Le disequazioni

Classe II E l Disequazioni algebriche
a.s. 2010/2011
U. C. Utilizzare le tecniche e procedure di calcolo aritmetico e algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica U. d. A. Disequazioni algebriche Risultato atteso Il soggetto deve essere in grado di: • Studiare il segno di un binomio di 1° grado e di un trinomio di 2° grado • Risolvere disequazioni algebriche di 1° e 2° grado indicando graficamente gli intervalli delle soluzioni • Risolvere sistemi di disequazioni e disequazioni fratte Attività Il soggetto deve sapere come: • Rappresentare graficamente gli intervalli di ℜ e decodificarli • Interpretare il concetto di disequazione e di soluzioni di una disequazione • Risolvere disequazioni algebriche di 1° e 2° grado applicando i principi di equivalenza delle disuguaglianze e rappresentare graficamente le soluzioni • Interpretare il concetto di sistema di disequazioni e delle soluzioni di esso • Risolvere sistemi di disequazioni • Interpretare il concetto di disequazione fratta e risolverle con il metodo del segno dei termini Competenze Per dimostrare il risultato atteso, il soggetto deve: 1. Risolvere disequazioni algebriche lineari e quadratiche e rappresentare gli intervalli di soluzioni 2. Risolvere sistemi di disequazioni e rappresentare gli intervalli di soluzioni 3. Risolvere disequazioni fratte e rappresentare gli intervalli di soluzioni CRITERI E LIVELLI DI PADRONANZA COMPETENZE LIVELLI DI PADRONANZA CARENTE BASILARE ADEGUATO OTTIMO 1. È impacciato e disorientato nella risoluzione e confuso nella rappresentazione di intervalli Risolve disequazioni con qualche incertezza algebrica o di segno; indica e rappresenta correttamente gli intervalli Risolve le disequazioni correttamente e indica e rappresenta le soluzioni con sufficiente autonomia Risolve tutte le disequazioni e indica e rappresenta le soluzioni con autonomia e regolarità spiegando i passaggi che compie 2. Mostra confusione nel concetto e nell’operatività della risoluzione di sistemi. Non rappresenta le soluzioni Applica correttamente il metodo di risoluzione di un semplice sistema di disequazioni indicando le soluzioni con qualche aiuto Applica correttamente il metodo di risoluzione di un sistema di disequazioni indicando le soluzioni Applica correttamente il metodo di risoluzione di un qualsiasi sistema di disequazioni indicando le soluzioni 3. Non sa risolvere le disequazioni fratte Risolve semplici disequazioni fratte leggendo correttamente il grafico Risolve le disequazioni fratte con autonomia e imposta e legge correttamente il grafico Risolve complesse disequazioni fratte con autonomia e imposta e legge correttamente il grafico prof.ssa R. Schettino Classe II E l Disequazioni algebriche
a.s. 2010/2011
MAPPA CONCETTUALE
DISEQUAZIONI ALGEBRICHE di 1° grado (intere) Unite dai segni >, <, ≤, ≥ sono A(x) < B(x); A(x) > B(x); ecc. Es: 4x-2<x+3
½ x – 4 > 3/2 x + 5
A(x) = 4x-2
A(x) = ½ x – 4
(x-4 ) –1/2(x+3) ≥ 1/3(1-x)
A(x) = (x-4) –1/2(x+3)
B(x) = x+3
B(x) = 3/2 x + 5
B(x) = 1/3(1-x)
Risolvere una disequazione
significa determinare
tutti i valori dell’incognita x
per cui è vera la disuguaglianza tra A(x) e B(x)
ossia è vero il segno di disuguaglianza tra A(x) e B(x)
Es: 4x-2> x+3
risulta vera se al posto di x poniamo il valore 3, o 21/5, o 10
Risulta non vera se al posto di x poniamo il valore 2, o –1/5, o 0
½ x – 4 > 3/2 x + 5 risulta vera se al posto di x poniamo il valore –10, o –35/3
Risulta non vera se al posto di x poniamo il valore –8, o 1
Come si determinano tutti i valori che sono soluzioni?
Bisogna prima, con opportuni passaggi, portare la disequazione data
in forma normale ax+b>0 o ax+b<0
A questo punto bisogna tener conto della conseguenza del 2° principio di equivalenza delle disequazioni secondo la quale è possibile cambiare tutti i segni dei termini della disequazione purché si cambi anche il verso della disequazione: ‐3x+5 < 0 ⇒ 3x‐5 >0 7‐12x‐3 > +9x‐24 ⇒ ‐7 +12x < ‐9x +24 Come si vede sono stati cambiati tutti i segni anche il verso della disequazione. prof.ssa R. Schettino Classe II E l Disequazioni algebriche
a.s. 2010/2011
Il non farlo è un grave errore in cui si cade spesso! ATTENZIONE! Per determinare le soluzioni di una disequazione algebrica di 1° grado si opera come segue: (contempliamo il caso a>0, in caso contrario si cambiano tutti i segni compreso il verso della disequazione) ax+b>0 ⇒ x > ‐b/a ax+b<0 ⇒ x < ‐b/a ( b va al secondo membro cambiato di segno e a va al denominatore, come nelle equazioni di 1° grado, solo che bisogna mettere il segno di disuguaglianza) Es. 1) 4x‐2 > x+3 dopo i passaggi di trasporto dal secondo al primo membro, secondo le regole che già si conoscono per le equazioni, si ottiene: 4x –x –2 –3 > 0 ⇒ 3x ‐ 5 > 0 ⇒ x > 5/3 questo significa che tutti i numeri reali x maggiori di 5/3 sono soluzioni della
disequazione ossia verificano l’esercizio dato; mentre tutti i numeri minori di 5/3 non
sono soluzioni della disequazione.
2) ½ x – 4 > 3/2 x + 5 facendo i passaggi di trasporto si ha: ½ x – 3/2 x –4 –5 > 0 ⇒ ‐ x – 9 > 0 ⇒ x + 9 < 0 ⇒ x < ‐9 questo significa che tutti i numeri reali x minori di –9 sono soluzioni della
disequazione mentre tutti i numeri maggiori di -9 non sono soluzioni.
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE SOLUZIONI
‐ b/a ℜ x > ‐ b/a ‐ b/a x < ‐ b/a N.B. la visualizzazione grafica delle soluzioni e l’indicazione dell’intervallo sono fondamentali per la conclusione dell’esercizio prof.ssa R. Schettino Classe II E l Disequazioni algebriche
a.s. 2010/2011
DISEQUAZIONI ALGEBRICHE di 2° grado (intere) ax2+bx+c>0 a>0 Si determinano le soluzioni dell’equazione associata ax2+bx+c=0 x1 ; x2 ƒ Se x1<x2∈ℜ soluzioni x<x1; x>x2 valori esterni all’intervallo delle radici ƒ Se x1=x2∈ℜ soluzioni x∈ℜ‐ {x1} tutti i valori reali tranne la radice x1 ƒ Se x1 e x2 ∉ℜ soluzioni x ∈ℜ tutti i valori reali 2
ax +bx+c<0 a>0 2
Si determinano le soluzioni dell’equazione associata ax +bx+c=0 x1 ; x2 ƒ
ƒ
ƒ
Se x1<x2∈ℜ soluzioni x1<x<x2 valori interni all’intervallo delle radici Se x1=x2∈ℜ nessuna soluzione Se x1 e x2 ∉ℜ nessuna soluzione RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
DELLE SOLUZIONI
P(x) > 0 : x< x1 ; x> x2 x1 x2 ℜ x1 x2 P(x) < 0 : x
1 < x < x2 ℜ P(x) > 0 : ∀ x ∈ ℜ ‐ {x1=x2} x1=x2 ℜ P(x) < 0 : nessuna soluzione P(x) > 0 : ∀ x∈ℜ x1=x2 ℜ ℜ P(x) < 0 : nessuna prof.ssa R. Schettino ℜ Classe II E l Disequazioni algebriche
a.s. 2010/2011
DISEQUAZIONI
ALGEBRICHE
(sistemi) A(x) <B(x) C(x) > D(x) SISTEMA DI DISEQUAZIONI : è costituito da più disequazioni nella stessa incognita verificate contemporaneamente Si svolge risolvendo ciascuna disequazione trovando gli intervalli di soluzioni, poi si visualizzano sulla stessa retta dei numeri reali e si considerano gli intervalli dove sono verificate entrambe ossia dove si trovano entrambe le linee continue di soluzioni. Questi intervalli sono le soluzioni del sistema ossia delle disequazioni contemporaneamente Determinare i valori di x per cui è vera sia A(x)<B(x) sia C(x) > D(x) RISOLVERE UN SISTEMA di disequazioni significa determinare le soluzioni comuni a tutte le disequazioni ossia determinare i valori dell’incognita che siano soluzioni di tutte le disequazioni del sistema DISEQUAZIONI
ALGEBRICHE (fratte)
Sono del tipo: A( x) A( x)
> 0 oppure
< 0 B( x)
B( x)
N.B. Si noti che al secondo membro compare sempre 0 Si risolvono con un metodo rapido, detto falso sistema, in cui si pongono sempre i due termini, A(x) e B(x), positivi (>0), qualunque sia il verso della disequazione data; si risolvono queste disequazioni visualizzando sulla stessa retta dei numeri le soluzioni con linea continua(>0) e con linea discontinua (<0) i restanti intervalli. Poi si applica la regola algebrica dei segni e si considerano gli intervalli dove si verifica il segno della disequazione data. Questi intervalli sono le soluzioni della disequazione data. ℜ A(x) B(x) _ + _ + prof.ssa R. Schettino