Trasformazioni circuitali

Esercitazione 12 ottobre 2011
Trasformazioni circuitali
Serie e parallelo
Si considerino i circuiti in Fig. 3 e 4 che rappresentano, rispettivamente, un partitore di tensione e
uno di corrente.
i
V
i
R1
v1
R2
v2
R3
v3
Fig. 3: Partitore di tensione.
i1
v
V
R1
i2
i3
R2
R3
Fig. 4: Partitore di corrente.
Per entrambi i casi, i valori delle grandezze sono riportati in Tab. I.
Grandezza
V
R1
R2
R3
Valore
50 V
10 Ω
25 Ω
15 Ω
Tab I: Valori delle grandezze dei circuiti.
Si consideri il circuito di Fig.1, il partitore di tensione. Come facilmente si può notare, le tre
resistenze sono in serie e possono essere sostituite da un’unica resistenza con valore dato da:
R = R1 + R2 + R3 = 10 + 25 + 15 = 50 Ω .
Si noti che, effettivamente, la resistenza equivalente è maggiore di ognuna delle resistenze, poiché
sono in serie.
In Fig. 5 è disegnato il circuito equivalente.
i
R
V
Fig. 5: Partitore di tensione, circuito equivalente.
Questo circuito è facilmente risolvibile e porta a:
i=
V 50
=
=1 A .
R 50
Nota la corrente che passa sulla serie di resistenze, è possibile tornare al circuito di Fig. 3 ed
analizzare le cadute sui tre componenti. Si avrà:
v1 = R1 ⋅ i = 10 ⋅1 = 10 V
v2 = R2 ⋅ i = 25 ⋅1 = 25 V .
v3 = R3 ⋅ i = 15 ⋅1 = 15 V
Le potenze disperse sulle tre resistenze e quella totale sono quantificabili in:
P1 = R1 ⋅ i 2 = 10 ⋅12 = 10 W
P2 = R2 ⋅ i 2 = 25 ⋅12 = 25 W
P3 = R3 ⋅ i 2 = 15 ⋅12 = 15 W
.
PT = P1 + P2 + P3 = 10 + 25 + 15 = 50 W
La potenza erogata dal generatore è data da:
P = V ⋅ i = 50 ⋅1 = 50 W .
Si nota effettivamente che la potenza erogata dal generatore coincide con quella dispersa sulle
resistenze, come afferma il teorema della conservazione dell’energia.
Si può procedere in modo analogo anche per il partitore di corrente, ma il secondo circuito offre la
possibilità di essere risolto molto più velocemente, essendo nota a priori la tensione sulle resistenze
poiché è imposta dal generatore di tensione. Comunque, a scopo didattico, si procede con la
determinazione della resistenza equivalente, che si presenta un po’ più complicata rispetto al caso
precedente:
R=
1
1
=
= 4 ,8387 Ω .
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
R1 R2 R3 10 25 15
Il circuito equivalente risulta essere uguale a quello del caso precedente (Fig. 5), ma la resistenza ha
un valore diverso ed è più piccolo di ognuna delle resistenze in parallelo.
E’ facilmente calcolabile la corrente applicando la legge di Ohm:
i=
V
50
=
= 10,3333 A .
R 4,8387
Un modo alternativo per giungere alla determinazione della corrente i poteva passare per la
determinazione delle tre correnti di ramo.
i1 =
V 50
=
=5 A
R1 10
i2 =
V 50
=
=2 A
R2 25
i3 =
V 50
=
= 3,3333 A
R3 15
.
Applicando Kirchhoff all’unico nodo del circuito di Fig. 4, si ha:
i = i1 + i2 + i3 = 5 + 2 + 3,3333 = 10 ,3333 A
che è lo stesso risultato ottenuto trovando la resistenza equivalente.
Anche in questo caso è possibile calcolare le potenze dissipate sulle resistenze, utilizzando
l’espressione che utilizza la tensione ai capi del componente.
P1 =
V 2 50 2
=
= 250 W
10
R1
P2 =
V 2 50 2
=
= 100 W
25
R2
P3 =
V 2 50 2
=
= 166 ,7 W
R2
15
PT = P1 + P2 + P3 = 250 + 100 + 166 ,6667 = 516 ,7 W
La potenza erogata dal generatore è pari a:
P = V ⋅ i = 50 ⋅ 10 ,3333 = 516 ,7 W .
La potenza dissipata e quella erogata dal generatore, sembrerebbero non coincidere. In realtà, è
stato commesso un errore di troncamento, dovuto alla precisione limitata utilizzata per
rappresentare le grandezze. Le due potenze sono sufficientemente prossime da poterle considerare
uguali.
Triangolo-stella (∆
∆-Υ
Υ)
Quando la semplice serie o parallelo non bastano per risolvere un circuito, possono essere di grande
aiuto le trasformazioni triangolo-stella (∆ Υ)o stella-triangolo (Υ ∆).
Fig. 6: Triangolo e stella.
∆→Υ
Υ→∆

RAB ⋅ RAC
RA =
RAB + RBC + RCA


RBC ⋅ RBA
 RB =
RAB + RBC + RCA


RCA ⋅ RCB
 RC =
RAB + RBC + RCA


RA ⋅ RB + RB ⋅ RC + RC ⋅ RA
 RAB =
RC


RA ⋅ RB + RB ⋅ RC + RC ⋅ RA
 RBC =
RA


R ⋅ R + RB ⋅ RC + RC ⋅ RA
 RCA = A B
RB

In Fig. 7 è disegnato un circuito particolare, in cui non si possono trovare né due resistori in serie né
in parallelo.
R1
R4
R2
V
R3
Fig. 7: Circuito senza serie o paralleli.
R5
In relazione al circuito di Fig. 7, Tab. II riporta i valori delle grandezze.
Grandezza
V
R1
R2
R3
Valore
50 V
10 Ω
20 Ω
R4
R5
15 Ω
30 Ω
15 Ω
Tab. II: Valori delle grandezze di Fig. 7.
Il circuito di Fig. 7 può essere risolto attraverso molte strade, qui di seguito ne verrà seguita una.
Stella
R1
R2
V
R1
R4
R3
Fig. 8: Presenza di una stella.
V
R5
R12
R2 i 2
R31
R4
i4
i5
R3
R23
R5
Fig. 9: Triangolo equivalente.
Applicando la trasformazione stella-triangolo alle tre resistenze evidenziate in Fig. 8 si perviene alla
situazione topologica evidenziata in rosso in Fig. 9. Per calcolare il valore delle resistenze
equivalenti è necessario applicare le relazioni di passaggio da stella a triangolo riportate ad inizio
del sottocapitolo.

R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 1100
=
= 36 ,6667 Ω
 R12 =
R3
30


R1R2 + R2 R3 + R3 R1 1100
=
= 110 Ω
 R23 =
R1
10


R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 1100
=
= 55 Ω
 R31 =
R2
20

Il circuito è ora facilmente risolvibile con sostituzioni serie e parallelo. In particolare, si nota il
parallelo tra R4 e R12 , tra R5 e R23 .
i′
i
i31
V
i
R12
R′
R4
V
R31
R23
R31
R ′′
R5
Fig. 9: Circuito con il triangolo equivalente.
Fig. 10: Risoluzione dei paralleli.
Con riferimento al circuito di Fig. 10, si ottiene:
R′ =
36 ,67 ⋅15
R12 ⋅ R4
=
= 10 ,64 Ω
R12 + R4 36 ,67 + 15
110 ⋅15
R ⋅R
R′′ = 23 5 =
= 13,2 Ω
R23 + R5 110 + 15
.
Senza troppi problemi è possibile calcolare la serie di queste due resistenze, data da:
R ′′′ = R ′ + R ′′ = 10 ,64 + 13,2 = 23,84 Ω .
Questa resistenza appena calcolata, risulta in parallelo a R31 , quindi la resistenza equivalente vale:
Req =
R′′′ ⋅ R31
23,84 ⋅ 55
=
= 16,63 Ω .
R′′′ + R31 23,84 + 55
Nota la resistenza equivalente, il calcolo della corrente erogata dal generatore risulta molto
semplice.
i=
V
50
=
= 3 A.
Req 16,63
Con riferimento a Fig. 9, è possibile determinare facilmente il valore della corrente sulla
R ′′′ = R ′ + R ′′ = 10 ,64 + 13,2 = 23,84 Ω che risulta essere quello presente anche nel circuito reale
poiché, questa resistenza, non è stata soggetta ad alcuna trasformazione.
Considerando che la resistenza R31 è soggetta alla tensione V , è possibile determinare il valore
della corrente su di essa:
i31 =
V
50
=
= 0 ,9091 A
R31 55
Per Kirchhoff alle correnti è possibile porre:
i ′ = i + i31 = 3 − 0 ,9091 = 2 ,09 A .
Le resistenze R4 e R12 sono in parallelo, quindi è possibile applicare loro la formula del partitore di
corrente:
i4 =
R12
36,6667
i′ =
⋅ 2,09 = 1,48 A
R12 + R4
36,6667 + 15
Tornando al circuito di Fig. 9, la corrente sulla resistenza reale R1 si ricava applicando Kirchhoff al
nodo reale, ottenendo:
i1 = i − i4 = 3 − 1,48 = 1,52 A .
La corrente i ′ fluisce anche sul partitore formato da R5 e R23 . Applicando la formula del partitore:
i5 =
R23
110
i′ =
⋅ 2 ,09 = 1,83 A .
R23 + R5
110 + 15
La corrente sulla resistenza reale R2 può essere così determinata applicando Kirchhoff al nodo
evidenziato dalle frecce di corrente in Fig. 9.
i2 = i5 − i4 = 1,83 − 1,48 = 0 ,35 A .