Decomposizione LU

Decomposizione LU
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In algebra lineare una decomposizione LU, o decomposizione LUP o decomposizione di
Doolittle è una fattorizzazione di una matrice in una matrice triangolare inferiore L, una matrice
triangolare superiore U e una matrice di permutazione P. Questa decomposizione è usata in analisi
numerica per risolvere un sistema di equazioni lineari o per calcolare l'inversa di una matrice.
Indice
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1 Definizione
2 Idea principale
3 Algoritmo
4 Applicazioni
4.1 Matrici inverse
4.2 Determinante
5 Voci correlate
Definizione [modifica]
Sia A una matrice invertibile. Allora A può essere decomposta come
dove P è una matrice di permutazione, L è una matrice triangolare inferiore speciale e U è una
matrice triangolare superiore.
Idea principale [modifica]
La decomposizione LU è simile all'algoritmo di Gauss. Nell'eliminazione gaussiana si prova a
risolvere l'equazione matriciale
Il processo di eliminazione produce una matrice triangolare superiore U e trasforma il vettore b in b’
Poiché U è una matrice triangolare superiore, questo sistema di equazioni si può risolvere
facilmente.
Durante la decomposizione LU sull'altra parte b non è trasformata e l' equazione di matrice può
essere scritta come
così possiamo riusare la decomposizione se vogliamo risolvere la stessa equazione per un differente
b.
Nel caso più generale, nel quale la fattorizzazione della matrice comprende anche l'utilizzo di
scambi di riga nella matrice, viene introdotta anche una matrice di permutazione P, ed il sistema
diventa:
La risoluzione di questo sistema permette la determinazione del vettore x cercato.
Algoritmo [modifica]
Applicando alle serie di trasformazioni elementari di matrice (cioè moltiplicazioni di A a sinistra)
costruiamo una matrice triangolare superiore U che parte da A. Questo metodo è chiamato metodo
di Gauss. Queste trasformazioni elementari di matrice sono tutte delle trasformazioni lineari di tipo
combinatorio (il terzo tipo elencato nella lista "trasformazioni elementari di matrice"). Supponiamo
che T sia il prodotto di N trasformazioni TN ... T2 T1=T, allora la matrice triangolare superiore è:
TA = TN ... T2 T1A =: U .
L'inversa della matrice T è :
T -1 = T1-1 T2-1 ... TN-1 .
Come l'algoritmo di Gauss usa solo la terza forma dei tre tipi di trasformazioni elementari di
matrice rendendo A triangolare superiore, possiamo dedurre che tutte le Ti-1 sono triangolari (vedi
trasformazioni elementari di matrice). Essendo un prodotto di Ti-1 anche:
T -1 = T1-1 T2-1 ... TN-1 =:L
è triangolare inferiore.
Abbiamo quindi la decomposizione della matrice A nel prodotto di L e U:
LU = T -1TA = A.
Applicazioni [modifica]
Matrici inverse [modifica]
Le matrici L e U possono essere usate per calcolare la matrice inversa. Il calcolo numerico di
matrici inverse spesso usa questo approccio (sotto determinate condizioni) per risolvere il problema
del calcolo dell'inversa di una data matrice A.
Determinante [modifica]
Una volta effettuata la decomposizione LU è possibile calcolare il determinante della matrice A in
modo semplice come:
dove S indica il numero di scambi di riga effettuati nel processo (indicati nella matrice P) ed i
termini uij indicano il termine in riga i e colonna j della matrice U.