Filtri a quarzo
IZ3NPZ Ferdinando e
ARIVERONAEST
6 febbraio 2010
Premessa
Un cristallo di quarzo ha un comportamento che viene descritto dal seguente
circuito:
C0
Lm
1
0
0
1
Cm
11
00
00
11
ESR
Cm e Lm parametri che tengono conESR (equivalent series resistance, che
conto delle perdite del cristallo e C0 che
con
to dell'oscillazione meccanica del cristallo,
d'ora in poi chiameremo
rs )
che rende
rappresenta la capacità dovuta sia al contenitore che alla costruzione meccanica del quarzo (due faccie parallele metallizzate con interposto il cristallo). La
relazione che esiste fra le due capacità si può considerare di questo tipo
Co = 220 · Cm
Del quarzo si può anche calcolare la gura di merito
QU
non caricato con la
seguente formula:
QU = 2 · π · fs ·
con
fs
Lm
rs
la frequenza di risonanza serie del quarzo.
Un quarzo interposto fra un carico a
50 Ω e una sorgente sempre a 50 Ω,
in frequenza, il seguente comportamento
1
ha,
iz3npz
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0
−40
−80
Come si può notare, questa caratteristica si può considerare composta da
una risposta dovuta al circuito risonante in serie - il picco positivo - e al circuito
risonante in parallelo, il picco negativo
Un ltro a cristallo può essere costruito con un solo quarzo secondo lo schema
seguente:
ariveronaest
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iz3npz
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10 pF
4.48 uH
4.48 uH
10 u
191 pF
25 pF
191 pF
10 u
5 − 30 pF
Analizziamo il circuito: le due reti ad L (4.48
trasformare (vedi carta di Smith) i
50 Ω
in
500 Ω
µH
e
191 pF )
servono per
verso il cristallo (e questo per
non caricarlo troppo). Il trasformatore serve per creare un segnale in controfase per alimentare il condensatore trimmer di rifasamento. Questo segnale si
combina con il segnale che proviene dal condensatore in parallelo al quarzo (che
non fa altro che aumentare la capacità complessiva) per controllare la posizione
del notch della risposta, mentre il condensatore da 25 pF fa risuonare il trasformatore. La regolazione del trimmer porta ad annullare il picco negativo, e
questo avviene quando questo compensa esattamente la capacità in parallelo al
quarzo (infatti, in questo caso, essendo il segnale che passa attraverso il trimmer
esattamente opposto a quello che passa nel quarzo, il segnale totale, in parallelo,
è nullo e quindi è come se fosse un circuito aperto; a questo punto rimane solo
la capacità in serie, e quindi il circuito diventa un circuito risonante serie con la
caratteristica risposta di un tale circuito.
Anche dei semplici calcoli portano alle stesse conclusioni:
il quarzo abbia una
Lm = 0.098 H
ed una capacità
Cm =
C0 ' 3 pF .
Calcolando
C0
220
e da questa la frequenza di risonanza, si trovano circa 5 MHz.
Il trimmer, regolato sui 13 pF (10 del condensatore esterno più 3 di
Co )
porta il circuito ad essere risonante serie.
Se si sovracompensa il condensatore, il picco negativo si sposta dall'altra
parte.
Il progetto di ltri a quarzo
Una piccola premessa prima di veder come progettare i ltri, è necessaria:
quando si lavora con i quarzi, sarebbe buona cosa caratterizzarne un bel numero,
ariveronaest
3
iz3npz
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in modo tale poi da poter lavorare con quarzi che abbiano la stessa frequenza
di risonanza.
Molti ltri hanno una congurazione a scala, dove i quarzi sono gli elementi
in serie della scala; dei condensatori in derivazione fanno da accoppiatori fra
quarzi adiacenti. Lo schema allora è il seguente:
Cs1
Rs
Cs1
Ck12
Nella gura si notano i condensatori
to, mentre i condensatori
Cs
Cjk
Ck23
RL
Ck34
che sono i condensatori d'accoppiamen-
sono i condensatori d'accordo per far si che tutte
le varie celle risuonino alla stessa frequenza; chiaramente, nel caso di un numero
pari di celle (essendo il ltro simmetrico) le celle da riportare in risonanza sono
le estreme, in quanto vedono la resistenza d'uscita e d'ingresso. Se il numero
di celle fosse dispari, ci sarebbe anche la cella centrale da riportare in risonanza.
Naturalmente ci sono delle formule per calcolare le varie capacità, ma sono
formule che si basano su parametri tabellizzati.
Per un ltro di Butterworth a 4 poli, e quindi simmetrico, si danno i seguenti
valori:
q1 = q4 = 0.7654 per il calcolo dei condensatori di riallineamento
k12 = k34 = 0.8409 k23 = 0.4512 per il calcolo dei condensatori d'accoppiamento.
Le formule in gioco sono le seguenti:
•
per il calcolo dei condensatori d'accoppiamento
Cjk =
•
1
4kjk Bπ 2 fc Lm
per il calcolo della resistenza di terminazione alle due estremità del ltro
Re =
•
2πBLm
q
se si vuole terminare il ltro non con la resistenza calcolata, ma con un'altra resistenza
R0
, si può fare il seguente ragionamento: la
R0
può essere
adattata ad un valore più piccolo se viene messa in parallelo ad un condensatore di capacità
s
Ce =
Ro − Re
Re ω 2 R02
e questa è proprio la capacità che va messa in parallelo alla resistenza
Re = 309 Ω,
R0 = 450 Ω
voluta per terminare il ltro; con i dati riportati si ottiene
Ce = 47 pF ,
ariveronaest
con la nuova resistenza di terminazione di
4
iz3npz
•
Filtri a quarzo
si può anche terminare il ltro con una capacità in serie alla resistenza
originale del ltro, calcolandola con la formula
C0 =
Ce2 ω 2 R02 + 1
Ce ω 2 R02
Dai calcoli risulta una capacità di 153 pF. Il programma secondario inserito nel programma di calcolo dei ltri a quarzo ci permette di vericare
l'esattezza di tale trasformazione.
•
I quarzi usati hanno una frequenza di 5MHz, una induttanza
Cp = 3 pF
Lm = 98 mH , una
e si vuole una banda passante di 400 Hz (buona per un ltro per
CW).
Il calcolo fatto con il programma porta ad ottenere questi valori.
ariveronaest
5
iz3npz
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Valori simili si ottengono anche attraverso i calcoli fatti con le formule prima
date, ma bisogna trovare le tabelle, sia per il ltro Butterwoth che Chebyshev,
dalle quali ricavare i parametri
q
e
k.
I ltri attivi
Molte volte occorrono dei ltri a bassa frequenza, ad esempio nei ricevitori a
conversione diretta dove la selettività è tutta adata ai ltri audio
Il modo più conveniente per fare dei ltri di questo tipo è quello di realizzare
dei ltri attivi, che combinano la possibilità di ltraggio con quella di avere
anche un guadagno. Il tutto si fa tramite amplicatori operazionali.
Il circuito seguente è un ltro RC attivo di tipo passa basso:
ariveronaest
6
iz3npz
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R
R
Vin
C
AC
Il guadagno di questo amplicatore è pari ad 1 ed è montato in congurazione
non invertente (il generatore è collegato al più).
Il parametro A è un parametro moltiplicativo che permette sia di variare il
guadagno complessivo, che di modicare la risposta del ltro passa basso, risposta che, all'aumentare di A, ha un picco sempre più grande, come illustrato
ariveronaest
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Filtri a quarzo
1
Come si vede, all'aumentare di A, se da un lato si ha un overshoot, dall'altro,
però,si mha una attenuazione fuori banda che è molto più ripida. Non si ha il
picco per un fattore
A ≤ 2.
In questa situazione, la frequenza di taglio a -3dB
si calcola così:
p
ft =
ariveronaest
√
A − 2 + 2A2 − 4A + 4
2πRCA
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iz3npz
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Con il ltro sopra disegnato, con
10 nF
e resistenze da
10 KΩ
A=1
(due condensatori uguali), capacità da
si ha una frequenza di taglio di 1024 Hz.
Se invece si vuole avere una maggiore attenuazione fuori banda, basta aumentare il fattore A e a questo punto conviene fare riferimento non alla frequenza
di taglio, ma alla frequenza alla quale si ha il picco, data da:
√
f=
A−2
2π · A · C · R
Mettendo in cascata ad esempio tre celle come quella prima vista, si ottiene
un ltro a sei poli molto ecace, utile ad esempio per la ricezione della SSB.
Eccone lo schema completo:
+12
+12
+12
+12
10K
4K7
IN
4K7
4K7
4K7
4K7
OUT
10K
10 nF
10 nF
20 nF
20 nF
Un ltro passa alto, invece, si ottiene scambiando, nel circuito del passa basso, i condensatori con le resistenze e viceversa. In questo caso, però, il fattore
moltiplicativo si ha sulle resistenze, e precisamente la resistenza che va a massa
è un multiplo dell'altra resistenza. Naturalmente la risposta ha le stesse caratteristiche della precedente, nel senso che all'aumentare di A aumenta il picco
ma anche l'attenuazione fuori banda. Lo schema quindi risulta essere il seguente:
+12
10K
C
+12
C
OUT
IN
4K7
10K
AR
R
Anche in questo caso, come in quello precedente, si puo calcolare il ltro in
base al valore di A; se
A ≤ 2,
si calcola la frequenza di taglio a -3dB con la
formula
p
ft =
√
2 − A + 2A2 − 4A + 4
2πRCA
mentre se nella risposta si vuole ottenere il picco e cioè
ariveronaest
9
A > 2,
la frequenza di
10 nF
20 nF
iz3npz
Filtri a quarzo
picco viene calcolata in questo modo
f=
1
√
2π · C · R · A − 2
Ul ltro passa banda attivo si presenta così
C
R3
R1
+12
C
IN
R2
OUT
Per il progetto di questo tipo di ltro, si devono ssare i valori del guadagno
1
di tensione K alla risonanza , della frequenza
merito
Q
e delle capacità
f0
di centro banda , del fattore di
C.
Con questi valori si calcolano le tre resistenze
R1 =
R2 =
Q
2πfo · K · C
Q
(2 · Q2 − K) · 2πfo · C
R3 =
2·Q
2πfo · C
Un esempio di calcolo è il seguente: usando condensatori da
22 nF ,
una fre-
quenza di centro banda di 800 Hz, un fattore di qualità Q=5 ed un guadagno
pari a 2, si ottengono i valori
1 Il
la
R2
R1 = 22.600 Ω, R2 = 942 Ω, R3 = 90.4 KΩ
guadagno non può essere qualsiasi, nel senso che deve essere minore di
diventa negativa, cosa impossibile.
ariveronaest
10
2 · Q2 ,
altrimenti
