12 - Campo magnetico rotante

CAMPO MAGNETICO ROTANTE
Un solo avvolgimento percorso da corrente comunque variabile nel tempo
sostiene una distribuzione di f.m.m. (e quindi di induzione) fissa nello spazio e
con asse di simmetria diretto secondo l’asse dell’avvolgimento stesso.
La distribuzione spaziale, nel caso di macchine elettriche, si suppone sempre
sinusoidale al traferro e la legge di variazione nel tempo del valore massimo
della distribuzione spaziale dipende dalla variazione nel tempo della corrente
di alimentazione dell’avvolgimento.
Per avere una distribuzione spaziale sinusoidale, l’avvolgimento non può essere
concentrato ma distribuito, ossia costituito da tante spire percorse dalla stessa
corrente distribuite lungo la periferia della macchina.
Tuttavia, negli schemi di macchine elementari di seguito riportati, gli
avvolgimenti saranno sempre disegnati come “concentrati”.
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI IN QUADRATURA
Fino ad ora abbiamo visto macchine non autoavvianti: per permetterne il
funzionamento, occorreva mettere in rotazione il rotore.
L’idea è che potremmo mettere in rotazione il campo magnetico prodotto dallo
statore, piuttosto che mettere in rotazione il rotore: l’effetto di rotazione relativa
tra campo magnetico di statore e rotore sarebbe identico.
α
Consideriamo una macchina
con 2 avvolgimenti sullo statore:
• avvolgimenti c e d, con assi
disposti a π/2 radianti elettrici
lungo la periferia;
asse avvolgimento 1
N2
N1
asse avvolgimento 2
• N1 = N2 = N;
• α = angolo lungo la periferia.
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
I1MAX = I2MAX = IM e gli andamenti nel tempo di i1(t) e i2(t) sono sfasati di π/2:
i 1 (t)
i1 (t) = I M cos ωt
π

i 2 (t) = I M cos  ω t − 
2

= I M sin ω t
π
2π
ωt
π
ω
2π
ω
t
i 2 (t)
π
π
ω
ωt
2π
2π
ω
t
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
Le distribuzioni spaziali di f.m.m. (e di induzione) sono simmetriche rispetto
all’asse di ciascun avvolgimento.
L’angolo α indica la posizione lungo la periferia di statore e pertanto
individua la distribuzione spaziale di f.m.m. (e di induzione).
Il valore massimo della distribuzione spaziale di f.m.m. varia nel tempo in
funzione degli andamenti delle correnti i1(t) e i2(t).
Consideriamo un osservatore posizionato sul rotore.
Supponiamo che il rotore sia fermo e analizziamo le distribuzioni spaziali di
f.m.m. che l’osservatore “vede” nei diversi istanti.
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
Per ωt = 0
⇒
i1(0) = IM
i2(0) = 0
f.m.m. c
Asse 1
• distribuzione spaziale
simmetrica rispetto all’asse c;
α
0
2π
• il valore massimo della
f.m.m. si ha per α = 0 ed è
pari a: N IM = M.
Asse 2
f.m.m. d
α
0
2π
• distribuzione spaziale nulla
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
Per ωt = π/2
⇒
i1(π/2) = 0
Asse 1
f.m.m. c
α
0
• distribuzione spaziale nulla
2π
Asse 2
f.m.m. d
α
0
i2(π/2) = IM
2π
• distribuzione spaziale simmetrica
rispetto all’asse d;
• il valore massimo della f.m.m. si
ha per α = π/2 ed è pari a: N IM = M.
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
Per ωt = π/4
⇒
i1(π/4) = √2/2 IM
f.m.m. c
Asse 1
• distribuzione spaziale
simmetrica rispetto all’asse c;
α
0
2π
• il valore massimo della
f.m.m. si ha per = 0 ed è pari
a N √2/2IM = √2/2M.
Asse 2
f.m.m. d
α
0
i2(π/4) = √2/2 IM
2π
• distribuzione spaziale
simmetrica rispetto all’asse d;
• il valore massimo della
f.m.m. si ha per = 0 ed è pari
a N √2/2IM = √2/2M.
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
Riassumendo:
• Per ωt = 0, la risultante delle due distribuzioni di f.m.m. coincide con la
f.m.m. c (perché la f.m.m. d è nulla), è diretta secondo l’asse c e ha valore
massimo pari a N IM = M.
• Per ωt = π/2, la risultante delle due distribuzioni di f.m.m. coincide con la
f.m.m. d (perché la f.m.m. c è nulla), è diretta secondo l’asse d e ha valore
massimo pari a N IM = M.
• Per ωt = π/4, la risultante delle due distribuzioni di f.m.m. è in posizione
intermedia tra gli assi c e d, ma ha sempre valore massimo pari a N IM = M:
2
2
 2   2 
M  + 
M  = M

 2
  2

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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
In pratica, l’osservatore fermo sul rotore vede una distribuzione spaziale
sinusoidale di f.m.m., avente sempre lo stesso valore massimo, che gira nel
tempo.
Possiamo schematizzare il moto del vettore che rappresenta la distribuzione di
f.m.m., così come vista dall’osservatore fermo sul rotore, in questo modo :
t=0
ωt = π/4
M
M
ωt = - π/2
M
ωt = π/2
ωt = π
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
In forma analitica:
i1 (t) = I M cos ωt
π

i 2 (t) = I M cos  ω t −  = I M sin ω t
2

M1 (t, α ) = ( NI M cos ωt ) cos α = M cos ωt cos α

π 
π
π
π




M 2 (t, α ) =  NI M cos  ωt −   cos  α −  = M cos  ωt −  cos  α − 
2 
2
2
2





Ricordando che: cos β cos γ =
1
cos ( β + γ ) + cos ( β − γ ) )
(
2
M 2 (t, α ) =
1 
π
π
π
π 


M  cos  ωt − + α −  + cos  ωt − − α +  
2 
2
2
2
2 


M 2 (t, α ) =
1
M  cos ( ωt + α − π ) + cos ( ωt − α ) 
2
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
Allo stesso modo possiamo esprimere M1 come:
M1 (t, α ) = M cos ωt cos α =
1
M  cos ( ωt + α ) + cos ( ωt − α ) 
2
Con un ulteriore passaggio si può esprimere M2 come:
1
1
M2 (t, α) = M cos ( ωt + α − π) + cos ( ωt − α )  = M − cos ( ωt + α ) + cos ( ωt − α ) 
2
2
Sommando le espressioni ottenute di M1 e M2 si ottiene:
M1 (t, α ) + M 2 (t, α ) = M cos ( ωt − α )
F.M.M. RISULTANTE
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
M1 (t, α ) + M 2 (t, α ) = M cos ( ωt − α )
F.M.M. RISULTANTE
La distribuzione spaziale di f.m.m. risultante (e di induzione) è
SINUSOIDALE NELLO SPAZIO, RUOTANTE con velocità angolare
elettrica uguale alla pulsazione di alimentazione e di AMPIEZZA
COSTANTE.
Il verso di rotazione è quello che va dall’asse c all’asse d (orario).
N.B.: Per invertire il verso di rotazione del campo magnetico rotante, è
possibile scambiare le alimentazioni dei due avvolgimenti:
ωt = π/2
ωt = π/4
M
i1 (t) = I M sin ω t
i 2 (t) = I M cos ωt
M
ωt = π
M
ωt = - π/2
t=0
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Campo magnetico rotante
SISTEMA A DUE AVVOLGIMENTI
IN QUADRATURA
OSSERVAZIONI:
Nella realtà, per produrre due correnti sfasate tra loro di π/2 a partire da
un’alimentazione monofase, bisognerebbe mettere un condensatore in serie a
uno dei due avvolgimenti.
Si potrebbe ottenere lo stesso risultato per mezzo di un inverter bifase a
partire da un’alimentazione in corrente continua.
Tuttavia, poiché nella realtà disponiamo di linee di alimentazione monofasi o
trifasi, risulta più opportuno cercare di ottenere un risultato simile a quello
ottenuto con due avvolgimenti in quadratura attraverso tre avvolgimenti
sfasati tra di loro di π/3.
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Campo magnetico rotante
AVVOLGIMENTO TRIFASE
Consideriamo una macchina con 3 avvolgimenti sullo statore:
• avvolgimenti a, b e c con assi disposti a 2π/3 radianti elettrici lungo la
periferia;
• Na = Nb = Nc = N;
• α = angolo lungo la periferia: per t = 0 ⇒ α = 0.
asse avvolgimento b
Le correnti di alimentazione
costituiscono un sistema
trifase equilibrato.
a
b
α
asse avvolgimento a
c
asse avvolgimento c
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Campo magnetico rotante
AVVOLGIMENTO TRIFASE
IaMAX = IbMAX = IcMAX = IM e gli andamenti nel tempo di ia(t), ib(t) e ic(t) sono
sfasati di 2π/3:
i a (t) = I M cos ωt
2π 

i b (t) = I M cos  ωt −

3


4π 

i c (t) = I M cos  ωt −

3


ib
0
π
π
2
ωt
2π
ic
ia
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Campo magnetico rotante
AVVOLGIMENTO TRIFASE
M a (t, α ) = M cos ωt cos α
2π 
2π 


M b (t, α ) = M cos  ωt −
cos
α
−



3 
3 


4π 
4π 


M c (t, α ) = M cos  ωt −
cos
α
−



3 
3 


Sviluppando:
M
M
cos ( ωt + α ) + cos ( ωt − α )
2
2
M
4π  M

M b (t, α ) = cos  ωt + α −
 + cos ( ωt − α )
2
3  2

M
8π  M

M c (t, α ) = cos  ωt + α −  + cos ( ωt − α )
2
3  2

M a (t, α ) =
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Campo magnetico rotante
AVVOLGIMENTO TRIFASE
Sommando le espressioni ottenute di Ma, Mb e Mc si ottiene:
M a (t, α ) + M b (t, α ) + M c (t, α ) =
3
M cos ( ωt − α )
2
F.M.M. RISULTANTE
Il campo magnetico risultante è quindi a distribuzione spaziale sinusoidale
(con asse coincidente con quello della fase a per t = 0), con valore massimo
costante nel tempo e ruota con velocità angolare elettrica coincidente con la
pulsazione di alimentazione nel verso: a Æ b Æ c (antiorario).
b
ω
3M
2
a
t=0
c
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Campo magnetico rotante
AVVOLGIMENTO TRIFASE
N.B.: E’ possibile invertire il verso di rotazione del campo magnetico rotante
scambiando il senso ciclico del sistema di alimentazione:
i a (t) = I M cos ωt
b
4π 

i b (t) = I M cos  ωt −

3 

2π 

i c (t) = I M cos  ωt −

3 

a
ω
t=0
3M
2
c
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