Induzione Magnetica ⇒ Legge di Faraday Lezione 8 (oltre i campi elettrostatico, magnetostatico, e le correnti stazionarie) Variazione nel tempo del campo B: generazione di corrente indotta in circuiti secondari Muovendo un magnete vicino a una spira connessa ad un amperometro si osserva il passaggio di corrente nel circuito! Corrente indotta: solo con magnete in movimento Chiudendo l’interruttore, la corrente nel circuito primario cresce nel tempo fino al suo valore stazionario (Ohm); solo in questo intervallo di tempo si osserva il passaggio di corrente nel circuito secondario! Corrente indotta Campo B del magnete Circuito secondario Campo B creato dalla corrente nel circuito primario Legge di Faraday: variazione nel tempo di B generazione di forza elettromotrice indotta (f.e.m.), o di campo elettrico indotto , anche nel vuoto corrente indotta in circuiti (Ohm etc.) circuito C r n Formulazione matematica (di Maxwell) Derivata temporale totale del flusso del campo magnetico B su S ε r B ds r r Φ B = ∫ B ⋅ n ds dΦ B = − dt S S Flusso di B attraverso una qualunque superficie S concatenata al circuito C (∝ numero linee di forza) r n r B circuito C Forza elettromotrice sul circuito C Segno negativo! (Legge di Lenz; anche connessione alla regola della mano destra) r n S Superficie S qualsiasi che ha per bordo C Forza elettromotrice indotta: integrale del campo elettrico indotto su circuito chiuso qualunque, anche nel vuoto (circuitazione di E ) ε = ∫ E ⋅ dl (≠ 0) C + A B Circuito C (secondario) ε Esempio: spira aperta Flusso di B variabile nel tempo f.e.m. di un generatore = differenza di potenziale (lavoro del campo elettrostatico Es) ε ∫E B = V A − VB = s ⋅ dl A A + ε ∫E Es (interno) B Campo elettrostatico su circuito chiuso: ⋅ dl = 0 Il campo elettrico indotto (dalla variazione di B) non è conservativo! Il lavoro del campo su circuito chiuso è diverso da zero! Campo elettrico indotto s Solo il campo elettrostatico è conservativo (derivabile da un potenziale) Campo conservativo circuitazione nulla! C Legge di Lenz: (il segno negativo) Il verso della f.e.m. indotta è tale da produrre una corrente che, a sua volta, crea un campo B che si oppone alla variazione del flusso di B concatenato col circuito Campo B creato dalla corrente indotta I Campo B del magnete m Esempio: il magnete si muove verso la spira; il flusso di B attraverso la superficie concatenata a C aumenta (entrano più linee di forza); si produce la corrente indotta I , diretta come in figura, che crea un campo B secondo il teorema di Ampere. Questo campo è diretto opposto al precedente e tende quindi a contrastare l’aumento del flusso. Se il magnete si allontana dalla spira C: la corrente indotta ha direzione opposta al caso precedente, quindi …… La legge di Lenz è connessa alla conservazione dell’energia: se valesse il segno positivo, forza elettromotrice e campo magnetico si alimenterebbero a vicenda crescendo senza limiti, e creando energia dal nulla. Spira piana con campo magnetico uniforme Flusso concatenato Φ B = ∫ B ⋅ n ds = ∫ B cosθ ds = B S cos θ S f.e.m. indotta ε spira r n S dΦ B d = − = − (BS cosθ ) dt dt θ r B ds S corrente indotta Quindi in un circuito la forza elettromotrice può essere indotta: a) variando nel tempo il campo magnetico B(t) b) variando la superficie del circuito S(t) c) variando l’angolo tra B e la normale alla superficie del circuito θ(t) (rotazione spira) Analisi dimensionale (unità di misura): per il flusso del campo magnetico (campo·superficie) si usa spesso il Weber: 1 Weber = 1 T · 1 m2 [ ] = [f.e.m.] = V ( volt) dΦ B flusso Weber T ⋅ m2 Ns m2 J = = = = ⋅ = =V s dt tempo s Cm s C La legge di Faraday non necessita di costante dimensionale (ma di costante numerica? …. a dopo!) Caso b): conduttori in movimento in campo magnetico e bilancio energetico Fext = − F1 ΦB = B ⋅ L ⋅ x I Modulo della f.e.m indotta: ε = dΦ B dt = B ⋅ L ⋅ v I La corrente indotta è diretta come in figura (legge di Lenz) per contrastare la diminuzione di ΦB, e vale R = BLv R F = I ∆l × B Il campo B agisce sui conduttori con forze date dalla II legge di Laplace I= F1 = I L B; F2 = I x B; F3 = I x B nelle direzioni specificate dal prodotto vettore (vedi figura) F2 e F3 si equilibrano; la forza F1 si oppone alla forza applicata esterna Fext ; se v costante è F1 = Fext Potenza della forza esterna (lavoro fatto da Fext nell’unità di tempo): Pext = Fext ⋅ v = ILB ⋅ v = Potenza dissipata nella resistenza: P = R ⋅ I 2 = B 2 L2 v 2 R B 2 L2 v 2 R uguale alla precedente! Trasformazione energia meccanica energia termica per mezzo di legge di Faraday (correnti di Foucault o correnti parassite – riscaldamento per induzione – etc.) I Flusso del campo, in diminuzione nel tempo: La spira rettangolare (di resistenza R) si muove con velocità di modulo v = dx/dt costante uscendo dalla regione limitata di spazio in cui è presente il campo B Induttanza L L (di una spira, di un circuito, di una bobina): rapporto tra il flusso di B concatenato al circuito, e la corrente I che genera B. E’ una proprietà geometrica del circuito. (Induttanza: accumulo flusso di campo B) Analogia con la definizione di capacità (anche essa proprietà geometrica): ΦB L= I C= Q ∆V Capacità: accumulo cariche Unità di misura: 1 H = 1 Weber = 1 T ⋅ 1 m ( = 1 Ω ⋅ 1 s) 1A 1A Henry (H) 2 I B = µ0 n I n= Solenoide di lunghezza l , con N spire circolari di raggio r , percorse da corrente Induttanza di un solenoide r B N l l N2 Flusso di B concatenato al solenoide Φ B = N ⋅ B ⋅ π r = µ0π r I l 2 Induttanza del solenoide circolare: L= µ0 π r 2 N 2 l 2 2r f.e.m. autoindotta I (t ) Per la legge di Faraday - Lenz, se la corrente I varia nel tempo, si genera un campo B(t) all’interno dell’induttanza, L = ΦB / I , il quale a sua volta genera una f.e.m εL(t) che si oppone alla variazione di corrente: εL = dΦ B dI = −L dt dt ε −L dI − RI (t ) = 0 dt (equazione differenziale per I(t) analoga a quella per il circuito RC) I (t ) = ( 1− e R = ( 1− e R − tR / L ε Costante di tempo τL = L/ R del circuito RL: corrente stazionaria ε/R Soluzione con condizione iniziale I(0) = 0 : R + L − RI ( t ) = 0 + I (t ) L + L Chiudendo l’interruttore al tempo iniziale t = 0 : equazione della maglia Circuito RL εL(t) − εL(t) −t /τ L ) ) 0 Potenza sviluppata dal generatore Energia immagazzinata in una induttanza Moltiplicando per I l’equazione della maglia, e utilizzando la conservazione dell’energia: PL = L I dI dt I = LI Potenza accumulata nell’induttanza (per la creazione del campo B) Energia totale immagazzinata nell’induttanza (dalla chiusura del circuito ): proporzionale E L alla corrente stazionaria finale al quadrato! Energia magnetica accumulata nell’induttanza, ovvero lavoro necessario per creare il campo magnetico nell’induttanza (o induttore): = Potenza dissipata nella resistenza ∫ P dt = ∫ t →∞ t →∞ L 0 EB = 0 1 dI dt = L ∫ I dI = L I 2 LI 2 dt 0 uB = 1 2 EB 1 L I 2 1 µ0 π r 2 N 2 I 2 1 = = = µ0 n 2 I 2 = uB = B 2 2 2 µ0 Vol 2 Vol 2 l ⋅ π r ⋅ l I 1 2 LI 2 Densità di energia del campo magnetico In un solenoide (di volume Vol = π r2 · l) B è praticamente confinato all’interno, quindi la densità dell’energia magnetica è: dI + RI 2 dt 1 2 µ0 B2 In parallelo alle formule analoghe per l’energia accumulata nel condensatore e la densità di energia del campo elettrico uE Lezione 9 Induttanze in serie e in parallelo serie ε1 ε2 = I 1 + dI dI dI = − L1 − L2 = −(L1 + L2 ) dt dt dt 2 L2 L1 Leq = L1 + L2 induttanza equivalente Leq I ε I1 L1 I L2 I2 ε Leq =− 1 1 1 = + Leq L1 L2 Leq = dI d ( I1 + I 2 ) =− = + dt dt L1 L2 parallelo L1 L2 L1 + L2 Moto di una carica in campo magnetico: forza di Lorentz Fl B Tratto di conduttore percorso da corrente I, e immerso in B; su di esso agisce la forza F Fl = I l × B S vd La corrente è costituita da N cariche q per unità di I = N q S vd volume in moto con velocità di deriva vd (Lez. 4) F = Fl /( N ⋅ S ⋅ l ) l Forza sulla singola particella carica: I r r r Forza di Lorentz F = q v × B LB = ∫ F ⋅ d s = ∫ F ⋅ ( v dt ) = 0 v B v F P B Q Q F È la forza esercitata dal campo magnetico B su cariche elettriche in movimento (N.B. se v = 0, la forza è nulla!) Lavoro della forza di Lorentz, o lavoro del campo magnetico su particelle carica; poichè F è sempre perpendicolare a v : P Il lavoro delle forze magnetiche è sempre nullo! L’energia cinetica delle particelle cariche si conserva. (modulo F = q v B senθ ) La forza magnetica agisce come forza centripeta (perpendicolare alla velocità) quindi la particella percorre traiettorie circolari o elicoidali. Esempio: se la velocità della particella forma un angolo φ con la direzione z del campo B , la forza ha modulo F = q v B senφ = qBv ⊥ cioè dipende solo dalla componente di v perpendicolare a B , e giace sul piano x-y. Quindi agisce da forza centripeta costringendo la particella a un moto circolare sul piano x-y, che si compone col moto rettilineo uniforme in direzione z (infatti la componente su z della velocità rimane invariata). Si ha così un moto a elica, che si avvolge intorno a B. Esempio: le particelle cariche che viaggiano verso la Terra vengono “catturate” dal campo magnetico e orbitano a spirale intorno alle linee di forza di B , entrando nell’atmosfera nei pressi del polo Nord (aurore boreali) z x y B F Passo dell’elica B Spettrometro di massa: misura della massa di uno ione F v2 qv B = m⋅ r v2 F = m ⋅ ac = m ⋅ r Lo ione di carica +q e massa m viene accelerato da un campo elettrostatico fino alla velocità v, entra nella regione dove vi è il campo magnetico B (perpendicolare) e percorre la traiettoria circolare di raggio r fino a colpire la lastra fotografica alla distanza x=2r dall’ingresso. Si determina quindi la sua massa. m= qBr v Relazione tra forza di Lorentz e legge di Faraday + B F I E ∆V q E = q v0 B 1) Azione della forza (cariche in movimento) Una sbarretta conduttrice di lunghezza l scorre con velocità v0 su due guide fisse; sulle cariche libere presenti in essa agisce la forza di Lorentz F = qv×B e le cariche positive tendono ad accumularsi ad una estremità. Si genera quindi un campo elettrico E (tratteggiato in figura) in direzione opposta alla forza . Si avrà equilibrio quando la forza di Lorentz sarà uguale alla forza elettrica qE, cioè () R E = v0 B Alle estremità della sbarretta si ha una differenza di potenziale ∆V = E ⋅ l = B ⋅ l ⋅ v 0 - Se le guide sono conduttrici e vi è una resistenza R , la sbarretta funge da generatore per il passaggio di corrente I nel circuito. 2) Legge di Faraday (flusso magnetico in movimento) La sbarretta conduttrice “taglia” il flusso del campo magnetico (che quindi aumenta nella superficie spazzata), quindi si genera una f.e.m. indotta di modulo ε = dΦdt B = d (B ⋅ l ⋅ x ) = B ⋅ l ⋅ d x = B ⋅ l ⋅ v 0 dt dt che induce nel circuito una corrente I diretta in modo da contrastare l’aumento del flusso del campo magnetico. Lo stesso risultato vale se la sbarretta è ferma e a muoversi è il campo magnetico (verso sinistra). Le due descrizioni sono diverse ma portano allo stesso risultato! C’è quindi una relazione profonda tra le due leggi (si va verso il principio di relatività di Einstein) x m B Dipolo magnetico da moto orbitale dell’elettrone in un atomo: e si muove in orbita circolare intorno al nucleo: momento angolare L, e momento magnetico m (l’elettrone si può considerare come una corrente di cariche negative! e per il teorema di Ampere ……) e −I Magnetismo e materia m Dipolo magnetico o momento magnetico: rappresentato dal vettore m , genera un campo magnetico B come in figura. Campo B da moto orbitale B I materiali magnetici devono le loro proprietà al moto (orbitale o intrinseco) degli elettroni; infatti vi sono due contributi al loro momento magnetico (e quindi al campo B interno associato) L’elettrone (come le altre particelle elementari) possiede un momento magnetico intrinseco m , associato s al momento angolare intrinseco detto spin (si può pensare all’elettrone in rotazione attorno al proprio asse). ms Campo B da momento magnetico intrinseco Materiali diamagnetici (semplificando) In un atomo, il numero di elettroni che orbitano in un senso eguaglia quello degli elettroni che orbitano in senso opposto; il momento magnetico totale è nullo. Quando si applica un campo B esterno, il moto elettronico varia e il materiale tende a respingere B sviluppando un dipolo magnetico opposto. Bext Materiali paramagnetici m =0 Allineamento, magnetizzazione non nulla m ≠0 Orientamento casuale, magnetizzazione nulla Atomi (o molecole) hanno un momento magnetico risultante non nullo, orientato casualmente. In presenza di campo B esterno si ha tendenza all’allineamento dei dipoli magnetici, con un momento magnetico totale macroscopico. Il materiale è detto magnetizzato (analogia con la polarizzazione elettrica) Materiali ferromagnetici Configurazione dei domini magnetici in Nickel In questo caso, in media, m =0 Allineamento spontaneo di dipoli magnetici atomici su grande scala (effetto quantistico); formazione di “domini magnetici”, generalmente cristalli microscopici. Se i domini sono ben allineati (dipende dalla temperatura) si ha il ferromagnete o magnete permanente (calamita: ferro,nichel etc.) che possiede un campo magnetico proprio.