limiti di successioni e di funzioni

a.a. 2014/2015
Laurea triennale in Informatica
Analisi Matematica
Limiti di successioni numeriche e di funzioni
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
Successioni numeriche
Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita in
un insieme del tipo {n ∈ N | n ≥ n0 }, con n0 numero naturale.
Esempio
La relazione f (x) = x 2 , x ∈ [0, +∞), definisce una funzione;
la relazione f (x) = x 2 , x ∈ N, definisce una successione.
Parlando di successioni, solitamente denotiamo
• la variabile indipendente con n ;
• il valore che la successione assume in un numero naturale n
con il simbolo xn (oppure an , un , . . . ), chiamato termine n -esimo
della successione;
• la successione (e la sua immagine) con {xn }n∈N (oppure {xn }).
1
Successioni numeriche e approssimazioni
Un utilizzo “pratico” delle successioni numeriche: approssimare altri
numeri.
Esempio
x=
5
= 1.666666 . . .
3
valore esatto
xn = 1. 666
. . . 66}
| {z
n
valore approssimato
|x − xn | = 0. |000 {z
. . . 00} 6666 . . .
n
errore (assoluto)
< 0. 000
. . . 01} = 10−n
| {z
n
2
Esempi di successioni numeriche
xn =
1
n
xn =
n−1
n
3
xn =
(−1)n
n
xn = (−1)n
4
xn = n2
xn = −n3
5
Successioni definite per ricorrenza
Invece di assegnare esplicitamente la legge n 7→ xn :
• prescriviamo il valore corrispondente a n0 ,
• indichiamo come ottenere il valore successivo dal valore precedente.
In simboli:
(
xn0 = α
xn = f (xn−1 )
α∈R
(n ≥ n0 + 1)
f funzione
• Legame con principio di induzione
• Fissato n , per determinare xn occorrono n − n0 passi
(in genere)
Possiamo ricavare esplicitamente la legge n 7→ xn ?
6
Esempi
(
x0 = 1
•
xn = n xn−1
(n ∈ N∗ )
Espressione esplicita: xn = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1
|
{z
}
n! “fattoriale di n ”
(
x0 = 1
• Fissato q ∈ R:
xn = q xn−1 (n ∈ N∗ )
Espressione esplicita: xn = q · q · . . . q · q
|
{z
}
q n “progressione geometrica

di ragione q ”
 x1 = 2
•
x
1
 xn+1 = n +
(n ∈ N∗ )
2
xn
Espressione esplicita?
7
Proprietà generali delle successioni
Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di
• maggioranti e minoranti di una successione;
• successioni limitate (inferiormente, superiormente);
• estremo inferiore ed estremo superiore di una successione;
• minimo e massimo di una successione.
Successioni modello?
8
Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di
successioni monotone.
Secondo la definizione, per verificare la monotonia di {xn } occorre
confrontare i termini xm e xn corrispondenti a tutte le coppie di interi
m, n con m < n ; in realtà, basta confrontare tra loro termini consecutivi:
la successione {xn } è
• crescente se e solo se xn ≤ xn+1 per ogni n ;
• strettamente crescente se e solo se xn < xn+1 per ogni n ;
• decrescente se e solo se xn ≥ xn+1 per ogni n ;
• strettamente decrescente se e solo se xn > xn+1 per ogni n .
Successioni modello?
Esempio
(−1)n
Studiare la monotonia della successione xn = n +
.
n
9
Proprietà vere definitivamente
Diciamo che una proprietà Pn è vera definitivamente se
esiste ν ∈ N tale che la proprietà Pn sia vera per ogni n ≥ ν .
Esempi
• I termini della successione {n2 } sono definitivamente maggiori
di 25.
• I termini della successione
• La successione
10n
n!
(−1)n non sono definitivamente positivi.
è definitivamente strettamente decrescente.
(attenzione!!)
Osservazione
Se le proprietà Pn e Pn0 sono entrambe vere definitivamente,
allora anche la proprietà Pn ∧ Pn0 è vera definitivamente.
10
Successioni infinitesime
Una successione {xn } si dice infinitesima se
per ogni ε > 0 la disuguaglianza |xn | < ε è vera definitivamente.
| {z }
−ε < xn < ε
Osservazione
{xn } è infinitesima se e solo se {|xn |} è infinitesima.
Esempi
• La successione costante xn ≡ 0 è infinitesima.
1
(−1)n
1
• Le successioni
, −
,
e {10−n } sono infinitesime.
n
n
n
3n + 1
• La successione
non è infinitesima.
2n
Interpretazione grafica?
11
Successioni convergenti
Sia {xn } una successione e sia x ∈ R.
Diciamo che la successione {xn } converge a x se
la successione {xn − x} è infinitesima,
cioè:
per ogni ε > 0 la disuguaglianza |xn − x| < ε è vera definitivamente,
|
{z
}
x − ε < xn < x + ε
Esempi
• La successione costante xn ≡ x converge a x .
• La successione
n−1
n
converge a 1.
Nota: “convergente a 0” è sinonimo di “infinitesima”.
12
Osservazione (quasi ovvia ma molto utile!)
Supponiamo che la successione {xn } converga a x e sia c ∈ R.
Allora:
• c<x
=⇒ xn > c definitivamente;
• c>x
=⇒ xn < c definitivamente.
Diciamo che la successione {xn } è convergente se esiste x ∈ R
tale che la successione converge a x .
Osservazione (importante!)
Una successione non può convergere a due numeri distinti.
13
Successioni divergenti
Diciamo che la successione {xn } diverge positivamente se
per ogni M > 0 la disuguaglianza xn > M è vera definitivamente.
Diciamo che la successione {xn } diverge negativamente se
per ogni M > 0 la disuguaglianza xn < −M è vera definitivamente.
Interpretazione grafica?
Esempi
• La successione {10n } diverge positivamente.
−n2 diverge negativamente.
n+1
• La successione
non diverge positivamente.
n
• La successione
14
Successioni regolari e loro limiti
Una successione si dice regolare se è convergente oppure divergente.
Una successione non regolare si dice irregolare o indeterminata.
Se la successione {xn } è regolare,
e scriviamo


x
se



lim xn =
+∞
se



−∞
se
diciamo che {xn } ha limite
{xn } converge ad x
{xn } diverge positivamente
{xn } diverge negativamente
Notazioni alternative: xn → x , xn → +∞, xn → −∞.
(“→ ” si legge “tende a”)
15
Osservazione
Attenzione a non confondere le affermazioni
• “{xn } ha limite”
• “{xn } è limitata”
Valgono le seguenti implicazioni:
{xn } converge
=⇒ {xn } è limitata
{xn } diverge positivamente
=⇒ {xn } è illimitata superiormente
{xn } diverge negativamente =⇒ {xn } è illimitata inferiormente
Le implicazioni inverse non sono vere.
Esempi?
16
Compatibilità del limite con la relazione d’ordine
Teorema (permanenza del segno)
Sia {xn } una successione regolare con limite x ∈ R.
• x ∈ (0, +∞]
=⇒ xn ∈ (0, +∞) definitivamente
x ∈ [−∞, 0) =⇒ xn ∈ (−∞, 0) definitivamente
• xn ∈ [0, +∞) definitivamente
=⇒ x ∈ [0, +∞]
xn ∈ (−∞, 0] definitivamente
=⇒ x ∈ [−∞, 0]
Dimostrazione . . .
E se x = 0?
E se xn ∈ (0, +∞) oppure xn ∈ (−∞, 0) definitivamente?
17
Compatibilità del limite con le operazioni
Teorema (limiti e inversi)
Sia {xn } una successione regolare con limite x ∈ R.


se x ∈ R

 −x
• {−xn } è regolare e ha limite
− ∞ se x = +∞


 + ∞ se x = −∞

x −1
• Se x =
6 0, {xn−1 } è regolare e ha limite
0
se x ∈ R∗
se x ∈ {−∞, +∞}
• Se x = 0 e xn > 0 definitivamente oppure xn < 0 definitivamente,
{xn−1 } è regolare e ha limite +∞ o −∞, rispettivamente;
altrimenti, {xn−1 } non è regolare.
Dimostrazione . . .
18
Teorema (limiti e operazioni)
Siano {an } e {bn } due successioni regolari con limiti a e b ,
rispettivamente. Nei casi descritti nelle prime due colonne della tabella,
{an + bn } e {an · bn } sono regolari con i limiti indicati:
lim an + bn
lim an · bn
a∈R
b∈R
a+b
a = +∞
b ∈ R ∪ {+∞}
+∞
a = +∞
b ∈ (0, +∞]
+∞
a = +∞
b ∈ [−∞, 0)
−∞
a = −∞
b ∈ R ∪ {−∞}
a = −∞
b ∈ (0, +∞]
−∞
a = −∞
b ∈ [−∞, 0)
+∞
Dimostrazione . . .
a·b
−∞
Quali casi sono esclusi?
19
Esercizio teorico
Siano {an } e {bn } due successioni tali che an ≤ bn definitivamente.
Dimostrare la seguente affermazione:
se le due successioni sono convergenti con limiti a e b , rispettivamente,
allora: a ≤ b.
20
Teorema (regolarità delle successioni monotone)
1
Sia {xn } una successione crescente. Allora:
{xn } è regolare e tende al proprio estremo superiore.
2
Sia {xn } una successione decrescente. Allora:
{xn } è regolare e tende al proprio estremo inferiore.
Dimostrazione di
1
Osservazioni
• La monotonia è una condizione sufficiente ma non necessaria
affinché una successione sia regolare.
Esempio?
• Se una successione è definitivamente monotona, essa è regolare;
non è detto però che il limite coincida con l’estremo superiore
[inferiore] se la successione è definitivamente crescente [decrescente].
21
Corollario del teorema RSM
Supponiamo che la successione {an } sia monotona. Allora:
{an } è limitata
=⇒ {an } converge
{an } è illimitata =⇒ {an } diverge
Confrontare con le osservazioni di pagina 16 . . .
22
Osservazione
Il teorema RSM e il suo corollario dipendono dalla esistenza
dell’estremo superiore e non valgono in Q.
In particolare, non è detto che una successione monotona e limitata
di numeri razionali abbia come limite un numero razionale.
Esempio 1
x0 = 0.1
x1 = 0.101
x2 = 0.101001
Esempio 2

 x1 = 2
x
1
 xn+1 = n +
2
xn
(n ∈ N∗ )
x3 = 0.1010010001
..
.
23
Esempio (progressione geometrica)
Sia q ∈ R e sia {xn } la progressione geometrica di ragione q .
Se q > −1, {xn } è regolare e si ha

0 se −1 < q < 1



lim xn =
1 se q = 1



+∞ se q > 1
Se q ≤ −1, {xn } è irregolare.
Verifica . . .
24
Esercizio
Determinare i limiti delle seguenti successioni:
2n
1 n−1
1
3
−4n
2
+
3
+
3n
n
n4
n
n3 2n
n 3 + 2n
n3
1
+ 2n
25
Successioni test e punti di accumulazione
Sia D ⊆ R e sia x̄ ∈ R.
Diciamo che {xn } è una successione test per x̄ in D se
1
xn ∈ D per ogni n
2
xn 6= x̄ per ogni n (superflua se x̄ 6∈ D )
3
xn → x̄
Esempi . . .
Diciamo che x̄ è punto di accumulazione di D se esiste almeno una
successione test per x̄ in D .
Se x̄ ∈ D e x̄ non è punto di accumulazione di D , diciamo che
x̄ è punto isolato di D .
26
Esempi
Stabilire se x̄ è punto di accumulazione di D :
D = (1, π)
x̄ = 2
D = (1, +∞)
x̄ = +∞
D=N
x̄ = 3
x̄ = 1
x̄ = π
x̄ = 0
x̄ = +∞
x̄ = +∞
Esempi (più generali)
• Siano a, b ∈ R. L’insieme dei punti di accumulazione degli intervalli
di estremi a e b è [a, b].
• +∞ / −∞ è punto di accumulazione di D se e solo se
D è illimitato superiormente / inferiormente.
• Tutti gli elementi di N sono punti isolati di N;
l’unico punto di accumulazione di N è +∞.
27
Limiti di funzioni
Sia D ⊆ R e sia f : D → R.
Sia x̄ ∈ R un punto di accumulazione di D . Sia ` ∈ R.
Diciamo che ` è il limite di f per x che tende a x̄ e scriviamo
lim f (x) = ` se
x→x̄
per ogni successione test {xn } per x̄ in D : lim f (xn ) = `.
Notazione alternativa: f (x) → ` per x → x̄ .
Terminologia
Per le funzioni si utilizzano gli stessi termini usati per le successioni:
funzione infinitesima, convergente, divergente.
In alternativa a “divergente” si usa “infinita”.
28
Esempi
• Sia f la funzione costante di valore c ∈ R.
Per ogni x̄ ∈ R si ha lim f (x) = c .
x→x̄
• La funzione x ∈ R∗ 7→
1
diverge positivamente per x che tende a 0.
x2
• La funzione mantissa non ha limite per x che tende a −∞
né per x che tende a +∞.
• La funzione reciproco è infinitesima per x che tende a −∞
e per x che tende a +∞.
• La funzione reciproco non ha limite per x che tende a 0.
Possiamo “recuperare” qualche cosa?
29
Successioni test e punti di accumulazione unilaterali
Sia D ⊆ R e sia x̄ ∈ R.
Sia {xn } una successione test per x̄ in D .
Diciamo che {xn } è una successione test per x̄ da sinistra se
xn < x̄ per ogni n .
Diciamo che {xn } è una successione test per x̄ da destra se
xn > x̄ per ogni n .
Diciamo che x̄ è punto di accumulazione da sinistra / da destra di D
se esiste almeno una successione test da sinistra / da destra per x̄ in D .
Esempi?
Osservazione
x̄ è punto di accumulazione di D se e solo se x̄ è punto di
accumulazione da sinistra oppure da destra (alternativa non esclusiva).
30
Limiti unilaterali di funzioni
Sia D ⊆ R e sia f : D → R. Sia ` ∈ R.
Sia x̄ ∈ R un punto di accumulazione da sinistra di D .
Diciamo che ` è il limite di f per x che tende a x̄ da sinistra
e scriviamo lim f (x) = ` se
x→x̄ −
per ogni successione test {xn } da sinistra per x̄ in D : lim f (xn ) = `.
Sia x̄ ∈ R un punto di accumulazione da destra di D .
Diciamo che ` è il limite di f per x che tende a x̄ da destra
e scriviamo lim+ f (x) = ` se
x→x̄
per ogni successione test {xn } da destra per x̄ in D : lim f (xn ) = `.
31
Osservazione
Se x̄ ∈ R è punto di accumulazione di D sia da sinistra che da destra,
allora per x che tende a x̄ la funzione f ha limite (bilaterale) ` se e solo
se ha limite sinistro e limite destro ed entrambi coincidono con `.
Esempi
• Per x che tende a 0, la funzione reciproco ha limiti unilaterali
ma non ha limite (bilaterale).
• Per x che tende a 0, la funzione segno ha limiti unilaterali
ma non ha limite (bilaterale).
(
1 se x ∈ Q
• Sia f (x) =
0 se x ∈ R \ Q.
Per qualsiasi x̄ ∈ R, f non ha limiti unilaterali per x che
tende a x̄ .
32
Osservazione
Avendo definito il limite di una funzione mediante la nozione di
successione test, a ciascuno dei risultati sui limiti di successioni
corrisponde un analogo risultato per i limiti di funzioni.
È necessario riformulare
• il “preambolo”,
• la nozione di “proprietà vera definitivamente”.
Esempio
Sia {an } una successione.
Sia f : D ⊆ R → R una funzione.
Supponiamo che {an } abbia limite a.
Sia x̄ ∈ R punto di accumulazione di D;
supponiamo che f abbia limite `
per x che tende a x̄
(da destra / da sinistra).
Supponiamo an > 0 definitivamente.
Supponiamo f (x) > 0 vicino a x̄. ???
33
Preliminarmente, introduciamo la nozione di intorno:
x̄ ∈ R
(x̄ − δ, x̄ + δ)
δ>0
intorno destro di x̄
[x̄, x̄ + δ)
δ>0
intorno sinistro di x̄
(x̄ − δ, x̄]
δ>0
x̄ = +∞ intorno di +∞
(d, +∞)
d ∈R
x̄ = −∞ intorno di −∞
(−∞, d)
d ∈R
intorno (sferico o completo) di x̄
Osservazione
La nozione di intorno permette di riformulare in maniera unitaria
le definizioni di successione convergente e di successione divergente:
Sia {xn } una successione e sia x ∈ R. Allora:
lim xn = x ⇐⇒ per ogni intorno U di x si ha xn ∈ U definitivamente.
34
Sia D ⊆ R e sia x̄ ∈ R.
Sia P(x) una proprietà predicabile per x ∈ D \ {x̄}.
(In x̄ non sappiamo se è predicabile, ma non lo escludiamo; non ci interessa.)
Diciamo che P(x) è vera in D vicino a x̄ se esiste un intorno U di x̄
tale che P(x) sia soddisfatta per ogni x in U ∩ D \ {x̄}.
Se U è un intorno destro/sinistro di x̄ , diciamo che la proprietà è vera
vicino a x̄ , a destra/a sinistra di x̄ .
Esempi
La proprietà (1 − |x|) x 4 > 0 è vera in R vicino a 0.
La proprietà (1 − |x|) x −4 > 0 è vera in R∗ vicino a 0.
La proprietà x −2 < 10−6 è vera in R∗ vicino a +∞ e a −∞.
35
Osservazione (legame tra discreto e continuo)
Sia x̄ ∈ R punto di accumulazione di D ⊆ R.
Supponiamo che la proprietà P(x) sia vera in D vicino a x̄ .
Allora:
per ogni successione test {xn } per x̄ in D , la proprietà P(xn ) è vera
definitivamente.
Esercizio teorico
Tradurre gli enunciati
• del teorema di permanenza del segno
• del teorema su limiti e inversi
• del teorema su limiti e operazioni
nei corrispondenti enunciati per limiti di funzioni.
36
Teorema (convergenza obbligata)
Sia D ⊆ R e siano f , g , h : D → R.
Sia x̄ ∈ R punto di accumulazione di D . Sia ` ∈ R.
Supponiamo che
• f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) vicino a x̄ ;
• lim f (x) = lim h(x) = `.
x→x̄
x→x̄
Allora: lim g (x) = `.
x→x̄
Dimostrazione . . .
Esercizio teorico
Enunciare il teorema di convergenza obbligata per successioni.
37
Teorema (divergenza obbligata)
Sia D ⊆ R e siano f , g : D → R.
Sia x̄ ∈ R punto di accumulazione di D .
Supponiamo che f (x) ≤ g (x) vicino a x̄ . Allora:
• lim f (x) = +∞
=⇒
• lim g (x) = −∞
=⇒
x→x̄
x→x̄
lim g (x) = +∞
x→x̄
lim f (x) = −∞
x→x̄
Dimostrazione . . .
Esercizio teorico
Enunciare il teorema di divergenza obbligata per successioni.
38
Corollario
• f limitata vicino a x̄ , g divergente per x → x̄
=⇒
f + g divergente per x → x̄
• f limitata vicino a x̄ , g infinitesima per x → x̄
=⇒
f · g infinitesima per x → x̄
• f limitata vicino a x̄ , g divergente per x → x̄
=⇒
f
infinitesima per x → x̄
g
Esempi
lim
x→0
1
+ sign(x)
x4
1
(2 + m(x))
x→+∞ x 3 − 1
lim
lim
3 + (−1)n
2n
39
Forme di indecisione
Problema: i teoremi sui limiti non permettono di determinare a priori
il limite nei seguenti casi:
• somma di funzioni che divergono con segno opposto
(forma +∞ − ∞)
• prodotto di una funzione infinitesima per una divergente
(forma 0 · ∞)
• rapporto di due funzioni divergenti (forma ∞/∞)
• rapporto di due funzioni infinitesime (forma 0/0)
Soluzione: manipolare algebricamente le espressioni assegnate per
ricondursi a casi in cui i teoremi sono applicabili.
(Più avanti nel corso avremo altri strumenti a disposizione . . . )
Esempi
lim 3n4 − 2n3 − n2 + 1
x 3 + 2x
x→+∞ x 2 − 4x 3 + x 5
lim
x 3 + 2x
x→0 x 2 − 4x 3 + x 5
lim
40
Continuità in un punto e in un insieme
Sia D ⊆ R un intervallo e sia f : D → R.
Se x̄ ∈ D e lim f (x) = f (x̄), diciamo che f è continua in x̄ .
x→x̄
Se f è continua in x̄ per ogni x̄ ∈ D , diciamo che f è continua in D .
Se D è unione di intervalli disgiunti, diciamo che f è continua in D
se è continua in ciascuno di tali intervalli.
Osservazione
f è continua in x̄ se e solo se per ogni successione {xn } ⊂ D
che converge a x̄ la successione {f (xn )} converge a f (x̄).
Esempi (da ricordare)
Le funzioni costanti, la funzione identica, la funzione opposto,
la funzione reciproco e la funzione valore assoluto sono continue
nei rispettivi domini.
41
Diciamo che f è
• continua da sinistra in x̄ se lim f (x) = f (x̄);
Quando ha senso?
• continua da destra in x̄ se lim f (x) = f (x̄).
Quando ha senso?
x→x̄ −
x→x̄ +
Esempi (da ricordare)
• In x̄ ∈ Z la funzione parte intera inferiore e la funzione mantissa
sono continue da destra e non da sinistra.
• In x̄ = 0 la funzione segno non è continua né da sinistra né da destra.
Osservazione
Se x̄ ∈ D è interno a D , allora f è continua in x̄ se e solo se
è continua sia da sinistra che da destra in x̄ .
42
Alcune proprietà globali delle funzioni continue
Teorema (di Weierstrass)
Sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b].
Allora: f ammette minimo e massimo globale in [a, b], cioè :
esistono x 0 , x 00 ∈ [a, b] tali che
f (x 0 ) ≤ f (x) ≤ f (x 00 )
per ogni x ∈ [a, b].
Illustriamo il ruolo delle ipotesi mediante qualche esempio:
f (x) =
1
x
x ∈ (0, 1]
f (x) = x − bxc
x ∈ [−1, 5]
f (x) =
1
x
(
x ∈ [1, +∞)
x 2 se x ∈ [−2, 0) ∪ (0, 3]
f (x) =
1
se x = 0
43
Teorema (degli zeri o di Bolzano)
Sia f una funzione continua nell’intervallo D .
Supponiamo che esistano a, b ∈ D tali che f (a) · f (b) < 0.
Allora: esiste x̄ compreso tra a e b tale che f (x̄) = 0.
Dimostrazione . . .
Corollario
Sia f una funzione continua nell’intervallo D .
• Per ogni ȳ ∈ (inf f , sup f ) esiste x̄ ∈ D tale che f (x̄) = ȳ .
(Teorema dei valori intermedi)
• L’immagine di f è l’intervallo di estremi inf f e sup f .
aperto?
chiuso?
Dimostrazione . . .
Interpretazione “grafica” della continuità . . .
44
Come ottenere funzioni continue da funzioni continue
Teorema (continuità e operazioni algebriche)
La somma, la differenza, il prodotto, la combinazione lineare,
il reciproco, il rapporto di funzioni continue sono funzioni continue
nei rispettivi domini.
Esempi (da ricordare)
Le seguenti funzioni sono continue nei rispettivi domini:
• funzione potenza a esponente in N∗ : pn : R → R tale che pn (x) = x n
• funzione polinomiale:
P(x) = cn x n + cn−1 x n−1 + . . . + c1 x + c0
(c0 , c1 , . . . , cn ∈ R)
• funzione razionale:
R(x) =
P(x)
Q(x)
(P e Q funzioni polinomiali)
45
Teorema (cambiamento di variabile nei limiti)
Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f ◦g sia
definita in un insieme D . Sia x̄ ∈ R punto di accumulazione di D .
Supponiamo che
• per x che tende a x̄ , la funzione g sia regolare con limite ȳ ∈ R,
• per y che tende a ȳ , la funzione f sia regolare.
Se ȳ ∈ {−∞, +∞}, oppure ȳ ∈ R e f è continua in ȳ , allora:
lim f (g (x)) = lim f (y ).
x→x̄
y →ȳ
Osservazione
Senza ipotesi aggiuntive, l’uguaglianza non è garantita.
Esempio:
(
2
se y 6= 0
g (x) ≡ 0
f (y ) =
1
se y = 0
46
Osservazione
Nel caso in cui ȳ ∈ R e f è continua in ȳ , si ha
lim f (g (x)) = lim f (y ) = f (ȳ ).
y →ȳ
x→x̄
Se anche g è continua in x̄ , allora ȳ = g (x̄) e quindi
lim f (g (x)) = f (g (x̄)) ,
x→x̄
cioè f ◦g è continua in x̄ .
Corollario (continuità e composizione funzionale)
La funzione composta di funzioni, ciascuna continua nel rispettivo
dominio, è continua nel proprio dominio.
Esempio
La funzione x ∈ R 7→ |3x 2 − 7x + 1| è continua in R.
47
Teorema (continuità e inversione funzionale)
La funzione inversa di una funzione invertibile, definita e continua
in un intervallo, è continua nel proprio dominio.
Osservazioni
Sia f una funzione definita e continua in un intervallo.
• f invertibile =⇒ f strettamente monotona
(il viceversa è vero per funzioni qualsiasi definite in insiemi qualsiasi)
• f definita in un intervallo, strettamente monotona e continua
=⇒ f −1 definita in un intervallo, strettamente monotona e continua
48
Classificazione dei punti di discontinuità
Sia D ⊆ R un intervallo, sia f : D → R e sia x̄ ∈ D .
Se f non è continua in x̄ diciamo che x̄ è un punto di discontinuità
per f .
Diciamo che x̄ è un punto di discontinuità eliminabile per f se
• f converge per x → x̄ ,
• lim f (x) 6= f (x̄).
x→x̄
Diciamo che x̄ è un punto di discontinuità a salto finito se
• f converge per x → x̄ − e per x → x̄ + ,
lim f (x) 6= lim+ f (x).
x→x̄
Il numero lim f (x) − lim+ f (x) si chiama ampiezza del salto.
•
x→x̄ −
x→x̄ −
x→x̄
49
Esempi
• La funzione
(
f (x) =
x 2 se x ∈ R∗
1
se x = 0
ha una discontinuità eliminabile in x̄ = 0.
• In x̄ ∈ Z la funzione parte intera inferiore e la funzione mantissa
hanno una discontinuità a salto finito, con salto di ampiezza 1.
• In x̄ = 0 la funzione segno ha una discontinuità a salto finito,
con salto di ampiezza 2.
• Studiare la continuità in x̄ = 0 della funzione
(
f (x) =
x2
se x ∈ (−∞, 0]
x −2 se x ∈ (0, +∞)
Come classifichiamo x̄ = 0 ?
50
Asintoti verticali
Sia x̄ ∈ R punto di accumulazione di dom(f ).
Se f diverge per x che tende a x̄ da sinistra/da destra,
diciamo che la retta di equazione x = x̄ è un asintoto verticale
da sinistra/da destra per f . (Più correttamente: per il grafico di f .)
Osservazione
I candidati asintoti verticali per f sono le rette x = x̄ con
• x̄ ∈ dom(f ) punto di discontinuità di f , oppure
• x̄ 6∈ dom(f ) estremo finito del dominio.
Esempi
(
f (x) =
x2
se x ∈ (−∞, 0]
x −2 se x ∈ (0, +∞)
f (x) =
2x + 3
x2 + 1
f (x) =
Interpretazione grafica? Gli asintoti verticali sono “intoccabili”?
x + 3x 2
(x − 4)2
51
Asintoti orizzontali
Sia x̄ ∈ {−∞, +∞} punto di accumulazione di dom(f ).
Se f converge a ` per x che tende a x̄ , diciamo che la retta
di equazione y = ` è un asintoto orizzontale per f .
(A sinistra se x̄ = −∞, a destra se x̄ = +∞.)
Esempi
f (x) =
3x 2 − 2x
x2 + 1
f (x) =
m(x)
x4 + 1
Interpretazione grafica? Gli asintoti orizzontali sono “intoccabili”?
Prima di proseguire introduciamo alcune funzioni elementari . . .
52
Esercizio
• Calcolare i seguenti limiti:
x +1 |x − 2|
1
3
+
2
x→−∞ x 4
x +3 x2 − 1
lim 2(3x
lim arctan
x→2
lim
x→+∞
cos
lim arcsin
x→3−
lim
2 −6x+1)/(x−1)
x→1
bxc + 3 x2 + 1
• Determinare gli asintoti verticali e orizzontali della funzione
f (x) = e x + e 1/x
53
Equivalenza asintotica
Sia x̄ ∈ R. Siano f e g due funzioni tali che la funzione rapporto f /g
sia definita vicino a x̄ . Se
f (x)
lim
= 1,
x→x̄ g (x)
diciamo che f e g sono asintotiche (anche: asintoticamente equivalenti)
per x che tende a x̄ e scriviamo f (x) ∼ g (x) per x → x̄ .
Osservazione
È indispensabile specificare “per x che tende a x̄ ” perché, variando
il punto in cui si considera il limite, l’affermazione f (x) ∼ g (x)
potrebbe non essere vera.
Esempio
x + x 2 ∼ x per x → 0; x + x 2 6∼ x per x → 3 oppure x → +∞.
54
Osservazioni
• La relazione ∼ è una relazione di equivalenza.
• f e g sono asintotiche per x → x̄ se e solo se
f (x) = g (x) h(x)
dove h è una funzione che tende a 1 per x → x̄ .
• Se f e g sono asintotiche per x → x̄ , allora sono entrambe non
regolari oppure entrambe regolari per x → x̄ ; in quest’ultimo caso,
hanno lo stesso limite per x → x̄ . Vale il viceversa?
• Se f1 (x) ∼ f2 (x) e g1 (x) ∼ g2 (x) per x → x̄ , allora:
f1 (x) · g1 (x) ∼ f2 (x) · g2 (x)
f1 (x)
f2 (x)
∼
g1 (x)
g2 (x)
per x → x̄ .
55
Osservazione
Una combinazione lineare di potenze di x con esponente positivo
(brevemente: funzione algebrica) è asintotica
• al monomio con esponente maggiore per x → +∞,
(x → −∞)
• al monomio con esponente minore per x → 0.
(x → 0± )
Esempi
• 2 x4 − x3 + 3 x2 ∼
• 3 x 17/4 + 2 x 3 ∼

2 x 4
per x → +∞
3 x 2
per x → 0

3 x 17/4
per x → +∞
2 x 3
per x → 0+
56
Osservazione
Il prodotto e il rapporto di due funzioni algebriche sono asintotici,
rispettivamente:
• al prodotto e al rapporto dei monomi con esponenti maggiori
per x → +∞ o x → −∞,
• al prodotto e al rapporto dei monomi con esponenti minori per x → 0.
Nel calcolo dei limiti, gli altri termini sono “trascurabili”. . .
Esempi
•
•
2 x4 − x3 + 3 x2
x→+∞ 3 x 17/4 + 2 x 3
lim
lim+
x→0
2 x4 − x3 + 3 x2
3 x 17/4 + 2 x 3
•
(x 4 − 2 x 3 ) (5 x 2/5 + 2 x 2 )
√
x→−∞ (3 x 5 + 3 x 2 ) (3 x − 1)
lim
• lim
x→0
(x 4 − 2 x 3 ) (5 x 2/5 + 2 x 2 )
√
3
(3 x 5 + x 2 ) (3 x − 1)
57
Proposizione
Nota: prolungamento per continuità . . .
Per x → 0:
• le funzioni seno, arcoseno, tangente, arcotangente sono asintotiche
alla funzione identica; (e quindi tra loro)
• le funzioni x 7→ e x − 1, x 7→ ln(1 + x) sono asintotiche alla funzione
identica; (e quindi tra loro e alle precedenti)
• la funzione x 7→ 1 − cos(x) è asintotica alla funzione x 7→
x2
.
2
Verifica . . .
Esempi
(e x − 1) sin(x)
x→0
2 x2 − 4 x3
• lim
• lim
x→0
1 − cos(x)
√
(x + 3 x) ln(1 + x)
58
Osservazione
Siano f , g , h tre funzioni e sia x̄ ∈ R. Supponiamo:
• h(x) → ȳ per x → x̄ ;
• f e g continue in ȳ , se ȳ ∈ R;
Cambiamento di variabile nei limiti:
f (y )
f (h(x))
= lim
lim
y →ȳ g (y )
x→x̄ g (h(x))
• f (y ) ∼ g (y ) per y → ȳ .
Allora: f (h(x)) ∼ g (h(x)) per x → x̄ .
Esempi
Per x → 0: sin(3x) ∼ 3x
Per x → 0: ln(1 + tan(x 2 )) ∼ tan(x 2 ) ∼ x 2
x +2
1
1
1
Per x → +∞: ln
= ln 1 −
∼ −
∼ −
x +3
x +3
x +3
x
59
Esempi
(e x − 1) sin(3x)
x→0 ln(1 + tan(x 2 ))
• lim
1 − cos(x − 1)
x→1
x2 − 1
• lim
60
Confronto tra infiniti e infinitesimi
Sia x̄ ∈ R. Supponiamo che le funzioni f e g siano entrambe infinite
oppure entrambe infinitesime per x che tende a x̄ .
Se
f (x)
lim
= 0,
x→x̄ g (x)
diciamo che f è infinito di ordine inferiore, oppure infinitesimo di ordine
superiore, rispetto a g per x che tende a x̄ e scriviamo
f (x) = o(g (x)) per x → x̄
(si legge “f è o piccolo di g ”).
Terminologia?
Esempi
• Per x → 0: 1 − cos(x) = o(sin(x))
• Se 0 < p < q , allora: x p = o(x q ) per x → +∞
x q = o(x p ) per x → 0+
61
Siano f , g e x̄ come nella definizione precedente.
f
diverge per x → x̄ :
g
diciamo che f è infinito di ordine superiore, oppure infinitesimo di
ordine inferiore, rispetto a g .
• Se
f
converge a un numero diverso da 0 per x → x̄ :
g
diciamo che f è infinito oppure infinitesimo dello stesso ordine,
rispetto a g .
• Se
Caso particolare?
f
non è regolare per x → x̄ :
g
diciamo che f e g sono infiniti oppure infinitesimi non confrontabili.
• Se
62
Proposizione
Sia x̄ ∈ R.
Siano f , g funzioni entrambe infinite o entrambe infinitesime per x → x̄ .
Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:
(a) f (x) ∼ g (x) per x → x̄ ,
(b) f (x) = g (x) + h(x), con h(x) = o(g (x)) per x → x̄ .
Verifica . . .
Conseguenza:
nel calcolo del limite di un prodotto o di un rapporto, in ciascun fattore
gli infiniti di ordine inferiore e gli infinitesimi di ordine superiore sono
trascurabili.
Confronto con funzioni algebriche . . .
63
Parte principale e ordine di infinito/infinitesimo
Denotiamo con ϕ(x) la funzione infinito/infinitesimo campione,
definita come segue:
infinito campione
per x → x̄
x̄ ∈ R
x̄ ∈ {−∞, +∞}
infinitesimo campione
per x → x̄
1
|x − x̄|
|x − x̄|
|x|
1
|x|
Sia f una funzione infinita/infinitesima per x → x̄ .
Se esistono c ∈ R∗ e α ∈ R∗+ tali che f (x) ∼ c ϕ(x)α , diciamo che
• c ϕ(x)α è la parte principale di f ,
• α è l’ordine di infinito/infinitesimo di f .
64
Esempi
• Funzione algebrica, per x → +∞ e per x → 0
√
• e 3/ x − 1
per x → +∞
4x • ln 1 − 4
per x → +∞
x +1
Applicazione al calcolo di limiti
√
tan(x) + x
• lim
x→0+ sin(x) + x 4
√
√
2
• lim (x + x + x) e 3/ x − 1 + ln 1 −
x→+∞
4x x4 + 1
65
Ulteriori esempi
x +1
• q
5
• tan(x)
per x →
• x 2 sin(x) + 3
• ex
per x → 3
arctan (x − 3)2
π−
2
per x → +∞
per x → +∞ ???
• ln(x)
per x → +∞ ???
66
Dimostreremo che, per ogni α ∈ R∗+ :
•
ex
= +∞
x→+∞ x α
lim
•
ln(x)
=0
x→+∞ x α
lim
Quindi, per x → +∞:
• la funzione esponenziale e la funzione logaritmo non hanno ordine
di infinito;
• la funzione esponenziale è infinito di ordine superiore rispetto a
qualsiasi potenza con esponente positivo;
• la funzione logaritmo è infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi
potenza con esponente positivo;
• in una somma:
• qualsiasi potenza con esponente positivo è trascurabile rispetto alla
funzione esponenziale;
• la funzione logaritmo è trascurabile rispetto a qualsiasi potenza con
esponente positivo, e rispetto alla funzione esponenziale.
67
Osservazione
Le affermazioni della pagina precedente valgono anche per la funzione
esponenziale con qualsiasi base maggiore di 1 e per la funzione logaritmo
con qualsiasi base.
Esempi
•
•
•
lim
x→+∞
√
x − ln(x)
lim
x 2 − 3x
2x + x 3
lim
2x + 4 x
3x + x 2 + ln(x)
x→+∞
x→+∞
68
Classificazione dell’andamento all’infinito di una funzione
Sia x̄ ∈ {−∞, +∞}. Supponiamo che f diverga per x → x̄ .
• Diciamo che f ha andamento lineare se
(∗) esiste m ∈ R∗ tale che f (x) ∼ m x per x → x̄ .
Formulazione
equivalente?
Se vale (∗) e inoltre
f (x) − m x → q ∈ R per x → x̄ ,
diciamo che la retta di equazione y = m x + q è un asintoto obliquo
per f . Interpretazione grafica?
• Diciamo che f ha andamento sublineare se
f (x) = o(x) per x → x̄ .
Formulazione equivalente?
• Diciamo che f ha andamento superlineare se
x = o(f (x)) per x → x̄ .
Formulazione equivalente?
69
Esempi
Classificare (se appropriato) l’andamento all’infinito delle seguenti
funzioni; in caso di andamento lineare, stabilire l’esistenza di asintoti
obliqui.
q
• f (x) = 5 x 2 (x − 1)
• f (x) =
x2 − x + 2
x2 + 1
x3 − 2 x2 + 3 x
x2 + 1
√
• f (x) = 3 x + x
• f (x) =
• f (x) = x (sin(x) + 3)
70