ACCELERAZIONE
In Natura moltissimi fenomeni – anzi, praticamente tutti – avvengono a causa del
cambiamento di velocità degli oggetti. Pensate ad un fulmine: esso si genera
quando gli elettroni che orbitano intorno ad un atomo sono spinti da una forza
elettrica: la loro velocità aumenta, essi sfuggono dal centro attrattivo dell’atomo e
si dispongono nell’atmosfera, liberi di scaricarsi al suolo. All’opposto, pensate alla
nascita di un legame chimico: due atomi si muovono liberamente, dopodiché le
forze molecolari li agganciano fra loro, obbligandoli a stare uno intorno all’altro.
Se volete esempi più pratici, considerate pure un qualsiasi motore: esso ha come
unica funzione quello di cambiare continuamente la velocità del macchinario che
guida, mettendolo in moto, fermandolo, accelerandolo o rallentandolo. In tutti
questi esempi, c’è stato un cambiamento di velocità.
Figura 1: dal punto di vista
cinematico, il lancio di una Perciò, ora che abbiamo imparato a misurare le velocità istantanee, possiamo
freccia è solo una questione trattare il problema di definire il caso delle velocità che variano nel tempo: infatti,
di cambiamento di velocità
come visto negli esempi sopra, la velocità di un corpo non rimane costante ma
può aumentare o diminuire.
Però quello che spesso interessa non è soltanto quanto cambia la velocità ma anche quanto rapidamente
cambia. Pensa infatti a due moto che partono entrambe da ferme e che giungono alla velocità di 50km/h, la
prima in 3s la seconda… in 30s! Quale delle due è la più scattante? Quale delle due vorresti guidare durante il
sorpasso di un’auto? La prima moto è in grado di cambiare velocità rapidamente: essa arriva subito alla
velocità di sorpasso e supera velocemente l’auto: la seconda… aumenta velocità lemme lemme: quando
giunge ad avere la velocità per il sorpasso… l’auto da sorpassare è già andata via!
E’ evidente che è necessario definire una nuova grandezza che misuri quanto cambia la velocità rispetto al
tempo necessario per il cambiamento, cioè che misuri la rapidità del cambiamento di velocità. Tale
grandezza è l'accelerazione.
ACCELERAZIONE E VELOCITA’
L’accelerazione (a) rappresenta la rapidità con la quale cambia
il modulo della velocità. Se all’istante t1 la velocità assume il valore V1
e all’istante t2 essa invece ha il valore V2, il cambiamento di velocità
(V) è espresso come: V=V2-V1 mentre il tempo impiegato per il
cambiamento (t) è t=t2-t1. La rapidità del cambiamento di velocità è
dato dal rapporto fra quanto la velocità è cambiata(V) rispetto al
tempo di cambiamento (t), perciò scrivo:
a = V/t a = (V2- V1)/t
(1a)
L’eq. (1a) è facilmente invertibile come:
t = V/a
(1b)
V = at
(1c)
In particolar modo, l’eq. (1c) può essere riscritta per ottenere la velocità finale (V2) dopo un tempo di
accelerazione t a partire da una velocità iniziale V1; sapendo infatti che V = V2 - V1 si ha:
V2 – V1 = at V2 = at + V1
(1d)
A sua volta, l’eq. (1d) può essere facilmente invertita per ottenere V1. Scrivi tu la formula!
ACCELERAZIONE E SPAZIO
“Una moto si muove alla velocità di 15m/s quando improvvisamente frena. Il freno applica sulla moto una
decelerazione a//=3m/s2 opposta alla velocità. Quanto tempo impiega la moto fermarsi? Qual è il suo spazio di
frenata?” Eccovi la domanda: rispondete! “Facile! – i mimmi si scatenano a risolvere il problema – il tempo
necessario alla frenata è 5s. Lo spazio percorso… ???”
Le formule (1a)-(1d) permettono di conoscere soltanto le velocità, non gli spazi percorsi in un moto
accelerato. Sicuramente lo spazio percorso durante la frenata non è P=15m/s5s = 75m perché durante i 5s
la velocità non è rimasta costante e perciò la formula P = Vt non è applicabile!1
Esiste un facile teorema che permette di calcolare lo spazio P percorso in un moto accelerato durante un
tempo t ma noi non lo dimostreremo: per brevità, troveremo la formula finale per P partendo da semplici
considerazioni cinematiche espresse nel seguente teorema:
Teorema del moto uniformemente accelerato
“Un corpo che si muove con accelerazione “a” per un tempo t a partendo da una
velocità iniziale V1 ed arrivante ad una velocità finale V2 percorre un tratto
P=(V2+V1)/2t = 1/2at2 + V1”
Hp) un oggetto si muove con accelerazione “a” partendo da una velocità V1 per un
tempo t fino a giungere ad una velocità finale V2
Ts) Lo spazio percorso è P= (V2+V1)/2t = 1/2at2 + V1
Dim) Per prima cosa, calcoliamo la velocità al tempo metà dell’accelerazione (V1/2), cioè dopo un tempo
t/2:
V1/2 = V1 + at/2 . Ma: t = (V2 – V1)/a (sostituendo t e dopo un facile calcolo)
V1/2 = (V2 + V1)/2
Dunque, a metà del tempo di accelerazione, la velocità dell’oggetto è a metà fra la velocità
iniziale e quella finale. Adesso supponiamo di calcolare la velocità dopo un piccolo tempo dt oltre il
tempo t/2: la velocità aumenterà rispetto a V1/2 di un valore dV=adt. Calcoliamo invece la velocità ad
un tempo dt prima della metà: la velocità diminuirà rispetto a V1/2 di un valore dV=-adt.
Ma allora, rispetto al tempo metà, ciò che viene guadagnato dopo (cioè dV=adt) è esattamente uguale a
ciò che viene perso prima (cioè dV=-adt)! Tutto ciò che il corpo guadagna quando ha una velocità oltre
V1/2 è esattamente uguale a ciò che ha già perso quando aveva una velocità inferiore a V1/2. Questo
significa che è come se il corpo fosse sempre andato di moto uniforme ad una velocità esattamente
uguale a V1/2, cioè alla velocità (V2+V1)/2. Ma allora:
P = (V2 + V1)/2t
(2a)
Posso ottenere una seconda formula equivalente alla (2a) se nell’eq.(2a) sostituisco V2 con l’eq. (1d): dopo
brevi calcoli ottengo subito:
P = 1/2at2 + V1
(2b)
C.V.D.
Le eq.(2a) e (2b) sono del tutto equivalenti: quale delle due sia meglio usare dipende soltanto dal tipo di
problema.
Ricordatevi questo! S=Vt vale solo per un moto uniforme! Per un moto accelerato [ del tutto sbagliata perché V non è
costante!
1
La formula (2b) permette di ottenere l’equazione per il calcolo di P2 (cioè della posizione finale) una volta
note accelerazione (a) , tempo di accelerazione (t) , velocità e posizione iniziali (V1 e P1). Poiché sappiamo
che P = P2 – P1 P2 = P + P1 P2 = 1/2at2 + V1 + P1
(3)
Segno di a
Notiamo come, dalla definizione stessa di accelerazione, si ricava che a è positiva quando la velocità finale V2
è maggiore della velocità iniziale V1 , è zero quando la velocità finale coincide con la velocità iniziale e negativa
quando la velocità finale è minore della velocità iniziale.
Attenzione al significato di “velocità maggiore” e “velocità minore” !!! Avere “velocità minore” non significa
“andare più piano”! Di due corpi, uno con velocità V1=4m/s e l’altro con velocità V2=-8m/s, il più veloce è il
secondo (in ogni secondo esso percorre 8m mentre il primo solo 4) anche se la sua velocità è minore (-8 < 4).
Il segno dell’accelerazione da solo non indica se l’oggetto sta aumentando o diminuendo la sua
velocità. Considera ad esempio il caso di una moto con velocità iniziale V=25m/s che viene frenata fino
all’arresto in 5.0 s, risulta a =
= -5.0m/s2: l’accelerazione è negativa e
la moto ha rallentato.
“Benissimo! Ho capito: quando a è negativa ho sempre un rallentamento…”
“Nooo! Non hai capito nulla! Aspetta che io finisca gli esempi prima di
giungere alla conclusione.”
Facciamo un secondo esempio: solita moto di prima ma stavolta si muove in verso opposto con V=-25m/s.
Essa frena nuovamente in 5s… a =
= +5m/s2. Stavolta l’accelerazione è positiva ma la moto ha
rallentato !!!!! In classe abbiamo fatto degli esempi riguardo al segno di a e siamo giunti a questa conclusione:
se i segni di velocità e accelerazione sono concordi l’oggetto accelera
se i segni di velocità e accelerazione sono discordi l’oggetto decelera
Quesito 1: Supponiamo che un corpo abbia velocità pari a 10 m/s. Dopo 20 s la sua velocità è aumentata a
30 m / s. Qual è la sua accelerazione?
Ris: Per trovare l'accelerazione tangenziale media del corpo è sufficiente
a = (V2– V1) / (t2 – t1) = (30 m/s - 10 m/s) / (20 s) = (20 m/s) / 20 s = 1 m/s2.
applicare
l’eq.
(2):
Quesito 2: La posizione di un corpo in caduta libera viene misurata ogni secondo e si ottengono i seguenti
risultati: P0 = 0 , P1 = 4.9 m , P2 = 19.6 m , P3 = 44.1 m. Si calcolino le velocità medie e le accelerazioni
medie nei vari intervalli di tempo.
Ris: Andiamo per prima cosa a calcolare le velocità medie nei vari intervalli di tempo. Tra 0 e 1 s la velocità
media è V1 = 4.9 m / 1 s = 4.9 m /s. Nel secondo intervallo di tempo, compreso tra 1 s e 2 s, la velocità
media è V2 = (19.6 m - 4.9 m)/1 s = 14.7 m/s. Nel terzo intervallo di tempo, tra 2 s e 3 s, la velocità media è
V3 = (44.1 m - 19.6 m)/1 s = 24.5 m/s.
Come si può notare la velocità di un corpo in caduta non è costante ma aumenta al passare del tempo.
L'accelerazione nel primo intervallo di tempo è: a1 = (V2 - V1)/(1 s) = (14.7 m/ s - 4.9 m/s)/(1s) = 9.8 m/s2
Analogamente possiamo facilmente calcolare l'accelerazione nel secondo intervallo di tempo:
a2 = (V3 - V2)/(1 s) = (24.5 m/s - 14.7 m/s)/(1s) = 9.8 m /s2. Scopriamo che l'accelerazione media non è
cambiata! infatti, un corpo in caduta libera si muove con un'accelerazione costante e uguale a g = 9.8 m /s2.
( Parte degli appunti ripresi dal documento: “ACCELERAZIONE NEL MOTO CURVILINEO” del Liceo Classico
Statale “Vincenzo Lanza” di Foggia. Quesiti ripresi ed adattato dal sito:
http://digilander.libero.it/danilo.mauro/temi/cinematica2.html#sthash.xhofeCtL.dpuf )
