Polinomi

Polinomi
Corso di accompagnamento in matematica
Lezione 1
Sommario
1
Insiemi numerici
2
Definizione di polinomio
3
Operazioni tra polinomi
4
Fattorizzazione
Corso di accompagnamento
Polinomi
Lezione 1
2 / 14
Insiemi numerici
R, N, Z, Q
Lavoreremo generalmente con i numeri reali, il cui insieme viene
indicato con R.
Nell’insieme dei numeri reali ci sono importanti sottoinsiemi:
i numeri naturali, indicati N = {1, 2, 3, ...};
i numeri interi relativi, indicati con
Z = {. . ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . };
i numeri razionali, indicati con Q:
un razionale può essere scritto come quoziente m/n tra due interi
relativi, con n 6= 0.
Corso di accompagnamento
Polinomi
Lezione 1
3 / 14
Cos’è un polinomio
Definizione
Un polinomio nella variabile x a coefficienti reali è
un’espressione algebrica della forma
An (x) = a0 + a1 x + ... + an x n ,
dove a0 , a1 , ..., an sono numeri reali (detti coefficienti del
polinomio) e an 6= 0.
I singoli addendi si dicono monomi.
Il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi non nulli
presenti
Proprietà
Due polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hanno
ordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado.
Corso di accompagnamento
Polinomi
Lezione 1
4 / 14
Somma
Somma di polinomi
Il polinomio somma di due polinomi si ottiene sommando
ordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei due
polinomi
An (x) + Bm (x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + ... + (am + bm )x m
Esempio
(x 2 + 2x − 5) + (x 3 − x + 2) =
(0x 3 + x 2 + 2x − 5) + (x 3 + 0x 2 − x + 2) =
(0 + 1)x 3 + (1 + 0)x 2 + (2 − 1)x + (−5 + 2) =
x3 + x2 + x − 3
Corso di accompagnamento
Polinomi
Lezione 1
5 / 14
Somma
Somma di polinomi
Il polinomio somma di due polinomi si ottiene sommando
ordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei due
polinomi
An (x) + Bm (x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + ... + (am + bm )x m
Esempio
(x 2 + 2x − 5) + (x 3 − x + 2) =
(0x 3 + x 2 + 2x − 5) + (x 3 + 0x 2 − x + 2) =
(0 + 1)x 3 + (1 + 0)x 2 + (2 − 1)x + (−5 + 2) =
x3 + x2 + x − 3
Corso di accompagnamento
Polinomi
Lezione 1
5 / 14
Prodotto
Prodotto di polinomi
Il polinomio prodotto è della forma
An (x) ∗ Bm (x) = Cn+m (x) = c0 + c1 x + ... + cn+m x n+m ,
dove i coefficienti sono dati da:
c0 = a0 b0 , c1 = a1 b0 + a0 b1 ,
ck = a0 bk + a1 bk −1 + a2 bk −2 + ....ak −1 b1 + ak b0 .
Esempio
(x − 1)(x 2 + x + 1) =
x 2 (x − 1) + x(x − 1) + (x − 1) =
x3 − x2 + x2 − x + x − 1 =
x3 − 1
Corso di accompagnamento
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Lezione 1
6 / 14
Prodotto
Prodotto di polinomi
Il polinomio prodotto è della forma
An (x) ∗ Bm (x) = Cn+m (x) = c0 + c1 x + ... + cn+m x n+m ,
dove i coefficienti sono dati da:
c0 = a0 b0 , c1 = a1 b0 + a0 b1 ,
ck = a0 bk + a1 bk −1 + a2 bk −2 + ....ak −1 b1 + ak b0 .
Esempio
(x − 1)(x 2 + x + 1) =
x 2 (x − 1) + x(x − 1) + (x − 1) =
x3 − x2 + x2 − x + x − 1 =
x3 − 1
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Lezione 1
6 / 14
Divisione (I)
Divisione tra polinomi
Dati due polinomi An (x ) , Bm (x ), di grado n e m rispettivamente, con n ≥ m,
esistono due polinomi Q (x ) e R (x ) detti quoziente e resto tali che:
il grado di R (x ) è minore di m;
vale la relazione An (x ) = Bm (x ) Q (x ) + R (x ) .
Definizione
Se R (x ) = 0, allora si dice che An (x ) è divisibile per Bm (x ).
Osservazione
Il rapporto tra An (x ) e Bm (x ) può sempre essere scritto come
An (x )
R (x )
= Q (x ) +
Bm (x )
Bm (x )
dove deg R < deg Bm
Corso di accompagnamento
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Lezione 1
7 / 14
Divisione (I)
Divisione tra polinomi
Dati due polinomi An (x ) , Bm (x ), di grado n e m rispettivamente, con n ≥ m,
esistono due polinomi Q (x ) e R (x ) detti quoziente e resto tali che:
il grado di R (x ) è minore di m;
vale la relazione An (x ) = Bm (x ) Q (x ) + R (x ) .
Definizione
Se R (x ) = 0, allora si dice che An (x ) è divisibile per Bm (x ).
Osservazione
Il rapporto tra An (x ) e Bm (x ) può sempre essere scritto come
An (x )
R (x )
= Q (x ) +
Bm (x )
Bm (x )
dove deg R < deg Bm
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Polinomi
Lezione 1
7 / 14
Divisione (II)
Il metodo di calcolo del quoziente di due polinomi consiste nella
divisione secondo le potenze decrescenti
Divisione secondo le potenze decrescenti
Vogliamo calcolare il quoziente tra
A(x) = 2x 4 + x 3 − x + 2
e
B(x) = x 2 + 3
Corso di accompagnamento
Polinomi
Lezione 1
8 / 14
Esempio
2x 4
+x 3
+0x 2
−x
+2
x2
+3
Q (x)
R (x)
Corso di accompagnamento
Polinomi
Lezione 1
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Esempio
2x 4
+x 3
2x 4
+0x 2
−x
+2
x2
2x 2
+6x 2
+x 3
−6x 2
+3
−x
+2
↑
Q (x)
←
Corso di accompagnamento
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R (x)
Lezione 1
10 / 14
Example
2x 4
+x 3
2x 4
+0x 2
−x
+2
−6x 2
+x 3
−x
+2
−4x
Q (x)
+2
←
Corso di accompagnamento
Polinomi
+x
↑
+3x
−6x 2
+3
2x 2
+6x 2
+x 3
x2
R (x)
Lezione 1
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Example
2x 4
+x 3
2x 4
+0x 2
−x
+2
−6x 2
+x 3
−x
+2
−4x
−6x 2
+x
−6
↑
Q (x)
+3x
−6x 2
+3
2x 2
+6x 2
+x 3
x2
+2
−18
−4x
+20
←
R (x)
A (x)
R (x)
−4x + 20
= Q (x) +
= 2x 2 + x − 6 +
B (x)
B (x)
x2 + 3
Corso di accompagnamento
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Lezione 1
12 / 14
Example
2x 4
+x 3
2x 4
+0x 2
−x
+2
−6x 2
+x 3
−x
+2
−4x
−6x 2
+x
−6
↑
Q (x)
+3x
−6x 2
+3
2x 2
+6x 2
+x 3
x2
+2
−18
−4x
+20
←
R (x)
R (x)
−4x + 20
A (x)
= Q (x) +
= 2x 2 + x − 6 +
B (x)
B (x)
x2 + 3
Corso di accompagnamento
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12 / 14
Fattorizzazione
Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto.
Esempio
x 2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)
Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile;
Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado e
quelli di secondo grado a discriminante negativo.
Metodi utili
Raccoglimento a fattor comune
x 4 − 3x 3 + 5x 2 = x 2 x 2 − 3x + 5
Raccoglimento a fattor parziale
x 4 + a2 x 2 + b2 x 2 + a2 b2 = x 2 (x 2 + a2 ) + b2 (x 2 + a2 ) =
(x 2 + a2 )(x 2 + b2 )
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13 / 14
Fattorizzazione
Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto.
Esempio
x 2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)
Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile;
Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado e
quelli di secondo grado a discriminante negativo.
Metodi utili
Raccoglimento a fattor comune
x 4 − 3x 3 + 5x 2 = x 2 x 2 − 3x + 5
Raccoglimento a fattor parziale
x 4 + a2 x 2 + b2 x 2 + a2 b2 = x 2 (x 2 + a2 ) + b2 (x 2 + a2 ) =
(x 2 + a2 )(x 2 + b2 )
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13 / 14
Fattorizzazione
Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto.
Esempio
x 2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)
Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile;
Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado e
quelli di secondo grado a discriminante negativo.
Metodi utili
Raccoglimento a fattor comune
x 4 − 3x 3 + 5x 2 = x 2 x 2 − 3x + 5
Raccoglimento a fattor parziale
x 4 + a2 x 2 + b2 x 2 + a2 b2 = x 2 (x 2 + a2 ) + b2 (x 2 + a2 ) =
(x 2 + a2 )(x 2 + b2 )
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Lezione 1
13 / 14
Proprietà utili
Teorema
(x − c) divide An (x ) se e solo se An (c) = 0.
Proposizioni
Il binomio x n − an è sempre divisibile per x − a;
se n è pari è divisibile anche per x + a.
Il binomio x n + an è divisibile per x + a se n dispari;
se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x − a.
Osservazione
Per polinomi a coefficienti interi:
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa
l’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è un
sottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine di
grado massimo, compresa l’unità.
Corso di accompagnamento
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Lezione 1
14 / 14
Proprietà utili
Teorema
(x − c) divide An (x ) se e solo se An (c) = 0.
Proposizioni
Il binomio x n − an è sempre divisibile per x − a;
se n è pari è divisibile anche per x + a.
Il binomio x n + an è divisibile per x + a se n dispari;
se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x − a.
Osservazione
Per polinomi a coefficienti interi:
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa
l’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è un
sottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine di
grado massimo, compresa l’unità.
Corso di accompagnamento
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Lezione 1
14 / 14
Proprietà utili
Teorema
(x − c) divide An (x ) se e solo se An (c) = 0.
Proposizioni
Il binomio x n − an è sempre divisibile per x − a;
se n è pari è divisibile anche per x + a.
Il binomio x n + an è divisibile per x + a se n dispari;
se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x − a.
Osservazione
Per polinomi a coefficienti interi:
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresa
l’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è un
sottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine di
grado massimo, compresa l’unità.
Corso di accompagnamento
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Lezione 1
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