Misura della carica dell’elettrone con l’esperimento di Millikan Nell’esperimento di Millikan una gocciolina d’olio elettricamente carica è soggetta all’azione di un campo elettrico uniforme presente fra le armature di un condensatore a facce piane e parallele. Il dispositivo utilizzato, mostrato nella Fig. 1, è formato da due piastre metalliche di forma circolare poste a una distanza d = 6.00 ± 0.05 mm, che vengono collegate a un generatore di d.d.p. esterno. Un nebulizzatore permette di spruzzare piccolissime gocce d’olio nello spazio fra le armature; un cannocchiale consente di osservare il movimento delle gocce, illuminate da una sorgente di luce inclusa nell’apparato, per determinarne i parametri del moto. La modalità di produzione delle gocce è tale che alcune di esse possiedono una carica elettrica, positiva o negativa: tali gocce risentono dell’azione del campo elettrico che è possibile generare fra le armature del condensatore. Figura 1: fotografia del dispositivo utilizzato per la misura della carica dell'elettrone. Nello schema mostrato in Fig. 2 sono illustrate le forze che agiscono su una gocciolina d’olio carica, in alcune situazioni che possono presentarsi in funzione del valore del campo elettrico presente. Figura 2: schema delle forze che agiscono su una gocciolina d'olio carica, collocata in un campo elettrico uniforme. Le forze agenti sono identificate dai vettori disegnati con colori diversi: sono presenti il peso (P), la forza elettrostatica (FE), la forza di Archimede (A) e la forza di attrito viscoso, descritta, per una sfera, dalla legge di Stokes (S). 1 Nella situazione n. 1, che si può realizzare soltanto con un certo valore del campo elettrico, la gocciolina è ferma: il suo peso è esattamente bilanciato dalla somma della forza elettrostatica e della spinta di Archimede (dato che la goccia si trova in aria). Nella situazione n. 2 il campo elettrico è stato spento: la goccia comincia a cadere e, dopo un tempo transitorio molto piccolo1 in cui si muove di moto accelerato, raggiunge una velocità di regime regolata dalla presenza di un’ulteriore forza, la forza di attrito viscoso (Stokes), diretta verso l’alto. Nella situazione n. 3 il campo elettrico è sufficientemente intenso per far sì che la goccia si muova verso l’alto. Anche in questo caso, dopo un brevissimo stato transitorio, si raggiunge una condizione “a regime” in cui la velocità è costante; adesso la forza di Stokes è diretta verso il basso. Per ricavare la carica depositata sulla gocciolina è necessario scrivere le equazioni del moto. Scegliendo un asse di riferimento verticale orientato verso l’alto, le varie forze possono scriversi in questo modo: 4
3
O
4
3
E
6 η
A
oppure 6 η
E I simboli contenuti nelle equazioni hanno questo significato: R ρO g e E ρA η
v vE raggio della gocciolina densità dell’olio che forma la goccia (ρO=874 kg/m3 a 20 °C) accelerazione di gravità carica dell’elettrone campo elettrico applicato densità dell’aria (ρA =1.2 kg/m3 a 20 °C) viscosità dell’aria (η =1.82 10‐5 Ns/m2 a 20 °C) velocità della gocciolina d’olio in caduta libera
velocità della gocciolina d’olio quando si muove sotto l’azione del campo elettrico. La forza elettrostatica è diretta verso l’alto perché, per rendere la misura più facile, scegliamo solo le poche gocce che, in presenza del campo elettrico, si muovono “controcorrente” (cioè in verso opposto rispetto alla maggioranza delle gocce che cadono, perché scariche oppure dotate di carica di segno “sbagliato”). La forza di Stokes si oppone sempre al moto della goccia; pertanto, quando la goccia è in caduta libera è orientata verso l’alto, mentre è diretta verso il basso quando la goccia si muove sotto l’azione del campo elettrico. Il raggio della goccia si ricava facilmente dallo schema delle forze illustrato nella situazione n. 2, imponendo che la somma delle forze che agiscono sulla gocciolina sia zero: 4
3
O
4
3
6 η
A
0 Con alcuni semplici passaggi si trova questa formula: 9η
2
O
A
1
Tenendo conto della densità dell’olio e dell’aria, della viscosità dell’aria e della dimensione tipica delle gocce (0.1–
1 μm), si può calcolare che il tempo necessario a raggiungere la velocità di regime è inferiore al millisecondo. Per questo, si può assumere senza errore apprezzabile che il moto della goccia avvenga sempre a velocità costante. 2 Invece, per ottenere la carica dell’elettrone ci sono due metodi possibili: il primo è basato sul confronto fra le situazioni n. 1 e n. 2, mentre il secondo prevede l’utilizzo delle situazioni n. 2 e n. 3. PRIMO METODO Dobbiamo trovare il valore del campo elettrico E che mantenga ferma una gocciolina e, successivamente, determinare la velocità di caduta di quella stessa gocciolina quando il campo elettrico viene spento. Poiché nelle situazioni n. 1 e n. 2 la forza diretta verso il basso è la stessa (P), possiamo uguagliare fra loro le forze che agiscono verso l’alto nei due casi: 4
3
A
4
3
6 η
A
Semplificando i termini uguali si ottiene: 6 η
6 η
9η
2
O
A
SECONDO METODO Si confronta il moto di una gocciolina sotto l’azione del campo elettrico, che avviene con velocità vE , con il moto di caduta libera, in cui la velocità è v. Confrontando questa volta le situazioni n. 2 e n. 3 troviamo: 6 η
6 η
E Sostituendo in questa equazione il valore di R già trovato, si ottiene questo valore di e: 1
· 6 η
E
·
9η
2
O
A
Sulla base delle prove fatte in laboratorio, possiamo dire che il secondo metodo funziona meglio, perché è difficile determinare esattamente la differenza di potenziale per cui la gocciolina è ferma. Guardando nel cannocchiale, che inverte l’immagine, le gocce in caduta libera si muovono verso l’alto. L’oculare è munito si scala graduata (Fig. 3): l’ingrandimento è pari a 2, cioè ogni divisione grande corrisponde a 0.5 mm nella realtà. La velocità viene determinata misurando con un cronometro i tempi necessari alla gocciolina per coprire una distanza pari a n divisioni (n si sceglie di volta in volta, tenendo conto delle difficoltà dell’osservazione e dei tempi di percorrenza). Conviene scegliere gocce che si muovono in prossimità della scala graduata, per determinare le distanze percorse con un errore più piccolo. Un grafico da noi ottenuto misurando con il secondo metodo la carica di una cinquantina di goccioline mostra la distribuzione riportata in Fig. 4. 3 Figura 3: oculare con scala graduata.
Correzione di Cunningham Abbiamo scritto che la forza di attrito viscoso è descritta dalla legge di Stokes: 6 η
In realtà in questa formula si assume implicitamente che la velocità del fluido rispetto alla sfera che si muove sia nulla. Per sferette di dimensioni confrontabili con il cammino libero medio delle molecole del fluido questa condizione non è soddisfatta e, per questo, si deve introdurre un fattore correttivo (correzione di Cunningham). Per tener conto di questo effetto, la carica dell’elettrone ottenuta dalla formula precedente va moltiplicata per il fattore k così definito: 1
1
dove R è il raggio della gocciolina e il parametro A vale 0.07776 μm per temperatura di 25 °C e pressione standard. Nel nostro esperimento la correzione di Cunningham è essenziale per ottenere risultati accurati, visto che il raggio delle goccioline è minore o dell’ordine del micron. Figura 4: distribuzione dei valori misurati. Dicembre 2011 (aggiornato: Luglio 2013) 4
