Abbiamo descritto il movimento dei corpi materiali tramite grandezze

Forze
Abbiamo descritto il movimento dei corpi materiali tramite grandezze
come il tempo, la posizione nello spazio, la velocità e l’accelerazione.
Ora mettiamo in relazione il movimento di un corpo con quelle che
chiamiamo forze. Cercheremo dunque di capire cosa s’intende con il
termine forza, quali forze sono presenti in natura e come possiamo rappresentarle. Possiamo definire una forza come qualcosa in grado di
cambiare lo stato di movimento di un corpo, cioè in grado di accelerarlo. In assenza di forze un corpo o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. In presenza di forze invece la sua velocità (velocity)
può cambiare. Dobbiamo a Newton l’esposizione precisa di queste idee
Leggi di newton
I. inerzia. Se ad un corpo non si applica nessuna forza (o complessivamente si annullano) questo continuerà a rimanere fermo o a muoversi a velocità (velocity) costante.
II. proporzionalità. La forza risultante applicata ad un corpo è uguale alla sua massa per l’accelerazione del suo centro di massa1.
S ris = m · Sacdm
F
III. azione e reazione. Le forze si presentano sempre a coppie; se il corpo A esercita una forza sul corpo
B, una forza uguale ma di verso opposto, viene esercitata dal corpo B sul corpo A.
A
B
FB/A
FA/B
Corollario
La forza è una grandezza vettoriale. Ciò significa che posso sostituire una forza con le sue componenti.
Ciò significa anche che diverse forze che si applicano allo stesso punto materiale hanno l’effetto di una sola
forza, che chiamiamo risultante, ottenuta sommandole vettorialmente.
F1
Fg//
F2
T
Fg
F
Fg
F3
risultante
= F1 + F2 + F3
Nell’esempio a sinistra la forza di gravità che agisce su un’oggetto posto su di un piano inclinato è stata
scomposta in due componenti; una perpendicolare e una parallela al piano. Nell’esempio a destra le tre
forze che si applicano ad uno stesso punto sono state sommate per ottenere la risultante.
Unità di misura
L’unità di misura del Sistema Internazionale per le forze è il newton. Un newton corrisponde alla forza
necessaria per imprimere ad un corpo di un kilogrammo un accelerazione di un metro al secondo
quadrato.
N=
kg · m
s2
1. Quando ci occuperemo di corpi estesi vedremo come trattare forze che si applicano in punti diversi di uno stesso corpo e
com’è definito il centro di massa.
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Diagrammi di forze
Per studiare il movimento di un corpo cercheremo di individuare quali forze esso subisce. Disegneremo dei
diagrammi dove il corpo è rappresentato da un punto e le forze da vettori applicati a tale punto. Ecco
alcune regole da seguire per costruire questi diagrammi
A) Individuare il corpo oggetto della nostra attenzione. Altrimenti detto, bisogna essere in chiaro
su quale sia l’oggetto preso in considerazione, dove inizia e dove finisce.
B) Quali forze?
Possiamo ricondurre le forze presenti in natura a tre tipi: la forza di gravità, la forza elettromagnetica, le forze nucleari debole e forte (vedi filmato PSSC). Per individuare le forze in gioco nei
nostri problemi possiamo procedere in quest’ordine:
i. Forza di gravità.
ii. Cose che “toccano” l’oggetto in questione. A distanza ravvicinata gli atomi esercitano delle
forze elettromagnetiche importanti e danno origine a quelle forze che chiamiamo forza di
sostegno, forza d’attrito, resistenza del mezzo, tensione di una corda ecc.
iii. Altre forze. Quando tratteremo il capitolo “elettricità“ potremo incontrare forze elettriche o
magnetiche che agiscono a grandi distanze (grandi rispetto alle dimensioni di un atomo).
Sarà invece poco probabile avere l’occasione di imbatterci in forze nucleari.
C) Chi esercita la forza?
Per ogni forza che si disegna bisogna saper dire chi esercita la forza, ma attenzione;
i. chi esercita la forza deve essere un corpo che a sua volta può (e deve) subire una forza,
ii. il corpo che esercita la forza non dev’essere lo stesso che la subisce.
D) Quale dev’essere la risultante?
Spesso dobbiamo elencare le forze che agiscono su di un corpo conoscendo almeno in parte come si
sta muovendo. Quello che ci importa è soprattutto la sua accelerazione; sappiamo infatti che la
S = m · Sa ). In particolare, se sapforza risultante è direttamente proporzionale all’accelerazione (F
piamo che il corpo non accelera, sappiamo che la somma vettoriale delle forze deve essere nulla.
Qui di seguito vediamo l’esempio di una slitta che sta accelerando lungo un pendio ghiacciato.
Fs (pista)
Fs (pista)
Fr (aria+pista)
Fr (aria+pista)
Fg//
Fg (terra)
Fg
T
α
Nel primo diagramma abbiamo rappresentato la forza di gravità F g, la forza di sostegno della pista Fs
(perpendicolare alla superficie della pista) e abbiamo raggruppato la forza di resistenza dell’aria e l’attrito
dovuto alla pista sotto un’unica denominazione Fr. Nel secondo diagramma abbiamo scomposto la forza
di gravità in una componente parallela alla pista F g // = F g · sin (α), e una componente perpendicolare
F g ⊥ = F g · cos (α). La componente perpendicolare è equilibrata dalla forza di sostegno mentre la componente parallela supera le forze di resistenza. La forza risultante accelera verso il basso la slitta.
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Passiamo in rassegna alcune forze che incontreremo nei nostri problemi
Forza di gravità
È la forza di attrazione tra due masse; è proporzionale al prodotto
delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro
distanza. La forza di gravità con cui un corpo che si trova sulla superficie terrestre è attratto dalla terra e anche detta forza peso o semplicemente peso. Sulla superfice terrestre una massa di 1 Kg ha un
peso di circa 9.8 N mentre sulla luna la stessa massa pesa circa 1.6 N.
Fg
Forza di sostegno (o forza normale)
Fs
Possiamo chiamare così le forze che una superficie solida esercita, perpendicolarmente ad essa, sui corpi che vi si appoggiano.
Forza di attrito radente
Le forze d’attrito in genere ostacolano il movimento. Chiamiamo forze
d’attrito radente le forze parallele che una superficie esercita sui corpi
che scivolano o “vorrebbero” scivolare su di essa. Distinguiamo tra
forza di attrito dinamica (o cinetica) e forza di attrito statica a seconda che il corpo scivoli o meno.
Fa
Tensione di una corda
La tensione T è la forza esercitata sul corpo, nel punto di fissaggio, da
una fune tesa a esso collegata. La tensione è orientata lungo la corda.
Per le funi di massa trascurabile le forze di trazione ad entrambi gli
estremi della fune hanno la stessa intensità, anche quando essa scorre
intorno a una puleggia se quest’ultima è di massa e attrito trascurabili.
Forza di resistenza del mezzo (o attrito di un mezzo fluido)
T
Fr
Quando un corpo si muove all’interno di un fluido (liquido o gas) è
soggetto ad una forza di attrito dovuta all’interazione del corpo con le
molecole del fluido. Quando il fluido è l’aria si parla anche di
resistenza areodinamica.
Spinta di archimede
Secondo Archimede un corpo immerso in un fluido (liquido o gas)
riceve una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato. Vedremo
come dar conto di questa spinta nel capitolo sulla fluidostatica.
Sa
Forza elastica
Sono le forze che possono esercitare gli elastici o le molle o altri oggetti
con un comportamento ”elastico”.
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Attrito radente statico
Parliamo di attrito statico tra due superfici quando queste non si muovono una rispetto all’altra. Immaginiamo un’autocarro che sta accelerando ed una cassa semplicemente appoggiata al centro del suo pianale;
l’attrito statico tra cassa e pianale potrebbe essere sufficiente ad impedire lo scivolamento della cassa.
Abbiamo già detto che questa forza agisce parallelamente alla superficie di contatto tra due corpi. La sua
intensità può variare da zero a un valore massimo che dipende sia dalle superfici in contatto che dalla
forza normale. Noteremo il valore massimo Fas, max e utilizzeremo la relazione seguente:
Fas 6 Fas, max = µs · Fn
dove µs è il coefficiente di attrito statico (dipende dalle superfici) e Fn è l’intensità della forza normale.
Attenzione però, il valore dell’attrito statico è giusto quanto basta a tenere fermo un oggetto (e quasi
sempre è minore al valore massimo che può raggiungere).
... e dinamico
Quando due superfici scivolano una sull’altra parliamo di attrito dinamico. Potrebbe essere il caso se la
forza d’attrito statico non è sufficiente a trattenere la cassa e questa inizia a scivolare sul pianale
dell’autocarro. Per questa forza utilizzeremo la seguente relazione:
Fad = µd · Fn
In genere il coefficiente d’attrito dinamico µd è inferiore al coefficiente di attrito statico µs. La tabella
seguente riporta, a titolo indicativo, alcuni coefficienti (tratti da: http://it.wikipedia.org/wiki/Attrito).
Superfici
µs (statico)
µd (dinamico)
Legno - Legno
0.5
0.3
Acciaio - Acciaio
Rame - Acciaio
0.78
1.05
0.42
0.29
Gomma - asfalto (asciutto)
1.0
0.8
Gomma - asfalto (bagnato)
Vetro - Vetro
0.7
0.9 - 1.0
0.6
0.4
Legno Sciolinato - Neve
0.1
0.05
Come possiamo determinare questi coefficienti? (vedi esperienze di laboratorio)
Possiamo usare un dinamometro e misurare la forza necessaria affinchè un corpo inizi a scivolare su di una
superficie piana. Il rapporto tra questa forza e il peso del corpo ci dà il coefficiente d’attrito statico. Per
quello dinamico possiamo misurare la forza necessaria a mantenere uno scivolamento di velocità costante.
Oppure possiamo misurare l’angolo d’inclinazione massima prima che il corpo inizi a scivolare; la tangente
dell’angolo limite ci dà il coefficiente d’attrito statico. Per quello dinamico misuriamo l’angolo d’inclinazione per la quale lo scivolamento mantiene una velocità costante e ne calcoliamo la tangente.
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Resistenza del mezzo
La resistenza che un fluido come l’aria o l’acqua oppone al movimento di un corpo (drag per gli inglesi),
può essere stimata grazie alla seguente relazione:
D=
1
· Cd · ρ · A · v 2
2
kg
dove Cd è il coefficiente areodinamico (adimensionale), ρ la densità del fluido ( m3 ), A la sezione apparm
ente2 (m2) e v la velocità del corpo rispetto al fluido ( s ). Il coefficiente Cd dipende dalla forma del corpo
ma anche dalle sue dimensioni, dalla sua velocità e dalla viscosità del fluido e in genere dev’essere studiato
empiricamente (ad esempio tramite dei tunnel del vento o simulazioni al computer). I valori tipici per il
Cd di automobili da turismo sono compresi tra 0.25 e 0.45.
esempio
Consideriamo un’automobile con un coefficiente Cd = 0.3, una sezione trasversale A = 1.5 m2, una velocità
m
kg
di 80 km/h (cioè v = 22.2̄ s ) e una densità dell’aria ρaria = 1.3 m3 . Otteniamo una forza di resistenza di:
D=
1
· 0.3 · 1.3 · 1.5 · (22.2̄)2 = 144.4̄ [N ]
2
Se invece di 80 km/h viaggiamo a 120 km/h avremo una forza di resistenza di 325 newton.
Velocità terminale
Quando un oggetto cade, può darsi che la forza di resistenza finisca per equilibrare la forza di gravità; l’oggetto manterrà allora una velocità costante che chiamiamo velocità terminale. Un proiettile di piccolo calibro (es. cal. 9 mm)
sparato verticalmente, se ricade di punta, ha una velocità terminale di 100 m/s.
Un chicco di grandine di medie dimensioni ha una velocità terminale dell’ordine
dei 50 m/s; anche un paracadutista in caduta libera assume tale velocità 300-400
metri dopo il lancio ma rallenta a valori inferiori ai 10 m/s aprendo il paracadute.
Una goccia di pioggia di 6 mm di diametro cadrà a 9 m/s, mentre una goccia di
1 mm cadrà con una velocità di 4 m/s circa.
Forza elastica
Le molle che troviamo all’interno di un comune dinamometro
seguono la legge di Hooke; la forza che esercitano è proporzionale all’allungamento.
0 N
x
2x
Fe = k · ∆l
1 N
2 N
N
dove k ( m ) è la costante elastica della molla e ∆l (m) è lo
scostamento dal punto di riposo della molla.
Chiameremo molle ideali quelle che seguono la legge di Hooke.
2. l’area che presenta il corpo nella direzione del movimento (frontal area per gli inglesi)
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Forza centripeta
Abbiamo già visto come un corpo, per restare su di una traiettoria circolare deve essere accelerato. Trattando del moto circolare uniforme abbiamo ottenuto una relazione che ci dà l’accelerazione centripeta in
funzione del raggio R della traiettoria e della velocità periferica v p o della velocità angolare ω. Ma secondo Newton l’accelerazione di un corpo è proporzionale alla forza risultante su di esso. Chiameremo
forza centripeta la forza corrispondente all’accelerazione centripeta.
Fc = m ·
v 2p
= m · ω2 · R
R
Attenzione però, forza centripeta è un termine generico per indicare la forza necessaria a “curvare’. A seconda del caso può darsi che sia un filo, la gravità, l’attrito o altro ancora a fornire questa forza. Nella sua
traiettoria attorno al sole, la terra è accelerata dalla forza di gravità esercitata dal sole. I seggiolini della
giostra qui sopra sono accelerati dalla tensione delle catene. ...
"Forza centrifuga"
Quando siamo su di un’automobile in curva, ci pare che una forza ci spinga verso l’esterno della curva e
chiamiamo questa forza apparente "forza centrifuga". Un osservatore fermo a terra può descrivere quanto
succede senza ricorrere ad una "forza centrifuga"; potrà dire che per inerzia sia l’automobile che il passeggero tendono a proseguire il loro moto sulla tangente. Cosa che farebbero se non fosse per l’attrito dei
pneumatici sull’asfalto e per l’abitacolo dell’automobile. A seconda del sistema di riferimento scelto la
descrizione cambia. Noi cercheremo di descrivere i movimenti a partire da sistemi di riferimento non sottoposti ad accelerazione, in particolare eviteremo dei sistemi di riferimento rotanti e così non parleremo di
forza centrifuga. (vedi anche filmato sui sistemi di riferimento del PSSC)
esempio
Un vecchio tram affronta una curva su rotaie in piano. Se il raggio del binario è di
8.0 m e la velocità 15 km/h, quale sarà l’angolo rispetto alla verticale delle cinghie
di sospensione delle maniglie di sostegno che pendono all’interno della vettura?
Le forze che agiscono sulla maniglia sono due: la forza di gravità F g e la tensione
della cinghia T .
Assieme devono dare la forza centripeta Fc diretta orizzontalmente verso il centro
della curva. La componente verticale di T deve equilibrare la forza di gravità e la
componente orrizontale deve corrispondere alla forza centripeta. Avremo dunque le
seguenti relazioni:
T · sin α = m ·
v2
R
e
α
T
Fg
Fc
T · cos α = m · g
per sostituzione o dividendo una per l’altra otteniamo:
2 v
v2
tan α = R · g e quindi α = tan−1 R · g F 12.5ř
T α
Fg
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