Modulo “Meccanica Statistica”
Obiettivo del modulo è quello di studiare approcci didattici sull’argomento per la scuola secondaria
superiore. Saranno proposte due fasi:
- una, di riflessione strettamente disciplinare, che cerca di evidenziare gli aspetti
epistemologici, concettuali (e talvolta storici) dell’argomento;
- una seconda, che affronta e discute alcune proposte didattiche.
Per ambedue le fasi vi saranno proposti dei materiali di lavoro da analizzare preliminarmente e
discutere durante il corso.
LA MECCANICA STATISTICA
La Meccanica Statistica (MS) fornisce una base teorica per descrivere ed interpretare come strutture
e comportamenti a livello più alto di analisi (macro) possono essere il risultato di interazioni e
comportamenti non diretti di entità individuabili a livello più basso (micro). La nascita della MS è
da riferire ai successi della teoria nella interpretazione delle proprietà termiche della materia in
relazione al mondo microscopico dei sui costituenti (atomi e molecole). Infatti, partendo da un
semplice modello di atomo descritto come “ piccole particelle che si muovono in moto perpetuo
attraendosi l’un l’altra, ma respingendosi l’un l’altra quando sono molto vicine” è possibile ottenere
previsioni sul comportamento della materia non solo qualitativamente corrette ma talvolta altamente
accurate.
Questo primo modello sarà quello che ci guiderà nella transizione dalla teoria cinetica dei gas alla
meccanica statistica classica. Cercheremo di capire come i fenomeni macroscopici dipendono dal
comportamento cooperativo di queste piccole particelle che modellizzano i sistemi a livello
microscopico. Alcuni fenomeni sono semplici effetti additivi dell’azione di vari atomi (ad esempio
la pressione di un gas sulle pareti), mentre altri sono effetti emergenti che non hanno controparte
nelle proprietà o nella dinamica delle particelle individuali.
Un esempio è l’irreversibile andamento di un sistema all’equilibrio. Questo è il primo problema che
ci troveremo ad affrontare.
Vi sono proposti 2 documenti:
- Il Capitolo 27 “ Dalla teoria cinetica dei gas alla meccanica statistica “ del testo “Fisica e
Realtà”(di Baracca, Fischetti, Rigatti- Capello editore) riprodotto col permesso degli autori.
- La prima parte del lavoro di J.L.Lebowitz “ Statistical mechanics: a selective review of two
central issues” pubblicato su American Journal of Physics nel 1999 (è acclusa anche una
versione completa del lavoro).
Come base per la discussione fissiamo la nostra attenzione su alcune questioni:
1) Il modello cinetico si basa sul modello meccanico e pertanto prevede che sia possibile,
rovesciando le velocità delle molecole fuoriuscite da un foro, farle rientrare in esso. Esso prevede,
insomma, la reversibilità dei fenomeni. L’osservazione ci dice che i fenomeni macroscopici sono
irreversibili. E allora?
2) Con l’avvento della meccanica statistica viene superato il modello meccanicistico e introdotto da
Boltzmann un modello della realtà in cui la probabilità gioca un ruolo decisivo. La meccanica
statistica spiega, infatti, l’evoluzione irreversibile dei sistemi verso lo stato di equilibrio, come la
tendenza a occupare il microstato più probabile. A uno stato termodinamico (macrostato) possono
corrispondere più stati dinamici (microstato).
Sulla base delle letture proposte si può:
riflettere sulla crisi del modello meccanicistico;
riflettere sulla irreversibilità dei fenomeni macroscopici,
riflettere sul concetto di probabilità in meccanica statistica,
riflettere sulle ipotesi che stanno alla base del calcolo dei microstati corrispondenti allo
stesso macrostato,
riflettere sul concetto di distribuzione di velocità, evidenziando il passaggio al continuo di
un fenomeno che in realtà è discreto.
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La statistica di Maxwell-Boltzmann:
Dopo aver letto i 2 documenti proposti:
-
Il Capitolo 27 “ Dalla teoria cinetica dei gas alla meccanica statistica “ del testo “Fisica e
Realtà”(di Baracca, Fischetti, Rigatti- Capello editore) riprodotto col permesso degli autori.
-
La prima parte del lavoro di J.L.Lebowitz “ Statistical mechanics: a selective review of two
central issues” pubblicato su American Journal of Physics nel 1999 (è acclusa anche una
versione completa del lavoro).
Si risponda al seguente questionario al fine di puntualizzare gli aspetti della meccanica statistica
classica che si ritengono più rilevanti per una trattazione didattica, e di metterne in evidenza i nodi
concettuali:
1. Quali difficoltà incontrò alla fine dell’ottocento la teoria cinetica dei gas?
2. Provare a spiegare l’espressione “irreversibilità termodinamica”.
3. Come è definita la probabilità di uno stato macroscopico?
4. Come è definita in termini statistici l’entropia di un sistema macroscopico?
5. Perché in meccanica statistica si introduce il postulato di uguale probabilità a priori?
Riguarda gli stati macroscopici o quelli microscopici? In altre parole, gli stati macroscopici
hanno tutti la stessa probabilità?
6. Spiegare il senso della denominazione meccanica statistica. In cosa si distingue
dall’originaria teoria cinetica?
7. Discutere la natura e la soluzione del paradosso di Gibbs.
8. Il volume delle celle elementari dello spazio delle fasi è fissato in meccanica classica? Ha
una relazione con la costante arbitraria dell’entropia?
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Ed inoltre:
1. Provare a calcolare la costante di normalizzazione nella distribuzione delle velocità di Boltzmann
per un gas monoatomico in equilibrio termodinamico, imponendo che il numero totale di particelle
sia pari a N.
2. Dimostrare che la velocità più probabile nella distribuzione delle velocità di Boltzmann per un
1
1
2kT 2
8kT 2
gas monoatomico in equilibrio termodinamico è pari a
, che la velocità media è
e
m
m
1
3kT 2
la velocità quadratica media è
.
m
3. Per un gas che obbedisce la distribuzione di velocità di Maxwell-Boltzmann ricavare
v
v v
2
2
m
m
. Dire qual è il significato fisico di questa quantità..
4. Consideriamo un contenitore contenente N molecole di gas. Se aggiungiamo a questo sistema
dell’energia, ad esempio sotto forma di calore, la distribuzione di Boltzmann ci dà la probabilità di
trovare una molecola di gas con una energia cinetica proporzionale a e
distribuzione delle velocità di Boltzmann in una distribuzione di energia.
K
kT
. Provare a convertire la
L’ausilio di un buon testo di Meccanica Statistica può essere utile per seguire il dettaglio (con la
matematica necessaria) tutti gli aspetti che nelle pagine del testo di Baracca sono fondamentalmente
discusse ad un livello concettuale.
Per coloro che non vogliono inoltrarsi in un testo completo di Meccanica Statistica ma vogliono
verificare come alcune espressioni matematiche vengono ricavate, abbiamo racchiuso in un file
Statistica_Classica.ppt (che vi forniamo) tutti gli aspetti matematici che riteniamo più significativi.
La maggior parte dei calcoli è stata tratta dal testo “Meccanica Statistica” di A. Carnera
(www.padova.infm.it/carnera/Didattica/Struttura%202002-2003/Files%20pdf/Statistica%20classica.pdf )
Nel file accluso troverete:
Slides 1 e 2: Calcolo del numero di microstati W accessibili ad un sistema di N particelle
debolmente interagenti (cioè che possono considerarsi libere ma in grado di scambiarsi
energia).
Slides 3 e 4: Calcolo della ricerca del macrostato più probabile, cioè quello al quale
corrisponde il numero massimo di microstati W. Il calcolo del massimo di log W è ricavato
con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Slides 5 e 6: Calcolo del numero degli stati accessibili a particelle distinguibili, includendo
la molteplicità gi degli stati compresi nella cella con energia tra e +dCalcolo del
massimo del numero degli stati.
Slides 7a e 7b: Introduzione del concetto di densità degli stati g(), cioè il numero di stati
(volumetti) nello spazio delle fasi con energia compresa tra e +ddiviso d, nel caso di
un gas diluito.
Slides 8 e 9: A partire dalla densità degli stati g(), cioè dal numero di stati (volumetti) nello
spazio delle fasi con energia compresa tra e +ddiviso de dalla distribuzione di
Maxwell-Boltzmann viene ricavata la distribuzione delle energie di Maxwell-Boltzmann,
ovvero il numero medio di particelle con energia tra e +dTale distribuzione ci dice che
il numero medio di particelle con energia tra e +ddipende dal numero di stati con
energia tra e +de decresce esponenzialmente all’aumentare dell’energia . Ciò vuol dire
che a parità di dimensioni, le celle con energia maggiore saranno meno popolate di quelle
con energia minore.
Slides 10 e 11: (Approfondimenti) Il significato dei parametri e connessi alla
distribuzione di equilibrio.
