INTRODUZIONE ALLA RISONANZA
MAGNETICA NUCLEARE
PARTE 2
Corso di “Tecniche Chimico fisiche in ambito sanitario”
dr.ssa Isabella Nicotera
L'osservabile fisica macroscopica è la magnetizzazione, definita come il
momento di dipolo magnetico per unità di volume nel campione, ovvero:
1
M=
V
∑μ
i
i
si hanno più dipoli nello stato con energia minore e l’assorbimento prevale sulla
emissione
β
α
Nα
= exp(- ΔE/kBT )
Nβ
Equazioni fenomenologiche di Bloch
Le equazioni fenomenologiche di Bloch sono la base per la descrizione classica degli
esperimenti di NMR.
L'evoluzione della magnetizzazione sotto l'azione di un campo magnetico è descritta
dall'equazione differenziale:
L’equazione è vettoriale e si scompone nelle tre equazioni scalari:
Le relazioni precedenti sono incomplete, perché
ignorano gli scambi di energia e di momento che
possono avvenire fra il sistema dei dipoli magnetici e
l'ambiente circostante.
Questi scambi di energia e momento tendono sempre a
riportare
la
magnetizzazione
ad
un
valore
corrispondente a quello di equilibrio termico con
l'ambiente circostante.
Questi processi spontanei che ripristinano i valori di
equilibrio termico sono indicati con il termine di
"rilassamento".
Valore di equilibrio
MX →0
MY → 0
M Z → M0
1. Equazione del moto del vettore M in un campo B0;
2. Rilassamento longitudinale e trasversale di M per tornare
all’equilibrio dopo una perturbazione.
r r
M& = γ ( M × B0 ) + rilassamento
r r
M& = γ ( M × B0 ) + rilassamento
M z − M0
dM z
=−
dt
T1
Valore di equilibrio
MX →0
MY → 0
M Z → M0
dM x
Mx
=−
dt
T2
dM y
dt
=−
My
T2
Termini di
rilassamento
r r
&
M = γ ( M × B0 ) + rilassamento
r r
dMx
Mx
Mx
= γ ( M × B0 ) x −
= ω0 M Y −
dt
T2
T2
r r
dMy
My
My
= γ ( M × B0 ) y −
= -ω0 M X −
dt
T2
T2
r r
Mz − M z0
Mz − M z0
dMz
= γ ( M × B0 ) z −
= 0−
dt
T1
T1
Queste prendono il nome di equazioni fenomenologiche di Bloch, che per primo le
introdusse per descrivere l'esperimento di risonanza magnetica nucleare nel 1946.
T1 e T2 furono introdotti da Bloch in modo fenomenologico, cioè basandosi
sull'osservazione sperimentale che la magnetizzazione tornava all'equilibrio termico con
una cinetica di recupero esponenziale.
Queste costanti di tempo sono caratteristiche del sistema osservato, ed in letteratura
esistono numerose relazioni teoriche che legano queste grandezze a specifiche proprietà
strutturali o dinamiche delle molecole che lo costituiscono.
Bloch equations
In presenza del campo statico B0 ,applichiamo un campo B1 lungo x o y di intensità
assai più piccola. La variazione della magnetizzazione nel tempo è data da:
M x ˆ M y ˆ M z − M0 ˆ
dM
k
= γ ( M × B(t )) −
i−
j−
T1
T2
T2
dt
Termine di momento
meccanico
î,ĵ e ĸ
Termini di rilassamento
sono i versori nel sistema di riferimento di laboratorio.
B (t ) = B0 kˆ + B1iˆ
Piccolo campo oscillante B1 nella direzione x, (2B1 cosωt). Questo può essere risolto in
due componenti rotanti in direzioni opposte con velocità angolare ± ω. La componente
rotante nella direzione opposta alla precessione di Larmor può essere trascurata essendo
questo campo B1 molto piccolo.
Operativamente, si fa in modo di posizionare il campo di rf, B1, diretto lungo l’asse x,
e ortogonale all’asse z.
Un campo di tal genere può essere scomposto in due componenti, rotanti in senso
opposto. Una delle due componenti avrà la stessa direzione di rotazione dei momenti
magnetici nucleari del nucleo in esame. L’altra componente non avrà effetto nell’NMR
Se la componente che ruota nello stesso verso dei momenti magnetici ha una
frequenza eguale alla frequenza di Larmor dei dipoli in precessione, allora si
avrà risonanza ed i nuclei potranno assorbire energia, e dare la transizione NMR
B = iB1 cos ωt − jB1senωt + kB0
Campo agente sul campione
M x ˆ M y ˆ M z − M0 ˆ
dM
k
= γ ( M × B(t )) −
i−
j−
T1
T2
T2
dt
[
]
dM x
Mx
= γ B1senωt M z + B0 M y −
dt
T2
dM y
dt
= −γ [− B1 cos ωt M z + B0 M x ] −
[
My
T2
x
y
z
Mx
My
Mz
(B1)x
(B1)y
B0
]
(M z − M 0 )
dM z
= −γ B1 cos ωt M y + B1senωt M x −
dt
T1
Dove (B1)x e (B1)y sono
le componenti di B1
lungo gli assi x e y
( B1 ) x = B1 cos ωt
( B1 ) y = − B1senωt
Senso orario
Senso
antiorario
Solo la componente di B1 lungo x
agisce sulla magnetizzazione
r
B1 = iˆB1 cos ωt
B (t ) = iˆ( B1 cos ωt ) + kˆB0
[
]
dM x
M
= γ B0 M y − x
dt
T2
dM y
dt
= −γ [− B1 cos ωt M z + B0 M x ] −
[
My
T2
]
(M z − M 0 )
dM z
= −γ B1 cos ωt M y −
dt
T1
Queste equazioni possono prendere una forma più semplice se sono riferite ad un set di
assi (x’, y’, z) rotanti con il campo r.f. applicato, con velocità angolare ω intorno all’asse z.
sistema di assi rotanti
Sistema di assi rotanti
ωo
ω
Se B1 ruota nel piano xy a
frequenza ω diversa dalla
frequenza di precessione (o
di Larmor) ω0 , non produce
effetto sugli spin.
ω = ω0
Ma se B1 ruota nel piano
xy alla frequenza ω0,
fa precedere la
magnetizzazione
attorno alla direzione
di B1.
E’ conveniente
“saltare” sulla
giostra con B1: cioè esprimere
tutto in un sistema di assi rotanti
alla frequenza ω di B1 (x, y). Se
ω≠ω0 vedremmo gli spin precedere
alla frequenza ω-ω0 .
In risonanza si ha ω=ω0 e B1
apparirebbe fisso lungo l’asse
rotante x. L’effetto del campo
magnetico statico sugli spin non si
vedrebbe più, mentre si vedrebbe
la magnetizzazione precedere
attorno a B1, nel piano xz.
Sistema assi rotanti
z
ω/γ
B0
In questo sistema di riferimento, il campo
magnetico r.f. agente risulta statico.
Bt
B0-ω/γ
Inoltre, il moto precessionale della
magnetizzazione (cioè ω0=γB0) appare
essere ridotto ad un valore (ω0- ω).
Beff
B1
x’
Questo moto corrisponde alla precessione
in un campo apparente (ω0- ω)/γ ≡ B0 -ω/ γ
Beff = ( Bo − ω / γ ) 2 + B12
Quindi, sebbene il campo totale, Bt, è il vettore somma di B0 e B1, è utile definire un campo effettivo,
Beff, che è il vettore somma di B0 -ω/ γ e B1.
Poiché B0>>B1, il campo Bt è sempre molto vicino a B0 e stretto alla direzione z, mentre Beff varia
considerevolmente in direzione dipendente dall’offset di frequenza ω0- ω, tra la r.f. e la risonanza.
Le componenti di M nel sistema (x, y, z) sono: Mx My Mz
Le componenti di M nel sistema (x’, y’, z’) sono: u
v Mz’
z
u è la componente nella direzione di B1, cioè lungo x’
(componente in fase)
B0
v è la componente fuori fase lungo y’
ω/γ
Bt
u = M x cos ωt − M y senωt
v = M x senωt + M y cos ωt
B0-ω/γ
Beff
x’
B1
⎛ dM ⎞
⎜
⎟
⎝ dt ⎠ rot
= γ ( M × B (t )) −
u
T2
iˆ '−
⎤ u
⎡⎛
ω ⎞ˆ
ˆ
γM × ⎢⎜ B0 − ⎟ k + B1i '⎥ −
γ ⎠
⎦ T2
⎣⎝
v
T2
iˆ '−
v
T2
ˆj '−
M z − M0
ˆj '−
T1
M z − M0
T1
kˆ =
kˆ =
[
]
M
dM x
= γ B0 M y − x
T2
dt
Nel sistema di lab.
dM y
dt
= −γ [− B1 cos ωt M z + B0 M x ] −
[
My
T2
]
(M z − M 0 )
dM z
= −γ B1 cos ωt M y −
T1
dt
Nel sistema di assi
rotanti
⎛
du
ω⎞ u
= γ v ⎜⎜ Bo − ⎟⎟ −
dt
γ ⎠ T2
⎝
⎛
dv
ω⎞
v
= − γ u ⎜⎜ Bo − ⎟⎟ + γ B1 M z −
dt
γ ⎠
T2
⎝
M z − M0
dMz
= γ v B1 −
dt
T1
u
v
Mz
B1
0
(B0 -ω/γ)
Set completo
delle equazioni di
Block nel sistema
di riferimento
rotante
Il moto della magnetizzazione nel sistema rotante in assenza di rilassamento è
la precessione intorno a Beff con velocità angolare ω = γ Beff
ω è la frequenza del campo a r.f., quindi possiamo sceglierla noi:
ω= ω0 → risonanza (Beff≡ B1)
In tal caso M ruota intorno a B1 nel piano y’z a velocità angolare ϖ= γ B1
z
M0
M0
Beff
y’
ϖ= γ B1
X’
Questo moto sarebbe infinito se non ci fosse il rilassamento
B1
X’
La soluzione delle equazioni di Block comprende un termine transitorio T(t), il cui effetto
scompare dopo tempi maggiori di T1 e T2, e un termine stazionario:
Soluzione:
z
r
r
r
M (t ) = T (t ) + Ms
Gli esperimenti adatti a studiare la soluzione
transiente devono pertanto essere effettuati
M0
entro intervalli di tempo paragonabili ai tempi
di rilassamento (“Pulsed Methods”).
Methods
y’
ϖ= γ B1
Al contrario, gli esperimenti fatti su intervalli
lunghi rispetto ai tempi di rilassamento
B1
possono
X’
rivelare
corrispondente
alla
solo
il
contributo
soluzione
stazionaria
(“Steady-state experiments”)
STEADY- STATE EXPERIMENTS :
Soluzione stazionaria dell’equazioni di Bloch
du
=0
dt
dv
=0
dt
γB1T2 2 (ω0 − ω )
u = M0
2
1 + T2 (ω0 − ω ) 2 + γ 2 B12T1T2
γB1T2
v = M0
2
1 + T2 (ω0 − ω ) 2 + γ 2 B12T1T2
1 + (ω0 − ω ) 2 T2
Mz= M0
2
1 + T2 (ω0 − ω ) 2 + γ 2 B12T1T2
2
dM z
=0
dt
M x = u cos ωt − v sin ωt
M y = −u sin ωt + v cos ωt
s =γ B TT
2
2
1 1 2
Fattore di
saturazione
STEADY- STATE EXPERIMENTS :
Soluzione stazionaria dell’equazioni di Bloch
Se s<<1, campo a r.f. debole, tempi di rilassamento brevi, allora v assuma la
seguente forma, e rappresenta una lorentziana
modo di assorbimento
v (ω ) = πγ B1 M 0 f T 2 (ω )
f T2 =
T2
Lorentziana
2 2
π 1 + (ω − ω0 ) T2
modo di dispersione
1/T2
modo di
assorbimento
T22 (ω − ω 0 )
u (ω ) = M 0 γB1
1 + T22 (ω − ω 0 ) 2
modo di dispersione
STEADY- STATE EXPERIMENTS
NMR IN ONDA CONTINUA (CW)
In un normale esperimento CW NMR, lo
spettrometro è tunato in modo da osservare la
componente della magnetizzazione sfasata di
90° rispetto al campo B1, ottenendo il segnale
di assorbimento.
Occasionalmente si osserva la componente in
fase u, che dà il segnale in modo di dispersione.
u (dispersione)
v (assorbimento)
La tecnica CW prevede il raggiungimento della risonanza in due possibili modi:
•variando B1 con un valore costante di B0 (frequency sweep)
•variando B0 e tenendo ν1 costante (field sweep)
In tutti e due i modi, nel metodo CW lo spettro e’ registrato “punto per punto”, tenendo
comunque presente che prima di passare da una frequenza alla successiva bisogna aspettare
circa 5T1, tempo necessario affinché il sistema ritorni all’equilibrio.
Il metodo CW e’ adatto per nuclei “sensibili”, con elevato momento magnetico, e elevata
abbondanza naturale (1H, 19F, 31F)
Pulsed Methods NMR
Nel metodo ad impulsi si applica al campione un campo magnetico a rf, “intenso” e di “breve”
durata. L’effetto dell’impulso è quello di ruotare la magnetizzazione di un certo angolo; spento
l’impulso il sistema ritorna al suo stato di equilibrio nel campo statico in modo che è soltanto
determinato dalle interazioni di spin. L’ampiezza del segnale transiente che si osserva viene
misurato in funzione del tempo, F(t), detta usualmente “free induction decay”.
Da F(t) si ottengono le stesse informazioni che si possono ottenere da F(ω): infatti, F(t) è la
trasformata di Fourier della F(ω).
Tuttavia, nell’NMR impulsato la risposta transiente F(t) diventa una funzione della natura della
sequenza degli impulsi: si ottengono allora informazioni che non si riescono ad avere dallo
spettro di assorbimento.
Il metodo impulsivo può essere applicato anche per una misura diretta dei tempi di rilassamento,
che sono strettamente legati alle interazioni dipendenti dal tempo e cioè ai processi dinamici
che avvengono nel campione in esame.
Descrizione dell’esperimento di NMR impulsato:
Free Induction Decay (FID)
Quando l’impulso cessa, la magnetizzazione tende a tornare verso l’asse z: processo
di rilassamento.
Z
B0
ω0
M
Segnale
Nel sistema di laboratorio la
magnetizzazione precede nel piano xy
alla frequenza ω0…
…producendo una variazione di flusso
nella spira di una bobina posta nel piano
che origina una f.e.m. alternata
Infatti, ricordiamoci che dal punto di vista del
sistema di riferimento del laboratorio, dopo
l’impulso la magnetizzazione precederà nel piano xy
intorno a B0. Se abbiamo una bobina ricevente posta
sull’asse x di tale sistema, la magnetizzazione
indurrà una corrente oscillante che essa potrà
rilevata.
Nel sistema rotante, Mz = Mz(t), cioè varia nel tempo; ciò vuol dire che dopo l’impulso
tutte le grandezze variano nel tempo:
u(t) = 0
v(t)
v(t) = Mo e-t/T2
Mz(t) = Mo (1-e-t/T1 )
v(t) decade come mostrato in figura:
questo dicesi “free induction decay” o
“bloch decay”
Nel sistema di laboratorio, abbiamo: Mx(t) = v sen ω0t
Essendo v(t)
= Mo
e-t/T2 , si ottiene:
My(t) = v cos ω0t
Mx(t) = Mo e-t/T2 sen ω0t
My(t) = Mo e-t/T2 cos ω0t
Mx(t) = Mo e-t/T2 sen ω0t
v(t)
My(t) = Mo e-t/T2 cos ω0t
Mxy
Mx e My sono oscillazioni smorzate con la stessa frequenza ma sfasati di 90°.
Il segnale raccolto dalla spira ha la frequenza di Larmor, ma viene
trattato confrontandolo con una frequenza di riferimento. Solo la
differenza in frequenza tra il segnale raccolto dalla spira e il segnale di
riferimento viene rivelato. Se il segnale di riferimento è a ω0 la
differenza di frequenza è nulla e si registra un segnale continuo...
proprio come se si fosse
nel sistema rotante!
N.B. in generale, avendo più nuclei a diverse
frequenze di risonanza, il fid si presenta come
la somma di oscillazioni smorzate.
NMR
in onda continua
a trasformata di Fourier
campo oscillante
continuo
continuous wave (CW)
ω0
impulso di
durata τ
τ pulse
FT
ω
ω0
Lo spettro si registra mentre
viene variata la frequenza della
radiazione a radiofrequenza.
Si invia un impulso di durata τ alla frequenza
ω0 (centro dello spettro), e si raccoglie il
segnale in funzione del tempo. La FT di questo
segnale dà lo spettro in frequenza.
NMR impulsato: l’impulso e le frequenze
*
τ
=
La radiazione a radiofrequenza ω0 viene impulsata.
FT
Δω
ωo
ω
0
La trasformata di Fourier dell’impulso contiene un intervallo di frequenze
Δω centrate a ω0
Δω ∝
1
τ
Più breve è l’impulso, più ampio è l’intervallo di frequenze che si riesce a
coprire: cioè è possibile irradiare tutte le righe di uno spettro con un
solo breve impulso.
Per τp che tende a zero, Δω tende all’infinito (linea piatta)
τ
proprietà e vantaggi impulso
= durata impulso
τ
B1
(u.a.)
FT
Es.:
t
τ =10μs
Nuclear magnetic
resonance
spectroscopy, Robin
K.Harris
B1
(u.a.)
ν
νc+ 1/ τ
νc- 1/τ
range freq. effettivo 10MHz
Risonante: Beff ≈ B1
ϑ = γB1τ
Nuclear magnetic resonance
Spectroscopy. An Introduction to
Principles, Applications, and
Experimental Methods, J.B.
Lambert,
E.P. Mazzola
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Descrizione dell’esperimento di NMR impulsato:
l’impulso e l’angolo
Il campo a rf, B1 viene acceso lungo l’asse x,
con pulsazione ω=ω0, per la durata dell’impulso
z
τ. Se nel tempo τ si può trascurare il
M(0)
rilassamento (τ <<T1, T2), nel sistema di assi
B0
rotanti la magnetizzazione precede attorno a
θ
M(τ)
B1 compiendo un angolo θ :
θ = ωτ = B1γτ
y
B1
x
θ angolo di rotazione
della magnetizzazione
Esempi di impulsi
Impulso π/2
z
Angolo di rotazione
(nel sistema rotante)
ω1τ =π/2
θ= ω1τ = B1γτ
y
z
x
M(0)
B0
z
M(τ)
Impulso π
ω1τ =π
y
B1
y
x
x
Descrizione dell’esperimento di NMR impulsato:
l’impulso π/2
Impulso π/2
z
ω1τ =π/2
La durata dell’impulso τ e il
campo
B1
possono
essere
scelti in modo che θ = π/2
y
x
L’impulso porta M sul piano xy.
Dopo l’impulso consideriamo cosa succede:
¾ nel sistema di assi di laboratorio
¾ nel sistema di assi rotanti.
Free Induction Decay (FID)
z
z
M(t) ∼ exp(-t/T2)
N.B. T2 < T1
y
x
x
t
y
L’impulso porta M sul piano xy. Dopo l’impulso si rileva il decadimento libero della magnetizzazione trasversale:
•Decadimento esponenziale nel sistema rotante
•Oscillazione smorzata nel sistema fisso
FID: Free Induction Decay
M(t)
nel s.d.r. del lab.
• decadimento, processi di
rilassamento
nel s.d.r. rotante
• modulazione, spin non
equivalentanti
• oscillazione dovuta alla
precessione di Larmor
attorno a Bo.
segnale
= ns
rumore
FID: Spettro
nel dominio
del tempo
ns = numero di
ripetizioni di una
sequenza di impulso
Trasformata di Fourier
1
F (ω ) =
2π
+∞
∫
−∞
f (t )e −iωt dt
Spettro nel
dominio delle
frequenze
Modalità di rappresentazione spettrale
F (ω)
Spettroscopie in funzione della
frequenza
e
in
funzione
del
tempo: le informazioni contenute
sono le stesse!
FT
f (t )
1
F (ω ) =
2π
∞
∫ f (t ) exp(−iωt )dt
−∞
∞
f (t ) =
∫ F (ω ) exp(iωt )dω
−∞
F (ω ) è la " trasformata di Fourier" di f (t )
Trasformata di Fourier (FT):
operatore matematico che trasforma una funzione nel
dominio del tempo in una funzione nel dominio della frequenza.
1
F (ω ) =
2π
F (ω ) è la " trasformata di Fourier" di f (t )
∞
∫ f (t ) exp(−iωt )dt
−∞
In realtà la FT fa uso di un “ingresso” (o input) che consiste di una parte reale e una immaginaria.
Nella spettroscopia NMR con la FT, la parte reale della FT è presa come lo spettro del dominio della
frequenza.
Potete pensare che Mx (funzione coseno) sia la parte reale dell’ingresso e My (funzione seno) la
parte immaginaria.
Il risultato della FT avrà dunque una componente reale e anche una immaginaria.
Sequenze di impulsi
90°-FID (spettro classico NMR)
Inversion Recovery (misura del T1);
Spin-echo (misura del T2 “naturale”);
CP and CPMG (misura del T2);
Nella sequenza di impulsi 90-FID, la magnetizzazione netta e' ruotata in
basso nel piano x‘y' con un impulso a 90°.
Il vettore di magnetizzazione risultante comincia un moto di precessione attorno all'asse z.
Anche l'intensità del vettore decade con il tempo.
Il diagramma temporale è un grafico ad assi multipli per la rappresentazione in funzione del tempo
di ogni aspetto della sequenza di impulsi. Il diagramma temporale di una sequenza di impulsi 90-FID
riporta in funzione del tempo l’energia RF e il segnale.
Quando questa sequenza viene ripetuta, se per
esempio si rende necessario migliorare il rapporto
segnale/rumore, l’ampiezza del segnale dopo aver
effettuato la trasformata di Fourier, dipenderà
dal T1 e dal tempo che intercorre tra le
ripetizioni, chiamato tempo di ripetizione (TR),
della sequenza.
Inversion Recovery
180 - τ - 90
Anche una sequenza di impulsi inversion-recovery
può essere usata per registrare uno spettro NMR.
In questa sequenza, è prima applicato un impulso a
180o, seguito da un impulso a 90°.
z
t=0
π
y
x
z
x
t
y
M(t) = M0 [1 − 2 exp(−t/T1)]
L’impulso rovescia il verso di
M. Dopo l’impulso si rileva
il decadimento libero della
magnetizzazione longitudinale
ed il ritorno al valore di
equilibrio che avviene con
velocità 1/T1.
Inversion Recovery
180 - τ - 90
Prima di aver riacquistato l’equilibrio, è applicato un
impulso a 90o che fa ruotare la magnetizzazione
longitudinale all’interno del piano XY.
Una volta che la magnetizzazione è nel piano xy, ruota attorno all’asse Z e
perde di fase producendo un FID.
Inversion Recovery
180 - τ - 90
Facciamo più misure a diversi τ, per
ottenere T1
Spin echo
90- τ - 180
Spin echo
90- τ - 180
Spin echo
90- τ - 180
Eco
FID
Si ha il massimo della magnetizzazione lungo
l’asse, dopodiché inizierà nuovamente ad
aprirsi
π
π/2
Mo
M ≠ M0
τ
echo
Se ci fosse solo la disomogeneità di campo avremo che M= M0 (cioè le ampiezze dei FID sarebbero
uguali), ma la presenza dell’interazione spin-spin è sempre presente, quindi a causa del rilassamento
“naturale” M<M0.
Spin echo
90- τ - 180
Si ha il massimo della magnetizzazione lungo
l’asse, dopodiché inizierà dinuovo ad aprirsi
π
π/2
Mo
M ≠ M0
echo
τ
Se ci fosse solo la disomogeneità di campo avremo che M= M0 (cioè le ampiezze dei FID sarebbero
uguali), ma la presenza dell’interazione spin-spin è sempre presente, quindi a causa del rilassamento
“naturale” M<M0.
M = Mo e- τ /T2
M/Mo = e- τ /T2
ln(M/Mo) = - τ/T2
Possiamo costruire una sequenza per punti e ricaviamo il T2
Sequenza Carr-Purcell;Meiborn-Gill
(CPMG)
Anziché fare una misura del T2 con una semplice spin-echo a punti, possiamo usare
una sequenza a single shoot : (π/2)x - (π)y - (π)y - (π)y - (π)y ….
e- τ /T2
NMR e auto-diffusione nella materia
PFG acronimo di: Pulsed Magnetic Field Gradient
TIPI DI MOTO
|
|
Moto rotazionale (locale) si misura mediante il
rilassamento NMR.
Traslazione molecolare (moto “long-range”) si
misura mediante esperimenti PFG-SE NMR
“Ramdom Walk” (cammino random)
A. Einstein, 1905 (Modello “Random Walk”-moto Browniano)
ri
Glucosio,
M=180.16 g/mol
r1 + r2 + .....+ rN
r(t) =
=0
N
r + r + .....+ r
r(t) =
= 6 D⋅t
N
2
2
2
1
Spostamento medio
2
2
N
Spostamento quadratico
medio
Coefficiente di auto-diffusione, D
D=
D=
r(t) 2
6t
r(t) 2
2
in m /s
tecnica−sperimentale
Eq. Microscopica che definisce D
(Einstein 1905)
D si misura sperimentalmente
t
Diffusione di alcune molecole in acqua a 25 °C
2. NMR impulsata (E. Hahn): FID (free induction decay)
Impulso rf:
durata tw
Intensità H1
Nel sistema ruotante a ω=ω0
90°x
Rilass. naturale
Disomogeneità
del campo statico
3. Sequenza SPIN-ECHO NMR (E.Hahn)
Erwin Hahn scopre gli “spin-echoes” quando era uno studente
post-doc all’Università di Illinois.
Un articolo, pubblicato su
Phys. Rev. 80, 580 (1950), ha rappresentato
la base di tutti i moderni esperimenti di
NMR/MRI
180°y
90°X
τ
τ
Acquisizione
Il segnale dopo 90° decade con una velocità 1/T2*
L’intensità dell’echo a 2t dipende sia da T2 che da D, ma come?
3. Spin-echoes e gradienti magnetici impulsati:
Sequenza PFG-SE NMR
90°x
180°y
τ
τ
rf
time
δ
G
g
Equazione di E. Hahn
Δ
Echo
signal
Gradiente
statico
τ
τ
(π/2)x
(π)y
δ
δ
g
g
Δ
z
No diffusione
Completa rifocalizzazione delle fasi
Diffusione
Rifocalizzazizone
incompleta.
Segnale attenuato
Il segnale dell’echo per la sequenza PFG-SE è:
Contributo-rilassamento
Contributo-diffusivo
Se normalizzato rispetto al contributo di rilassamento, poiché si realizzano esperimenti a τ=costante, si
giunge ad :
Attenuazione dell’echo
Esperimenti:
1) τ=costante (20 ms) ;
2) Vario
3) Misuro R (attenuazione echo)
Grafico ln R vs. K e calcolo D:
D
Chemical shift
Gli elettroni di un atomo inducono
un piccolo campo magnetico che si
oppone a quello principale
Il campo magnetico sperimentato dal
nucleo è generalmente minore del
campo effettivo di un fattore σ
(costante di schermo)
B = Bo (1- σ)
ν=γB
Nuclei dello stesso atomo assorbono a
frequenze leggermente diverse a causa
del loro “intorno chimico”
Diagramma di correlazione 1H NMR
Hamiltoniano di spin per i momenti nucleari in
una molecola
Nucleo “nudo”
elettroni
B0
Bloc
δB
= B0 + δB
H
Nucleo in una
molecola
δB = −σB0
H = −γhB0 ⋅ I = −γhB0 I z
H = −γh (B0 + δB) I z
H = −γh (1 − σ )B0 I z
σ Costante di schermo
Il campo magnetico che agisce sul nucleo in una molecola è un campo
locale Bloc dato dalla composizione del campo esterno B0 e di un
campo aggiuntivo δB dovuto al contributo elettronico.
Frequenza di risonanza dei
nuclei
hν = γh(1 − σ )B0
ΔE = γh(1 − σ )B0
γ
ν=
(1 − σ )B0
2π
Spostamento chimico
(Chemical Shift)
La frequenza di risonanza dei nuclei si può misurare come distanza da
quella di uno standard :
Δν
ν
ν0
Standard
Svantaggio: Δν dipende dalla frequenza
di lavoro, è difficile confrontare risultati
ottenuti con spettrometri diversi
ν
B0
400 MHz
9.6 T
500 MHz
12 T
600 MHz
14.4 T
900 MHZ
21.6 T
Si preferisce quindi usare un parametro adimensionale
(spostamento chimico) dato da:
ν −ν 0
δ=
×106
ν0
δ
0
Standard
δ non dipende dalla frequenza di lavoro
δ > 0 significa ν > ν 0
Il campo locale che agisce sul nucleo
è maggiore di quello dello standard.
Il nucleo è meno schermato dello standard
La differenza tra l’ordine di grandezza degli spostamenti chimici
dei protoni e di quelli dei nuclei di 13C è dovuta alla maggiore
densità elettronica che circonda questi ultimi.
