SCOMPOSIZIONE di un POLINOMIO in FATTORI

SCOMPOSIZIONE di un POLINOMIO in
FATTORI
E' l'operazione che consiste nello scrivere un polinomio sotto forma di un prodotto.
Va detto che non sempre è possibile scomporre un polinomio in fattori, né esistono delle regole
sempre applicabili.
Studiamo alcuni metodi che ci permettono di scomporre un polinomio in fattori:
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Raccoglimento a fattor comune totale
Raccoglimewnto a fattor comune parziale
Scomposizione mediante i prodotti notevoli:
differenza di due quadrati,
quadrato di un binomio,
quadrato di un trinomio,
cubo di un binomio,
somma e differenza di due cubi
Scomposizione di un trinomioparticolare di 2° grado
Scomposizione di un polinomio mediante la regola di Ruffini.
RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE TOTALE:
Se tutti i termini del polinomio sono divisibili per uno stesso monomio, posso raccoglierlo a fattor
comune:
Nel polinomio 3x 2 y−6 xy +15 x 3 tutti i termini sono divisibili per 3x, posso raccoglierlo così:
3x ( xy−2y +5x 2 ) i termini dentro la parentesi si ottengono dividendo ciascun
termine per il fattore raccolto ( ad es 3x 2 y : 3x= xy …)
Per ottenere una scomposizione completa devo raccogliere sempre il MCD dei termini del
polinomio (prodotto dei soli fattori comuni presi con il minimo esponente)
Alle volte anziché raccogliere a fattor comune un monomio posso raccogliere un polinomio:
2 ( x + y )− y ( x + y ) qui si può raccogliere il binomio x + y in questo modo
=( x+ y )(2− y )
RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE PARZIALE:
Se non si può raccogliere a fattor comune tra tutti i termini è possibile a volte raccogliere a fattoe
comune a gruppi di elementi ( gruppi con lo stesso numero di termini).
Ad esempio: 2a + 2b−a2 −ab raccolgo a 2 a 2 così:
= 2 (a+ b )−a (a +b )
e dato che le due parentesi sono uguali posso fare il successivo
raccoglimento ottenendo un prodotto di due binomi
= (a+ b )(2−a ) così è scomposto in fattori
SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA
a  b a  b   a 2  b 2 il risultato è la differenza dei quadrati dei
due termini.
Quindi, invertendo la formula si ha la seguente scomposizione:
SCOMPOSIZIONE DELLA DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
E’ l’inverso di quanto visto sopra: a 2  b 2 lo scompongo nel prodotto a  b a  b  , quindi:
2
2
a −b =(a +b)(a−b)
SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO NEL QUADRATO DI UN BINOMIO:
Un trinomio è un quadrato di un binomio se due dei suoi termini sono i quadrati di due monomi e
il terzo termine è il doppio prodotto dei termini trovati.
Cioè: a 2 +2ab+b2=(a +b)2
Ad esempio x 2  4 x  4 è il quadrato di x  2 perché x 2 è il quadrato di x, 4 è il quadrato di 2 e
 4 x è il doppio prodotto di x e 2 (dato che ha il – davanti, i due termini avranno segno opposto),
quindi scompongo così: x 2  4 x  4   x  2 2
SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO DI 6 TERMINI
NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO:
Un polinomio in 6 termini è un quadrato di un binomio se tre dei suoi termini sono i quadrati di
tre monomi e gli altri tre sono i doppi prodotti dei termini trovati presi a due a due.
Cioè: a 2 +b 2+ c 2+ 2ab+ 2ac+ 2bc=(a +b+ c)2
SCOMPOSIZIONE DI UN QUADRINOMIO NEL CUBO DI UN BINOMIO
Riconosco che un quadrinomio è un cubo di un binomio se :
due suoi termini sono due cubi,
gli altri due sono i tripli prodotti presenti nello sviluppo.
3
2
2
3
3
a +3a b+3ab +b =( a+ b)
Ad esempio nel polinomio: a 3  6a 2 x  12ax 2  8 x 3 individuo a 3 che è il cubo di a e 8x 3 che è il
cubo di 2x, gli altri due termini sono i tripli prodotti di a e 2x :
e 3  a  2 x 2  12ax 2
3  a 2  2 x  6a 2 x
quindi scompongo in a  2x 3
SCOMPOSIZIONE DELLA SOMMA E DELLA DIFFERENZA DI DUE CUBI
Se dobbiamo scomporre un binomio e vediamo che I due termini che lo formano sono due cubi
possiamo utilizzare le formule:
SOMMA DI CUBI a 3  b 3  a  b a 2  b 2  ab 
DIFFERENZA DI CUBI
a 3 -b 3 =( a - b ) ( a 2 +b2 + ab )
Se devo scomporre x 3 +8
riconosco che x 3 è il cubo di x e che 8 è il cubo di 2
quindi scrivo il binomio (x +2) e poi
lo moltiplico per un trinomio, detto falso quadrato, che è formato dal quadrato di x + il quadrato di 2 –
il prodotto di x per 2, otteniamo la seguente scomposizione:
( x +2)( x 2+ 4−2x)
TRINOMIO PARTICOLARE DI 2° GRADO
Osserviamo cosa succede se moltiplichiamo tra loro due binomi di primo grado nella stessa lettera del
tipo: x  2 x  5  .......................................
dove due termini si sommano e otteniamo il trinomio: ………………….
nel quale x 2 ha coefficiente 1;
il termine di primo grado ha coefficiente : …….. che è la somma di ……………..;
il termine noto è il prodotto …………………..
Per scomporre un trinomio di quel tipo devo determinare due numeri che diano come somma il
coefficiente di 1° grado e come prodotto il termine noto.
ES: scomponiamo x 2  6 x  8 dobbiamo determinare due numeri la cui somma = ……….
E il cui prodotto = ………
Una volta trovati scriviamo:  x............ x...........