Vettori Linearmente Indipendenti (Metodo 1)

GEOMETRIA (v2.6.1)
Combinazione Lineare:
Un sistema di vettori che restituiscono un vettore.
Vettori Linearmente Indipendenti (Metodo 1):
Se La combinazione lineare restituisce un vettore nullo.
Vettori Linearmente Indipendenti (Metodo 2):
Se il determinante della matrice è 0 allora i vettori sono linearmente indipendenti.
Riduzione A Scala:
Si prende una matrice:
|123|
|221|
|222|
e bisogna far si che sotto ogni membro della diagonale appaia uno 0 applicando operazioni :
|XXX|
|0XX|
|00X|
Si prende il numero 1 della prima riga e si moltiplica in modo tale che se sommato a quello sotto
fanno 0. Il numero sotto è 2 quindi dobbiamo moltiplicare 1 per ottenere -2: quindi per logica 1
* -2 = -2. Moltiplichiamo tutta la prima riga per -2 e sommiamo alla seconda riga e la sostituiamo
sempre alla seconda.
|123|
| 0 -2 -5 |
|222|
Ora facciamo la stessa cosa con la terza riga, dobbiamo far si che il 2 diventi 0. Moltiplichiamo
tutta la prima riga per -2 e sommiamo alla terza riga e la sostituiamo sempre alla terza.
|123|
| 0 -2 -5 |
| 0 -2 -4 |
Ora la riduzione a scala è quasi completa, manca mettere lo zero nella terza riga. Quindi ora
dobbiamo prendere la SECONDA riga e non la prima e quindi moltiplicare 0 -2 -5 per -1 così
sommata e sostituito alla terza il -2 diventa 0.
|123|
| 0 -2 -5 |
| 0 0 1 | <--------- A SCALA!!!
Potete anche applicare scambi fra vettori nelle varie righe, ad esempio scambiare quello in riga
2 con quello in riga 3 se vi fa comodo per semplificare e ridurre a scala. Ad esempio:
|134|
|001|
|011|
Scambiare la terza riga con la seconda vi permette di ottenere subito una matrice a scala.
Calcolare Determinante Matrice mxn:
Non puoi calcolare il determinante di matrici non-quadrate
Calcolare Determinante Matrice 2x2:
Eseguire la formula a*d – b*c
|ab|
|cd|
Calcolare Determinante Matrice mxm (Metodo 1):
Ridurre a scala una matrice (contare il numero di scambi applicati). Moltiplicare la diagonale e
ottenere RISULTATO1. Se il numeri di scambi è dispari si moltiplica RISULTATO1 per -1, se è pari
si moltiplica per +1 (otteniamo RISULTATO2). Il determinante è -RISULTATO2.
Calcolare Determinante Matrice mxm (Metodo 2 – Minore
Composto):
+-+
|abc|
|123|
|456|
Si prende il primo membro della prima riga e si oscura la sua colonna/riga.
+-+
|a==|
|=23|
|=56|
Si esegue il calcolo: +a * (Formula Per Calcolare Determinante 2x2).
Ovvero +a * (2*6-3*5).
Successivamente si fa la stessa cosa con la seconda colonna.
+-+
|=b=|
|1=3|
|4=6|
Si esegue il calcolo: -b * (Formula Per Calcolare Determinante 2x2). Il meno davanti al
membro «b» si vede dalla sequenza + - + - +. Si inizia sempre dalla colonna con +. Ovvero -b *
(1*6-3*4).
Si applica la stessa formula con la terza colonna:
+-+
|==c|
|12=|
|45=|
Ovvero +c * (1*5-2*4).
Il determinante è quindi la formula:
+a * (2*6-3*5) -b * (1*6-3*4) +c * (1*5-2*4)
Generatori:
Vettori di uno span()
Vettore Sovrabbondante (Metodo 1):
Mettere i vettori a matrice e vedere se un determinato vettore è multiplo di un'altro.
Vettore Sovrabbondante (Metodo 2):
Mettere i vettori a matrice ridurre a scala. In caso un vettore diventa di tutti zeri (0,0,0) è
sovrabbondante (attenzione agli scambi, potreste confondere quale sia sovrabbondante se fate
tanti scambi)
dim(V):
Contare i vettori nello span (e togliere i sovrabbondanti)
dim(U+V):
Metto i vettori nello span() e tolgo i sovrabbondanti
Sistema Compatibile (Metodo 1):
Quando ha una soluzione o infinite soluzioni di un sistema lineare.
Sistema Compatibile (Metodo 2):
Il rango della matrice-completa deve essere uguale alla matrice-incompleta. Un sistema:
2x+3y=4
3x+1y=0
Ha come matrice-incompleta i coefficienti PRIMA dell'uguale:
|23|
|31|
Mentre la matrice-completa è quella che comprende anche i valori dopo il segno uguale:
|23:4|
|31:0|
Calcolare Rango:
Riduci a scala la matrice. Conta le righe diverse da tutti 0
Dimensione:
La grandezza della matrice ridotta a scala, se una volta ridotto a scala la matrice da 3x3 diventa
3x2 (due righe) la dimensione è 2. Può essere inteso anche come rango per sommi capi.
Moltiplicazione Fra Vettori:
(a,b,c)*(x,y,z) = a*x + b*y + c*z
Somma Fra Vettori:
(a,b,c)+(x,y,z) = a+x + b+y + c+z
Sottrazione Fra Vettori:
(a,b,c)-(x,y,z) = a-x + b-y + c-z
Moltiplicazione Fra Matrici (Qualsiasi Dimensione):
Si moltiplica la riga per la colonna e si inserisce il membro ottenuto in questo modo:
| a b | * | x y | = | (a*x)+(b*z) (a*y)+(b*t) |
| c d | | z t | | (c*x)+(d*z) (c*y)+(d*t) |
Calcolare Matrice-Inversa:
Chiamarla Matrice A^-1 è un sinonimo (Attenzione: Se il determinante è 0 non esiste nessuna
matrice inversa). Bisogna affiancare a destra la matrice-unitaria (la matrice unitaria è tutti 0
con tutti 1 sulla diagonale). Quindi
|123:100|
|456:010|
|789:001|
Eseguire una riduzione a scala (superiore e inferiore) dove la matrice-unitaria diventa la
matrice-inversa. La matrice a sinistra diventa quella unitaria.
Verifica Matrice-inversa:
Si fa la moltiplicazione riga/colonna fra matrici. Ovvero [matrice-originale]*[matrice-inversa]
=matrice-unitaria
Matrice Trasposta:
Hai una matrice A che assegna alla matrice B righe
| 1 2 | = |1 3 |
|34||24|
colonne, colonne
righe
Calcolare Base Ortogonale (Gram-Schmidt):
Con i vettori che vi vengono proposti verificare se sono compatibili per somma e moltiplicazione
ovvero prendere i vettori (a,b,c) (x,y,z) e vedere se:
(a+x)+(b+y)+(c+z)=0
(a*x)+(b*y)+(c*z)=0
Se è uguale a 0 sono già basi ortogonali, altrimenti se risultato è diverso da 0 procedere come
segue con la formula:
PRIMA BASE ORTOGONALE = VET1
SECONDA BASE ORTOGONALE:
VET2 - (<VET1 * VET2>/VET1*VET1)*VET1 = VET3
E calcolare le varie moltiplicazioni fra vettori.
I vettori VET1 e VET3 sono le basi ortogonale.
NOTA1: Pur il primo vettore non è = 0 è comunque ritenuto una base ortogonale
Calcolare Base Ortonormale (Gram-Schmidt):
Si prendono i vettori ortogonali e si applica la formula
VET1/||VET1|| e anche VET3/||VET3||
Per calcolare il versore ||VET1|| o il versore ||VET3|| si applica semplicemente una radice
quadrata in questo modo: √(VETX*VETX) quindi per calcolare la base ortonormale si fa la
moltiplicazione fra i due vettori e si applica la √, In pratica il calcolo completo è:
VET1/(√(VET1*VET1)) e quindi anche VET3/(√(VET3*VET3))
Ottenendo quindi la base ortonormale.
NOTA1: Una volta calcolato il versore potete non applicare la divisione ma moltiplicare
semplicemente VET1*(1/VERSORE1) e lasciare così. Vedi esercizio 5 dell'appello 1 del giorno 4/
02/2011
Verifica Matrice Ortogonale:
una matrice è ortogonale se la sua matrice-trasposta coincide con la matrice-inversa
Pivot e Variabili Libere:
Riduco a scala un sistema di equazioni. Prendo in esame le colonne con gli elementi sulla
diagonale che hanno tutti gli zeri sotto.
xyz
|123|
|002|
|003|
I pivot in questo caso è solo x mentre y non è pivot perchè x e y hanno gli stessi zeri sotto il
pivot. Z è variabile libera.
xyz
|123|
|012|
|003|
I pivot in questo caso è x e y. Mentre z è variabile libera.
xyzt
| 1 -1 2 2 |
|0001|
|0000|
Il pivot in questo caso è x e t, mentre y e z sono variabili libere
Ker(f):
Se ho delle equazioni le metto sotto forma di matrice. Riduco la matrice a scala. Individuo le
variabili libere e i pivot. Dalla matrice passo di nuovo ad un sistema di equazioni. Le variabili
libere le sposto a destra dell’uguale e lo risolvo. Ottengo una cosa del genere:
x = z <--- z = variabili libere
y=-3z
Visto che ho solo una variabile libera, la dimensione è 1. Assegno alla variabile libera 1 e faccio i
calcoli mettendo a vettore:
(x=z,y=-3z,z)
quindi:
(1,-3,1) <---- questo è la base del ker
Se avevo due variabili libera assegnavo z=1 e t=0 e viceversa z=0, t=1 e ottenevo due basi.
Img(f):
Se ho delle equazioni le metto sotto forma di matrice. Riduco la matrice a scala. Mi calcolo il
rango della matrice. Prendo la matrice-originale e le colonne (non ridotte a scala) diventano
vettori del tipo (1,3,-2) e (4,5,6) che sono la mia immagine. Quindi se il rango è 2 prendo due
colonne (si consiglia di prendere i pivot come colonne e non le variabili libere) e quindi ho due
vettori.
Calcolare polinomio Caratteristico:
Mettere a matrice l'applicazione lineare. Mettere sulla diagonale tutti -t. Calcolare utilizzando
la formula del minore composto (uno dei metodi per calcolare il determinante), in caso sia 2x2
la matrice usare la formula a*d-b*c con le t sulla diagonale. Otterrete una cosa del genere: -t^3
oppure (t-1)^3
Calcolare molteplicità algebrica:
Dovete calcolare il polinomio caratteristico con l'applicazione lineare che avete a matrice.
Otterrete una cosa come -t^2 e dovete guardare: esponente e termine noto di cui la molteplicità
algebrica è: ma(|termine noto|) = esponente
ATTENZIONE: L’esponente non deve essere mai negativo, la ma() non può essere negativa!
Il termine noto è anche chiamato λ. Per cui -t^2 ha come esponente 2 e come il termine noto λ =
0. Un altro esempio è: (t-1)^3 di cui esponente è 3 mentre il termine noto è λ = 1 quindi: ma(1)
=3 (si prende sempre il modulo del termine noto).
Calcolare molteplicità geometrica:
Dovete calcolare il polinomio caratteristico con l'applicazione lineare che avete o matrice.
Dovete calcolare la molteplicità algebrica. A questo punto si applica la formule: mg(termine
noto) = ma(termine noto)-rango della matrice iniziale
Una applicazione lineare è diagonalizzabile:
Mettere a matrice l'applicazione lineare. Calcolare il polinomio caratteristico. Calcolare
molteplicità algebrica e molteplicità geometrica. Vedere se sono uguali: si = diagonalizzabile, no
= non diagonalizzabile
Matrice Di Jordan:
Calcolare il polinomio caratteristico, calcolare la molteplicità algebrica e molteplicità
geometrica. Ora bisogna introdurre la questione dei «blocchi»: Se abbiamo ma()=3 e mg()=1 la
nostra matrice è un blocco (3*1)*(3*1) ovvero 3x3, se invece fosse ma()=3 e mg=2 diventerebbe
una matrice (3*2)*(3*2) quindi 6x6. Questa matrice deve avere λ sulla diagonale (quindi il
coefficiente del polinomio caratteristico) e sopra ogni λ in diagonale va messo 1. Ad esempio se
abbiamo ma(λ = 0)=3 e mg(λ = 0)=1 allora la matrice è:
|010|
|001|
|000|
Sulla diagonale c'è λ, sopra ogni λ c'è 1 e tutto il resto è 0. La matrice è 3x3 perché mg() è 1 e
ma() è 3 quindi ci sono 3 volte λ sulla diagonale.
Sistema Lineare Con Parametro k:
Mettere il sistema in forma di matrice-completa e matrice-incompleta. Un sistema k:
x+y-z=0
x+(k+1)y=1
x+y+(k^2-k-1)z=k
Ha come matrice-incompleta tutti i coefficienti PRIMA dell'uguale mentre la matrice-completa è
quella che comprende anche i valori dopo il segno uguale, quindi:
| 1 1 -1 : 0 |
| 1 k+1 0 : 1 |
| 1 1 k^2-k-1 : k |
Ora si fa una riduzione a scala. Variate il valore di k e controllate se il sistema è compatibile.
E' compatibile quando il rango, righe non nulle, sono uguali alla matrice-completa e matriceincompleta. In questo caso se sostituiamo k = 0 è compatibile, k=1 non compatibile.
Calcolare l'esponenziale con cauchy (singolo autovalore):
1)
2)
3)
4)
5)
Mettere il sistema x1(0), x2(0), x3(0) a vettore (in verticale) e chiamarlo C
Mettere il sistema di x1, x2, x3 a matrice e chiamarla A
Calcolare il polinomio caratteristico con la matrice A
Calcolare la molteplicità algebrica
Calcolare la molteplicità geometrica
6) Calcolare matrice Jordan
7) Si scrivono le formule:
y(t)=p*e^λt*p^-1*c
vλ = {x (A – -λI)^p-1 x = 0}
8) In queste formule noi abbiamo solo la matrice C, ora calcoliamo la matrice A^x che non è
altro che A^ma()-1
9) Prendo le matrici A^x, A, I (la matrice I è quella unitaria). Scelgo l'ultima colonna (per
comodità e che sia non-nulla, in caso contrario cambiate colonna e prendete la seconda di tutte
e 3 le matrici) di tutte e tre le matrici e ci faccio la matrice X
10) Le colonne delle matrice X le scambio a specchio, se ho 3 colonne 1 2 3, le inverto in una
matrice 3 2 1. Ora abbiamo davvero la matrice P
11) Calcoliamo la matrice inversa di P che diventa la P^-1
12) Della formula ora abbiamo:
P, P^-1 e ci manca la matrice e^λt che si calcola in questo modo:
| e^λt
t*e^λt
t^2/2 * e^λt |
| 0
e^λt
t * e^λt |
|0
0
e^λt
|
13) Ora si fa una moltiplicazione di tutte e tre le matrici:
P * e^λt * P^-1 * C
NOTA1: Al punto 8 la matrice si fa A^ma()-1 solo se λ è diverso da 0,
se λ è 0 si fa A^p-1 di cui p è il numero di zeri sulla diagonale di jordan, è solo una sottigliezza
ma per il prof è importante. In entrambi i casi il risultato non cambia
NOTA2: «e» è il numero di nepero, quindi e^0 è 1 tanto per fare un esempio
Calcolare l'esponenziale con cauchy (due autovalori):
1) Mettere il sistema x1(0), x2(0), x3(0) a vettore (in verticale) e chiamarlo C
2) Mettere il sistema di x1, x2, x3 a matrice e chiamarla A
3) Calcolare il polinomio caratteristico con la matrice A
4) Calcolare la molteplicità algebrica
5) Calcolare la molteplicità geometrica
6) Calcolare matrice Jordan, che avrà chiaramente una forma conseguente alle molteplicità
algebriche e geometriche degli autovalori ottenuti.
7) Si scrivono le formule:
y(t)=p*e^λt*p^-1*c
vλ = {x (A – -λI)^p-1 x = 0}
8) Ora, per l'autovalore con molteplicità algebrica 1, che sicuramente sarà così nel compito
(altrimenti vedere il procedimento per autovalori con molteplicità algebrica 2 di seguito), il
discorso è molto semplice, bisogna trovare l'autovettore per l'autospazio relativo all'autovalore.
Che significa? Significa semplicemente trovare il ker (A- λI) e metterselo da parte un momento.
Il che vuol dire eseguire l'operazione (A-λI), ridurre a scala la matrice ottenuta, e calcolarsi i
generici vettori, e sostituendo i valori alle variabili libere, crearsi una base per la matrice.
9) Per l'autovalore con molteplicità algebrica 2, il procedimento è più complesso. Innanzitutto
bisogna calcolarsi la matrice (A-λI) classica, e di seguito la matrice (A-λI)^m a (λ) (Cioè (AλI) elevato alla molteplicità algebrica di lambda). Fatto questo, bisogna trovare il ker della
di quest'ultima matrice, e trovati i generici vettori, ottenere una base sostituendo dei valori
opportuni alle variabili libere.
10) Ora c'è la parte più "difficile". Sostanzialmente, la base B appena ottenuta, va utilizzata
come se fosse una qualsiasi funzione f applicata ad una matrice, il che si traduce in: prendere
il primo vettore della base (ricordo che si sta parlando sempre della base di (A-λI)^ ma (λ)),
metterlo in colonna a fianco della matrice (A-λI), effettuare la moltiplicazione, e ripetere il
procedimento per il secondo vettore della base.
Es:
Se la base che avete di [(A-λI)^ma (λ)] fosse B={(1,2,0) , (0,0,1)}, e la matrice A
|2 -1 1|
|0 0 2|
|4 -2 0|, dovreste fare il procedimento prima per (1,2,0), e
otterreste
|2 -1 1|
|1|
|0 0 2| x |2|
|4 -2 0|
|0|
che facendo i calcoli vi restituirà il vettore (0,0,0).
Per il secondo vettore della base (0,0,1) otterreste quindi il vettore (1,2,0), cioè la terza
colonna della matrice precedente.
Avete quindi l'applicazione f così definita:
(1,2,0) -------> (0,0,0)
(0,0,1) -------> (1,2,0)
Dovete definire ora la matrice rappresentativa di questa applicazione rispetto alla base B,
quindi, ricordando che la base B è {(1,2,0) , (0,0,1)}, avete che (0,0,0), corrisponde nella
vostra base B a 0*(1,2,0)+0*(0,0,1). Questo significa che la prima COLONNA della vostra matrice
rappresentativa sarà (0,0). Svolgendo il calcolo allo stesso modo per (1,2,0) ottenete la
COLONNA (1,0) per la vostra matrice rappresentativa, poiché 1,0 sono i pesi da inserire davanti i
vettori di B per ottenere (1,2,0).
La vostra matrice rappresentativa sarà quindi:
|0 1|
|0 0|
Siamo quasi alla fine, ora bisogna scegliere una colonna non nulla di questa matrice per creare
una stringa corrispondente a questi calcoli. Chiaramente prendiamo la 2a colonna, visto che è
l'unica non nulla in questo caso. Per cui la stringa qui sarà
|0|----> |1|----->|0|
|1|----> |0|----->|0|
La prima colonna della stringa è (0,1) perché avendo scelto la seconda colonna della matrice
rappresentativa come stringa, dobbiamo necessariamente prendere il vettore e2 da mettere
nella stringa.
Questa base a stringhe, quindi sarà :
|1 0|
|0 1| poiché come tutte le altre basi a stringhe bisogna disporre le colonne in ordine inverso.
Ora però, noi sappiamo che nella base B, {(1,2,0) , (0,0,1)}, se andiamo a usare come pesi la
prima COLONNA della base a stringhe, otteniamo il vettore (1,2,0), e similmente per la SECONDA
colonna otteniamo il vettore (0,0,1), che messi in colonna ci daranno le colonne della base
a stringhe P che ci serve per risolvere l'esercizio. Quindi le colonne da sostituire al posto del
blocco dell'autovalore considerato saranno:
|1 0|
|2 0|
|0 1|.
11) Vi ricordate quando al punto 8 vi ho detto di tenervi da parte il ker della matrice (A-λI) per
l'autovalore con molteplicità algebrica 1? Ecco, è il momento di calcolarsi il generico vettore di
quella matrice, facendo bene attenzione che sia linearmente indipendente dalle colonne poco fa
ottenute per l'altro autovalore. Ammettiamo che abbiate un ker che vi da come vettore generale
(z,z,z), un vettore per voi buono sarà (1,1,1), e lo andrete a mettere in colonna al posto del
blocco di grandezza 1 nella matrice di Jordan.
12) Quindi se avete che la forma canonica di Jordan è:
|2
|
| 0 1|
| 0 0|
la vostra base a stringhe P, finale, sostituendo opportunamente come ho descritto in precedenza
le colonne al posto giusto, sarà:
|1 | 1 0|
|1 | 2 0|
|1 | 0 1|
13) Da qui in poi potete continuare con lo svolgimento normale, cioè calcolarvi l'inversa di P,
calcolare e^Jt e tutto il resto.
Questo esercizio, comunque, si trova alla pagina 85 della raccolta di esercizi svolti da Di
Gennaro, quindi per un migliore riscontro, vi consiglio di guardare lì e fare tutto passo passo,
con questa "guida" e rifacendo tutti i calcoli, così da capire meglio il procedimento. Può
sembrare ostico inizialmente, ma con l'esercizio poi non ci saranno più dubbi.
Trovare Mξ(f):
Avete un sistema come questo:
f(1,2)=(3,4)
f(5,6)=(7,8)
Metto a colonna le varie componenti x,y,z di f(u1,u2,u3)=(x,y,z).
|37|
|48|
Per calcolare la seconda matrice devi mettere a sistema i vettori di f con coefficienti (1,0)
e poi (0,1) e invece cerano più vettori si continuava: (0,0,1) e poi (0,0,0,1) e le varie x,y,z,t
diventavano le colonne della matrice. In questo caso:
x(1,2)+y(5,6)=(1,0)
x(1,2)+y(5,6)=(0,1)
Quindi risolvendo:
x+5y=1
2x+6y=0
e il secondo sistema
x+5y=0
2x+6y=1
ottenendo la matrice (se non ho sbagliato i calcoli)
| -3 -1/4 |
| ½ +19/4 |
Moltiplicare la prima matrice per la seconda matrice.
Proj di u su v di Gram Schmidt:
la proj di (a,b) su (x,y) è allora
(a*x + b*y)/(x^a + y^b) * (x,y) = (z, t)
Per calcolare v2-proj si applica (a,b)-(z, t)
Diagonalizzare un operatore lineare:
- Scrivere la matrice rappresentativa dell'operatore lineare rispetto alla base canonica. (Mettere
i vettori di f in RIGA). Questa matrice la chiameremo A.
- Trovare il polinomio caratteristico dell'operatore lineare
p(t) = det (A - t I)
"I" è la matrice IDENTITA’
- f è DIAGONALIZZABILE se e solo se “ma(autovalore)” = “mg (autovalore)”
- Trovare la “ma” e “mg” dei vari autovalori
"ma" massima potenza di t
"mg" (dim sp. vett.) - rk (A - autovalore I) ....... I matrice IDENTITA'
- Trovare il sistema omogeneo associato della matrice "A - autoValone I"
(Va fatto per ogni autovalore e la soluzione di ogni sistema è una base dell'autospazio di
quell'autovalore)
La base formata dagli autovalori è la base che ha come vettori i vettori delle basi degli
autospazi. (Quelli trovati precedentemente)
- Mettere in colonna i vettori di questa base. Questa è la matrice P.
- La matrice diagonale D= P ^(-1) A P
Basta mettere gli autovalori sulla riga principale e nelle altre entrate 0
Calcolare una rappresentazione cartesiana:
Prendere i vari vettori che vi vengono proposti (di solito i vettori del ker + img). Mettere i vettori
in COLONNA a matrice e come ultimo vettore in colonna mettere (x,y,z,t).
Ridurre la matrice a scala, l’ultimo membro in basso a destra è la vostra rappresentazione
cartesiana. Esempio:
(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 0, 2, 1) e il vettore aggiuntivo (x,y,z,t)
A matrice in colonne:
|110x|
|100y|
|012z|
|001t|
Una volta ridotta a scala questa matrice otterrete come ultimo membro:
|XXXX|
|XXXX|
|XXXX|
| X X X x − y − z + 2t |
Quindi:
x − y − z + 2t = 0 è la nostra rappresentazione cartesiana