto ad un livello elementare tre nozioni di varianza:
• la controvarianza;
• la covarianza;
• l’invarianza.
C.1
Versione geometrica
Spazio unidimensionale. Se dobbiamo riportare una grandezza su un asse dobbiamo scegliere
una unità di misura. In particolare se si tratta di un vettore dobbiamo usare un vettore base che si
indica con ~e. Se ~v è il vettore potremo scrivere
~v = v~e.
{G678}
(C.7)
Se facciamo un cambiamento del vettore base secondo la formula ~e 0 = c ~e, la componente v cambia
secondo la legge
~v = v0~e 0 = v0 (c ~e) = (v0 c) ~e = v ~e
{G679}
(C.8)
avendo posto
v0 =
1
v
c
(C.9)S62
quindi la componente è controvariante.
Spazio bidimensionale Se
~v = v1~e1 + v2~e2
{SD52}
(C.10)
facendo un cambiamento della base
{KMS5}
~e 0
1
~e20
=
c110 ~e1 + c210 ~e2
=
c120 ~e1 + c220 ~e2
e scrivendo la relazione precedente nella forma matriciale
1
c10
0
0
(~e 1 ~e 2 ) = (~e1 ~e2 )
{A729}
1
c10
(C.11)
c220
2
c20
(C.12)
149
C.1. VERSIONE GEOMETRICA
le componenti del vettore cambiano secondo la formula
0
0
0
0
0
0
(C.13)
0
[v1 c110 + v2 c120 ]~e1 + [v1 c210 + v2 c220 ]~e2
=
quindi
1
v
{A899}
v2
0
v1 ~e10 + v2 ~e20 = v1 [c110 ~e1 + c210 ~e2 ] + v2 [c120 ~e1 + c220 ~e2 ]
~v =
{A800}
0
0
=
v1 c110 + v2 c120
=
0
v1 c210
+
0
v2 c220
1 1
c
v
10
=
→
v2
c210
10
v
c120
0
c220 v2
0
~v = c~v.
(C.14)
Si faccia attenzione che la matrice introdotta non è la matrice del sistema (C.12) ma la sua trasposta.
Questa matrice prende il nome di matrice di transizione da una base all’altra. Si noti ancora che
non abbiamo fatto un cambiamento di coordinate bensì un cambiamento della base di uno spazio
vettoriale. Invertendo si ottiene
( 10 ) C 1 C 2 ( 1 )
1
1
0
v
v
~v = C~v
=
(C.15) {A7Q29}
0
v2 ♣
v2
1
2
C2 C2
avendo indicato con C la matrice inversa della c. Possiamo concludere che in uno spazio vettoriale
le componenti di un vettore per un cambiamento della base sono controvarianti.
Forza e spostamento Consideriamo la nozione di lavoro e compariamola con la nozione di
costo di una quantità di beni. Lo spostamento ~u è il prototipo dei vettori controvarianti rispetto
all’unità di misura della lunghezza per cui scriveremo:
~s = u1~e1 + u2~e2 + u3~e3
(C.16) {G719}
[si noti che diciamo che il vettore è controvariante in quanto le sue componenti sono controvarianti].
Se consideriamo il lavoro come la grandezza invariante ne segue che la forza deve essere un vettore
covariante. Infatti
w = f1 u1 + f2 u2 + f3 u3 .
(C.17) {G632}
Quando si vuole far uso della notazione matriciale (ciò che torna molto comodo) un vettore controvariante si scrive come vettore colonna mettendo le parentesi graffe ed uno covariante come vettore
riga con le parentesi tonde:
1
s
2
s
~u −→
f~ −→ f1 f2 f3 .
(C.18) {Y762}
s3
1
Cambiamento della base scritta come sistema:
~e 0 = c110 ~e1 + c210 ~e2
1
.
~e20 = c10 ~e1 + c20 ~e2
2
2
(C.19)1
Attenzione : la matrice formata da questi coefficienti presi nell’ordine indicato NON è la matrice di
transizione. Gli indici inferiori sono primati [?, p.168].
~ei0 ≡ cii0 ~ei .
(C.20)2
1 Si noti che alcuni autori mettono le parentesi tonde anche per i vettori riga e che molti autori non distinguono
graffe, tonde e quadre e usano sempre le stesse parentesi per qualunque tipo di vettore oltreché per le matrici.
150
APPENDICE C. COVARIANZA E CONTROVARIANZA RESE SEMPLICI
Scrittura matriciale
( ~e10
1
c10
~e20 ) = ( ~e1 ~e2 )
2
c10
c120
2
c20
(C.21)3
i primi come pedici. Questa è la matrice di transizione indicata con c. Essa è la trasposta della
matrice del sistema della (C.19).
Scrittura matriciale compatta
0
~e = ~ec.
(C.22)4
fine
Appendice D
Successive overrelaxation
For benefit of the reader we shall describe one of the most effective and fascinating iterative method,
the one of Successive Overrelaxation, briefly called SOR. Given an algebraic system
a11 x1 + a12 x1 + .... + a1n x1 = b1
a21 x1 + a22 x1 + .... + a2n x1 = b2
(D.1) {m87}
.....
an1 x1 + an2 x1 + .... + ann xn = bn
in which the elements of the main diagonal are dominant, i.e. satisfy the relation [21, p.322]
X
|ahh | ≥
|ahk |
(D.2) {F639}
k,h
Solving the h − th equation with respect to xh the system becomes
1
[b1 − (0 + a12 x2 + .... + a1n xn )]
a11
1
[b2 − (a21 x1 + 0 + .... + a2n xn )]
x2 =
a22
.......
1
[bn − (an1 x1 + an2 x2 + .... + 0)]
xn =
ann
x1 =
(D.3) {m13}
To solve the system we apply the method of successive substitutions. One starts assigning to all xh
of the right side of Eq. (D.3) a value, say 0, and then evaluate the xh of the left side. Inserting last
values in the right side we obtain a new set of value, end so on. This is the Gauss-Seidel method.
One may modify the form of the system adding and subtracting the term xh on the right side.
One obtains
1
x1 = x1 +
[b1 − (a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn )]
a
11
1
[b2 − (a21 x1 + a22 x2 + .... + a2n xn )]
x2 = x2 +
(D.4) {m63}
a
22
...
1
[bn − (an1 x1 + an2 x2 + .... + ann xn )]
xn = xn +
ann
151
152
APPENDICE D. SUCCESSIVE OVERRELAXATION
The advantage of this form is that it appears the term
h = [bh − (ah1 x1 + ah2 x2 + .... + ahn xn )]
that is the residual of the h − th equation (D.4). Then we can write
1
x1 = x1 +
1
a
11
1
2
x2 = x2 +
a
22
...
1
n
xn = xn +
ann
(D.5) {m49}
(D.6) {H7D}
To increase the rate of convergence one may multiply the residual k by a relaxation factor ω, with
1 < ω < 2. The best value of ω can be determined by trial and errors (an initial trial may be 1.4).
The system to be solved becomes
1
x1 = x1 +
ω [b1 − (a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn )]
a
11
1
ω [b2 − (a21 x1 + a22 x2 + .... + a2n xn )]
x2 = x2 +
{m66}
(D.7)
a
22
...
1
ω [bn − (an1 x1 + an2 x2 + .... + ann xn )]
xn = xn +
ann
If the matrix is symmetric and positive definite the SOR method converges for every value 0 < ω <
2. As references we quote [6, p.555].
fine
Appendice E
Moto di una particella
Le equazioni differenziali del moto di una particella sono
~v(t) =
d~r(t)
dt
d ~p(t)
= f~(t, ~r, ~v)
dt
~p(t) = m ~v(t)
(E.1) {PZ63}
Le corrispondenti equazioni in forma finita sono
~s = ~r + − ~r −
~p = m
~s
τ
~p + − ~p − = ~I
(E.2) {MYP56}
Si noti che nella (E.2) sono utilizzate solo variabili globali nel tempo.
Se le equazioni in forma finita si intendono dedotte da quelle in forma differenziale per integrazione sul tempo non si afferra la corretta associazione delle variabili globali agli elementi temporali
(istanti ed intervalli) del complesso primale e duale nel tempo.
Infatti con riferimento alla tavola (??) si vede che sussiste la seguente associazione:
vettore posizione ~r
vettore spostamento ~s
quantità di moto ~p
impulso ~I
momentum
p[˜
tn ]
istanti primali tn
intervalli primali τn
istanti duali t̃n
intervalli duali τ̃n
J[τ ˜n ]
τ ˜n
tn-1
(E.3) {YZ8Y}
p[˜
tn +1 ]
˜
tn+1
˜
tn
r[tn-1]
~r(tn )
~s(τn )
~p(t˜n )
~I(τ̃n )
t
tn
τ
n
r[tn ] position vector
f(tn )
u[τ n ]
Figura E.1. La associazione delle variabili meccaniche agli elementi temporali di un
complesso di celle e del suo duale.
153
{associa-tempo-meccG}
154
APPENDICE E. MOTO DI UNA PARTICELLA
Tenendo conto di questa associazione le tre equazioni (E.2) possono scriversi
~r(tn )
~p(t˜n )
˜
~p(tn+1 )
=
~r(tn−1 ) + τn ~v(t˜n )
=
m ~v(t˜n )
=
~p(t˜n ) + τ̃n f~(tn ).
(E.4) {MC4V}
Il fatto caratteristico di questa formulazione è che le quantità di moto sono valutate nei punti intermedi degli intervalli primali. In particolare la quantità di moto iniziale non è da assegnarsi allo
stesso istante in cui si assegna la posizione.
E.0.1
Moto unidimensionale.
Per semplificare lo studio esaminiamo dapprima il moto unidimensionale di una particella lungo
l’asse delle ascisse. Possiamo scrivere
τn
x(tn ) = x(tn−1 ) +
p(t˜n )
m
{MDY5}
(E.5)
p(t˜n+1 ) = p(t˜n ) + τ̃n f (tn , xn , vn ).
Moto armonico. In questo caso la forza dipende dalla posizione secondo la formula
f (tn , xn , vn ) = −k x(tn ).
{MKJC}
{M5SF}
Le equazioni (E.5) divengono quindi
x(tn )
p(t˜n+1 )
τn
p(t˜n )
m
=
x(tn−1 ) +
=
p(t˜n ) − τ̃n k x(tn )
che si possono scrivere nella forma sintetica
xn =
{PE6D}
pn+1/2 =
xn−1 +
τn n−1/2
p
m
(E.6)
(E.7)
(E.8)
pn−1/2 + τ̃n k xn .
Moto armonico smorzato. In tal caso la forza dipende sia dalla posizione che dalla velocità
secondo la formula
{M89Z}
f (tn , xn , vn ) = −k x(tn ) − c v(tn ).
(E.9)
Dal momento che la velocità è naturalmente associata agli istanti duali la v(tn ) deve essere interpolata nel modo seguente
v(t˜n+1 ) + v(t˜n )
{MW9G}
v(tn ) =
.
(E.10)
2
Le equazioni (E.5) divengono quindi
p(t˜n )
x(tn ) = x(tn−1 ) + τn
m
{MSU8}
(E.11)
τ̃n c p(t˜n+1 ) + p(t˜n )
p(t˜n+1 ) = p(t˜n ) − τ̃n k x(tn ) −
m
2
155
Nella seconda equazione la quantità di moto all’istante t˜n+1 compare sia al primo che al secondo
membro e vi compare linearmente. Questo consente di raccoglierla al primo membro ottenendo
τ̃n c τ̃n c {LC5V}
p(t˜n+1 ) = 1 −
p(t˜n ) − τ̃n k x(tn ).
(E.12)
1+
2m
2m
Posto
τ̃n c
2m
A =
τ̃n c
1+
2m
il sistema (E.12) si può scrivere
x(tn ) =
p(t˜n+1 ) =
def
1−
def
B=
x(tn−1 ) +
τ̃n k
τ̃n c
1+
2m
τn
p(t˜n )
m
(E.13) {LCX5}
(E.14) {MFF6}
A p(t˜n ) − B x(tn )
Confronto. E„ nteressante osservare la differenza tra il metodo di integrazione di Eulero ed il
presente metodo:
E.0.2
(metodo delle celle)
x(t0 ) := assegnato
p (t˜1 ) := assegnato
for n:=1 to Nmax
τ
p (t˜n )
m
p (t˜n+1 ) := p (t˜n ) − τkx(tn )
end;
x(tn ) := x(tn−1 ) +
(metodo di Eulero)
x(t0 ) := assegnato
p(t0 ) := assegnato
for n =1 to Nmax
τ
p (tn−1 )
m
p (tn ) := p (tn−1 ) − τkx (tn−1 )
end;
x (tn ) := x (tn−1 ) +
(E.15) {D34}
Moto tridimensionale
Le equazioni (E.14), per il caso tridimensionale possono scriversi
τn n−1/2
xhn = xhn−1 +
p
m h
pn+1/2 = A pn−1/2 − B xn
h
h
h
fine
(E.16) {M45Q}
156
APPENDICE E. MOTO DI UNA PARTICELLA
Appendice F
Punti di Gauss
Ci proponiamo di indicare un procedimento per valutare in modo esatto l’integrale di un polinomio
p(x) entro un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Si noti che l’integrale di un polinomio si può sempre
eseguire con esattezza in quanto siamo in grado di eseguire gli integrali dei singoli monomi con la
formula
Z b
1 k+1
xk dx =
(F.1)S
b − ak+1 .
k+1
a
L’obiettivo nostro è però di mostrare che tale integrale si può fare velocemente utilizzando i valori
del polinomio in determinati punti xk dell’intervallo: sono questi i punti di Gauss.
Il nostro obiettivo è quello di determinare certe ascisse xk e certi pesi wk in modo da esprimere
l’integrale definito mediante la formula
Z b
n
X
p(x) dx =
wk p(xk )
(F.2) {KYD5}
a
k=1
Le considerazioni fatte da Gauss e riportate sui libri di analisi numerica sono piuttosto complesse.
Noi mostriamo un procedimento che rende molto semplice il raggiungimento del risultato.
F.1
Intervallo canonico
Innanzi tutto consideriamo un intervalo canonico [-1,+1], come si fa solitamente e calcoliamo
l’integrale di un polinomio di grado n.
Z +1
(F.3)01
J=
(a0 + a1 ξ + a2 ξ2 + a3 ξ3 + ... + an ξn ) dξ
−1
Scomponendo l’integrale in tanti integrali ci rendiamo conto che gli integrali delle potenze dispari
nell’intervallo considerato si annullano. Infatti
" 4 #+1
" 2 #+1
Z +1
Z +1
ξ
ξ
ξ dξ =
=0
ξ3 dξ =
=0
(F.4)02
2 −1
4 −1
−1
−1
Ne viene che nell’intervallo canonico [-1,+1] il valore dell’integrale dipende solo dai termini di
grado pari. Per essi si ha
" 2m+1 #+1
Z +1
ξ
2
ξ2m dξ =
=
(F.5)03
2m + 1 −1 2m + 1
−1
157
158
APPENDICE F. PUNTI DI GAUSS
Per mantenere l’esposizione ad un livello elementare consideriamo dapprima un polinomio di terzo
grado poi uno di quinto grado.
F.1.1
Polinomi di terzo grado
a2 (F.6)56
(a0 + a2 ξ2 ) dξ = 2 a0 +
3
−1
−1
Dal momento che un polinomio di grado tre ha quattro coefficienti si vede come l’integrale del
polinomio nell’intervallo considerato dipende solo dai coefficienti dei termini pari e quindi da due
coefficienti.
J=
Z
+1
(a0 + a1 ξ + a2 ξ2 + a3 ξ3 ) dξ =
Z
+1
Se indichiamo con g l’ascissa di un punto potremo scrivere
p(+g) = a0 + a1 g + a2 g2 + a3 g3
p(−g) = a0 − a1 g + a2 g2 − a3 g3
(F.7)05
Si vede che sommando le due equazioni scompaiono i coefficienti delle potenze dispari, proprio
come accade nell’integrale (F.6). Si ottiene
p(+g) + p(−g) = 2 (a0 + a2 g2 )
(F.8)06
Se poniamo g2 = 1/3 ovvero
{U5D3}
1
(F.9)
g = ± √ = ± 0.5773502692
3
otteniamo esattamente la formula (F.6) Le ascisse g1 = −g e g2 = +g sono quelle dei due punti
di Gauss cercati [Atkinson p.276]. In conclusione per un polinomio di terzo grado nell’intervallo
canonico [-1,+1] si ha
w1 = 1
{DER9}
F.1.2
{B05}
w2 = 1
g1 = −0.5773502692
g2 = 0.5773502692
(F.10)
Polinomi di quinto grado
J
Z
+1
=
−1
Z +1
(a0 + a1 ξ + a2 ξ2 + a3 ξ3 + a4 ξ4 + a5 ξ5 ) dξ
(F.11)
(a0 + a2 ξ2 + a4 ξ4 ) dξ
a2 a4 = 2 a0 +
+
3
5
Dal momento che un polinomio di grado cinque ha sei coefficienti si vede come l’integrale del
polinomio nell’intervallo considerato dipende solo dai coefficienti dei termini pari e quindi da tre
coefficienti.
=
−1
Nel paragrafo precedente abbiamo visto che è sufficiente valutare il polinomio p(ξ) in due punti
+g e −g simmetricamente disposti rispetto all’origine. Vediamo se con tre valori simmetricamente
disposti attorno all’origine (e quindi uno sarà necessariamente lo zero) possiamo valutare l’integrale
con tre valori del polinomio. Se sono g1 , g2 , g3 i tre punti dovrà essere g3 = −g1 e g2 = 0. Quindi ci
basta g1 . Potremo scrivere
p(+g1 ) = a0 + a1 g1 + a2 g21 + a3 g31 + a4 g41 + a5 g51
p(0)
= a0
(F.12)05
p(−g ) = a − a g + a g2 − a g3 + a g4 − a g5
1
0
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
159
F.2. INTERVALLO GENERICO
Si vede che sommando la prima e l’ultima equazione scompaiono i coefficienti delle potenze dispari,
come nell’integrale. Si ottiene
p(+g1 ) + p(−g1 ) = 2(a0 + a2 g21 + a4 g41 )
(F.13)06
Se si potesse trovare un g1 tale che g21 = 1/3 e g41 = 1/5 avremmo risolto il problema. Dal momento
che questo non è possibile proviamo a fare una combinazione lineare dei due termini con due
coefficienti w2 e w1 :
J = w2 p(0) + w1 p(+g1 ) + p(−g1 )
= w2 a0 + 2 w1 a0 + a2 g21 + a4 g41
(F.14)07
= (w2 + 2 w1 ) a0 + 2 w1 a2 g21 + a4 g41
Dovrà essere
a2 a4 (w2 + 2 w1 )a0 + 2 w1 a2 g21 + 2 w1 a4 g41 = 2 a0 +
+
3
5
Se imponiamo
w + 2w
2 2 1
w1 g1
w g4
1 1
=
=
=
2
1/3
1/5
Dividendo la terza equazione per la seconda otteniamo
√
g = − 3/5 = − 0.77459666924148
w1 = +5/9 = + 0.55555555555556
1
g
=
0
w
2
2 = +8/9 = + 0.88888888888889
g = + √3/5 = + 0.77459666924148
w = +5/9 = + 0.55555555555556
3
(F.15)08
(F.16)09
(F.17)11
3
che sono i tre punti di Gauss cercati con i relativi pesi [Atkinson p.276].
F.2
Intervallo generico
Se l’integrale da calcolare è da valutare nel generico intervallo [a, b] invece che in [−1, 1] occorre
fare la trasformazione
b+a b−a
x=
+
ξ
(F.18) {HE6D}
2
2
Infatti questa relazione fa corrispondere a ξ = −1 il valore x = a e a ξ = +1 il valore x = b. Quindi
Z b
X
b+a b−a
p(x) dx =
wk p(xk )
essendo
xk =
+
gk
(F.19) {HSD6}
2
2
a
k
fine
F.3
Pezzo bivettore
160
APPENDICE F. PUNTI DI GAUSS
Bibliografia
[1] Abraham M., Theorie der Elektrizität II, (3◦ edizione Lipsia) 1914.
[2] Agazzi E., Temi e problemi di filosofia della fisica, Abete ♣
[3] Alexandrov P., Elementary Concepts of Algebraic Topology, Dover, 1961.
[4] Alexandrov P.S., Topologia combinatoria, Einaudi, 1957.
[5] Arnold V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer Verlag, 1978.
[6] Atkinson K.E.,An Introduction to Numerical Analysis, Wiley & Sons, 1989.
[7] Bloembergen N., Nonlinear Optics, Benjamin, 1965.
[8] Bossavit A., Emson C., Mayergoyz I.D., Méthodes numeriques en électromagnétisme,
Eyrolles (1991). [NON CITATO @@]
[9] Bossavit A., “A rationale for edge-elements in 3-D fields computations. IEEE Trans. on
Magnetics, v.24, n.1, (1988)
[10] Bottani E., ..............
[11] Bourgin D. G., Modern Algebraic Topology, The MacMillan Company, 1963.
[12] Branin F. H. (Jr), “The algebraic topological basis for Network analogies and the vector
calculus, Symp. on Generalized Networks, Brooklyn Polit., pp. 453-487, (1966).
[13] Callen H.B., Thermodynamics, Wiley, 1961.
[14] Cartan E., “Sur le varietès a connexion affine, Ann. Ecole Norm. 41, 1 (1924).
[15] Cavendish J.C. Hall C.A., Porsching T.A., “A complementary volume approach for modelling three-dimensional Navier-Stokes equations using dual Delaunay/Voronoi tessellations, J.
Num. Meth. Heat Fluid Flow., vol. 4, 329-345, (1994).
[16] Chowlson, O.D., Davaux, E., Cosserat, E. “Traité de physique / O.D. Chwolson ; ouvrage
traduit sur les éditions russe & allemande par E. Davaux. - éd. revue et considérablement augmentée par l’Auteur, suivie de notes sur la physique théorique / par E. Cosserat, F. Cosserat. Paris : Hermann, 1906-28 02/01/001(I-V, S.I-II)
[17] Cullwick, E.G., , “The fundamentals of electro-magnetism, 3rd ed. - Cambridge University
press, (1966).
[18] de Groot S.R. and Mazur P. , Non-Equilibrium Thermodynamics, reprinted by Dover 1984.
[19] Deschamps G.A., “Electromagnetics and Differential Forms, Proceeding of the IEEE, vol. 69,
No.6, pp. 676-696, (1981).
[20] Deschamps G.A., Ziolkowski R.W., “Comparison of Clifford and Grassmann Algebras in
Applications to electromagnetism, contained in Cliffor dalgebras and their Applications in
Mathematical Physics, edited by. J.S.R.Chisholm and A.K. Common, Reidel Publ Comp. ,
pp. 501-515, 1986.
161
162
BIBLIOGRAFIA
[21] Demidovic B.P., Maron I.A.,Fondamenti di calcolo numerico, Mir, 1981.
[22] Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T., Geometria Contemporanea, (italian translation
from russian) v. 3, Mir, 1989.
[23] Fleury P., Mathieu J. P., Elettrostatica, Corrente continua, magnetismo, Zanichelli vol. 6,
1970.
[24] Fouillé A., Electrotecnique a l’usage des ingenieurs, Dunod, 1961.
[25] Franz W., Algebraic topology, Ungar Publ. Co., 1968.
[26] Guggenheim E.A., Termodinamica, Einaudi, 1952 (translation of Thermodynamics, North
Holland)
[27] Hallen E., Electromagnetic Theory , Chapman&Hall, 1962.
[28] Helmholtz von H., “Ueber die Erhaltung der Kraft, Wissenchaftliche Abhandlungen, I, pp.1275 , Berlin (1847).
[29] Hilton P.J. - Wylie S., Homology theory, Cambridge Univ. Press, 1965.
[30] Hocking J. G. - Young G. S., Topology, Addison Wesley, 1961.
[31] Jackson J.D., Classical Electrodynamics,Wiley & Sons .
[32] Jefimenko O. D., Electricity and Magnetism, Appleton-Century-Crofts 1966.
[33] Kron G.,“ Equivalent circuits of the field equations of Maxwell, Proc. IRE,32,1944, 289-299.
[34] Kron G., “The Frustrating Search for a Geometrical Model of Electrodynamic Networks,
Tensor, 13, pp.111-128, 1963
[35] Langevin P., “Sur la nature des grandeurs et les choix d’un système d’unités électriques, Bull.
Soc. française de physique, (1922), v. 164, p.9. Reprinted in Oeuvres scientifiques de Paul
Langevin, Centre Nationale de la Recerque Scientifique, 1950, pp. 493-505.
[36] Langevin P., “Sur les grandeurs champ et induction, Bull. Soc. Francaise de physique, (1921),
v. 162, p.3. Reprinted in Oeuvres scientifiques de Paul Langevin, Centre Nationale de la
Recerque Scientifique, pp. 491-492, 1950. [CITARE @@]
[37] Lefschetz S.,Introduction to Topology, Princeton Univ Press, 1949.
[38] Marrone M., Computational Aspects of Cell Method in Electrodynamics, submitted for
publication.
[39] Maxwell J. C., Remarks on the Mathematical Classification of Physical Quantities, Proc.
London Math. Soc., 3, 1871, pp.224-232.
[40] Maxwell J. C., Treatise of Electricity and Magnetism, ...., 1873.
[41] Maxwell J. C., Traité Eléméntaire d’electricité, Gauthier Villars, 1884.
[42] Maxwell J. C., Trattato di elettricità e magnetismo, Utet, 1973.
[43] Mie G.,Lehrbuch der Electrizität un des Magnetismus, 2nd edition; Enke,Stuttgart, 1941.
[44] Mie G., Handbuck der Experimentalphysik, band XI, Elektrodynamik, 1932.
[45] Okada S., Onodera R., “Algebrification of Field Laws of Physics by Poincaré Process, Bull.
of Yamagata University Natural Sciences, 1, 4, p. 79-86, (1951).
[46] L. Olivieri, E. Ravelli, Elettrotecnica, vol. I, Cedam, 1983.
[47] Patterson E. M., Topology, Oliver and Boyd Ltd., 1966.
[48] Pauli W., Elettrodinamica, (translation of Vorlesung Elektrodynamik), ed. Boringhieri, 1964.
BIBLIOGRAFIA
163
[49] Penfield P., Hans H., Electrodynamics of moving media, M.I.T. Press, 1967.
[50] Perucca E., Fisica generale e sperimentale, v.2, IV edizione, Unione Tipografica Editrice
Torinese, 1945.
[51] Pohl R. W., Physical principles of Electricity and Magnetism, Blackie and Son, 1930.
[52] Pohl R.W., Elementi teorico-pratici di elettrofisica moderna, Hoepli, 1928.
[53] E.J. Post, Geometry and Physics: A Global Approach, Burge (ed.), Problems in the
Foundation of Physics, 4 (Springer-Verlag, 1971).
[54] Post E.J., “Kottler-Cartan-van Dantzig (KCD) and Noninertial Systems, Found. of Phys. vol.9,
pp.619-640, 1978
[55] Rojansky V., Electromagnetic fields and Waves, Dover. ................
[56] Schelkunoff S. A., Electromagnetic Fields, Blaisdell, 1963.
[57] Schwartz M., Principles of Electrodynamics, Dover .
[58] Someda G., Elementi di elettronica generale, Editrice Universitaria Pàtron, ♣
[59] Sommerfeld A., Lectures in Theoretical Physics, vol. III, Electrodynamics, Academic Press,
1952.
[60] Silvester P., “Finite Element Solution of Homogeneous Waveguides Problems, Alta
Frequenza, v.38, pp.313-317 (1969).
[61] Tamm I.E., Fundamentals of the Theory of Electricity, Mir, 1979.
[62] Tonti E., On the mathematical structure of a large class of physical theories, Rend. Acc.
Lincei, vol. LII, pp. 48-56, (1972).
[63] Tonti E., “A mathematical model for physical theories, Rend. Acc. Lincei , vol. LII, pp. 175181 (I part), pp. 350-356 (II part), (1972).
[64] Tonti E., “On the Geometrical Structure of Electromagnetism, in Gravitation, Electromagnetism and Geometrical Structures, for the 80th birthday of A. Lichnerowicz, Edited by G.
Ferrarese, (1995), Pitagora Editrice Bologna, pp. 281-308.
[65] Tonti E., “The reasons for Analogies between Physical Theories, Appl. Mat. Modelling, Vol.
I, pp. 37-50 (1976).
[66] Tonti E., “The Algebraic - Topological Structure of Physical Theories, Conference on
Mechanics, Calgary (Canada) (1974).
[67] Tonti E., “On the Formal Structure of Physical Theories, monograph of the Italian National
Research Council (1975).
[68] Tonti E., “Algebraic Topology and Computational Electromagnetism, Fourth International Workshop on the Electric and Magnetic Fields: from Numerical Models to Industrial
Applications, Marseille, (1998), pp. 284-294.
[69] Tonti E., “Finite Formulation of the Electromagnetic Field, Journal of Electromagnetic Waves
and Applications/ Special issue of the Progress in Electromagnetic Research (PIER) Monograph Series , Geometrical Methods for Computational Electromagnetics, (invited paper in
press).
[70] Veblen O., Whitehead J. H. C., The foundations of Differential Geometry, Cambr. Tracts No
29, pp. 55-56, 1932.
[71] Van Dantzig D., “Electromagnetisms, independent of metrical geometry, Proc. Amsterdam
Acad. 37 (1934) pp. 521-525 pp. 526-531, pp. 643-652, pp. 825-836.
164
BIBLIOGRAFIA
[72] Van Dantzig D., “On the phenomenological thermodynamics of moving matter, Physica VI,
8, pp. 673-704 (1939).
[73] Van Dantzig D., “On the Geometrical Representations of Elementary Physical Objects and
the Relations between Geometry and Physics, Nieuw Arcjief von Wiskunde, v.3, n.2, pp. 73-89
(1954).
[74] Wallace A. W., An Introduction to Algebraic Topology, Pergamon Press, 1967.
[75] Wallace A. W., Algebraic Topology, Homology and Cohomology, Benjamin, 1970.
[76] Weiland T., “Eine Methode zur Lösung der Maxwellschen Gleichungen für sechskomponentige Felder auf diskreter Basis, AEÜ, band 31, Heft 3, (1977).
[77] Weiland T., “On the numerical solution of Maxwell’s equations and applications in the field
of accelerator physics. Particle accelerators, pp. 245-292 (1984).
[78] Weiland T.,“ On the unique numerical solution of maxwellian eigenvalue problems in three
dimensions. “Particle accelerators, pp. 227-242, (1985).
[79] Weiland T., “Time domain electromagnetic field computation with finite difference methods,
Int. J. of Num. Modelling, v.9, , pp. 295-319 (1996).
[80] Whittaker E., A History of the Theories of Aether and Electricity, v.2, Humanities Press, 1973.
[81] Yee K. S., “Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s
Equations in Isotropic Media, IEEE Trans. Antennas Propag. 14, pp. 302-307 (1966).
[82] Yee K. S., “Impedance Boundary Conditions Simulation in the FDTD/FVTD Hybrid, IEEE
Trans. Antennas Propag. vol. 45,N. 6, pp. 921-925 (1997).
[83] Zavattini E., Studi sperimentali specifici, su effetti dovuti alla polarizzazione del vuoto del
campo elettromagnetico che si riconducono .... ♣, Dipartimento di Fisica di Trieste, 1995.
