Algoritmi e Strutture Dati
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Algoritmi e Strutture Dati Tecniche algoritmiche Luigi Laura Algoritmi e strutture dati Luigi Laura 1. Divide et impera 2. Programmazione dinamica 3. Greedy 2 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Divide et impera Tecnica top-down: 1. Dividi il problema in due o più sottoproblemi 2. Risolvi (ricorsivamente) i sottoproblemi 3. Ricombina soluzioni dei sottoproblemi per ottenere la soluzione del problema originario Esempi: ricerca binaria, mergesort, quicksort, … 3 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Moltiplicazione di interi di lunghezza arbitraria Moltiplicare (o sommare) due numeri non è sempre eseguibile in tempo costante: – se i numeri occupano più di una parola di memoria, anche le operazioni elementari potrebbero richiedere tempo superiore a O(1) Moltiplicare due numeri a n cifre, con l’algoritmo classico (scuola elementare), richiede O(n2). Possiamo fare di meglio? 4 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Rappresentazione decimale di interi a n cifre • Dividiamo X e Y a metà: – X1 (Y1) = n/2 cifre più significative di X (Y) – X0 (Y0) = n/2 cifre meno significative di X (Y) 5 Algoritmi e strutture dati da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Luigi Laura Divisione del problema 6 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Osservazioni • Moltiplicare un numero per 10k = shift a sinistra delle cifre del numero di k posizioni • Somma di due numeri di k cifre: tempo O(k) • La moltiplicazione di due numeri a n cifre si riduce quindi a: – quattro moltiplicazioni di numeri a n/2 cifre – un numero costante di operazioni implementabili in tempo O(k) da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 7 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Equazione di ricorrenza La soluzione è Θ(n2) dal Teorema Master Cosa abbiamo guadagnato? 8 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Ridurre il numero di moltiplicazioni da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 9 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Analisi Eseguiamo tre moltiplicazioni e un numero costante di somme e shift La soluzione è Θ(n log23) = Θ(n1.59) dal Teorema Master 10 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Programmazione Dinamica da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 11 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Programmazione Dinamica Per evitare di risolvere più volte lo stesso sottoproblema, memorizziamo la soluzione dei vari sottoproblemi: algoritmo fibonacci3(intero n) → intero sia Fib un array di n interi Fib[1] ← Fib[2] ← 1 for i = 3 to n do Fib[i] ← Fib[i-1] + Fib[i-2] return Fib[n] 12 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Programmazione dinamica Tecnica bottom-up: 1. Identifica sottoproblemi del problema originario, procedendo logicamente dai problemi più piccoli verso quelli più grandi 2. Utilizza una tabella per memorizzare soluzioni dei sottoproblemi incontrati: quando incontri lo stesso sottoproblema, leggi la soluzione nella tabella 3. Si usa quando i sottoproblemi non sono indipendenti, (lo stesso sottoproblema può apparire più volte) Esempio: numeri di Fibonacci 13 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Distanza tra stringhe Siano X e Y due stringhe di lunghezza m ed n: Vogliamo calcolare la “distanza” tra X e Y, ovvero il minimo numero di operazioni elementari che consentono di trasformare X in Y 14 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Trasformare RISOTTO in PRESTO: da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 15 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Approccio • Indichiamo con δ(X,Y) la distanza tra X e Y • Indichiamo con Xi il prefisso di X fino all’i-esimo carattere, per 0 ≤ i ≤ m (X0 è la stringa vuota): • Risolveremo il problema di calcolare δ(X,Y) calcolando δ(Xi,Yj) per ogni i, j tali che 0 ≤ i ≤ m e 0≤j≤n Manterremo le informazioni in una tabella D di dimensione m × n • 16 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Inizializzazione della tabella Alcuni sottoproblemi sono banali: δ(X0,Yj) = j partendo dalla stringa vuota X0, basta inserire uno ad uno i primi j caratteri di Yj δ(Xi,Y0) = i partendo da Xi, basta rimuovere uno ad uno gli i caratteri di Xi per ottenere Y0 Queste soluzioni sono memorizzate rispettivamente nella prima riga e nella prima colonna della tabella D da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 17 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Avanzamento nella tabella (1/3) • Se xi = yj, il minimo costo per trasformare Xi in Yj è uguale al minimo costo per trasformare Xi-1 in Yi-1 D [ i , j ] = D [ i-1 , j-1 ] • Se xi ≠ yj, distinguiamo in base all’ultima operazione usata per trasformare Xi in Yj in una sequenza ottima di operazioni 18 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Avanzamento nella tabella (2/3) il minimo costo per trasformare Xi in Yj è uguale al minimo costo per trasformare Xi in Yj-1 più 1 per inserire il carattere yj D [ i , j ] = 1 + D [ i , j-1 ] il minimo costo per trasformare Xi in Yj è uguale al minimo costo per trasformare Xi-1 in Yj più 1 per la cancellazione del carattere xi D [ i , j ] = 1 + D [ i-1 , j ] da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 19 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Avanzamento nella tabella (3/3) il minimo costo per trasformare Xi in Yj è uguale al minimo costo per trasformare Xi-1 in Yj-1 più 1 per sostituire il carattere xi per yj D [ i , j ] = 1 + D [ i-1 , j-1 ] In conclusione: 20 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Pseudocodice Tempo di esecuzione ed occupazione di memoria: O(m n) 21 Algoritmi e strutture dati da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Luigi Laura Esempio La tabella D costruita dall’algoritmo. In grassetto sono indicate due sequenze di operazioni che permettono di ottenere la distanza tra le stringhe 22 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Tecnica golosa (o greedy) da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 23 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Problemi di ottimizzazione (1/2) Usata in problemi di ottimizzazione (e.g., trovare cammino più corto per andare da Napoli a Torino) Ad ogni passo, algoritmo effettua la scelta “localmente” più promettente 1. Insieme di candidati (e.g., città) 2. Insieme dei candidati già esaminati 3. Funzione ammissibile(): verifica se un insieme di candidati rappresenta una soluzione, anche non ottima (un insieme di città è un cammino da Napoli a Torino?) 24 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Problemi di ottimizzazione (2/2) 4. Funzione ottimo(): verifica se un insieme di candidati rappresenta una soluzione ottima (un insieme di città è il più breve cammino da Napoli a Torino?) 5. Funzione seleziona(): indica quale dei candidati non ancora esaminati è al momento il più promettente 6. Funzione obiettivo da minimizzare o massimizzare (e.g., lunghezza del cammino da Napoli a Torino) 25 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Tecnica golosa Perché goloso? Sceglie sempre il candidato più promettente! 26 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Un problema di sequenziamento Un server (e.g., una CPU, o un impiegato dell’ufficio postale) deve “servire” n clienti Il servizio richiesto dall’i-esimo cliente richiede ti secondi Chiamiamo T(i) il tempo di attesa del cliente i Vogliamo minimizzare il tempo di attesa medio, i.e.: e quindi 27 Algoritmi e strutture dati da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Luigi Laura Esempio Sei possibili ordinamenti: Qual è il migliore? 28 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Algoritmi e strutture dati Luigi Laura Un algoritmo goloso • Il seguente algoritmo genera l’ordine di servizio in maniera incrementale secondo una strategia greedy. • Supponiamo di aver deciso di sequenziare i clienti i1, i2, … im. Se decidiamo di servire il cliente j, il tempo totale di servizio diventa: • • Quindi al generico passo l’algoritmo serve la richiesta più corta tra quelle rimanenti Tempo di esecuzione: O(n log n), per ordinare le richieste 29 Algoritmi e strutture dati da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004 Luigi Laura Riepilogo Tecniche algoritmiche: – Divide et impera: altre applicazioni nella ricerca binaria, mergesort, quicksort, moltiplicazione di matrici – Programmazione dinamica: altre applicazioni nel calcolo dei numeri di Fibonacci, associatività del prodotto tra matrici, cammini minimi tra tutte le coppie di nodi (algoritmo di Floyd e Warshall) – Tecnica greedy: altre applicazioni nel distributore automatico di resto, nel calcolo del minimo albero ricoprente (algoritmi di Prim, Kruskal, Boruvka) e dei cammini minimi (algoritmo di Dijkstra) 30 da Demetrescu et al. McGraw Hill 2004
