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Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine
2. RICHIAMI DI TERMODINAMICA
2.1 DEFINIZIONI
Sistema termodinamico
Si definisce sistema termodinamico una quantità di materia o porzione di
spazio separata dal resto dell’universo, che si chiamerà ambiente esterno,
mediante un determinato contorno costituito da una superficie reale o
immaginaria, rigida o deformabile. Il sistema è sede di trasformazioni interne e
di scambi di materia e di energia con l’ambiente esterno.
Parametri caratteristici dello stato termodinamico
Lo stato di un sistema può essere individuato mediante un adeguato numero
di parametri di stato. Questi possono suddividersi secondo lo schema
seguente:
parametri esterni (coordinate spaziali e cinematich e)
chimici
Parametri di stato -
parametri interni : -
fisici
Parametri esterni: non sono altro che le coordinate spaziali del sistema,
istante per istante. Se il sistema fosse puntiforme sarebbero sufficienti tre
coordinate spaziali: ad esempio, in un sistema di riferimento cartesiano, la x, la
y e la z del punto stesso in ogni istante. Se il sistema fosse un corpo rigido
occorrerebbero invece sei coordinate: ad esempio, sempre nel sistema di
riferimento cartesiano prima ipotizzato, oltre alle tre coordinate x, y e z del suo
baricentro, anche i tre coseni direttori di una definita terna di assi con l'origine
nel baricentro stesso.
Se il sistema è un corpo deformabile, quale, ad esempio, un fluido, il problema
di individuare ad ogni istante la posizione spaziale del sistema è più complesso,
in quanto è necessario specificare lo stato di deformazione del sistema (ovvero,
ricorrendo ad un’analogia con un solido elastico, le deformazioni lineari ε ed
angolari γ).
Parametri interni chimici: interessano qualora si verifichino reazioni
chimiche e sono in numero pari a quello delle reazioni chimiche indipendenti
fra loro, i gradi di avanzamento delle quali vengono in genere assunti come
parametri chimici.
Se non vi sono reazioni chimiche, i parametri chimici non intervengono nei
fenomeni.
Parametri interni fisici: nel caso più generale, sono pari a sette; ad esempio,
uno può essere la temperatura T e gli altri sei sono le componenti del tensore
degli sforzi interni Π:
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s x
τ xy
τ yx
τ zx
sy
Π =
τ zy
τ xz
.
τ yz
s z
Tenendo presente la simmetria del tensore (τij = τji), le nove componenti del
tensore si riducono a sei. Rimane sempre costante la somma delle tre
componenti poste sulla diagonale principale, e quindi anche il loro valore
medio, che corrisponde alla pressione p, ovvero:
p =s m =
1
(s x + s y + s z ) .
3
In certi casi lo stato interno fisico è rappresentato, in modo approssimato,
adottando la pressione p al posto di Π. In questi casi tuttavia non si trascura il
lavoro compiuto dagli sforzi tangenziali, lavoro usualmente indicato come Lw.
2.2 LEGGI FONDAMENTALI NELLO STUDIO DEI FLUIDI
I sistemi termodinamici presi in considerazione nello studio del funzionamento
delle macchine sono sistemi fluidi (si parla, appunto, di macchine a fluido),
ovvero sistemi costituiti da gas, vapore o liquido.
L’evoluzione di un sistema fluido è descritta dalle seguenti leggi fondamentali,
cui corrispondono altrettante equazioni fondamentali:
•
•
•
•
Legge di conservazione della massa
Legge di variazione della quantità di moto (e legge di variazione del
momento della quantità di moto)
Legge di conservazione dell’energia
Legge di evoluzione dell’energia
Nella formulazione matematica di queste leggi, in generale, si considera il fluido
come un mezzo continuo, omogeneo ed isotropo.
Le prime due leggi elencate (conservazione della massa e variazione della
quantità di moto) sono a rigore materia della disciplina della fluidodinamica, e
saranno analizzate nei Capitoli 3 e 4.
In questo Capitolo ci si soffermerà sulle leggi che descrivono più strettamente
l’evoluzione termodinamica di un sistema fluido: la legge di conservazione
dell’energia, o PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA, e la legge di
evoluzione dell’energia, o SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA.
Accanto a tali leggi, ci si soffermerà sull’equazione di stato, che esprime una
relazione tra i parametri interni fisici di un sistema e sul concetto di evoluzione
politropica.
2.3 EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI
I gas perfetti si suddividono in gas ideali o in gas quasi ideali, a seconda
che le capacità termiche massiche a pressione e a volume costante cP e cV si
possano assumere rispettivamente costanti oppure funzioni della sola
temperatura:
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( cp, cv costanti)
gas ideali
.
gas perfetti -
gas quasi ideali ( cp, cv = f(T) )
Per analizzare l’evoluzione del sistema termodinamico è necessario conoscere la
sua legge di stato.
Nel campo delle Macchine, dovendo di norma trattare con gas (comprimibili), la
legge di stato più utilizzata è l’equazione di stato dei gas perfetti:
pv = RT ,
dove si è indicato con R = ℜ/µ la "costante di elasticità" del gas, pari al
rapporto tra la "costante universale dei gas" ℜ e la massa molecolare media del
gas stesso µ (espressa in kg / Kmol). Per l’aria:
[ℜ = 8314 J / (kmol*K)]
µaria = 29 kg / kmol
Raria = 8314 / 29 = 287 J / (kg*K)
Nell’equazione di stato dei gas perfetti la pressione è espressa in Pascal Pa, il
volume specifico in m3 / kg, la temperatura in Kelvin (K).
Nel caso di liquidi (incomprimibili) una legge di stato particolarmente semplice
considera la massa volumica ρ = ρ0 = costante.
2.4 LEGGE DI EVOLUZIONE DI UN GAS IDEALE
Nella maggioranza dei casi (nello studio delle Macchine) la legge di evoluzione
del fluido è considerata di tipo politropico. Col termine evoluzione
politropica si intende una qualsiasi trasformazione descritta dall’equazione
seguente:
pvm = costante,
dove m è l’esponente della trasformazione politropica, costante; in termini di
temperatura T:
dQtot = c dT,
dove c è il calore specifico costante della trasformazione politropica e Qtot è il
calore complessivamente scambiato dal sistema con l’esterno. Mentre la prima
delle due equazioni appena scritte è valida per qualunque sistema fluido, la
seconda vale a rigore solo se il sistema è costituito da gas perfetto: solo in questo
caso, infatti, è possibile affermare che un’evoluzione politropica è un’evoluzione
caratterizzata dalla costanza del calore specifico.
Per valori particolari di m e di c (espresso in J / (kg*K)), si ottengono i seguenti
casi notevoli:
TIPO DI EVOLUZIONE
Isocora (v = costante)
Isobara (p = costante)
Isoterma (T = costante)
Isentropica (S = costante)
VALORI DI m
±∞
0
1
k
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VALORI DI c
cv
cp
±∞
0
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Politropica (c = costante)
costante
costante
E’ importante a questo punto richiamare la nota legge di Meyer: R = cp – cv; essa
mostra come il calore specifico a pressione costante sia sempre maggiore del
calore specifico a volume costante dal momento che la costante di elasticità del
gas è una quantità sempre positiva.
Le Figure 2.1 e 2.2 presentano le quattro evoluzioni semplici notevoli riportate
nella tabella precedente, espresse in termini rispettivamente di pressioni e
volumi (diagramma p, v) e di temperature ed entropie specifiche (diagramma T,
S).
Diagramma p, v
±∞ 0
c
v
p
m>0
m<0
m=± ∞
c
p
m=0
m<0
p=cost.
v=cost.
T=cost.
S=cost.
m=0
cv
cp
m>0
± ∞
0
v
Figura 2.1: Trasformazioni isobara, isocora, isoterma e isentropica nel piano p – v.
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±∞
Diagramma T, S
T
k
0
p=cost.
v=cost.
c=0
1
c<0
c>0
c=± ∞
c=± ∞
c>0
1
c<0
c=0
0
±∞
k
S
Figura 2.2: Trasformazioni isobara, isocora, isoterma e isentropica nel piano T – S.
Ad ogni valore di m corrisponde un valore della capacità termica massica c dato
dalla seguente relazione, valida sempre per i soli gas ideali:
c = cv
m− k
.
m− 1
2.5 PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
Nel campo della Termodinamica esistono due differenti modi di studiare i
fenomeni inerenti al sistema termodinamico:
- il punto di vista sostanziale (o Lagrangiano);
- il punto di vista locale
(o Euleriano).
I due metodi o punti di vista sono ugualmente validi, ma a seconda dei casi può
essere più conveniente seguire l'uno o l'altro di essi.
Punto di vista sostanziale: fa riferimento ad una porzione ben individuata di
materia, costante e immutabile, detta sistema chiuso, la quale non cambia nel
tempo. Tutto quanto non è sistema costituisce l’ambiente esterno. Attraverso un
sistema chiuso non c’è scambio di materia con l’esterno. Detto sistema è
separato dall’esterno mediante una superficie di contorno che si può anche
deformare.
Punto di vista locale: fa riferimento ad un sistema aperto, attraverso il quale
è possibile avere scambio di materia con l’esterno, e in particolare ad una sua
porzione ben definita di spazio, detta volume di controllo. Per individuare il
volume di controllo si può ricorrere alla sua superficie di contorno detta
superficie di controllo.
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Un caso particolarmente semplice del punto di vista locale è quello in cui le
grandezze che individuano lo stato del sistema in ciascun punto dello spazio
sono indipendenti dal tempo (moto permanente). In tal caso le leggi di
conservazione formulate dal punto di vista locale si semplificano notevolmente,
e il punto di vista locale stesso risulta vantaggioso rispetto a quello sostanziale.
2.5.1. I principio della termodinamica: forma sostanziale o lagrangiana
Nella forma sostanziale o lagrangiana
il primo principio della termodinamica
afferma che tutta l'energia che un sistema
riceve attraverso le sue relazioni termiche
e le sue relazioni meccaniche con
l'esterno non può che andare ad
aumentare la sua energia interna.
Lo stato energetico di un sistema è
descritto dalle seguenti grandezze:
l’energia interna (termica) U, costituita,
per un gas perfetto, esclusivamente
dall'energia cinetica di agitazione Figura 2.3 : evoluzione energetica di
molecolare; l’energia interna chimica un sistema termodinamico
Uch, costituita dall'energia connessa alla
struttura della molecola, vale a dire, al
tipo di legame che interviene fra i vari
atomi costituenti la molecola stessa, e
quindi agli elettroni periferici di valenza; l’energia cinetica Ec; la sua posizione
in un eventuale campo di forze, ad esempio gravitazionale e centrifugo, espressa
rispettivamente dalle energie Eg ed Ecf. Trascurando l’eventuale calore generato
dall’attrito sulla superficie esterna del sistema, detto dQe il calore che l’esterno
cede al sistema stesso e dLe il lavoro delle forze di superficie, intendendo con ciò
la sola parte di lavoro che il sistema riceve dall’esterno attraverso le forze
superficiali (che sono quelle di più facile individuazione perchè agiscono per
contatto diretto del sistema con l'esterno attraverso la superficie di contorno),
vale la relazione seguente:
d Q e + d Le = d E ,
d Qe + d Le = d U + d Uch + d Ec + d E g + d Ecf + ... ,
d Q e + d Le = ∫ ( dU + dU ch + dE c + dE g + dE cf + .....)dm ,
M
dove M è la massa complessiva del sistema termodinamico; U e Uch sono
rispettivamente l’energia interna per unità di massa del sistema e l’energia
interna chimica per unità di massa; Ec = c2 / 2 è la sua energia cinetica per unità
di massa; Eg = gz è l'energia potenziale massica del campo gravitazionale,
u2
2
E cf = − ∫ ? r ⋅ dr = −
2
è l'energia potenziale per unità di massa di un eventuale campo centrifugo.
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Per un sistema omogeneo l’equazione precedente può essere scritta nel modo
seguente facendo riferimento all’unità di massa:
dQe + dLe = dU + dE c + dE g + dE cf + ....
E' da notare che mentre i due termini di calore e lavoro non sono differenziali
esatti, i termini a secondo membro lo sono in quanto variazioni di grandezze di
stato le quali dipendono esclusivamente dallo stato iniziale e finale del sistema.
Pertanto integrando le equazioni precedenti fra due istanti 1 e 2 si ottiene:
Q e + Le = ∫ ( ∆1,2 U + ∆1,2 E c + ∆1,2 E g + ∆1,2 E cf + .....)dm
M
e per l’unità di massa in un sistema omogeneo:
Q e + Le = ∆1,2 U + ∆1,2 E c + ∆1,2 E g + ∆1,2 E cf + ....
Puntando l’attenzione sul lavoro compiuto dalle forze di superficie, in forma
infinitesima è possibile pensarlo come compiuto dalle forze di pressione sul
contorno del sistema, dalle forze di massa e dalle resistenze passive:
dLe = − p ⋅ dv + dE c + dE g + dE cf + dLw ,
dove Lw sono le perdite per attriti fluidodinamici. L’equazione appena scritta
(che è possibile dimostrare rigorosamente) è anche detta “primo principio in
forma mista”.
Riprendendo l’equazione
dQe + dLe = dU + dE c + dE g + dE cf + ....
e sostituendovi l’espressione del primo principio in forma mista, si ottiene:
dQ e + dLw − pdv = dU .
E' interessante osservare che in questa relazione oltre dQe, anche dLw e pdv non
sono funzioni di stato e pertanto dipendono dal tipo di trasformazione
termodinamica seguita dal fluido.
In particolare nel caso di una trasformazione isocora (dv = 0), per un gas ideale
si ha:
dQe + dLw = cv ⋅ dT = dU .
Il risultato dU = cv dT è estremamente interessante in quanto, come si è detto,
dU è una funzione di stato dipendente solo dalle condizioni agli estremi: anche
se questo risultato è stato ottenuto per una trasformazione particolare (isocora),
è di carattere generale ed è dunque applicabile a qualunque trasformazione del
sistema termodinamico.
Nel caso di gas ideale (pv = RT; cp – cv = R), risulta inoltre che l'entalpia
definita in generale dalla relazione
i = U + pv
si può scrivere secondo la seguente espressione:
i = cvT + RT = ( cv + R )T = c pT .
Anche in questo caso il risultato di = cp dT è di carattere generale.
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APPLICAZIONE DEL PRIMO PRINCIPIO IN FORMA LAGRANGIANA
Un motore alternativo a 4T, avente spazio morto trascurabile, aspira aria da un
ambiente a pa = 100 kPa, Ta = 293 K.
Determinare la temperatura media Ti dell'aria all'interno del cilindro al termine
della fase di aspirazione, supponendo trascurabili gli scambi di calore con le
pareti ed ipotizzando che la pressione pi all'interno del cilindro si mantenga
costante e pari a 80 kPa per tutta la durata della fase/corsa di aspirazione.
Ipotizzare che l'apertura e la chiusura della valvola di aspirazione avvengano
istantaneamente ai punti morti.
Supporre inoltre per semplicità che l'aria si comporti come un gas perfetto
ideale con le seguenti caratteristiche:
R=
ℜ
8314
=
= 287 J kgK
µ mol
28.96
k=
cp
cv
= 1 .4
Soluzione
Per determinare la temperatura Ti di fine aspirazione si può applicare il primo
principio della termodinamica, scritto in forma sostanziale, al sistema costituito
dalla massa M di fluido aspirata, seguendone l'evoluzione tra gli istanti iniziale
tin e finale tfin della fase di aspirazione:
Q e + Le = ∆U + ∆E c + ∆E cf + ∆E g
Si ha inoltre:
Qe = 0
∆E c = 0
∆E g = 0
∆E cf = 0
(scambi di calore con le pareti trascurabili)
(fluido in quiete sia nell'ambiente di aspirazione
all'istante tin, sia all'interno del cilindro all'istante
finale tfin)
(variazioni di energia potenziale gravitazionale
trascurabili rispetto agli altri termini dell'equazione,
trattandosi di un aeriforme)
(sistema di riferimento inerziale)
Pertanto l'equazione precedente si riduce a:
Le = ∆U
Si possono a questo punto analizzare, uno alla volta, i termini residui:
∆U = U fin − U in
Supponendo che l'aria si comporti come un gas perfetto ideale, si avrà:
∆U = U fin − U in = Mc v (T i − T a )
Il lavoro Le può essere espresso dalla seguente relazione:
Le = − ∫ pdV = p aVa − p i V i = M (p a v a − p i v i )
Sostituendo nell'equazione del primo principio si ha quindi:
(
)
MR T − T = Mc (T − T )
a
i
v i
a
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mc (T − T ) = 0 ⇒ T = T
p i
a
i
a
Risulta pertanto Ti = Ta = 293 K.
2.5.2. Primo principio della termodinamica: forma locale o euleriana
Il primo principio della termodinamica in forma locale o euleriana, prende in
considerazione un volume di controllo di riferimento (figura 2.4), cioè una
porzione di spazio che può interagire con l'esterno anche con scambi di materia.
In questa trattazione si considererà un caso particolare, in quanto si supporrà che il
fluido sia in moto permanente (le caratteristiche locali del fluido entro il volume
non dipendono dal tempo, e la massa entrante nell'unità di tempo nel volume è pari
a quella uscente). Si ammetta inoltre valida l’ipotesi di “unidimensionalità”,
ovvero è sufficiente una sola coordinata nello spazio per definire ogni
caratteristica del fluido (per esempio l’ascissa lungo la direzione del moto).
Figura 2.4 : volume di controllo.
Applicando il primo principio della termodinamica in forma lagrangiana espresso
dall’espressione:
dQ e + dLe = dE = dU + dE c + dE g + dE cf + .....
alla massa M di fluido che al tempo t è nel volume di controllo, e che al tempo (t
+ dt) si sposta dalle condizioni 1 - 2 alle condizioni 1' - 2' si ottiene:
dLe = dLi + p1 dV1 − p 2 dV2 = dLi + dM1 ⋅ p1v 1 − dM 2 ⋅ p 2 v 2 ,
2
2
c
c
dE = dM 2 U 2 + 2 + gz 2 − dM1 U1 + 1 + gz1 .
2
2
Poichè il moto è permanente, dM1 = dM2 = dM, e quindi:
c2 2 c12
+ dM (gz2 − gz1 )
dQe + dLi + dM ⋅ p1v 1 − dM ⋅ p2v 2 = dM (U2 − U1 ) + dM
−
2
2
e, dividendo per dM:
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c 2 c 2
Qe + Li + p1v 1 − p2v 2 = (U 2 − U1 ) + 2 − 1 + (gz 2 − gz1 ) ,
2
2
dove Qe e Li rappresentano il calore e lavoro interno (cioè quello operato dagli
organi mobili in movimento) entranti nel sistema per unità di massa che fluisce
attraverso la superficie di controllo. Ricordando la definizione di entalpia
l'equazione precedente può essere scritta nel modo seguente:
c 2 2 c1 2
+ (gz 2 − gz1 ) .
Q e + Li = (i 2 − i 1 ) +
−
2
2
Il termine di lavoro "aggiuntivo" p1v1 – p2v2 rispetto alle condizioni lagrangiane
è detto lavoro di trasferimento. Il lavoro esterno vale pertanto:
dLe = dLi − d (pv ) ,
mentre il lavoro interno può essere espresso dalla relazione seguente:
dL i = v ⋅ dp + dE c + dE g + dE cf + dLw + ......
2.5.3 Prospetto riassuntivo del primo principio della termodinamica
-
Primo principio in forma lagrangiana:
Q e + Le = ∆U + ∆E c ,cf ,gr
Q e + Lw = ∆U + ∫ pdv
Le = − ∫ pdv + Lw + ∆E c ,cf ,gr
-
Primo principio in forma euleriana:
Qe + Li = ∆i + ∆Ec ,cf ,gr
Qe + Lw = ∆i − ∫ vdp
Li = ∫ vdp + Lw + ∆Ec ,cf ,gr
2.6 SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
Il secondo principio della termodinamica afferma che nella realtà, ogni volta che
si ha trasformazione di energia da una sua forma ad un'altra (meccanica,
chimica, elettrica, etc.), mentre si ha conservazione della sua quantità
complessiva (secondo quanto affermato dal primo principio), si ha
inesorabilmente la sua trasformazione da una forma superiore a una inferiore,
quest'ultima essendo rappresentata dall'energia termica. In altre parole sancisce
la degradazione dell’energia tramite una funzione di stato chiamata entropia.
L’aumento di entropia del sistema è maggiore o al limite uguale alla quantità di
calore fornita al sistema dal mondo esterno rapportata alla temperatura;
l’eventuale differenza è dovuta al calore fornito dall’interno del sistema (Lw) ed è
causa di irreversibilità:
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dQe + dLw = TdS .
Mettendo in relazione il secondo ed il primo principio della termodinamica, si
ottiene:
TdS = dQe + dLw = dU + pdv = di − vdp .
Questa relazione è molto utile per calcolare le variazioni di entropia. Si ottiene
infatti:
dU + pdv di − vdp
dS =
=
,
T
T
e, integrando lungo un’evoluzione finita tra uno stato iniziale i e uno stato finale
f, si ha:
f dU
f pdv
T
v
∆S = S f − S i = ∫
+∫
= c v ln f + R ln f .
i T
i
T
Ti
vi
Quest’ultima relazione è stata ricavata utilizzando le formule note dei gas
perfetti e ideali.
Se si vogliono esprimere le variazioni di entropia per mezzo delle variazioni di
temperatura e di pressione (anziché tramite le variazioni di temperatura e di
volume massico), si ottiene:
f di
f vdp
T
p
∆S = S f − S i = ∫
−∫
= c p ln f − R ln f .
i T
i
T
Ti
pi
Si possono trarre le seguenti conclusioni:
-
se il lavoro dissipato per attrito fluidodinamico dLw è nullo, il prodotto della
temperatura per l’aumento di entropia è pari al calore ricevuto dall’esterno;
se la quantità di calore dQe fornita dall’esterno è nulla (trasformazione
adiabatica), l’entropia rimane costante per una trasformazione reversibile
(dLw = 0), mentre aumenta per una trasformazione irreversibile (cioè
dissipativa con perdite per attrito fluidodinamico Lw); una trasformazione
adiabatica (dQ = 0) e reversibile (dLw = 0) è pertanto anche isentropica (dS
= 0).
Si richiama infine la similitudine dei due triangoli rettangoli nel piano T-S
aventi come cateti, rispettivamente, la sottotangente e la T di un punto di una
curva, il primo, e il dS e il dT lungo la curva nello stesso punto, il secondo:
Sotto tan gente dS
=
, si ricava che è
sussistendo pertanto la relazione
T
dT
c dS
Sottotangente = c , in quanto è pure =
per la definizione stessa di c (per
T dT
cui è c dT = T dS).
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Figura 2.5 : rappresentazione grafica del calore specifico c
2.6.1 Applicazioni: turbocompressore e turbina. Fenomeni di recupero e
controrecupero
Turbocompressore: vediamo ora quello che succede in un turbocompressore
(turbomacchina operatrice). Il fluido subisce una compressione adiabatica
irreversibile, ovvero a entropia crescente. Nel piano T – S la compressione viene
rappresentata come in figura 2.6.
Figura 2.6 : compressione isentropica 1-2is e adiabatica irreversibile 1-2
Il primo principio in forma locale è espresso dalla seguente relazione:
Q e + L i = ∆i + ∆E c + ∆E cf + ∆E gr ,
dove, in questo caso, Qe = 0, ∆Ec = ∆Ecf = ∆Egr = 0. Per un turbocompressore è
generalmente trascurabile la variazione di energia cinetica, beninteso fra
mandata e aspirazione dell’intero compressore, non all’interno di esso. La
variazione di energia potenziale centrifuga risulta nulla perché il sistema di
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riferimento assunto è inerziale (privo di accelerazione). La variazione
dell’energia potenziale gravitazionale è nulla dal momento che il fluido in
questione è un aeriforme.
Risulta quindi, nel caso ideale isentropico:
k −1
k
p
2
− 1 ,
L i ,is = ∆i is = c p (T2 ,is − T1 ) = c pT1
p1
mentre nel caso reale:
m −1
m
p
2
− 1 ,
L i = ∆i = c p (T2 − T1 ) = c pT1
p1
m −1
m
p
m
2
− 1 .
L i − Lw =
RT1
p1
m −1
Nel caso con perdite fluidodinamiche è Li > Li,is, cioè è necessario fornire
maggiore lavoro alla macchina rispetto al caso ideale.
Facendo riferimento al grafico riportato in figura 2.7:
L i ,is = c p (T 2 is − T1 ) = area2 is 456 ,
Figura 2.7 : compressione isentropica 1-2is e adiabatica irreversibile 1-2
La quantità cp(T2is – T1) ha infatti, per definizione di calore specifico, il
significato di calore da fornire all’unità di massa di fluido per riscaldarlo a
pressione costante dalla temperatura T6 = T1 alla temperatura T2; nel piano T - S
questa quantità di calore, in virtù del secondo principio TdS = dQ + dLw, è l’area
sottesa dalla linea di trasformazione 6 – 2is, quindi proprio l’area 2is456.
Il lavoro da spendere per la compressione reale dell’unità di massa di gas 1 - 2 è
analogamente fornito dall’espressione:
L i = c p (T 2 − T1 ) = area2356 = area2 is 456 + area1234 + area12 is 2 =
= L i ,is + Lw + LCR .
dove LCR è chiamato lavoro di controrecupero.
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2. Richiami di Termodinamica - pag. 25
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L’area 1234 è il lavoro delle resistenze passive Lw, in virtù del secondo principio
applicato ad un’evoluzione adiabatica TdS = dLw. Risulta pertanto evidenziato
nel piano T - S il lavoro di controrecupero, dato dall’area tratteggiata in
figura. Il lavoro di controrecupero è il lavoro in più che bisogna compiere nella
compressione reale, oltre alla somma del lavoro della compressione isentropica
più il lavoro delle resistenze passive, per vincere l’espansione del gas dovuta
all’effetto termico causato da Lw.
Vengono definiti due rendimenti utili per quantificare il grado di irreversibilità
della trasformazione:
-
il rendimento isentropico di compressione:
L i ,is
η c ,is =
,
Li
che, nel caso in cui Qe = 0 e ∆ Ec,cf,gr = 0, diventa:
η c .is =
β
k −1
k
−1
m −1
m
,
β
−1
dove β è detto rapporto di compressione;
- il rendimento idraulico:
L − Lw
η y ,c = i
,
Li
che, nel caso in cui Qe = 0 e ∆ Ec,cf,gr = 0, diventa:
m
m
R (T2 − T1 )
= m −1 .
η y ,c = m − 1
k
k
R (T2 − T1 )
k −1
k −1
Osservando le aree rappresentate in figura e le definizioni dei rendimenti si ha
che ηis,c < ηy,c.
La relazione che lega gli esponenti della politropica m e k, dunque, è la
seguente:
m −1
1 k −1
=
.
m
η y ,c k
Come si può agevolmente notare dalle relazioni sopra scritte, il rendimento
idraulico non dipende dal rapporto di compressione, ma solo dall’evoluzione e
dal tipo di gas utilizzato.
La relazione che lega il rendimento isentropico di compressione con il
rendimento idraulico risulta:
β
η is ,c =
β
k −1
k
−1
1 k −1
η y ,c k
.
−1
Turbina: vediamo ora graficamente quello che succede al fluido in una turbina
(turbomacchina motrice). Il fluido subisce un’espansione adiabatica
irreversibile, ovvero ad entropia crescente, dal momento che le perdite
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2. Richiami di Termodinamica - pag. 26
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fluidodinamiche Lw non sono trascurabili. Nel piano T - S l’espansione viene
rappresentata in come in figura 2.8.
Figura 2.8 : espansione isentropica 1-2is e adiabatica irreversibile 1-2
Nel caso delle macchine motrici si è soliti utilizzare la convenzione di segno
opposta rispetto a quella impiegata per i turbocompressori: in altre parole il
primo principio in forma locale è espresso dalla seguente relazione:
Q e − Li ,ott = ∆i + ∆E c + ∆E cf + ∆E gr .
dove, in questo caso, Qe = 0, ∆Ec = ∆Ecf = ∆Egr = 0. La variazione di energia
cinetica risulta nulla visto che si sta considerando la differenza di velocità del
fluido tra ingresso e uscita della turbina. La variazione dell’energia potenziale
centrifuga è nulla dal momento che il sistema di riferimento assunto è inerziale
(privo di accelerazione). La variazione dell’energia potenziale gravitazionale è
nulla visto che il fluido in questione è un aeriforme.
Risulta quindi, nel caso ideale isentropico:
k −1
k
p
2
L i ,is = c pT1
− 1 ,
p1
k −1
k
p
2
,
L i ,is ,ott = −Li = c pT1 1 −
p1
mentre, nel caso reale:
m −1
m
p
2
L i = c pT1
− 1 ,
p1
m −1
m
p
2
.
L i ,ott = −L1 = c pT1 1 −
p1
Nel caso con perdite fluidodinamiche risulta Li < Li,is, cioè la turbina fornisce
minore lavoro rispetto al caso ideale.
Facendo riferimento al grafico della Figura 2.9:
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2. Richiami di Termodinamica - pag. 27
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Q e − Li = ∆i + ∆E c ,cf ,gr ,
L i ,ott = −∆i = c p (T1 − T 2 ) = area2398 .
Figura 2.9 : espansione isentropica 1-2is e adiabatica irreversibile 1-2
In virtù del secondo principio applicato alla linea di evoluzione 1-2 si nota che il
lavoro perso a causa delle resistenze passive di natura fluidodinamica Lw è dato
dall’area 1234.
L i ,is ,ott = − ∆i is = c p (T1 − T 2 ,is ) = area942 is 8 .
Nel caso della turbina si verifica il fenomeno che prende il nome di recupero:
nel piano T – S il lavoro di recupero, è rappresentato dall’area 122is. Si
ottiene quindi la seguente relazione:
L i ,ott = Li ,is ,ott − Lw + LRC ,
dove LRC è il lavoro di recupero.
Si è visto che nel caso reale il lavoro ottenuto è dato dall’area 2398, mentre nel
caso ideale il lavoro isentropico è dato dall’area 942is8. Nel caso reale si è
perduta pertanto rispetto al caso ideale in termini di lavoro l’area 2342is che
risulta minore dell’area 1234, la quale rappresenta il lavoro dissipato per attrito
fluidodinamico. La differenza tra queste due aree rappresenta il lavoro
recuperato, a causa della compressibilità del fluido, rispetto al lavoro dissipato
per attrito fluidodinamico. Questo aumento di lavoro trova una spiegazione
fisica nel fatto che le perdite per attrito che progressivamente si manifestano
vanno ad aumentare l’entropia del fluido a pressione costante,
incrementandone il volume massico. Ora la medesima massa di fluido,
occupando un volume maggiore, è in grado di svolgere un maggior lavoro nella
successiva espansione.
Vengono definiti due rendimenti utili per quantificare il grado di irreversibilità
della trasformazione:
-
il rendimento isentropico di espansione:
Li ,ott
η t .is =
,
Li ,is ,ott
che, nel caso in cui Qe = 0 e ∆ Ec,cf,gr = 0, diventa:
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2. Richiami di Termodinamica - pag. 28
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η t ,is =
p
1 − 2
p1
p
1 − 2
p1
-
m −1
m
k −1
k
.
il rendimento idraulico:
η y ,t =
L i ,ott
,
Li ,ott + Lw
che, nel caso in cui Qe = 0 e ∆ Ec,cf,gr = 0, diventa:
k
η y ,t = k − 1 .
m
m −1
Osservando le aree rappresentate in figura e le definizioni dei rendimenti, si ha
che ηis,t > ηy,t .
La formula che lega gli esponenti della politropica m e k è dunque la seguente:
m −1
k −1
= ηy ,t
.
m
k
Ovviamente anche questa relazione è valida se e solo se il calore scambiato tra
sistema e ambiente esterno è nullo.
Come si può agevolmente notare dalle relazioni sopra scritte, il rendimento
idraulico non dipende dal rapporto di espansione, ma solo dall’evoluzione e dal
tipo di gas utilizzato.
La relazione che lega il rendimento isentropico di espansione con il rendimento
idraulico risulta:
ηis ,t =
1−β
−η y , t
1− β
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−
k −1
k
k −1
k
.
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2.7 ESERCIZI
1) Uno stantuffo aspira aria in un cilindro dall’ambiente esterno in cui regna la
pressione pe = 1 ata e la temperatura Te = 290 K.
Determinare la temperatura Ti all’interno del cilindro ad aspirazione
ultimata, considerando valide le ipotesi che durante la fase di aspirazione
nel cilindro regni una pressione costante pi = 0.96 ata e che siano
trascurabili gli scambi termici dell’aria con le pareti del cilindro. Si consideri,
alla fine dell’aspirazione, ambiente tranquillo all’interno del cilindro.
2) Una turbomacchina adiabatica riceve vapore a t1 = 500 °C, p1 = 100 bar, c1
= 50 m/s e lo scarica nelle condizioni t2 = 250 °C, p2 = 10 bar, c2 = 150 m/s.
Calcolare il lavoro interno massico Li e dire se si tratta di macchina
operatrice o motrice.
[macchina motrice, Li = 422 kJ/kg]
3) Un ugello diabatico riceve del vapore nelle condizioni p1 = 20 bar, t1 = 400
°C, c1 = 100 m/s e lo espande sino alla pressione p2 = 3 bar e t2 = 250 °C.
Sapendo che durante l’espansione il fluido riceve il calore Q = 42 kJ/kg,
determinare la velocità del vapore allo scarico dell’ugello.
[c2 = 813.63 m/s]
4) Una portata d’aria (cp = 0.24 kcal / (kg*K); k = 1.4) è compressa
politropicamente con m = 1.45 da 1 ata e15 °C fino a 450 °C. Sapendo che
LW = 25 kcal / kg, trovare Qe e la pressione di mandata.
[Risultati: p2 = 19.41 ata; Qe = -16.71 kcal / kg]
5) Con le proprietà del precedente esercizio, una portata d’aria di 10 kg / s si
espande politropicamente in turbina da 600 °C a 300 °C, con esponente m =
1.3.
Sapendo che lungo l’espansione sono sottratte 10 kcal / kg in calore
massico, determinare LW e la pressione iniziale, essendo la pressione di
scarico 1 ata. Calcolare inoltre il rendimento isentropico di espansione ηt,is,
il rendimento idraulico ηyt e la potenza interna Pi.
[Risultati: LW = 27.14 kcal / kg; p1 = 6.2 ata; ηy = 0.696; ηt,is = 0.728; Pi = 2.6
MW]
6) Una bombola della capacità di 5 litri (volume VB), contiene aria nelle
condizioni ambiente p1B = 1 bar, T1B = 300 K ed è collegata tramite una
valvola ad un grande serbatoio contenente aria alla pressione di p1S = 150
bar e alla temperatura T2S = T1S = 300 K. Aprendo la valvola, l’aria passa dal
serbatoio alla bombola fino a che si raggiunge l’uguaglianza delle pressioni
tra i due ambienti.
(Essendo il serbatoio di grande capacità la sua pressione finale è
praticamente uguale a quella che aveva all’inizio, per cui p2S = p1S = 150
bar, e quindi anche la pressione finale della bombola sarà p2B = p2S = 150
bar). Trascurando gli scambi di calore con l’esterno durante il processo di
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riempimento, determinare la massa di aria che entra nella bombola e la
temperatura media raggiunta all’interno di essa nelle condizioni finali.
[Risultati: m2 = 0.622 kg, T2B = 418.9 K]
7) In un riscaldatore, funzionante in condizioni di moto stazionario, entra aria
nelle condizioni p1 = 0.5 MPa, T1 = 210 0C, c1 = 50 m / s ed esce nelle
condizioni p2 = 0.45 MPa, T2 = 850 °C , c2 = 120 m / s.
Ammettendo che nel riscaldatore l’aria subisca una trasformazione
politropica di esponente m, determinare il valore di tale esponente, il calore
massico fornito al fluido e l’entità delle perdite per resistenze passive LW
durante la trasformazione. Si assumano: R = 287 J / (kg*K), cp = 1050 J /
(kg*K).
[Risultati: m = 0.111,Q e= 678 kJ / kg, LW = 17 kJ / kg]
8) Una turbopompa deve sollevare acqua da un pozzo fino ad un serbatoio
aperto per un’altezza di 20 m. Il condotto in cui è inserita la pompa ha un
diametro costante D = 10 cm. Le perdite per resistenze passive nel condotto
e nella pompa sono pari al 15% del lavoro massico compiuto dalla pompa.
Calcolare la potenza del motore che aziona la pompa in tali condizioni,
sapendo che l’acqua effluisce all’atmosfera con una velocità di 2 m / s. Si
assuma un rendimento meccanico nell’accoppiamento motore – pompa ηm =
0.97.
[Risultati: Pass = 3.776 KW]
9) In un impianto per riscaldare un ambiente il ventilatore “V” aspira 1.5 m3 / s
di aria dall’esterno, alle condizioni pe = 1 bar, Te = 5 0C, e la manda in una
tubazione in cui è inserito un riscaldatore “R” che le fornisce calore. L’aria
effluisce nell’ambiente “A” ad una pressione pari a quella esterna, con
velocità trascurabile. Sapendo che il ventilatore è azionato da una pompa
“M” che eroga la potenza di 3.7 kW (ηm = 0.97), valutare la potenza termica
richiesta al riscaldatore “R” affinchè l’aria effluisca in “A” con una
temperatura di 35 0C.
Si assumano: R = 287 J / (kg*K), cp = 1050 J / (kg*K).
[Risultati: Q•e = 53.1 KW]
10) Una macchina che funziona in moto permanente, con energie cinetiche
trascurabili all’ingresso e all’uscita, espande 3 kg / s di gas da 10 bar e 500
0
C fino a 1 bar, secondo una politropica di esponente m = 1.5. Sapendo che
Lw = 62 KJ / kg, si vuole ricavare la potenza interna della macchina,
calcolando anche la quantità di calore che essa scambia con l’esterno.
Si assumano: R = 287 J / (kg*K), cp = 1050 J / (kg*K).
[Risultati: Pi = 883.9 KW, Qe = -140.3 KJ / kg]
11) Un turbocompressore aspira aria a 100 KPa e 17 °C e la comprime fino alla
pressione di 200 KPa. Ammettendo trascurabile la variazione di energia
cinetica tra entrata e uscita della macchina, calcolare il lavoro massico
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interno Li, il calore massico scambiato Qe e il lavoro delle resistenze
passive LW nelle seguenti condizioni di evoluzione:
a) Q = 0, LW = 0 (linea isentropica);
b) Q = 0, m = 1.55 (adiabatica con attriti);
c) LW = 0, m = 1.28 (refrigerazione senza attriti);
d) T = cost, LW = 0 (raffreddamento isotermico senza attriti);
e) T = cost, LW = 15.9 KJ / kg (raffreddamento isotermico con attriti).
Nel confronto tra il primo e il secondo caso mettere in evidenza il fenomeno
del controrecupero termico.
Si assumano: k = 1.4, cp = 1004 J / (kg*K).
[Risultati: a) Li,is = 63.8 KJ / kg; b) Li = 81.2 KJ / kg, LW = 15.8 KJ / kg; c) Li =
62.3 KJ / kg, Qe = -14.5 KJ / kg; d) Li = 57.7 KJ / kg, Qe = -57.7 KJ / kg; e) Li
= 73.6 KJ / kg, Qe = -73.6 KJ / kg. Controrecupero termico: CR = 1.6 KJ /
kg]
12) Un turboespansore riceve i gas combusti nelle condizioni di 200 Kpa e 800
0
C e li espande fino alla pressione di 100 Kpa. Ammettendo trascurabile la
variazione di energia cinetica tra entrata e uscita della macchina, calcolare il
lavoro massico interno Li, il calore massico scambiato Qe e il lavoro delle
resistenze passive LW nelle seguenti condizioni di evoluzione:
a) Q = 0, LW = 0 (linea isentropica);
b) Q = 0, m = 1.32 (adiabatica con attriti);
c) LW = 0, m = 1.45 (refrigerazione senza attriti);
d) T = cost, LW = 0 (riscaldamento isotermico senza attriti);
e) T = cost, LW = 15.9 KJ / kg (riscaldamento isotermico con attriti).
Nel confronto tra il primo e il secondo caso mettere in evidenza il fenomeno
del recupero termico.
Si assumano: k = 1.38, cp = 1042 J / (kg*K).
[Risultati: a) Li,is = 194 KJ / kg; b) Li = 173 KJ / kg, LW = 23.5 KJ / kg; c) Li =
192 KJ / kg, Qe = -24 KJ / kg; d) Li = 213 KJ / kg, Qe = 213 KJ / kg; e) Li =
197.5 KJ / kg, Qe = 197.5 KJ / kg. Recupero termico: RC = 2.17 KJ / kg]
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