MISURA DELLA COMPONENTE ORIZZONTALE DEL
CAMPO MAGNETICO TERRESTRE COL METODO DI GAUSS
Il campo magnetico terrestre H può esser pensato come un campo generato da un dipolo magnetico
posto non lontano dal centro della terra in modo che, approssimativamente, nella direzione del polo
nord geografico si trovi il polo magnetico sud e viceversa. In un punto qualunque sulla superficie
della terra il campo magnetico terrestre forma con il piano orizzontale un angolo i che si chiama
inclinazione magnetica. Questo angolo varia da punto a punto sulla superficie della terra; in Italia
vale circa 60°. Si chiama inoltre declinazione magnetica l’angolo che il piano verticale in cui si
trova H (meridiano magnetico) forma col meridiano geografico.
La componente orizzontale H0 del campo magnetico terrestre ha un valore dell’ordine del decimo di
Gauss. Tanto per dare un’idea, questo è anche l’ordine di grandezza dell’intensità del campo
magnetico prodotto a distanza di un centimetro da un lungo filo rettilineo (lunghezza molto
superiore al centimetro) percorso dalla corrente di un Ampere.
Ne consegue che per fare una misura attendibile dobbiamo stare lontani da correnti preesistenti
nell’ambiente circostante. Dobbiamo inoltre tenere presente che l’intensità e la direzione di un
campo magnetico sono influenzate dalla presenza di materiali ferromagnetici (per esempio armadi
di ferro ma anche ferro contenuto all’interno di muri in cemento armato o nei pavimenti). Perciò per
una buona misura dovremmo andare in un luogo all’aperto lontano da qualunque edificio.
In laboratorio questa misura ci fornirà il valore del campo “locale”, che sarà solo un valore
approssimato di H0.
Per la misura di H0 col metodo di Gauss si usano un robusto magnete permanente a forma di
cilindro (lunghezza l = 20 cm e raggio della sezione 1 cm) e un piccolo ago magnetico libero di
rotare in un piano orizzontale. Si eseguono due diverse misure indipendenti tra loro.
Prima misura:
Si appende il magnete permanente a un filo di costante di
torsione trascurabile, in modo che possa liberamente rotare in
un piano orizzontale (fig. 1). La posizione di equilibrio del
magnete sarà nella direzione del campo magnetico terrestre
perché, in tal caso, il momento applicato risulta nullo (v.
appendice 1). Se ora si ruota di un angolo θ il magnete appeso
e disposto orizzontalmente, nasce un momento di forze (–M)
che si oppone allo spostamento. Dalla seconda equazione
cardinale della dinamica dei sistemi (La derivata del momento
della quantità di moto totale di un sistema è pari alla risultante
dei momenti delle forze esterne agenti) si ha, per un corpo
rigido:
I
dω
= −M
dt
fig. 1
M è il momento di forze applicato al magnete dovuto al campo magnetico terrestre H0 . I è il
momento di inerzia del nostro magnete, e si calcola facilmente dalla relazione: I=1/12 Ml2 dove M è
la massa del magnete (M=0.564±0.001 kg); ω è la velocità angolare del magnete.
Si ha, perciò, per una rotazione del magnete di un angolo θ rispetto alla posizione di equilibrio (v.
appendice 1):
I
dω
= − mH 0 sin θ
dt
(m : momento magnetico)
1
Ma:
ω=
dθ
dt
perciò
d 2θ
I 2 = − mH 0 sin θ
dt
e, nell’ipotesi di piccole oscillazioni in cui sin θ si può confondere con θ,
I
d 2θ
= − mH 0θ
dt 2
Questa è l’equazione di un moto armonico con periodo delle oscillazioni
T = 2π
I
mH 0
quindi
(1)
mH 0 = 4π 2
I
T2
Noti I e T, si calcola mH0.
Seconda misura:
Il magnete cilindrico dell’esperienza precedente si dispone perpendicolarmente al piano del
meridiano magnetico appoggiandolo su un piano orizzontale. Sul suo asse, a una certa distanza, si
colloca un piccolo ago magnetico libero di rotare orizzontalmente. La distanza si sceglie in base al
criterio che sia grande (> 10 volte) rispetto alle dimensioni dell’ago magnetico, ma anche
sufficientemente piccola per produrre una deviazione misurabile dell’ago dalla sua posizione
iniziale. L’ago magnetico è allora sottoposto sia al campo terrestre H0 che al campo HM dovuto al
magnete (v. fig. 2).
fig. 2
Quest’ultimo è (v. appendice 2)
2
HM = k'
m⎡ 1
1⎤
⎢ 2 − 2⎥
l ⎣ r1 r2 ⎦
L’ago magnetico si disporrà allora secondo la risultante dei due campi formando, con la posizione
iniziale, un angolo α dato dalla relazione:
tan α =
HM
m⎡ 1
1⎤ 1
= k' ⎢ 2 − 2 ⎥
H0
l ⎣ r1 r2 ⎦ H 0
perciò
( 2)
m
=
H0
l tan α
⎡1
1⎤
k'⎢ 2 − 2 ⎥
⎣ r1 r2 ⎦
Nelle equazioni (1) e (2) i secondi membri sono determinabili sperimentalmente; se poniamo:
mH 0 = s1 e
m
= s2
H0
si ottiene
H0 =
s1
s2
Nella seconda misura conviene fare più determinazioni di s2 a distanze diverse e, mediante
un’interpolazione, ricavare il valore più probabile.
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Appendice 1
MOMENTO DI FORZE AGENTE SU UN DIPOLO
Si chiama dipolo elettrico una coppia di cariche elettriche di intensità q e di segno opposto, poste a
una certa distanza l una dall’altra e si chiama momento di dipolo elettrico il vettore p che ha per
modulo ql ed è orientato come il segmento che va dalla carica negativa alla carica positiva.
In analogia col dipolo elettrico si definisce il dipolo magnetico come l’insieme di due cariche
magnetiche, ovvero di due poli magnetici (un sud e un nord) e si definisce momento del dipolo
magnetico il vettore m che va dal polo sud al polo nord e di modulo uguale al prodotto dell’intensità
comune dei due poli per la loro distanza.
Un dipolo elettrico di lunghezza l e carica q immerso in un campo elettrico E risente di due forze
distinte +qE e –qE, una per ciascuna carica costituente il dipolo (v. fig. 3).
fig. 3
Il modulo del momento di forza del campo applicato è:
M = –qE l sin θ
ovvero
M = –pE sin θ
dove p = ql.
Analogamente per un dipolo magnetico immerso in un campo magnetico H0 si ha:
M = –mH0 sin θ
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Appendice 2
CAMPO PRODOTTO DA UN DIPOLO
Il campo elettrico prodotto da una carica puntiforme q in un punto a distanza r è dato, per la legge
di Coulomb, da:
k = 1 sistema c.g.s.
1
k=
sistema internazionale
4πε 0
q
r
E = k 2 vers r = k q 3
r
r
Se siamo in presenza di due cariche elettriche a distanza l una dall’altra (dipolo elettrico) si potrà
calcolare il campo in un punto P come somma vettoriale dei campi dovuti alle due cariche
elettriche. Supponendo di calcolare il campo in un punto che sta sulla retta definita dal momento p
(v. fig. 4), possiamo fare una somma scalare:
⎡q
q⎤
Edipolo = k ⎢ 2 − 2 ⎥
⎢⎣ r1 r2 ⎥⎦
(r1 e r2 sono le distanze dal punto P delle due cariche del dipolo).
Ma q=p/l; perciò si può scrivere:
Edipolo = k
1⎤
p⎡1
⎢ 2 − 2⎥
l ⎣ r1 r2 ⎦
In analogia, per il dipolo magnetico si avrà:
H dipolo
1⎤
m⎡ 1
= k' ⎢ 2 − 2 ⎥
l ⎣ r1 r2 ⎦
k'= 1
k'=
sistema c.g.s. e.m.
µ0
sistema internazionale
4π
fig. 4
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