Esercitazione n. 8.

Statistica 1- parte II
Esercitazione 3
Dott.ssa Antonella Costanzo
25/02/2016
Esercizio 1. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota)
Il preside della scuola elementare XYZ sospetta che i suoi studenti abbiano un IQ, quoziente di
intelligenza, superiore alla media italiana. Dopo aver selezionato casualmente 64 bambini tra i
suoi studenti e misurato il loro quoziente di intelligenza, il preside riscontra un valore medio di
106. Supponiamo che l’IQ di uno studente della scuola elementare XYZ sia una variabile
aleatoria normale con valore atteso µ, e varianza = 256. Si supponga, inoltre, che il valore
medio nazionale sia 100. Si assuma che il preside decida di verificare se i suoi studenti siano più
intelligenti della media fissando un livello di significatività α = 5%. Può il preside concludere
che i suoi studenti siano più intelligenti della media?
Soluzione
1. Definizione del sistema di ipotesi
: = 100
: > 100
2. Livello di significatività
= 0.05
3. Costruzione della statistica test
Siccome la varianza della popolazione è nota, allora:
=
− ~(0,1)
√
4. Definizione della regola di decisione (regione di rifiuto)
Il livello di significatività è = 0.05, il test è unidirezionale, quindi
= +1.645
1
R.C. (Regione di Rifiuto)
Se ≥ +1.645 allora rifiutiamo l’ipotesi nulla o equivalentemente
$. %. &'
) > + .*+ ∙
√
) > 100 + 1.645 ∙
- = &'
5. Valore della statistica sotto l’ipotesi nulla
=
6. Decisione
16
√64
→ '
) > 103.29-
106 − 100
=3
16
√64
Poichè = 3 > 1.645 rifiutiamo l’ipotesi nulla. C’è evidenza sufficiente per affermare che
gli studenti della scuola elementare XYZ sono mediamente più intelligenti.
Decisione in base al p-value del test
Definizione
Il p-value o livello di significatività osservato è la probabilità di osservare valori della statistica
test meno favorevoli ad del valore effettivamente ottenuto. Di conseguenza un p-value molto
piccolo è un forte indicatore del fatto che non è vera.
Se il p-value < α, si rifiuta quindi l’ipotesi nulla.
Nel nostro caso, essendo il test unidirezionale:
1('
) = 106|
= 100) → 13 > |45 6
1( > 3) = (1 − 0.9987) = 0.0013
Siccome il p-value < α, allora rifiutiamo l’ipotesi nulla.
2
Esercizio 2.Verifica di ipotesi sulla media (varianza ignota)
Su un campione di giovani fra i 20 e i 25 anni è stato rilevato il numero di libri letti in un anno
ottenendo i seguenti risultati campionari
X= "nr. libri letti" 4;5;5;2;6;1;4
E' inoltre ipotizzabile che X si distribuisca secondo una normale. Un editore afferma che, in un
anno, i giovani in quella fascia di età leggono mediamente due libri. E' possibile confutare
l'ipotesi dell'editore con un livello di significatività del 5%?
Soluzione
1. Definizione del sistema di ipotesi
: = 2
: ≠ 2
2. Livello di significatività
= 0.05
3. Costruzione della statistica test
Siccome la varianza della popolazione è ignota, e sapendo che X è normale, allora:
: =
− ; ~< ;>?
√
4. Definizione della regola di decisione (regione di rifiuto)
Il livello di significatività è = 0.05, il test è bidirezionale, quindi.
<.+;@ = ±2.447
R.C. (Regione di Rifiuto)
Se |: | > 2.447 allora rifiutiamo l’ipotesi nulla o equivalentemente
$. %. &'
) < − <
;>?
= &'
) < 2 − 2.447 ∙
∙
;
√
) > + <
- ∪ &'
;>?
∙
;
√
-=
1.773
1.773
) > 2 + 2.447 ∙
- ∪ &'
√7
√7
3
5. Valore della statistica sotto l’ipotesi nulla
: =
valori campionari:
3.857 − 2
= 2.77
1.773
√7
'̅ = 3.857
7 4 + 5 + 5 + 2 + 6 + 1 + 4 E
− 3.857 F = 3.143 → ; = 1.773
; =
7
7−1
6. Decisione
Poichè |: | > 2.447 rifiutiamo l’ipotesi nulla.
Esercizio 3. Verifica di ipotesi sulla media (varianza ignota, riflessione su G)
In un campione di 15 bambini della città di New York il tempo medio passato a guardare la
televisione di 28.50 ore a settimana, con varianza campionaria di 16 ore. L’organizzazione per
la Salute per i Bambini Americani raccomanda un massimo di 25 ore per settimana. Il sindaco
di New York assicura che i suoi bambini non superano questo limite. Usando un livello di
significatività del 2.5%, si può concludere che il sindaco abbia ragione? Si assuma che il tempo
speso a guardare la TV dai bambini sia distribuito secondo una normale. Cambierebbe il
risultato del test fissando un livello di significatività = 0.10? Motivare la risposta.
Soluzione
1. Definizione del sistema di ipotesi
: ≤ 25
: > 25
2. Livello di significatività
= 0.025
3. Costruzione della statistica test
Siccome X si distribuisce secondo una normale e la varianza della popolazione è ignota, allora:
: =
− ; ~<>?
√
4
4. Definizione della regola di decisione (regione di rifiuto)
Il livello di significatività è α = 0.025, il test è a una coda, quindi il quantile della distribuzione
t di student da individuare è:
<I,.+ = 2.145
R.C. (Regione di Rifiuto)
Se : ≥ 2.145 rifiutiamo l’ipotesi nulla o equivalentemente
;
4
) > 25 + 2.145 ∙
→ '
) > 27.22$. %. &'
) > + <I,.+ ∙ - = &'
√
√15
5. Valore della statistica sotto l’ipotesi nulla
: =
6. Decisione
28.50 − 25
= 3.39
4
√15
: = 3.39 > 2.145 per cui, data l’evidenza campionaria, si può rifiutare l’ipotesi nulla che il
tempo medio passato dai bambini newyorkesi a guardare la TV sia inferiore a 25 ore
settimanali.
Fissando α = 0.1
Per α = 0.1, per cui il quantile della distribuzione t di student da individuare è:
<I,. = 1.345
Se : ≥ 1.345 rifiutiamo l’ipotesi nulla o equivalentemente
;
4
$. %. &'
) > + <I,. ∙ - = &'
) > 25 + 1.345 ∙
→ '
) > 26.39√
√15
(nuova) decisione:
Poichè : = 3.39 > 1.345 rifiutiamo ancora l’ipotesi nulla. Così facendo aumenta la
probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando è vera (errore di I tipo).
5
Esercizio 4. Verifica di ipotesi sulla proporzione
Si consideri la seguente tabella relativa a un campione di persone classificate secondo il titolo di
studio e i diversi atteggiamenti sulla guerra in un recente sondaggio di opinione.
Contrario
Incerto
Favorevole
Totale
Lic. Media
64
120
40
224
Diploma
56
103
26
185
Laurea
38
72
15
125
Totale
158
295
81
534
a) Si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione di incerti nella
popolazione, a prescindere dal titolo di studio.
b) Considerando solo i diplomati, si verifichi l’ipotesi che la proporzione di favorevoli alla
guerra sia il 20% contro l’alternativa che sia minore ad un livello α=0.10
Soluzione
a) La proporzione stimata di incerti è
KL =
L'intervallo di confidenza al 95% è
295
= 0.5524
534
0.5524(1 − 0.5524)
M%N*+%,PQ = R0.5524 ± 1.96S
T = 0.5524 ± 0.0422
534
= NU. VWUX; U. VYZ[Q
b) La proporzione di diplomati favorevoli è
KL =
1.Definizione del sistema di ipotesi
26
= 0.1405
185
: K = 0.2
: K < 0.2
6
2. Livello di significatività
= 0.10
3. Costruzione della statistica test
П =
KL − K
]K (1 − K )
→ (0,1)
4. Definizione della regola di decisione (regione di rifiuto)
Il livello di significatività è α = 0.10, il test è a una coda, per cui:
= −1.285
R.C. (Regione di Rifiuto)
Se П ≤ ^ rifiutiamo l’ipotesi nulla o equivalentemente
_
0.20(1 − 0.20)
K (1 − K )
$. %. `KL ≤ K − S
a = `KL ≤ 0.2 − 1.285S
a
185
$. %. bKL ≤ 0.167c
5. Valore della statistica sotto l’ipotesi nulla
П =
6. Decisione
0.1405 − 0.20
]0.20(1 − 0.20)
185
= −1.870
Essendo П = −1.870 < −1.285 si rifiuta l'ipotesi nulla: la percentuale dei favorevoli nella
popolazione dei diplomati sembra minore del 20%.
7
Esercizio 5. Verifica di ipotesi sulla varianza
Un macchinario produce batterie al lithio che hanno una durata di vita media di 3 anni con un
scarto quadratico medio di 1 anno. E' noto che la variabile durata di vita di una batteria segue
una legge normale. Estratto il seguente campione di n=5 batterie caratterizzate da una durata di:
1.9,2.4,3,3.5,4.2
si vuole verificare, ad un livello di significatività del 5%, se la varianza dichiarata per le batterie
prodotte dal macchinario sia effettivamente pari a 1.
Soluzione
1. Definizione del sistema di ipotesi
: = 1
: ≠ 1
2. Livello di significatività
= 0.05
3. Costruzione della statistica test
d =
( − 1) e ~dα⁄,>?
4. Definizione regola di decisione (regione di rifiuto)
Il test è bidirezionale, dunque i quantili della distribuzione chi-quadro sono rispettivamente:
d.+,I
= 11.14 percentile di destra,
d.*g+,I
= 0.48 percentile di sinistra
R.C. (Regione di Rifiuto)
se bd < d?
∪ d > d^;>? c = bd < 0.48 ∪ d > 11.14c →rifiuto ossia
^
;>?
_
_
5. Valore della statistica test sotto l'ipotesi nulla
d =
(5 − 1)
0.9 = 3.6
1
8
6. Decisione
Poichè il valore della statistica test è compreso nei limiti della regione di accettazione, ossia
0.48<3.6<11.14, si accetta l'ipotesi nulla e, di conseguenza, si attesta che la varianza della
durata delle batterie prodotte non si discosta significativamente da 1.
Esercizio 6. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota), potenza del test
Il calore (calorie per grammo) emesso da un composto di cemento segue una distribuzione
normale con deviazione standard nota e pari a 2. E' noto che, in media, il calore emesso dal
composto è pari a 100. Si estrae un campione di n=9 unità di prodotto e si registra una media di
102 calorie per grammo.
a) Verificare, con un livello di significatività = 0.01 il seguente sistema di ipotesi:
: = 100h; : ≠ 100. Definire l'errore di I tipo.
b) Determinare l'errore di II tipo e la potenza del test ipotizzando che = 103
Soluzione
a)
1. Definizione del sistema di ipotesi
: = 100
: ≠ 100
2. Livello di significatività
= 0.01
3. Costruzione della statistica test
=
− ~(0,1)
√
4 Definizione della regola di decisione (regione di rifiuto)
Il livello di significatività è = 0.01, il test è bidirezionale, allora:
= ±2.575
Regione di rifiuto (R.C.):
Se| | > 2.575 allora rifiutiamo l’ipotesi nulla o equivalentemente
$. %. &'
) < − .**+ ∙
√
) > + .**+ ∙
- ∪ &'
√
) < 98.27 ∪ '
) > 101.73c
- → b'
9
5. Valore della statistica test sotto l'ipotesi nulla
=
6. Decisione
102 − 100
=3
2
√9
Siccome | | > 2.575 rifiuto l'ipotesi nulla
Errore di I tipo
: 1( ∈ $. %. | hjkl) = 1( < −2.575 ∪ > 2.575|
= 100) = 0.01
b) Indichiamo con : = 103, e con R.A. la regione di accettazione tale che:
$. m = b98.27 ≤ '
) ≤ 101.73c
allora l'errore di II tipo è definito come:
n: 1 o
n: 1( ∈ $. m. | hjkl) = 1(98.27 ≤ '
) ≤ 101.73|
= 103)
98.27 − 103
101.73 − 103
≤ |4p ≤
q = 13−7.05 ≤ |4p ≤ −1.896 =
2
2
√9
√9
= 13|4p ≤ −1.896 = 0.0294
La potenza del test è pari a 1 − n = 1 − 0.0294 = 0.9706
10