ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria 2012, matematicamente.it
PROBLEMA1
Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:
3 
f x   27 x 3
e
g x   sin x 
2 
1. Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i
grafici G f e G g in un conveniente sistema di riferimento cartesiano
Oxy.
2. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a
1
G f e a G g nel punto di ascissa x  . Qual è l’ampiezza, in gradi e
3
primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato da r e s?
3. Sia R la regione del piano delimitata da G f e G g . Si calcoli l'area di
R.
4. La regione R, ruotando attorno all’asse x, genera il solido S e,
ruotando attorno all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il
perchè, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi
di S e di T
RISOLUZIONE
Punto 1
Una funzione sinusoidale di periodo T può essere scritta come
 2 
3 
sin 
x  ; nel caso in esame la funzione g x   sin x  è
2 
T 
 2

4

x  il cui periodo è T  .
equivalente a g x   sin 
3
4

 3 
Alternativamente possiamo sfruttare la definizione di funzione
periodica: una funzione è periodica di periodo T se g x   g x  T  e
1
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3 
3

nel caso in esame se sin x   sin   x  T  ; ricordando che una
2 
2

funzione seno è periodica di 2k con k  Z , l’equazione
3 
3

equivale
a
imporre
sin x   sin   x  T 
2 
2

3
3
4
 x  T   x  2k da cui si ricava T  k ; il periodo minimo lo
2
2
3
4
si ricava ponendo k  1 ed è pari a T  .
3
3
Studiamo la funzione f x   27x .
Il grafico della funzione f x   27x 3 possiamo ricavarlo da quello
della funzione hx   27x 3 ribaltando verso le ordinate positive la parte
di grafico al di sotto dell’asse delle ascisse. Pertanto studiamo la
funzione hx   27x 3
Dominio: R;
Intersezione ascisse: hx   27 x 3  0  x  0
Intersezioni ordinate: x  0  h0  0 ;
Simmetrie: la funzione è dispari in quanto
3
h x   27 x   27 x 3  hx  ;
Positività: la cubica hx   27x 3 è positiva se x  0 ;
Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R;
Asintoti orizzontali: lim hx    per cui non ve ne sono;
x 
h x 
  ;
x
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è h' x   81x 2 per cui
all’interno del dominio la funzione è strettamente crescente e si annulla
solo in x  0 .
Concavità e convessità: h' ' x   162 x per cui la funzione ha concavità
verso l’alto in 0, e verso il basso in  ,0 ; poichè
Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto lim
x 
2
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h' 0  0, h' ' 0  0, h' ' ' 0  162  0 quindi F 0,0 è un flesso a
tangente orizzontale di equazione y  0 .
h' '  x   0  x  0
h' '  x   0  x  0
h' '  x   0  x  0
-
Il grafico G h è di seguito
presentato:
Il grafico G f , ricavato da
quello di G h , è di
presentato:
seguito
3
0
flesso
x
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3 
Studiamo la a funzione g x   sin x 
2 
Dominio: R;
Intersezione ascisse:
3
2
3 
g x   sin x   0  x  k  x  k , k  Z
2
3
2 
Intersezioni ordinate: x  0  g 0  0 ;
Simmetrie:
la
funzione
è
dispari
in
quanto
 3 
3 
g  x   sin  x    sin x    g x  ;
 2 
2 
Positività:
la
funzione
è
positiva
se
3
4
2 4
2k  x    2k  k  x   k , k  Z ;
2
3
3 3
Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;
Asintoti orizzontali: ve ne sono in quanto la funzione è limitata;
Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è limitata;
3
3 
Crescenza e decrescenza: la derivata prima è g ' x    cos x  per
2
2 
cui la funzione è strettamente crescente negli intervalli in cui
3 
cos x   0 e strettamente decrescente negli intervalli in cui
2 
3 
cos x   0 .
2 
4
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Poiché
3

3
3
3 
cos x   0  2k  x   2k    2k  x  2  2k 
2
2
2
2
2 
4
1 4
4
4 4
 k  x   k  1  k  x   k, k  Z
3
3 3
3
3 3
e

3
3
1 4
4
3 
cos x   0   2k  x 
 2k   k  x  1  k , k  Z
2
2
2
3 3
3
2 
deduciamo che la funzione è strettamente crescente negli intervalli
4 1 4   4 4 4 
con
e strettamente
k Z
 k ,  k   1  k ,  k 
3 3 3   3 3 3 
4 
1 4
decrescente in   k ,1  k  con k  Z ; in conclusione la funzione
3 
3 3
1 4 
presenta massimi relativi in M k   k ,1 e minimi relativi in
3 3 
 4

mk 1  k ,1 con k  Z .
 3

Concavità e convessità: la
derivata
seconda
è
2
3 
3 
g ' ' x      sin x  e
2 
2 
2
si annulla in x  k , k  Z
3
2

per cui i punti  k ,0  sono
3

flessi.
5
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Punto 2
Per x  0, f x   27 x 3  27 x 3 . La tangente in x 
funzione f x   27x 3

1
alla
3
1
 1 
1
ha equazione y  f '   x    f   dove
3
 3 
 3

1
1
f    1, f '    81x 2 x  1  9 per cui l’equazione della tangente è
3
 3
 3
1

y  9 x    1  9 x  2 .
3

1
3 
La tangente in x  alla funzione g x   sin x  ha equazione
3
2 
1
 1 
1
y  g '   x    g  
dove
3
 3 
 3
1
 1   3
 3 
g    1, g '     cos x 
 0 per cui l’equazione della
 3
 3  2
 2  x  1
3
tangente è y  1 . D’altronde l’ascissa x 
1
è ascissa di massimo per
3
1
è orizzontale e pari al valore massimo che può
3
assumere una funzione sinusoidale, cioè 1.
cui la tangente in x 
Date due rette di coefficienti angolari m, m' , l’angolo acuto formato tra
m  m'
le due può essere ricavato dalla formula tan  
da cui,
1  mm'
m  m'
sapendo che m  9, m'  0 , ricaviamo tan  
 9 per cui
1  mm'
  arctan9  1,46 rad  8340'
6
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Punto 3
3 
Le due funzioni f x   27 x 3 e g x   sin x  si intersecano
2 
1
 1
solamente nei punti di ascisse x  0, x  . Nell’intervallo 0,  la
3
 3
3 
funzione g x   sin x  sta al di sopra di
2 
3
f x   27x e in questo intervallo f x   27 x 3  27 x 3 . La regione R
di cui calcolare l’area è di seguito raffigurata in grigio:
L’area richiesta vale
1
3
1
3
 3 

S R    g  x   f  x dx   sin  x   27 x 3  dx 
2 

0
0
1
4
 2
2  8
 3  27 x  3  1
 
cos x  

   
4  0  12 3  12
2 
 3
7
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Punto 4
Il volume S del solido generato dalla rotazione della regione R attorno
all’asse delle x può essere ottenuto come differenza tra il volume V1 del
solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla
1
3 
curva g x   sin x  , dalla retta x  e dall’asse x attorno all’asse
3
2 
x, e il volume V2 del solido generato dalla rotazione della parte di piano
1
delimitata dalla curva f x   27x 3 , dalla retta x  e dall’asse x
3
attorno all’asse x . Pertanto si ha:
1
3
1
2
3
2
  3 
V S   V1  V2    sin x  dx    27 x 3 dx
 2 
0
0


Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a
risolvere l’integrale definito soprastante:
1
3
1
1
3
3
2
  3 
1  cos 3x 

V S     sin  x  dx    27 x 3 dx    
 729 x 6 dx 
2
 2 

0
0
0
2


1
 x sin 3x  729 7  3
1 1  5
 

x       
6
7
2
0
 6 21  42
Il volume T del solido generato dalla rotazione della regione R attorno
all’asse delle y può essere ottenuto come differenza tra il volume V3 del
solido generato dalla rotazione della parte di piano delimitata dalla
3 y
curva f 1  y  
, dalla retta y  1 e dall’asse y attorno all’asse y, e
3
il volume V4 del solido generato dalla rotazione della parte di piano
2 arcsin  y 
delimitata dalla curva g 1  y  
, dalla retta y  1 e
3
dall’asse y attorno all’asse y . Pertanto si ha:
8
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2
1
3 y 


2
arcsin
y


 dy  
V T   V3  V4    
0  3  dy
 3 
0

Anche se ci viene richiesto di non calcolarlo, proviamo comunque a
risolvere l’integrale definito soprastante iniziando a calcolare
1
2
2
3 y 
 dy ; esso è pari a
  
3 
0
2
2
1

1 3
1
 y
 53 
 y3 

3

 dy   
 
dy     y   ;

 3 
9 
9 5   0 15
0
0



applicando l’integrazione per parti si ha
1
1
 2 arcsin  y  
4

dy

arcsin 2  y dy 


3
9 0

0 
1
4 

2 1  y 2 arcsin  y   2 y  y arcsin 2  y  
0
9 
4 
 2   2  8


2


 
9 
4 
9
In conclusione
1
2
1
3y
 2 arcsin  y  
 2 8
V T   V3  V4    
dy


dy






 3 
3

15
9


0
0 

2
40  2

45
Alternativamente, il calcolo del volume V T  può essere effettuato
attraverso l’applicazione del metodo dei gusci cilindrici. Il solido
generato dalla rotazione attorno all’asse y di una regione piana può
essere visto come somma di tanti “gusci cilindrici”, cioè cilindri cavi di
raggio interno x, raggio esterno x  x ed altezza f x  . Consideriamo
il volume finito V di un “guscio” come volume infinitesimo dV ,
1
2
2
9
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quindi trattiamo x come infinitesimo dx ; esso può essere espresso
nella forma:
2
2
dV   x  dx   x 2  f x   2  x  dx  f x     dx   f x 


Poiché dx  è un infinitesimo di ordine superiore a dx , allora il
2
termine   dx   f x  è trascurabile rispetto a 2  x  dx  f x  , pertanto
2


dV   x  dx   x 2  f x   2  x  dx  f x 
2
Il volume del solido dovuto alla rotazione intorno all’asse delle
ordinate, pensato come somma di tanti volumetti dV relativi
b
b
a
a
all’intervallo di ascisse a, b , è pertanto pari a V   dV  2  xf x dx .
Se la regione da ruotare è delimitata da due funzioni, f x  e g x  con
g x   f x  il volume solido dovuto alla rotazione intorno all’asse delle
b
ordinate sarà pari a V  2  xg x   f x dx .
a
Nel caso in esame il volume richiesto sarà pari a
1
3
1
3
 3 



3 
V T   2  x sin x   27 x 3 dx  2   x sin x   27 x 4 dx
2 
2 


0 
0
3 
Applicando l’integrazione per parti l’integrale  x sin  x dx è pari a:
2 
2
3 
3  2
3 
 x sin 2 x dx   3 x cos 2 x   3  cos 2 x dx 
2
3  4
3 

x cos x   2 sin  x   C , C  R
3
 2  9
2 
In conclusione l’integrale indefinito sarà
10
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1
3


3 
V  T   2   x sin   x   27 x 4 dx 
2 

0 
1
3
 2
3  4
 3  27 5 
 2  
x cos   x   2 sin   x  
x  
 2  9
 2  5 0
 3
1  40  2 2
 4
 2  2   
45 
45
 9
come già precedentemente trovato.
11
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PROBLEMA2
Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati
l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3,0) e B(0,3) e l’arco L
di parabola d’equazione x 2  9  6 y i cui estremi sono il punto A e il
punto (0,3/2).
1. Sia r la retta tangente in A a L. Si calcoli l’area di ciascuna delle due
parti in cui r divide la regione R racchiusa tra L e l’arco AB.
2. La regione R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute
tagliando W con piani perpendicolari all’asse x, hanno, per ogni
0  x  3 , area S x   e 53 x . Si determini il volume di W.
3. Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno
all’asse x.
4. Si provi che l’arco L è il luogo geometrico
descritto dai
centri
delle
circonferenze
tangenti
internamente all’arco AB
e all’asse x. Infine, tra le circonferenze di cui
L è il luogo dei centri si determini quella che
risulta tangente anche all’arco di circonferenza
di centro A e raggio 3, come nella figura a
lato.
RISOLUZIONE
12
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Punto 1
Consideriamo la seguente figura.
y
B
R1
R2
C
O
A
x
 3
Indichiamo con C  0,  l’intersezione dell’arco di parabola L con
 2
l’asse delle ordinate.
La retta tangente ad L in A(3,0) ha equazione y  mx  3 con
 3 x2
d  
2 6
m 
dx




x
3
 1 per cui essa ha equazione y   x  3
x 3
x 3

1
9
L’area del quarto di cerchio di raggio 3 è S OAB    32 
;
4
4
9
l’area del triangolo OAB è S OAB   , per cui l’area R1 è
2

9 9 9
S R1   S OAB  S OAB  
    2
4 2 4



13

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L’area
sottesa
dall’arco
di
3
3

 3 x2 
3
x3 
9 27
S OAC     dx   x    
3
2 6 
18  0 2 18
2
0

9
3
S R2   S OAB   S OAC   3 
2
2.



parabola
per
è
cui

Punto 2
Il volume richiesto è pari a
3
3
0
0
V W    S x dx   e
3
53 x
 e 53 x 
e 5  e 4
dx  
.
 
3 0
3

Punto 3
Il volume richiesto è dato dalla differenza tra il volume di una semisfera
di raggio 3 e il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno
all’asse x della regione compresa tra L e l’asse x.
1
4
Il volume della semisfera è     33  18 mentre il volume del
2
3
solido ottenuto dalla rotazione attorno all’asse x della regione compresa
tra L e l’asse x è pari a
3
2
 3 x2 
 x5 x3 9 
 243 27 27  18


     dx   

 x   

  ,
2 6 
4  5
 180 6
180 6 4  0
0
18
72
pertanto il volume richiesto è pari a V R   18     .
5
5
Alternativamente il volume richiesto, ricordando che nel primo
quadrante l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3,0) e B(0,3)
3
ha equazione y  9  x 2 , può essere calcolato nel seguente modo:
14
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

V R      9  x 2
0

3

2
2
2
3
3
 3 x2  
 3 x2 
2
     dx   9  x dx      dx 
2 6 
 2 6  
0
0
3


3

 x5 x3 9 
x3 
18
72
  9 x     

 x   18    
3 0
5
5

180 6 4  0
Punto 4
Consideriamo la figura seguente.
Sia Px, y  con 0  x  3,0  y  3, il generico punto del luogo
geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti
internamente all'arco AB e all'asse x. Una circonferenza di centro
Px, y  è tangente all'arco AB se OP  PQ  OQ dove
OP  x 2  y 2 , PQ  y, OQ  3 e quindi se
x 2  y 2  y  3  x 2  y 2  3  y . Posto y  3 , condizione
verificata dalla limitazione geometrica imposta sull’ordinata del punto
P, elevando al quadrato si ha:
2
x 2  y 2  3  y   x 2  y 2  9  y 2  6 y  x 2  9  6 y
15
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che con le condizioni 0  x  3,0  y  3, coincide con l’equazione di
L.
Consideriamo la figura seguente e cerchiamo la circonferenza, di cui L
è il luogo dei centri, che risulta tangente anche all’arco di circonferenza
di centro A e raggio 3.

x2 3 

  con 0  x  3 ed R rispettivamente il
Indicando con C  x,
6
2

centro ed il raggio della circonferenza richiesta, e con S il punto di
tangenza di quest’ultima con la circonferenza con centro in A e raggio
3, deve aversi AC  AS  R , dove
2
 x2 3 
 x2 3 
AC  3  x    
  , AS  3, R   
  .
6
2
6
2



Imponendo l’uguaglianza si ha:
2
AC  AS  3 


3  x 
2
2
3
x
3
  

6 2
6 2
3  x 2    x

2
 x2 3 
 x2 3 


 
   3   
  
6
2
6
2



2
16
2
,
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e poichè
x2 3
 è sempre positivo, elevando al quadrato si ha:
6 2
2
2
2


 2

3  x     x  3    x  3  
 6 2
 6 2
x4 x2 9 x4 x2 9
 x 2  6x  9 

 

 
36 2 4 36 2 4
3
 6x  9  x 
2
2
9
3 9
Quindi il centro della circonferenza è C  ,  , il raggio è R  ; di
8
2 8
conseguenza la sua equazione è
2
2
3 
9
81
9
9

 x 2  y 2  3x  y   0 .
x  y   
2 
8
64
4
4

17
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QUESTIONARIO
Quesito 1
Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore?
4
1

1
5  h   5 
2

2
lim 
h 0
h
4
4
4
1

1
5  h   5 
2

 2  . Esso rappresenta il limite
Calcoliamo il limite lim 
h 0
h
f x  h   f x 
1
del rapporto incrementale
calcolato nel punto x  ; si
h
2
4
tratta quindi della derivata prima della funzione f x   5x calcolata in
1
x  . Poiché f ' x   20 x 3 , il limite richiesto è pari a
2
3
5
1
1
f '    20     .
2
2
2
Alternativamente possiamo calcolare direttamente il limite:
2
2
2
2
4
4
 1
  1    1
 1 
1

1
5

h


h

    
   

5  h   5 
  2    2
  2  
 2
2
2



lim
 lim

h 0
h 0
h
h
1

5 h 2  h   h 2  h
1
5
2

 lim 
 5  lim  h 2  h  h  1 
h 0
h 0
h
2
2



ritrovando il risultato precedentemente calcolato.
18
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Quesito 2
Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione
f x  il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti
verticali.
Si dice che la funzione y  f x  ammette la retta r come asintoto se la
distanza del generico punto P della curva dalla retta r tende a zero
quando l’ascissa di P, o l’ordinata di P, o entrambe tendono all’infinito.
Distinguiamo tre tipi di asintoti, verticale, orizzontale ed obliquo.
La retta r è asintoto verticale ed ha equazione x  a, a  R se
lim f x    ; in particolare l’asintoto verticale è destro se
x a
lim f x    e sinistro se lim f x    . Notiamo che in generale
x a 
x a
possono esistere sia l’asintoto verticale destro che sinistro, solo uno dei
due o nessuno dei due.
La retta r è asintoto orizzontale ed ha equazione y  b, b  R se
lim f x   b ; in particolare l’asintoto orizzontale è destro se
x 
lim f x   b e sinistro se lim f x   b . Notiamo che in generale
x 
x 
possono esistere sia l’asintoto orizzontale destro che sinistro ed essere
differenti, solo uno dei due o nessuno dei due.
La retta r è asintoto verticale ed ha equazione
 f x 
y  mx  q, m, q  R, m  0 se m  lim 
, q  lim  f x   mx ; in
x 
x 
 x 
particolare l’asintoto obliquo è destro se
 f x 
m  lim 
, q  lim  f x   mx e sinistro se
x 
x 
 x 
 f x 
m  lim 
, q  lim  f x   mx .
x 
x 
 x 
19
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Notiamo che in generale possono esistere sia l’asintoto obliquo destro
che sinistro ed essere differenti, solo uno dei due o nessuno dei due.
Un esempio di funzione con
due asintoti verticali ed uno
orizzontale è y 
1
; nel
1 x2
caso in esame x  1 sono
gli asintoti verticali e y  0
quello orizzontale come a
lato mostrato.
Quesito 3
  2t

La posizione di una particella è data da st   20 2e  t  2  . Qual è


la sua accelerazione al tempo t  4 ?
La velocità è la derivata prima della posizione, mentre l’accelerazione è
la derivata prima della velocità e quindi la derivata seconda della
posizione. Nel caso in esame si ha:
 t

vt   s ' t   20  e 2  1


at   v' t   s' ' t   10e

t
2
Pertanto l’accelerazione al tempo t  4 è pari a a4  10e 2 .
20
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Quesito 4
Quale è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema 1 metro?
Indichiamo con 0  x  1 l’altezza del cono, di
conseguenza il raggio di base è per il teorema di
Pitagora R  1  x 2 . Il volume del cono è pari
R 2 h

a V
e cioè V x   x1  x 2  ; la
3
3
massimizzazione del volume equivale alla
massimizzazione della funzione f x   x 1  x 2
la cui derivata prima è f ' x   1  3x 2
cui corrisponde il seguente quadro dei segni:
V ' x   0  0  x 


0
+
1m
x
3
3
V ' x   0 
3
 x 1
3
3
V ' x   0  x 
3
3
3
massimo
-
1
massimo
Dal quadro dei segni deduciamo che la funzione è strettamente

 3 
3
 e strettamente decrescente in 

crescente in  0,

 3 ,1 , pertanto il
 3 


3
massimo è raggiunto per x 
cui corrisponde
3
21
x
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 3   3  1  2 3 3

V 
m . Ricordando che 1 dm 3  1 l si il
1   

27
 3  3 3  3
 3  2000 3

volume massimo espresso in litri è V 
litri  403 litri

3
27


Quesito 5
Siano dati nello spazio n punti P1 , P2 , P3 ,, Pn . Quanti sono i segmenti
che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici
questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i
tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)?
Il numero di segmenti è pari al numero delle combinazioni di n oggetti
 n
n!
n  n  1

di classe 2 e quindi è dato da:   
;
2
 2  2!n  2!
analogamente il numero di triangoli è
 n
n!
n  n  1  n  2
  

e di tetraedri
6
 3  3!n  3!
 n
n!
n  n  1  n  2  n  3
  

24
 4  4!n  4!
Quesito 6
5
Sia f x   5 sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  17 ; si
2
calcoli f ' x 
Osserviamo che, per la formula di duplicazione del seno si ha
5 sin x cos x 
5
sin 2 x e per la formula di duplicazione del coseno si ha
2
22
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cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x , pertanto la funzione di partenza diventa una
costante f x   17 , la cui derivata è nulla.
Quesito 7
È dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini
l’ampiezza dell’angolo  formato da l e da h.
Consideriamo la figura a lato.
Per ipotesi il tetraedro è regolare, per cui è
una piramide retta; il piede H dell’altezza
coincide con l’incentro del triangolo
equilatero ABC di base ed è anche ortocentro
e baricentro. Da ciò deduciamo che il piede H
divide l’altezza BK in due parti, di cui una
3
doppia dell’altra. Poiché BK  l
,
2
2
3
BH  BK  l
; il triangolo BHD è
3
3
rettangolo in H e applicando il teorema dei triangoli rettangoli,
 3
3
  35,26 .
deduciamo che sin  
da cui   arcsin 

3
3


23
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Quesito 8
Qual è il valor medio di f x  
1
da x  1 a x  e ?
x
Ricordiamo innanzitutto il teorema della media integrale:
Se la funzione f x  è continua nell’intervallo chiuso a, b , esiste
almeno un punto c  a, b  in cui risulta
b
 f x dx  b  a   f c  o
a
equivalentemente f c  
b
1
f x dx .
b  a  a
Nel caso in esame il valor medio è
e
1
1
1
ln x 1e  1
VM 
dx 

e 1 1 x
e 1
e 1
Quesito 9
Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto
probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste,
assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto
ad una retta r, ne determinare il cammino minimo che congiunge A
con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.
Consideriamo la figura a lato.
Sia A’ il simmetrico di A rispetto ad
r; il segmento A’B interseca la retta r
in P in quanto A’ e B si trovano in
semipiani diversi rispetto alla retta r.
Dimostriamo che il punto P è quello
che realizza il cammino minimo tra
A e B. Consideriamo un ulteriore
punto P’ differente da P ed
24
O
A
P
r
P’
A’
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appartenente alla retta r; in un triangolo la somma delle lunghezze di
due lati è maggiore della lunghezza del terzo, per cui
A' P' P' B  A' B  A' P  PB da cui deduciamo che il punto P è quello
che minimizza il cammino tra A e B.
Quesito 10
Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni x reale?


sin  ln  x  1 
A) cos sin  x 2  1
C)
2


cos  ln  x  1 
B) sin cos  x 2  1
D)
2
Si giustifichi la risposta.
Ragioniamo per esclusione.
 

La funzione g x   sin cos x 2  1 non può essere positiva per ogni x
reale in quanto se valutata in x 

 1 vale
2
2
  

 


 


g
 1   sin cos 
 1  1   sin cos   1  1   sin  cos 

2


  2
 2
 2


 sin  0   0
 

La funzione hx   sin ln x 2  1 non può essere positiva per ogni x
3
reale in quanto se valutata in x  e 2  1 vale
2
  3

 3

  3

2
2


h  e  1   sin ln e  1  1   sin ln  e 2  1  1  


 


 



 
3

 sin  ln e 2


 3
  sin 
 2


  1  0

25
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 

La funzione ix   cos ln x 2  1
non può essere positiva per ogni x
reale in quanto se valutata in x  e  1 vale
2


i e  1  cos ln  e  1  1   cos ln  e  1  1   cos  ln e 

 
 cos    1  0
Di conseguenza la funzione che è sempre positiva per ogni x reale è la
A) f x   cos sin x 2  1
Alternativamente, poiché la funzione coseno è pari ed assume valori
  
x    ,  , poiché la funzione sin x 2  1 assume tutti i
positivi per
 2 2
  
valori compresi nell’intervallo  1,1 e poiché  1,1    ,  ,
 2 2
2
deduciamo che f x   cos sin x  1 è positiva per ogni x reale.


 


 

26
