Fisica
Facoltà di Ingegneria, Architettura e delle
Scienze Motorie
Lezione 15 aprile 2013
Architettura
(corso magistrale a ciclo unico quinquennale)
Prof. Lanzalone Gaetano
Sommario
• Quantità di moto e Momento Angolare
• Moto di puro rotolamento
• Cenni sulla struttura microscopica della materia
La quantità di moto
q = mv
Data una particella di massa m che si muove con velocità v
Definiamo quantità di moto il vettore :
q = mv
m
v
• Prodotto di uno scalare positivo,
m, per un vettore, v.
• Stessa direzione e verso di v
• Il modulo è m volte quello di v
.
– È un vettore
– Le dimensioni: [q]=[m][v]=[M][LT-1]
– Nel SI si misurerà in kg m s -1
• Se sul punto materiale agisce una forza,
– la sua velocità cambierà,
– ma cambierà anche la sua quantità di moto
Infatti per m costante
dq d (mv )
dv
=
=m
= ma = F
dt
dt
dt
dq
=F
dt 3
Quando si conserva la quantità di moto ?
Data una particella di massa m che si muove con velocità v
• La q. di moto si conserva quando essa non varia nel tempo;
matematicamente implica che la derivata rispetto al tempo
della q. di moto deve essere nulla. Dal risultato precedente
N
d
q
ricordiamo che
e
quindi
d
q
allora
=F
dt
dt
= 0 ! !!
→ F = ∑ Fi = 0
i=1
• La q. di moto si conserva quando la risultante delle forze
agenti sul punto è nulla. :
F1
v
3
F = ∑ Fi = 0
i=1
F1
m
F3
F2
F2
F3
Esempio
Calcolare l’energia e la quantità di moto di un’automobile di massa
M=1000Kg e per un volatile di massa m=100g per le velocità 10km/h,
20Km/h, 100Km/h.
Energia (J)
M
m
10Km/h
20Km/h
100Km/
h
Q (kg m s -1)
M
m
Prodotto vettoriale
definizione
Dati i vettori a e b , si definisce prodotto vettoriale
il vettore c così individuato:
c = a×b
– Il modulo del vettore c è dato da:
c = absen φ
dove l’angolo φ è l’angolo (minore di 180°) compreso
tra i due vettori
– La direzione è perpendicolare al piano individuato dai vettori
a e b.
– Il verso è determinato con la regola della mano destra:
• I formulazione:
– Si dispone il pollice della mano destra lungo il primo vettore
– Si dispone l’indice della mano destra secondo il secondo vettore
– Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale
• II formulazione
– Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice
– Si dispone la mano destra in maniera che le dita chiuse a pugno indichino il verso in cui bisogna
far ruotare il primo vettore per sovrapporlo al secondo percorrendo l’angolo φ minore di 180°
– Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale.
Prodotto vettoriale
proprietà
• Il prodotto vettoriale non è commutativo:
• Infatti:
a×b ≠ b×a
a × b = −b × a
• Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale
•
b
h = b sin θ
•
θ
a
Area = ah = absinθ = a × b
Il modulo del prodotto
vettoriale è uguale all’area
del parallelogramma
formato dai due vettori.
Vettori paralleli o antiparalleli
hanno un prodotto vettoriale
nullo
!
7
Ulteriori richiami sulle proprietà del prodotto vettoriale
• Prodotto vettoriale attraverso le
componenti cartesiane:
i
i×i =0
j× j = 0
k×k = 0
i× j=k
j×k = i
k× i = j
i ×k =−j
j × i = −k
k × j = −i
a × b = ax
j
k
ay
az =
bx
by
bz
= i ( ay bz − by az ) − j ( ax bz − bx az ) + k ( ax by − bx ay )
Vale la Proprietà distributiva
a × b
+ c = a × b + a × c
(
)
Il momento di un vettore generico
Dato un vettore w qualsiasi ed il punto O, che in questa occasione si
chiama “polo”, si definisce momento del vettore V rispetto al polo
O la quantità:
MO = r × w
y
r
V
Il cui modulo è MO=rwsenθ
θ
Posto b=rsenθ (braccio)
Si ha
r θ
r
O
b=r senθ
È importante l’ordine!
Prima r poi V! r posizione rispetto ad O del punto di
applicazione del vettore w.
x
M O =w(rsenϑ ) =b⋅ w
M O =b⋅ w
Il modulo del momento, MO, è uguale al modulo
del vettore w per il braccio del vettore w
rispetto al polo O
• Il braccio è la distanza della retta di azione
del vettore w dal polo O
• Spostando il vettore w sulla sua retta di
azione il momento resta invariato.
Momento della quantità di moto o momento angolare
y
p
• Data la particella di massa m, – la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore
posizione r, – che al tempo t si muove con velocità v
– E quindi possiede una quantità di moto q=mv
θ
r
O
b = r senθ
• Si definisce momento della quantità di moto
della particella rispetto al polo O, la grandezza:
x
θ
r
b
Il modulo vale:
Le dimensioni:
Le unità di misura:
O = r × q
O = r ⋅ mv ⋅ sen θ = bmv
[ O ] = [r ] [ m] [v] [senθ ] = "#LMLT −1 $% = "#ML2T −1 $%
kgm2s-1
Momento della forza
• Data la particella di massa m, – la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore
posizione r, – che al tempo t subisce l’azione della forza F
y
b
O
r θ
F
r
r
m
• Si definisce momento della forza F rispetto al polo
O, la grandezza:
MO = r × F
x
Le dimensioni:
Il modulo vale:
MO = rF senθ = bF
dove
b = r senθ = r sen(180° − θ)
[MO ]= [r][F] [sen θ] = [LMLT −2 ]= [ML2 T −2 ]
Le unità di misura:
kg m2 s-2
Da non confondere con il lavoro che ha le stesse dimensioni
(il lavoro è uno scalare, il momento della forza un vettore: sono due grandezze
11
completamente diverse)
Relazione tra il momento della quantità di moto ed il momento della forza
•
Durante il moto di una particella, sia la sua posizione r che la sua velocità cambiano
con il tempo,
– È lecito aspettarsi che anche il momento della quantità di moto della particella rispetto al
polo O vari con il tempo.
– Valutiamo a quanto è uguale la sua variazione (calcoliamo la derivata):
d O d (r × q ) dr dq
=
= ×q +r×
dt
dt
dt
dt
•
Attenzione a non cambiare il posto dei vettori, il prodotto vettoriale non commuta.
• Il primo termine è nullo: i due vettori sono paralleli
dr
× q = v × q = v × mv = 0
dt
⇒
d O
dq
= r×
= r × F = MO
dt
dt
• La variazione del momento della quantità di moto della particella
rispetto al polo O è uguale al momento della forza applicata valutato
rispetto allo stesso polo!
(è una diretta conseguenza della II legge di Newton)
Quando si conserva la quantità di moto ?
Data una particella di massa m che si muove con velocità v, rispetto al polo O
• Il momento della q. di moto si conserva quando esso non
varia nel tempo; matematicamente implica che la derivata
rispetto al tempo del momento della q. di moto deve essere
nulla. Dal risultato precedente ricordiamo si ottiene :
dl0
allora
= 0 ! !!
→ MO = 0
dt
• Il momento della q. di moto si conserva quando la risultante
dei momenti delle forze agenti sul punto è nulla. :
N
M = ∑ Mi = 0
i=1
•
Forze centrali
Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le
seguenti proprietà: – la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio,
detto centro della forza centrale, – e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro
stesso (sarà F=F(r) ). Esempi di forza centrale:
mM
mM r
la forza di gravitazione universale.
F = −G 2 u r = −G 2
r
r r
• la forza di Coulomb è
centrale
• la forza elastica
(lungo l’asse x)
1 q1q2
F=
ur
2
4πεo r
F = −kxiˆ
y
r
F
P
r
r
O=S
Le forze centrali sono conservative
x
Moto di puro rotolamento
Moto di puro rotolamento
•
Con questo moto si intende il moto caratteristico delle ruote
– Quando un veicolo si muove, anche le ruote si
muovono.
– Naturalmente il moto delle ruote non è di pura
traslazione
– Né una semplice rotazione attorno ad un asse fisso
– Può essere immaginato come un moto di t1
à t2
rototraslazione
•
Qual è la peculiarità di questo moto?
– I punti della ruota a contatto con l’asfalto sono fermi rispetto all’asfalto (non
scorrono, non strisciano sull’asfalto)
Per cui si dice “rotolamento senza strisciamento” (oppure “puro rotolamento”).
• Consideriamo due istanti successivi t1 e t2.
– Lo spostamento subito dal centro della ruota Δx è pari alla distanza tra i punti di
contatto della ruota agli istanti t1 e t2.
– Nello stesso tempo la ruota avrà subito anche uno rotazione e quindi uno
spostamento angolare Δθ.
• Se il moto è di puro rotolamento esiste una relazione SEMPLICE tra questi due spostamenti:
Δx = R Δθ
Condizione di puro rotolamento
Le condizioni di puro rotolamento
Abbiamo stabilito che in condizioni di puro rotolamento vale la
seguente relazione tra i moduli dello spostamento angolare e
quello lineare.
(1)
Con il sistema di riferimento scelto osserviamo che se Δx è
positivo, come in figura, allora Δθ è negativo (rotazione
oraria) Tenendo conto dei segni la condizione di puro rotolamento
diventa:
Δx = −RΔθ
Dividendo per Δt, e valutando il limite per Δt che tende a zero: (2)
La velocità lungo l’asse x del centro della ruota (CM) è uguale all’opposto
del prodotto del raggio della ruota per la sua velocità angolare.
Con una seconda derivazione, si ottiene
(3)
L’accelerazione lungo l’asse x del centro della ruota (CM) è uguale all’opposto
del prodotto del raggio della ruota per la sua accelerazione angolare.
Queste tre condizioni (1,2,3) sono verificate contemporaneamente (dipendono l’una dall’altra)
Esse vengono indicate come “condizioni di puro rotolamento”
N.B.:Il segno meno presente nelle condizioni di puro rotolamento dipende dal sistema di
riferimento usato. Una diversa scelta del SR potrebbe non richiedere tale segno
Ruolo della forza di attrito nel moto
di puro rotolamento
Nel moto di puro rotolamento il punto di contatto della ruota con
l’asfalto è fermo rispetto all’asfalto.
Il compito di mantenere fermo rispetto al piano di appoggio il
punto (o i punti) di contatto è affidato alla forza di attrito
Naturalmente si tratta di una forza di attrito statica proprio perché
il punto di contatto non scivola sulla superficie di appoggio
•
•
•
Senza attrito questo tipo di moto non è realizzabile (al massimo è possibile un moto
uniforme: velocità del centro di massa costante e velocità angolare costante, non appena si
vuole cambiare una delle due velocità e fare in modo che il moto continui ad essere di puro
rotolamento è necessaria la presenza della forza di attrito)
Naturalmente, poiché la forza di attrito statico è limitata superiormente, non sempre è
garantito il moto di puro rotolamento. – Si pensi alle frenate brusche fatte con l’automobile in cui si bloccano le ruote che
scivolano sull’asfalto
– Oppure alle accelerazioni brusche in cui le ruote girano, ma slittano sull’asfalto e non
producono l’avanzamento dell’automobile. – Occorre verificare caso per caso se la forza di attrito statico sia sufficiente per
garantire il moto di puro rotolamento
Si osservi infine che la forza di attrito statico compie lavoro nullo (punto di applicazione
fermo). (Lo stesso vale anche per la Normale).
Risoluzione del moto di rotolamento :
1) pura rotazione attorno ai punti di contatto
2) sovrapposizione del moto del centro di massa
più una rotazione attorno al centro di massa
N.B. : Entrambi devono condurre al medesimo risultato
Moto di puro rotolamento di un cilindro
•
•
•
Consideriamo un cilindro di massa M e raggio R che si può
muovere su di un piano orizzontale sotto l’azione di una
forza F applicata nel suo centro di massa.
Le altre forze agenti sul cilindro sono
– La forza peso applicata al centro di massa
– La normale N applicata nel punto di contatto
– La forza di attrito anch’essa applicata nel punto di
contatto.
y
r
N
r
Fas r
P
r
F
x
Sia la normale N che la forza di attrito statico sono distribuite su tutti i punti della generatrice
del cilindro a contatto con il piano
– Facendo ricorso a questioni di simmetria possiamo renderci conto che l’insieme di queste
forze è equivalente ad un’unica forza applicata nel punto di mezzo del segmento costituito
dai punti di contatto tra cilindro e piano orizzontale
– Nella figura le forze risultanti, sia per quanto riguarda la Normale che per la forza di
attrito statico, sono state applicate proprio nel punto precedentemente determinato (esso si
trova infatti sulla sezione del cilindro che contiene il centro di massa).
NB: in generale non si può stabilire a priori il verso della forza di attrito statico
Ragioni di simmetria ci dicono che deve essere parallela alla forza applicata F, però potrebbe andare
verso destra o verso sinistra. In figura abbiamo scelto a caso (quasi) uno dei due versi: se risolvendo il
problema determiniamo un modulo negativo, non vuol dire che abbiamo raggiunto un risultato
assurdo, solo che abbiamo sbagliato la scelta del verso che, pertanto, andrà corretta.
1) Risoluzione del moto di rotolamento come pura rotazione attorno ai punti di contatto
L’equazione del moto è:
•
•
∑M
iz
y
= Iα
I è il momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione
Mz è il momento assiale risultante delle forze applicate.
Nel nostro caso (il polo è il punto di contatto):
⎧ F
⎪ P
⎪
⎨
⎪ N
⎪⎩ Fas
•
r
N
r
Fas r
P
r
F
x
M 1 z = − FR
M 2z = 0
M 3z = 0
−FR = Iα
M 4z = 0
con
1
3
2
2
2
2
I=
I
* +Mh
=
MR
+
MR
=
MR
2
2
Steiner
Utilizzando la condizione di puro rotolamento
ax
− FR = −I
R
FR 2
ax =
I
ax = −Rα
FR 2
FR 2
2F
ax =
=3
=
I
MR2 3M
2
ax =
NB:In questo caso non abbiamo avuto alcuna informazione sulla forza di attrito.
2F
3M
2) Risoluzione del moto di rotolamento come sovrapposizione del moto del centro di massa più una rotazione attorno al centro di
massa .
y
r r r r
r
F + P + N + Fas = Ma CM
⎧ x : F − Fas = MaCMx
⎨
⎩ y : N − Mg = MaCMy = 0
⎧ x : F − Fas = MaCMx
⎨
⎩ y : N = Mg
L’equazione del moto di rotazione attorno ad un asse fisso nel SR del CM:
⎧ F :
⎪ P :
⎪
⎨
⎪ N :
⎪⎩ Fas :
M Fz = 0
M Pz = 0
M Nz = 0
M z = − Fas R
I* =
1
MR2
2
*
−Fas R = I α
⎧Traslazione
⎪
⎨Rotazione
⎪
⎩ condizione di puro rotolamento
r
N
r
Fas r
P
r
F
x
M*z = I*α
F − Fas = MaCMx
(*)
− Fas R = I *α
aCMx = − Rα
a CMx
F
* a CMx
Sostituendo
in
(*)
F
−
I
=
Ma
⇒
a
=
CMx
CMx
I*
R2
R2
M+ 2
F
F
F
2F
R
aCMx =
=
=
=
1
1
I*
MR 2 M + M 3M
M+ 2
2
R
M+2 2
R
a
1
F
F
2 2F
Fas = I* CMx
=
MR
=
NB
:
Info
sul
puro
rotol.
⇔
≤ µ s N = µ s Mg
R2
2
3MR2 3
3
Fas = I*
Dove è finita l’energia ?
N
N
F
F
Fas
P
P
ax =
Con attrito
– Moto di puro rotolamento
2F
3M
Senza attrito
– Pura traslazione
Se la forza opera per un tratto Δx:
v 2 − v2
•
v+2 f = 2
f
2F
Δx
3M
o
ax =
F
M
= 2ax Δx
v−2 f = 2
F
Δx
M
2
Solo i due terzi del quadrato della velocità del caso senza attrito
v+2 f = v−2 f
3
Si consideri
anche l’energia cinetica del moto di rotazione
1
1 * 2
2
ΔK
=
K
−
K
=
Mv
+
I ω+ f =
f
1
i 2 + f 2
2
Δ
K
=
K
−
K
=
Mv
=0
f
i
f =
2
1
11
=0
= Mv+2 f +
M R 2ω +2 f =
2
2 2
1
F
2
v+ f
1
2F # 1 &
= M2
Δx %1+ ( = FΔx = LF
2
3M $ 2 '
=
2
M2
M
Δx = FΔx = LF
Esercizio: Un corpo di massa m e raggio R rotola senza strisciare a velocità v su un piano
orizzontale. Prosegue rotolando su per una rampa fino ad una altezza massima h=3v2/(4g). Qual è il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse passante per il centro di massa?
Di che tipo di corpo si tratta?
Le forze agenti sono: il peso, la normale e la forza di attrito.
Possiamo applicare la conservazione dell’energia
Ki + U i = K f + U
f
1
1 * 2
2
Mv +
I ω + 0 = 0 + mgh
2
2
2
2
v
3v
1
1
mv2 + I* 2 = mg
2
2 R
4g
Da cui:
*
I =m
⎛ 3 ⎞ 2 1
2
− 1 R = mR
⎝ 2 ⎠
2
v
1
3
m +I 2 = m
R
2
*
Si tratta di un cilindro !
h
ESERCIZIO: Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a una ruota di massa
M=10kg e raggio R=0.30 m, nel modo come indicato in figura. La ruota rotola senza strisciare
sulla superficie orizzontale, e l’accelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s2.
Quali sono l’intensità ed il verso della forza di attrito sulla ruota?
Qual è il momento di inerzia della ruota intorno all’asse di rotazione passante per il suo
centro?
Dal teorema del centro di massa:
R = F + P + N + Fas = MaCM
⎧ x : F − Fas = MaCMx
⎨
⎩ y : N − Mg = MaCMy = 0
N
N = Mg
y
F
Fas = F − MaCMx = 10 − 10 × .60 = 4.0 N
x
Fas = 4.0 N
per la rotazione
M*z = I*α
⎧ F
⎪ P
⎪
⎨
⎪ N
⎪⎩ Fas
Mz
Mz
Mz
Mz
=0
=0
=0
= − Fas R
2
2
R
F
0
.
3
× 4 0.36
as
I* =
=
=
= 0.60 kgm2
aCMx
0.60
0.60
Fas
P
ax = −Rα
*
−Fas R = I α
I * = 0.60kgm2
Fas = I*
a CMx
R2
Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a un cilindro di massa M=10kg e raggio R=0.20
m, attraverso una corda avvolta sul cilindro nel modo come indicato in figura. Il cilindro rotola
senza strisciare sulla superficie orizzontale. Determinare:
• l’accelerazione del suo centro di massa.
• l’intensità ed il verso della forza di attrito necessario per assicurare il moto di puro rotolamento
• il minimo coefficiente di attrito tra il cilindro e il piano orizzontale .
Supponiamo che la forza di attrito statico sia diretta in verso
opposto alla forza applicata F, salvo ricrederci se risolvendo il
problema ci risultasse una componente negativa.
y
N
r r r r
r
Dal teorema del centro di massa:
F + P + N + Fas = Ma CM
x
⎧ x : F − Fas = MaCMx
⎨
Fas
P
N = Mg
y
:
N
−
Mg
=
Ma
=
0
CMy
⎩
1
La rotazione attorno al centro di massa:
M*z = I*α
I * = MR2
⎧ F
⎪ P
⎪
⎨
⎪ N
⎪
⎩ Fas
Mz
Mz
Mz
Mz
= − FR
=0
*
− FR − FasR = I α
=0
= − Fas R
F
2
⎧Traslazione
⎪
⎨Rotazione
⎪
⎩ condizione di puro rotolamento
F − Fas = MaCMx
− FR − Fas R = I *α
aCMx = − Rα
Fas = F + MRα =10 + 2 × 0.2(−33.3) = −3.32N
a CMx = −Rα = −0.2 × (−33.3)
= 6.66 m2
s
Fas ≤ µ s N ⇒ µ s ≥
Fas Fas
3.32
=
=
= 0.17
N Mg 2 × 9.81
Esercizio: Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza
strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di di 30 °
• Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante
per il suo centro di massa?
• La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno
piano?
Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto
Le forze agenti sono la forza peso, la Normale, la forza di attrito
statico. Possiamo trovare la velocità finale utilizzando la conservazione
dell’energia meccanica totale
ΔE = Lnc = LN + LFa = 0
=0
appl. punto fermo
Ei = E f ⇒ K i + U i = K f + U f
Kf
⇒
per il T. di Konig
Kf =
1
1
1
2
2
MvCM
+ K * = MvCM
+ I *ω 2
2
2
2
i
L
U=0
f
Ki + U i = Kf + U f
1
1 * 2
2
0 + MgLsen 30° = MvCM + I ω + 0
2
2
•
La condizione di puro rotolamento:
v 2CM = R 2ω 2
vCM = R ω
*
• Il momento di inerzia del Cilindro:
I =
MgL sen30° =
ω=
y
U=0
1
MR2
2
1
11
MR 2ω 2 +
MR2ω 2
2
22
4gLsen 30°
=
2
3R
v
L
4 × 9.81× 6 × 0.5
rad
=
3924
=
62.6
2
3 × .1
s
x
vCM = Rω = 0.1× 62.6 = 6.26
m
s
Affrontiamo ora la seconda parte del problema. Dobbiamo innanzitutto calcolarci il modulo
della velocità del CM; Usiamo la condizione di puro rotolamento:
La velocità è diretta come mostrato in figura. Quando il cilindro abbandona il tetto, il
moto del suo centro di massa è come il moto del proiettile. Facendo ripartire l’orologio al
momento del distacco,le condizioni iniziali sono:
x o = 0m v xo = −6.26cos30° = −5.42 ms
yo = 5m v yo = −6.26sen 30° = −3.13 ms
x = v xot
y = y o + vyo t − 12 gt 2
Determiniamo l’istante di impatto al suolo imponendo che y sia nulla:
y o + vyo t − 12 gt 2 = 0 ⇒ 4.9 t 2 + 3.13t − 5 = 0
t 1, 2
y
−b ± b 2 − 4ac −3.13 ± 3.132 + 4 × 4.91 × 5 −3.13 ± 10.39 −1.37
=
=
=
=
+0.74
2a
9.81
9.81
La soluzione negativa è da scartare.
La distanza a cui atterrerà:
v
x = v xot = −5.42 × .74 = −4.01m
x
•
Si osservi che la velocità di rotazione attorno all’asse passante per il centro di
massa rimane costante dal momento del distacco fino all’impatto al suolo.
– L’unica forza esterna agente, la forza peso, essendo applicata al CM, ha momento
assiale nullo rispetto all’asse di rotazione.
Cenni sulla struttura microscopica
della materia
Di cosa siamo fatti
• Gli oggetti che ci circondano si presentano come se fossero costituiti
da mattoni elementari (atomi o molecole)
La struttura dell’atomo!
• Modello di Thomson: gli atomi sono sfere permeabili
complessivamente neutre, in cui le particelle di carica negativa
(elettroni) erano immerse in una massa gelatinosa di carica
positiva (modello dell’uva passa nel panettone).
• Esperimento di Rutherford:
Evoluzione del Modello Atomico
Thomson
ATOMO
Z elettroni
con carica –Ze
mNucleo/mZe ≈ 4000
Nucleo
con carica +Ze
rNucleo/re ≈ 10-4
Considerazioni sulla struttura atomica
• L’atomo è essenzialmente vuoto.
– Ci sono 4-5 ordini di grandezza tra le dimensioni dell’atomo (il raggio del
volume occupato dagli elettroni) e le dimensioni del nucleo atomico.
– L’elettrone è estremamente piccolo (forse elementare)
• La massa dell’atomo è “concentrata” nel nucleo
– Gli elettroni hanno una massa circa 2000 volte più piccola di quella dei protoni ( o dei neutroni)
• Il nucleo atomico è costituito da protoni (carichi positivamente) e da
neutroni (particelle neutre).
– In ogni atomo ci sono tanti elettroni quanti protoni in maniera tale che l’atomo
sia complessivamente neutro.
Stati di aggregazione della materia
• Solido atomi e molecole sono legati da forze sufficientemente intense tali che il moto
termico, sempre presente, salvo che allo zero assoluto, non è in grado di modificare
permanentemente le mutue posizioni. – La forma ed il volume sono praticamente definiti;
• Liquido i legami interatomici e intermolecolari hanno una minore intensità, permettendo
così una certa mobilità di atomi e molecole, ma non l'allontanamento definitivo. – il volume resta perciò praticamente definito, mentre non lo è più la forma;
• Gassoso: le particelle, avendo una energia termica molto superiore all'energia di
interazione interatomica e intermolecolare, tendono ad allontanarsi l'una dall'altra e
praticamente non si influenzano tra loro. – si ha perciò la massima espansione nello spazio disponibile.
Cenni sulle proprietà dei corpi solidi
Corpo solido ç è corpo rigido
In realtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole deformazioni
Il fatto che le deformazioni siano piccole dipende dalla struttura cristallina e dalle forze
molto intense che mantengono gli atomi nella loro posizione all’interno del reticolo
L’intensità elevatissima tra gli atomi fa rassomigliare i solidi a corpi rigidi.
•
•
Gli atomi sono in continua oscillazione
attorno alla posizione di equilibrio
Con una ampiezza che dipende dalla
temperatura
r
F
I diversi tipi di sollecitazione
r
F
r
F
L
a) Trazione
a)
a) Produce un allungamento del campione
r
−F
r
b) − F
r
− F c)
b) Compressione
a) Produce una accorciamento del campione
c) Taglio
a) Produce lo scorrimento di una sezione del campione
sull’altra
d) Compressione idrostatica
a) La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del
campione ed è perpendicolare alla superficie stessa
b) Produce una diminuzione del volume del campione
•
Sforzo
– Forza applicata diviso la sezione del campione
•
Deformazione relativa
– La deformazione prodotta diviso per il valore della
grandezza originaria
F
A
ΔL
L
Φ=
d)
Il comportamento dei materiali
Sperimentalmente si ottiene Φ ∝ ΔL/L
sforzo = modulo di elaticità × deformazione relativa
Φ=
Φ=
•
F
ΔL
=E
A
L
F
ΔL
=G
A
L
E = modulo di Young (trazioni o compressioni)
G = modulo di taglio (per sollecitazioni di taglio)
I moduli di elasticità, E e G,
si misurano in N/m2
Il comportamento
dei materiali
Esercizio: Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e
lunghezza L=81 cm. Una forza di modulo 6.2 x104 N lo tira longitudinalmente. Qual è lo sforzo nel tondino?
Quanto l’allungamento e la sua deformazione?
La sezione del tondino è data da:
Lo sforzo:
(
2
)
A = πR 2 = 3.14 × 9.5 ×10 −3 = 280 ×10 −6 m 2
F
6.2 ×10 4
8 N
Φ= =
=
2
.
2
×
10
A 280 ×10 −6
m2
La deformazione:
ΔL Φ 2.2 ×108
= =
= 0.0011
9
L
E 200 ×10
Φ
2.2 ×108
L’allungamento:
ΔL = L =
× 0.81 = 0.0011× 0.81 = 0.00089m = 0.89mm
9
E
200 ×10
• Compressione
• Trazione
h F
Δh =
E S
Forza esercitata dal materiale verso l’esterno fh
è uguale ed opposta a F su di esso applicata
ES
fh = −
Δh = − KΔh
h
Legge di Hooke
Nota: Microscopicamente si hanno le forze atomiche di richiamo.
