Università del Piemonte Orientale
Corsi di Specialità
Corso di Statistica Medica
Analisi dei dati quantitativi :
Analisi della varianza
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Analisi della varianza ad un criterio di classificazione
Analisi di una variabile quantitativa con il confronto tra diversi gruppi di
soggetti:
A.
Confronto tra una media campionaria ed una popolazione i cui parametri
sono noti
B.
Confronto tra una media campionaria ed una popolazione di cui è nota
la media ma non la deviazione standard
C.
Confronto tra 2 campioni appaiati
D.
Confronto tra due campioni indipendenti
E.
Confronto tra n campioni indipendenti
F.
Confronto tra misure ripetute sugli stessi soggetti
Il caso E corrisponde all'analisi della varianza
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Analisi della varianza ad un criterio di classificazione
L'analisi della varianza serve a confrontare tra loro le medie di 3 o più gruppi di
soggetti.
Var.
quantitativa
L’analisi della varianza consente di
valutare quantitativamente
l’importanza delle diverse fonti di
variazione nella variabilità osservata
nel corso di un esperimento. Le fonti di
variazione possono
essere:
• sistematiche (sotto controllo dello
sperimentatore);
• casuali (variabilità biologica,
condizioni ambientali,
errore di misura, ecc..)
Var. Categorica
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Analisi della varianza ad un criterio di classificazione
Obiettivo dell'analisi è misurare se la differenza tra le medie (variabilità tra
gruppi) è superiore alla variabilità interna a ciascun gruppo (variabilità entro
gruppi).
Si tratta di un metodo molto potente che si presta anche ad analisi molto
complesse.
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Analisi della varianza ad un criterio di classificazione
Parliamo di analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione quando
consideriamo una sola variabile di ordinamento.
Il livello minimo della variabile di ordinamento è nominale.
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Analisi della varianza ad un criterio di classificazione
Partiamo da un esempio con dati sulla resa di una
coltura agricola in relazione al tipo di trattamento
fertilizzante.
La resa è espressa in q.li / ha.
Il tipo di trattamento è una variabile nominale con 3
valori: 1, 2, 3.
Incominciamo con alcune esplorazioni grafiche dei
dati.
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6
Confronto tra due medie
resa
6,27
5,36
6,39
4,85
5,99
7,14
5,08
4,07
4,35
4,95
3,07
3,29
4,04
4,19
3,41
3,75
4,87
3,94
6,28
3,15
4,04
3,79
4,56
4,55
4,55
4,53
3,53
3,71
7,00
4,61
trattam.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
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7
Confronto tra due medie
Plot dei dati
re s a
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Case Number
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8
Box plot
8
7
6
X
5
4
3
2
1
0
a
b
c
Group
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9
Diagramma a punti
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10
I grafici suggeriscono una differenza tra i tre gruppi.
Vediamo dal grafico seguente che i tre gruppi sono in posizione diversa rispetto
alla media generale, calcolata su tutte le osservazioni.
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
11
2
1
3
8
7
6
5
4
3
2
1
0
re s a
Media
0
5
10
15
20
25
30
35
Case Number
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12
Com'è distribuita la variabilità in queste osservazioni?
Esaminiamo prima la variabilità totale, poi quella all'interno di ciascun gruppo ed
in ultimo la variabilità delle medie dei diversi gruppi.
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
13
La variabilità totale
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14
La variabilità entro gruppi o within groups
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15
La variabilità tra gruppi (la differenza tra le medie dei diversi gruppi e la media
generale) o between groups
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
16
I dati osservati possono essere rappresentati mediante un modello lineare
yij = ui + ε ij
in cui
•
yij
•
ui
•
ε ij
è la generica osservazione dell’i-esimo trattamento sulla j-esima unità sperimentale
è la media del trattamento
errore casuale
Generalmente si assume i = 1, . . . , k e j =1, . . . , ni. Se il disegno è bilanciato, n1 = n2 =. . . = np =n.
o più semplicemente:
L'equazione fondamentale dell'analisi della varianza
Variabilità totale = variabilità tra gruppi + variabilità entro gruppi
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17
Ipotesi di lavoro :
H1: non tutti i tre gruppi hanno media uguale (sono possibili diverse
combinazioni)
H0: µ1= µ2= µ3 =µ
Vogliamo testare questa ipotesi a un livello di significatività pari a 0.05
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
18
Come costruire il test?
Il test è basato sulla seguente considerazione:
Se è vera l’ipotesi nulla, i dati differiscono tra loro per il solo effetto della
variabilità casuale.
Se invece è vera l’ipotesi alternativa, entrambe le fonti di variabilità
contribuiscono a determinare la variabilità complessiva
Il test è quindi basato sull’analisi della variabilità complessiva in funzione delle
diverse cause.
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
19
Per questo motivo, anche se il test è sulle medie, la tecnica viene chiamata
Analisi della Varianza.
Assunzione fondamentale:
σ 1 =σ 2 =σ 3 =σ
2
2
2
2
La variabilità dei dati osservati può essere misurata mediante gli scostamenti
dei dati dalla media.
La devianza totale è definita nel modo seguente:
n
_
2
(
x
−
x
)
∑ ij
1
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
20
La devianza totale può essere scomposta nel modo seguente:
devianza totale= devianza tra i gruppi + devianza entro i gruppi
n
_
k
_
_
k
2
2
2
(
x
−
x
)
=
n
(
x
−
x
)
+
(
n
−
1
)
S
k
∑ kj
∑ k
∑ k
k
1
1
1
Le due quantità sono dette rispettivamente:
• Devianza tra gruppi (trattamenti): misura la quota di variabilità attribuibile
alle differenze trai trattamenti.
• Devianza entro gruppi (d’errore): misura la quota di variabilità imputabile a
tutte le cause non controllate nell’esperimento e all’errore di campionamento
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21
Se è vera l’ipotesi nulla, ci possiamo attendere uno scarso contributo della
devianza tra gruppi alla devianza totale.
Se è vera l’ipotesi alternativa, ci possiamo attendere che entrambe le
devianze contribuiscano a determinare la devianza totale.
A questo livello non è però possibile fare confronti, perchè le devianze hanno un
numero di addendi diverso.
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22
I gradi di libertà
Ad ognuna delle devianze sono associati i gradi di libertà:
• la devianza totale ha nkk − 1 gradi di libertà
• la devianza tra gruppi ha k − 1 gradi di libertà
• la devianza d’errore ha k(nk − 1) gradi di libertà
Le varianze si ottengono dividendo le devianze per i gradi di libertà.
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
23
Se l'assunzione della stessa varianza per i diversi gruppi è vera, la variabilità
'entro gruppi' (within groups) sarà uguale nei tre gruppi. La stima migliore di
questa variabilità è la stima pooled (analoga a quella già vista per il test t di
student per gruppi appaiati).
∑ (n
k
2
Sw =
1
− 1)S k
2
k
n−k
k= numero dei gruppi
n= numero osservazioni
S
2
k
= varianza nel gruppo k-esimo
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24
La variabilità 'tra gruppi' (between groups) sarà stimata dalla somma degli
scostamenti tra le medie dei diversi gruppi e la media generale pesati per il
numero di osservazioni nel gruppo ( nk ), divisa per il numero di gruppi -1 (k - 1) .
∑ n (x
k
Sb2 =
k
k
−x
)
2
1
k −1
k= numero dei gruppi ; nk = numero osservazioni nel gruppo k
x
x
k
= media nel gruppo k-esimo
= media generale
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25
Il test è basato sul confronto tra la varianza tra trattamenti e la varianza
d’errore.
Se l’ipotesi nulla è vera, le due varianze dovrebbero essere molto simili tra loro,
mentre se l’ipotesi nulla è falsa, la varianza tra trattamenti dovrebbe essere
molto più grande della varianza d’errore.
Se H0 è vera allora la variabilità tra gruppi sarà dovuta solo all'effetto degli errori
casuali e quindi le variabilità tra ed entro gruppi saranno uguali
S =S
2
b
2
w
Se rifiuto H0 allora la variabilità tra i gruppi non è dovuta al solo effetto del caso
Sb2 > S w2
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26
Un test in grado di misurare la probabilità di osservare una differenza tra le due
varianze è il test F
S
F=
S
2
b
2
w
Il valore del test F viene letto su apposite tavole (es tav. A5 del testo di Pagano
e Gavreau o tav.G del testo di Daniel).
Il numero di gradi di libertà a numeratore è: numero di gruppi-1
Il numero di gradi di libertà a denominatore è:
numero di soggetti -numero di gruppi
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
27
resa
trattam.
6,27
5,36
6,39
4,85
5,99
7,14
5,08
4,07
4,35
4,95
3,07
3,29
4,04
4,19
3,41
3,75
4,87
3,94
6,28
3,15
4,04
3,79
4,56
4,55
4,55
4,53
3,53
3,71
7,00
4,61
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
n
media
gruppo
varianza
gruppo
10
10
10
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criterio di classificazione
28
Analisi della varianza ad 1
Conviene calcolare separatamente le varianze dei diversi gruppi e quindi
inserirle nella formula.
Per convenienza calcolo separatamente i seguenti valori:
Media generale (del totale delle osservazioni)
Media in ciascun gruppo
Scostamento tra la media del gruppo e la media generale
Varianza in ciascun gruppo
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
29
n
media gruppo
mediagruppo mediagenerale
varianza nel
gruppo
10
5,445
0,8013
0,9525
10
3,999
-0,6447
0,9443
10
4,487
- 0,1567
0,9501
media generale
4,6434
Numero totale
30
numero gruppi
3
Occorre prestare attenzione al valore della varianza in ciascun gruppo: se le
varianze sono diverse cade un requisito essenziale per la validità dell'ANOVA
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
30
Posso quindi calcolare gli addendi alle sommatorie per il calcolo della varianza
tra gruppi ed entro gruppi. Questi addendi corrispondono alle devianze.
∑ n (x
k
S =
2
b
k
Sw =
−x
)
1
k −1
∑ (n
k
2
k
2
1
− 1)S k
2
k
n−k
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31
n
media gruppo
10
10
10
5,445
3,999
4,487
mediagruppo mediagenerale
0,8013
-0,6447
- 0,1567
media totale
4,6434
∑ n (x
k
S b2 =
k
k
−x
Devianza tra
6,4214
4,1560
0,2454
Numero
gruppi
3
)
2
1
k −1
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32
n
varianza nel
gruppo
Devianza
entro
10
10
10
numero
totale
30
0,9525
0,9443
0,9501
Numero
gruppi
3
8,5729
8,4987
8,5506
∑ (n
k
2
Sw =
1
− 1)S k
2
k
n−k
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
33
Calcolo quindi la varianza tra gruppi, sommando gli addendi e dividendo per i
rispettivi gradi di libertà.
g.l.
numero
totale
30
n
media gruppo
10
10
10
5,445
3,999
4,487
mediagruppo - varianza nel
mediagenerale
gruppo
0,8013
-0,6447
- 0,1567
Devianza tra
Devianza
entro
6,4214
4,1560
0,2454
8,5729
8,4987
8,5506
0,9525
0,9443
0,9501
2
media totale
4,6434
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Numero
gruppi
3
Varianza tra
Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
5,4114
34
Analogamente per la varianza entro gruppi
g.l.
numero
totale
30
n
media gruppo
10
10
10
5,445
3,999
4,487
mediagruppo - varianza nel
mediagenerale
gruppo
0,8013
-0,6447
- 0,1567
media totale
4,6434
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Devianza tra
Devianza
entro
6,4214
4,1560
0,2454
8,5729
8,4987
8,5506
Varianza tra
27
Varianza
entro
0,9490
0,9525
0,9443
0,9501
Numero
gruppi
3
Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
5,4114
35
e la statistica F
numero
totale
30
media totale
4,6434
Numero
gruppi
3
F=
5,4114
Varianza
entro
0,9490
5,4114 / 0,9490 =
5,7024
Varianza tra
Il valore della statistica F (2; 27 gl) corrisponde ad una probabilità < 0,001
Il numero di gradi di libertà a numeratore è: numero di gruppi-1
Il numero di gradi di libertà a denominatore è: numero di soggetti -numero di gruppi
Conclusione?
Rifiutiamo l’ipotesi nulla: almeno una media è diversa dalle altre
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
36
Riepilogo dei calcoli
varianza nel Contributo del gruppo
gruppo
alla varianza tra
Contributo del
gruppo alla
varianza entro
0,9525
6,4214
8,5729
-0,6447
0,9443
4,1560
8,4987
- 0,1567
0,9501
0,2454
8,5506
mediagruppo media
mediagenerale
gruppo
Resa
Trattam
n
6,27
1
10
5,445
0,8013
5,36
1
6,39
1
4,85
1
5,99
1
7,14
1
5,08
1
4,07
1
4,35
1
4,95
1
3,07
2
10
3,999
3,29
2
4,04
2
4,19
2
3,41
2
3,75
2
4,87
2
3,94
2
6,28
2
3,15
2
4,04
3
10
4,487
3,79
3
4,56
3
4,55
3
4,55
3
4,53
3
3,53
3
3,71
3
7
3
4,61
3
numero gruppi numero totale media totale
3
30
4,6434
Varianza tra Varianza entro
5,4114
0,9490
F=
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criterio di classificazione
37
Analisi della varianza ad 1
5,7024
I valori di probabilità corrispondenti alla distribuzione F si leggono tra F e ∞
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
38
Un'avvertenza per chi usa programmi statistici
La varianza entro gruppi è spesso indicata come:
MS (Mean Sum Squares o Scarto Quadratico Medio) within groups
oppure
Error MS
La varianza tra gruppi è spesso indicata come:
MS between groups
oppure
Effect MS
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
39
Questo è l'output di XLstats, per i dati usati nell'esempio
H0: All population means (of resa) are equal
H1: Not all population means (of resa) are equal
p-value = 0,008594
Tra
Entro
ANOVA Table
Source
trattam.
Error
Total
DF
SS
MS
F
2 10,82275 5,411373 5,702374
27 25,62215 0,948969
29 36,4449
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
40
La devianza entro gruppi è spesso indicata come:
SS (Sum of Squares o Somma degli Scarti Quadratici) within groups
oppure
Error SS
La devianza tra gruppi è spesso indicata come:
SS between groups
oppure
Effect SS
La devianza totale è spesso indicata come:
SS Total
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
41
H0: All population means (of resa) are equal
H1: Not all population means (of resa) are equal
p-value = 0,008594
Tra
Entro
ANOVA Table
Source
trattam.
Error
Total
DF
SS
MS
F
2 10,82275 5,411373 5,702374
27 25,62215 0,948969
29 36,4449
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
42
MS = SS / DF
Varianza = Devianza / Gradi_libertà
H0: All population means (of resa) are equal
H1: Not all population means (of resa) are equal
p-value = 0,008594
ANOVA Table
Source
trattam.
Error
Total
DF
SS
MS
F
2 10,82275 5,411373 5,702374
27 25,62215 0,948969
29 36,4449
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
43
Giunti a questo punto, vogliamo sapere quali sono i gruppi diversi tra loro.
Sono possibili diversi confronti;
gruppo 1 vs. gruppo 2
gruppo 2 vs. gruppo 3
gruppo 1 vs. gruppo 3
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44
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45
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46
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47
Problema……..
Se conduciamo tutti questi confronti aumenta la probabilità di errore di I tipo
α (0.05), ovvero la probabilità di rifiutare erroneamente l’ipotesi nulla, quando
questa è vera.
1 − α (0.95) è la probabilità di accettare H0 quando H0 è vera, in altri termini è la
probabilità di ottenere un risultato non significativo.
Se testiamo k ipotesi indipendenti la probabilità che i test siano congiuntamente
k
(
1
−
α
)
(
1
−
α
)
(
1
−
α
)
⇒
(
1
−
α
)
non significativi è data da
*
*
ne consegue che la probabilità di avere almeno un test significativo sarà:
1− (1− α )numeroconfronti
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
48
Nel nostro caso con 3 confronti otteniamo:
= 1 - (0,95)3
= 1- 0,85 = 0,15
L'errore di primo tipo complessivo (che almeno uno dei confronti dia risultato
significativo solo per effetto del caso) è del 15%, ben superiore al valore
prescelto del 5%.
Attenzione: il non tener conto della molteplicità dà luogo ad un aumento della
probabilità di trovare risultati significativi in favore dell’ipotesi alternativa, quando
l’ipotesi nulla è vera
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49
Per ovviare questo inconveniente Bonferroni ha proposto la seguente
correzione:
α ' = α /numero_confronti
La soglia di rifiuto dell'ipotesi nulla viene quindi fissata a α / numero_confronti
Il numero di confronti è il numero di confronti che si intende effettuare,
pianificato nel disegno dell'analisi statisticaI confronti sono condotti usando il test
t per il confronto tra le medie di due campioni indipendenti. Nella lettura del
valore di p viene applicata la correzione di Bonferroni.
Riportiamo i risultati dei calcoli eseguiti con il programma XLstats.
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
50
Tests for comparing two categories
Cat. 1: b
Categories
Cat. 2: c
Two-Sample t-tests (Differences Between Means, µ)
Sample Data
n1 10
X 1 3,999
s1 0,97175
Assume equal standard deviations
Hypothesis Tests
H0: µ1 - µ2 = 0
Alternative
>
≠
<
H1: µ1 - µ2 ≠
T
DF
p-value =
0
-1,121212
17
0,277786
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n2 10
X 2 4,487
s2 0,974714
X 1 − X 2 -0,488
SE Difference 0,435243
Confidence Intervals
for µ1 - µ2
Type (2,U,L) 2
Level 0,95
Lower
Upper
ME
0,918284 -1,406284 0,430284
Power Analysis
Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
51
Tests for comparing two categories
Cat. 1: a
Categories
Cat. 2: c
Two-Sample t-tests (Differences Between Means, µ)
Sample Data
n1 10
X 1 5,445
s1 0,975981
Assume equal standard deviations
Hypothesis Tests
H0 : µ 1 - µ 2 = 0
Alternative
>
≠
<
H1 : µ 1 - µ 2 ≠
T
DF
p-value =
0
2,196297
17
0,042231
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n2 10
X 2 4,487
s2 0,974714
X 1 − X 2 0,958
SE Difference 0,436189
Confidence Intervals
for µ1 - µ2
Type (2,U,L) 2
Level 0,95
Lower
Upper
ME
0,920279 0,037721 1,878279
Power Analysis
Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
52
Tests for comparing two categories
Cat. 1: a
Categories
Cat. 2: b
Two-Sample t-tests (Differences Between Means, µ)
Sample Data
n1 10
X 1 5,445
s1 0,975981
Assume equal standard deviations
Hypothesis Tests
H0: µ1 - µ2 = 0
Alternative
>
≠
<
H1: µ1 - µ2 ≠
T
DF
p-value =
0
3,320116
17
0,00405
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n2 10
X 2 3,999
s2 0,97175
X 1 − X 2 1,446
SE Difference 0,435527
Confidence Intervals
for µ1 - µ2
Type (2,U,L) 2
Level 0,95
Lower
Upper
ME
0,918883 0,527117 2,364883
Power Analysis
Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
53
Conclusioni? Quali dei tre confronti sono significativi?
Se siamo interessati ad un errore α complessivo < 0,05
ed applichiamo la correzione di Bonferroni
dovremo considerare solo in confronti il cui valore di p è < 0,05 / 3
p < 0,05 / 3
p < 0,0167
a vs. b -> rifiuto H0
commento: il terreno a cui è stato applicato il trattamento A ha in media una resa migliore rispetto al
terreno a cui è stato applicato il trattamento B
a vs. c -> non rifiuto H0
b vs. c -> non rifiuto H0
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
54
Approfondimento sugli errori conseguenti all'uso dell'ANOVA quando i tre gruppi
hanno diverse varianze
In questo esempio la varianza è uguale nei tre gruppi. In simili situazioni la probabilità di
rifiutare l'ipotesi nulla in assenza di differenza nella media dei tre gruppi è simile al valore
nominale (alpha o probabilità dell'errore di primo tipo).
Results of 1000 Replication Experiment
alpha = .05
Reject Null Hypothesis
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5,6%
alpha = .01
0,8%
Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
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In questo esempio la varianza è diversa nei tre gruppi. In simili situazioni la probabilità di
rifiutare l'ipotesi nulla in assenza di differenza nella media dei tre gruppi è
sistematicamente diversa dal valore nominale.
Results of 1000 Replication Experiment
alpha = .05
Reject Null Hypothesis
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8,2%
alpha = .01
2,0%
Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
56
In questo esempio i tre gruppi hanno la stessa varianza e tre medie diverse.
Qui l'analisi della varianza è appropriata
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
57
Approfondimento sulla simulazione di analisi della varianza
Immaginiamo di condurre un esperimento ripetuto 1000 volte con campioni tratti
dalla stessa popolazione: la distribuzione delle medie campionarie.
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
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la distribuzione della statistica F.
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
59
Il numero di campioni che avrebbe portato al rifiuto dell'ipotesi nulla.
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
60
Le corrispondenti immagini nel caso di campioni da tre diverse popolazioni
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
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Esercizi dal testo
p 226 n 2
p 226 n 4
p 226 n 6
p 226 n 7
p 226 n 8
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Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione
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