IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
Il mulinello di Joule
Ad un certo punto della storia dell’evoluzione delle concezioni fisiche, studiando in
particolare le macchine termiche1, si affacciò la congettura che il calore non fosse altro
che una delle tante forme in cui si manifesta l’energia. Per dimostrare questa congettura
serviva un esperimento. Tale esperimento fu ideato e realizzato da J. P. Joule2:
Il meccanismo di uno dei suoi esperimenti
somiglia a un orologio a pesi collegato a un
mulinello a palette immerse nell’acqua
contenuta in un recipiente adiabatico. Il tutto a
temperatura ambiente. Girando la manovella
s’innalzano i pesi, il che conferisce energia
potenziale al sistema3. Il sistema può venir
considerato isolato (DEF che non scambia né
massa né energia con l’esterno). [dal libro di
Einstein e Infeld: L’evoluzione della fisica,
Bollati Boringhieri. Consigliatissimo]
Lasciandoli andare, a poco a poco i pesi scendono - mettendo contemporaneamente in
rotazione le palette – finché non raggiungono il loro punto più basso e l’orologio si ferma.
Il fatto interessante è che l’energia potenziale iniziale dei pesi, non si trasforma
interamente in energia cinetica dei pesi, come accadrebbe in una caduta libera: presto
infatti la velocità di caduta dei pesi smette di crescere e si attesta su di un valore costante.
La forza-peso è infatti bilanciata dalla forza di attrito esercitata dall’acqua sulle palette4.
Parte dell’energia potenziale si trasforma in energia cinetica rotazionale delle palette. Ma
anche queste, dopo poco, raggiungono una velocità costante.
L’energia potenziale delle masse è maggiore della somma fra energia cinetica delle masse e
energia cinetica delle palette. Dove va a finire la restante parte di energia? Il termometro
segna un aumento di temperatura, che normalmente attribuiamo a passaggio di calore. Il
sistema è isolato (cfr DEF sopra) e perciò l’unica spiegazione è che parte dell’energia
potenziale iniziale sia responsabile dell’innalzamento di temperatura.
Se si può provocare uno stesso EFFETTO, cioè il cambiamento di temperatura, sia mediante
il contatto con una sorgente a temperatura differente, cioè mediante scambio di calore, che
mediante il lavoro di una forza, allora calore e lavoro sono grandezze equivalenti. In altri
termini il calore non è che una forma di energia. Una forma di energia analoga al lavoro.
Misurando l’aumento di temperaturan (ΔT), conoscendo la legge di correlazione fra aumento
di temperatura e calore assorbito (Q = c∙mH2O ∙ΔT), e sapendo ricavare l’energia potenziale che
non si converte in energia cinetica, si ottiene5 il tasso di scambio desiderato: la variazione di
energia potenziale di 0,427 Kg sollevati ad 1 m dal suolo, equivale ad una caloria
(minuscolo). Cioè 1 cal 4,180 J e 1 Cal 4180 J
1
2
DEF Macchina termica: Dispositivo fisico (o teorico!) che converte il calore in lavoro.
https://thescienceclassroom.wikispaces.com/James+Prescott+Joule
DEF In fisica, con il termine sistema si indica la porzione dell'universo (che può comprendere strumentazioni,
persone, ecc o essere composta da un singolo atomo) oggetto dell'indagine scientifica. Quanto non è compreso
nel sistema viene indicato con il termine ambiente ed è considerato solo per i suoi effetti sul sistema. La
distinzione tra sistema e ambiente è solitamente stabilita liberamente dallo sperimentatore (o osservatore).
Sistema, ambiente e sperimentatore sono, ogni qualvolta si racconta un fenomento fisico, da aver ben chiari.
3
Primo principio della dinamica: sse la risultante delle forze agenti su un punto materiale è zero la velocità
del punto materiale è costante.
4
Dalla: Q = c∙mH2O ∙ΔT, ricaviamo Q in Calorie. Uguagliamo questo valore a quello trovato togliendo all’energia
potenziale iniziale (m∙g∙h) l’energia cinetica delle masse e delle palette (quella che hanno quando la velocità di
caduta delle masse e la velocità di rotazione delle palette diviene costante), che è in Joule, e così troviamo la
relazione fra Joule e Calorie.
5
1
Si può innalzare la temperatura di una massa d’acqua sia fornendole calore (come
abbiamo anche fatto in laboratorio) che con lavoro meccanico (come nell’esperimento
descritto sopra. Puoi convincertene mettendo dell’acqua nel frullatore di casa e andando a
verificare che, dopo un po’ che viene frullata, la sua temperatura aumenta). Lavoro e calore
sono forme di energia equivalenti.
L’energia interna
In meccanica l’energia posseduta dai corpi è data dalla somma di: energia cinetica
( 1 m v 2 ) e, se le forze agenti sono conservative, energia potenziale
2
In un sistema chiuso (DEF che non scambia materia con l’esterno), in cui agiscono solo
forze conservative, l’energia meccanica si conserva: ETOT = ECIN + EPOT = cost
Per giungere a comprendere il primo principio della termodinamica, ci serve definire
l’Energia Interna di un corpo (E). DEF L’energia interna è data dalla somma fra l’Energia
potenziale media delle molecole e l’Energia cinetica media delle molecole.
Per i gas perfetti, dato che le molecole non interagiscono tra loro, l’energia interna è data
dalla sola Energia cinetica media (che, ricorda, è direttamente proporzionale alla
temperatura assoluta, cioè espressa in Kelvin).
L’Energia Interna è una funzione di stato, ossia i suoi cambiamenti non dipendono dal
tipo di trasformazioni che il sistema subisce, ma solo dai valori dei parametri di stato che il
sistema avrà all’inizio e alla fine di tali trasformazioni.
In generale all’Energia interna contribuiscono: temperatura, volume, pressione e quantità
di materia (misurata in moli. DEF una mole di una sostanza corrisponde a circa 1024
particelle elementari costitutive – molecole, elettroni, ecc.. - di quella sostanza).
Per i gas perfetti, invece, l’Energia interna varia soltanto in base alla temperatura e al
numero di moli (in ultima pagina trovi una dimostrazione di questo fatto).
Per giungere a una caratterizzazione migliore dei gas perfetto, le definizioni del quale sono
tre e le trovi nel file: “Come si passa dai gradi Celsius ai Kelvin e perché”, specifichiamo
meglio la seconda (DEF FIS-MAT):
un gas si dice perfetto quando rispetta l’equazione: p∙V = n∙R∙T (n è il numero di moli ed R
è una costante di proporzionalità); ovvero l’ equazione di stato dei gas perfetti
Le grandezze coinvolte nell’equazione di stato dei gas perfetti sono tre: volume, temperatura
e pressione. Ponendo costante una (e facendo, quindi, variare le altre due) si ottiene che:
Se p=cost, volume e temperatura sono direttamente proporzionali – I legge di Gay-Lussac;
Se V=cost pressione e temperatura sono direttamente proporzionali – II legge di Gay-Lussac;
Se T=cost pressione e volume sono inversamente proporzionali – Legge di Boyle.
Il primo principio della termodinamica
Consideriamo un sistema costituito da un gas perfetto contenuto in
un pistone adiabatico come quello in figura (la parte inferiore del
pistone può essere rimossa, se è necessario porlo su una sorgente).
N.B. Il gas perfetto non è soggetto a cambiamenti di stato perché
questi coinvolgono l’energia potenziale media delle molecole.
A. Se mettiamo il cilindro su una sorgente di calore con il pistone
bloccato (processo puramente termico), il calore fluisce nel/dal
sistema provocando una variazione di energia interna ΔE.
- Se il calore è in ingresso, cioè se Q>0, l’energia interna aumenterà e
della stessa quantità fornita dal calore (non vi sono altri scambi di
energia!), cioè ΔE>0 e ΔE=Q (la precisazione sul segno è importante: a
volte ci sono grandezze uguali in modulo ma di segno discorde: opposte).
2
- Se il calore è in uscita, cioè se Q<0, l’energia interna diminuirà e della stessa quantità
fornita dal calore, cioè ΔE<0 e ΔE=Q.
Ciò premesso possiamo affermare che, in un processo puramente termico: ΔE=Q
B. Se togliamo il cilindro dalla sorgende, rimettiamo il tappo adiabatico sulla parete
inferiore e liberiamo il pistone (processo meccanico), il lavoro della forza-peso6, provoca
una variazione di energia interna ΔE.
- Se il lavoro è motore, cioè se L>0 (immagine a
sinistra:
compressione),
l’energia
interna
aumenterà e della stessa quantità fornita dal
lavoro (non vi sono altri scambi di energia!),
cioè ΔE>0 e ΔE=L.
- Se il lavoro è resistente, cioè se L<0 (immagine
a destra: espansione), l’energia interna
diminuirà e della stessa quantità fornita dal
lavoro, cioè ΔE<0 e ΔE=L.
Ciò premesso possiamo affermare che, in un
processo puramente meccanico: ΔE=L
C. Per i processi misti, termico-meccanici, la variazione di energia interna del sistema è
dovuta sia allo scambio di calore che al lavoro, quindi: ΔE = ΣQ+ΣL
Quest’ultima relazione è nota come: primo principio della termodinamica e si enuncia
in questo modo: la variazione di energia interna è data dalla somma algebrica del calore
scambiato dal gas con l’esterno e dalla somma algebrica del lavoro delle forze esterne.
Il simbolo ∑ (sigma) è la esse maiuscola greca, si legge “sommatoria di (quanto alla sua
destra)” e si utilizza nel caso di somme discrete.
Il primo principio della termodinamica rappresenta la formulazione generale del principio
di conservazione dell’energia, quando si tenga conto dell’equivalenza fra calore e lavoro.
Se vogliamo considerare come il primo principio della termodinamica dal punto di vista del
gas, basterà ricordare quello che abbiamo specificato nella nota6: FGAS= - FEST.
ΔE = ΣQtot -ΣL(GAS)tot
Trasformazioni quasistatiche e piano di Clapeyron
Il primo principio della termodinamica ci permette di avere informazioni
trasformazioni termodinamiche che altrimenti non potremmo avere.
sulle
Prima di trattare di tali informazioni, bisogna chiarire due punti:
-
Cos’è una trasformazione quasistatica?
-
Cos’è il piano di Clapeyron?
Una trasformazione è un cambiamento di qualcosa. In particolare un sistema subisce una
trasformazione termodinamica quando almeno due delle variabili termodinamiche del
sistema (n, p, V, T) cambia valore (una sola non è possibile, dal momento che l’equazione di
stato le pone in relazione). Normalmente questo cambiamento avviene in modo repentino
(provocando modificazioni anche in altre variabili) e perché il sistema torni in una
situazione di equilibrio deve passare del tempo. Nella situazione di passaggio fra i due stati
Se si vuole modificare l’intensità della forza, si aggiungono dei pesi sul tappo. Utilizziamo la forza-peso perché
è facilmente misurabile e perché è rivolta sempre verso il basso.
6
In ogni istante supponiamo che la forza correlata alla pressione interna del GAS (FGAS) e la forza esterna
(FEST) siano uguali in modulo e direzione ma opposte in verso (FGAS=-FEST ). Supponiamo cioè che in ogni istante
vi sia una situazione di equilibrio. Questo ci permette di poter cambiare facilmente punto di vista: per
considare il processo in relazione alla forza correlata alla pressione del GAS i conti da fare sono elementari.
3
di equilibrio non possiamo attribuire valori numerici alle variabili del sistema ma solo
indicare intervalli di appartenenza (ES 290 K <T< 295 K).
Le trasformazioni quasistatiche sono trasformazioni ideali che vengono pensate avvenire
per stadi successivi di equilibrio. Per ottenere queste trasformazioni, fatte di
microtrasformazioni successive, le grandezze fisiche caratterizzanti il fenomeno dovrebbero
cambiare in maniera continua (in senso matematico) e cioè avvenire in un tempo infinito, o
comunque (con un approccio più da fisici), in tempi molto lenti; da qui, il nome.
Le trasformazioni quasistatiche possono essere rappresentate medianti porzioni di curva
continua sul piano di Clapeyron: un piano cartesiano in cui alle ordinate vi è la pressione
p e alle ascisse il volume V. Ad ogni coppia (V;p), grazie all’equazione di stato dei gas
perfetti, resta univocamente associata anche una temperatura T, se e solo se il sistema è in
equilibrio. Ogni punto sul piano di Clapeyron
corrisponde a uno stato di equilibrio.
Inoltre, come puoi vedere dalla figura, dalla
relazione p∙V = n∙R∙T deriva che gli stati in cui la
temperatura è la stessa si trovano lungo un ramo
d’iperbole equilatera riferita agli assi cartesiani (in
geometria analitica tali curve hanno equazione:
y∙x=k, ricordi?). Detto in un altro modo, una
trasformazione che avviene a temperatura costante
(isoterma) è rappresentata da un ramo d’iperbole
equilatera.
Ultimo ma non ultimo, per trovare stati con temperatura crescente, perciò, ti dovrai
spostare da un’iperbole all’altra. Come indicato dalla freccia in figura.
Applicazioni del primo principio della termodinamica
In
una
trasformazione
termodinamica
abbiamo detto che cambia il valore di almeno
due grandezze termodinamiche e cambia
quindi l'energia interna del sistema.
Studieremo le trasformazioni che lasciano
costante, di volta in volta, una delle variabili
in gioco. A seconda di quale sia tale variabile
lasciata costante le trasformazioni prendono
il nome di trasformazioni isobare, isocore o
isoterme.
Nel grafico una loro rappresentazione.
DEF Osserva che, partendo dallo stato A e
effettuando prima un’espansione (VB>VA)
isoterma (AB), poi una contrazione7 (VC<VB)
isobara (BC) e poi una compressione (pA>pC) isocora (CA), puoi tornare allo stato di
partenza. Una trasformazione del tipo descritto (ABCA) si chiama trasformazione ciclica.
Le trasformazioni isoterme sono quelle che avvengono a temperatura costante,
quindi con una variazione di temperatura nulla quindi, poiché per un gas perfetto energia
interna e temperatura assoluta sono direttamente proporzionali, con una variazione di
energia interna nulla (ΔE=0). Il I principio ci dice allora che: Q+LEST=0 e cioè: Q = - LEST
Glossario. Aumento di volume: espansione. Diminuzione di volume: contrazione. Aumento di pressione:
compressione, diminuzione di pressione: decompressione. In particolare parlando di un’isobara non ha senso
utilizzare una terminologia che coinvolge cambiamenti di pressione (compressione/decompressione) e parlando
di un’isocora non ha senso utilizzare una terminologia che riguarda cambiamenti di volume
(espansione/contrazione). In caso si parli di un’isoterma si potrà stare un po’ più rilassati nell’utilizzare il
linguaggio (pur di non scambiare l’aumento con la diminuzione delle grandezze!).
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In un’espansione isoterma il calore assorbito (Q>0) si trasforma interamente in lavoro
resistente delle forze esterne (LEST<0); mentre affinché una contrazione (LEST>0) sia isoterma
è necessario sottrarre una quantità di calore (Q<0) pari, in modulo, al lavoro. In entrambi i
casi, lavoro e calore sono opposti. Più espressivo considerare la forza esercitata dalla
pressione del gas perché Q=LGAS : il calore assorbito si trasforma interamente in lavoro
(espansione) e viceversa (contrazione).
Le trasformazioni isocòre sono quelle che avvengono a volume costante. Già
esaminate nel caso A a pag. 2.
Una trasformazione isobara è una trasformazione quasistatica che avviene a pressione
costante. In particolare, possiamo immaginare di ottenerla mantenendo fisso il numero di
pesetti che sono appoggiati sul pistone.
Ponendo il cilindro contenente gas perfetto a contatto di sorgenti di calore che si trovino
a temperature ciascuna di poco superiore all’altra, anche se il numero di pesetti è costante,
il gas si espanderà e il pistone si muoverà in relazione al cambiamento di energia interna
del gas. Il lavoro L, compiuto dal GAS mentre il pistone (di superfcie di base S) si solleva di
una altezza h, è dato da: L = FGAS∙h. Da:
p
F
S
abbiamo: F p S , allora: L = p∙S∙h
Il prodotto S∙h è uguale alla variazione di volume ΔV
subita dal GAS nell’espansione.
Quindi abbiamo ottenuto il valore di L in funzione delle
sole variabili termodinamiche: L=p∙ΔV
Tale lavoro ha segno positivo se la trasformazione è
un’espansione: ΔV>0 e negativo se la trasformazione è
una contrazione: ΔV<0. Coerentemente con quanto detto prima (ricorda che: FGAS= - FEST ).
Il primo principio della termodinamica non ci dà particolari informazioni riguardo a questo
tipo di trasformazioni. Scriviamolo però: ΔE = Q - p∙ΔV
Ultime ma non ultime le trasformazioni adiabatiche, che non sono caratterizzate dal
lasciar costante una delle grandezze di stato ma impedendo il passaggio di calore. Abbiamo
già esaminato a fondo questo tipo di trasformazioni: caso B a pag. 3.
In figura il confronto fra: un’espansione isoterma (1-2), un’espansione adiabatica (2-3), una
contrazione isoterma (3-4) e una
contrazione adiabatica (4-1).
Si tratta di una trasformazione ciclica
denominata Ciclo di Carnot.
Secondo te perché nelle espansioni
adiabatiche la temperatura “crolla”,
mentre nelle contrazione si “Impenna”?
Un po’ di lavoro di ragionamento non
guasta mai...
Un’altra
domanda.
Perché
se
confrontiamo un’espansione isoterma e
un’espansione isobara che partono
dallo stesso stato e comportano la
stessa variazione di volume, negli stati
d’arrivo la temperatura è molto
maggiore nell’espansione isobara (fai tu
il disegno)?
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Allegato1
Dim “sperimentale” della relazione esistente fra energia interna e
temperatura assoluta in un gas perfetto: l’ESPANSIONE LIBERA
L’energia interna di un gas (ci occupiamo di gas in questo periodo...) è una funzione di
stato, cioè dipende solo dal valore delle grandezze termodinamiche del gas e non dalle
trasformazioni che questo ha seguito per giungere a questo stato. In linea di principio
perciò potrebbe essere una funzione a quattro variabili, cioè: U=f (n, p, V, T)
In un gas perfetto, poiché questo, per definizione, è descritto dall’equazione di stato:
pV=nRT, l’energia interna diviene funzione di solo tre parametri, poiché fissati tre
parametri il quarto resta determinato.
Ad esempio potrebbe essere U=f (n, p, T). Si tratta ancora di una funzione complicata...
Ma supponiamo di poter effettuare l’esperimento seguente: prendiamo un contenitore
ADIABATICO vuoto diviso in due zone da una parete mobile. Poniamo in una delle due
zone un gas. Apriamo di scatto la parete mobile (il disegno mostra l’apertura di un foro,
sarebbe ancor meglio poter estrarre completamente la parete).
Pressione del gas e volume occupato varieranno (il
volume raddoppierà), quindi siamo in presenza di una
trasformazione. Sarà una trasformazione quasistatica?
Sappiamo dire qualcosa di cosa avverrà a pressione e
temperatura?
NO: la trasformazione non è quasistatica e, con le
informazioni in nostro possesso, NO: non possiamo dire
nulla riguardo a pressione e temperatura.
Trascorso il il tempo necessario al sistema per raggiungere una nuova situazione di
equilibrio, se potessimo immettere all’interno del contenitore un termometro,
scopriremmo che tanto più il gas si avvicina alle condizioni in cui un gas reale ben
approssima un gas perfetto, tanto minore è l’abbassamento di temperatura rilevato.
Volume e pressione variano e la temperatura resta “costante”. Cosa accade all’energia
interna? Il sistema è isolato: non scambia calore e non effettua né “subisce” lavoro. Perciò
la variazione di energia interna è zero: ΔU=0.
Ne possiamo concludere pertanto che l’energia interna, in un gas perfetto, non è legata
alla pressione o al volume (perché variando questi l’energia interna invece rimane
invariata), ma solo alla temperatura e al numero di moli. U=f (n, T)
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