Affidabilità e rischio nelle (Geo)-strutture
Criteri di modellazione
Criteri di progetto
(ovvero sulla scelta di una
opportuna classe di modelli)
(ovvero sulla definizione
dei valori ammissibili dei
parametri di stato)
Un modello deve essere:
Il progetto deve garantire:
• ben posto
• predittivo
• maneggevole
• rappresentativo
l’affidabilità della struttura
durante il periodo di esercizio
Prof. Ing. Massimo Guarascio
La modellazione
Modelli ben posti
(dunque predittivi)
La soluzione del problema
differenziale è unica.
Modelli geometricamente complessi
e strutturalmente semplici.
Modelli maneggevoli
Modelli rappresentativi
Modelli strutturalmente complessi
e geometricamente semplici.
Acquisizione di dati sperimentali
e analisi statistica
Prof. Ing. Massimo Guarascio
La predittività del modello: stabilità
Caratterizzazione del range di validità del modello adottato
sulla base di un opportuno criterio di unicità.
Il criterio di unicità adottato individua l’esistenza
di discontinuità nei valori di uno o più parametri
di stato del sistema.
(Stabilité structurelle et morphogénèse - R. Thom 1972)
Il criterio di unicità è tipicamente un criterio energetico
Prof. Ing. Massimo Guarascio
(1) Frane (dovute a fenomeni gravitativi e freatici)
(2) Transizione di fase (liquefazione: transizione solido-liquido)
(3) Buckling di strutture (metalliche)
(1)
(2)
(3)
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Esempio: La macchina delle catastrofi di Zeeman
punto fisso
tracciatore
ruota
parametri interni
Curva delle catastrofi: nello spazio delle posizioni ammissibili del tracciatore
(parametri esterni), la curva delle catastrofi descrive le
posizioni del tracciatore associate a salti del parametro
(interno) che assegna la configurazione della ruota.
Superficie di equilibrio
parametri esterni
Curva delle catastrofi
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Utilizzo del criterio di unicità
Progettare in emergenza: significa adottare come
criterio di progetto il suddetto criterio di unicità
allestendo preventivamente tecniche di intervento.
(metodo Augustus)
Progettare in prevenzione: significa andare oltre il
criterio di unicità, introducendo criteri di progetto
e modellazione più raffinati
La scelta è spesso dettata da un’analisi costi/benefici
Prof. Ing. Massimo Guarascio
La maneggevolezza del modello
La modellazione di fenomeni fisici deve essere costruita sulla
base di schemi e algoritmi che non necessitino di dettagliate
rappresentazioni della realtà.
Esempio: modello di rappresentazione del comportamento di
geo-materiali (tipicamente materiali granulari)
Modellazione
dettagliata
Modellazione
sommaria
Prof. Ing. Massimo Guarascio
La rappresentatività del modello
La geostatistica
Analisi di parametri regionalizzati:
il variogramma
dissimilarità: γ αβ
(z(x + h) − z(x)) 2
2
(zα − z β )2
=
2
Il variogramma caratterizza
la continuità della variabile
regionalizzata: alti valori della
dissimilarità corrispondono a
disomogeneità e anisotropie.
h
Prof. Ing. Massimo Guarascio
L’affidabilità
L’affidabilità di un sistema è misurata dalla probabilità che il
sistema adempia compiutamente la propria funzione.
Funzione di efficienza (o di stato): g(X)
Stato limite:
g(X) = 0
Stato sicuro:
g(X) > 0
Stato di crisi:
g(X) < 0
= g(X1I KKXn )
Variabili (aleatorie)
che definiscono lo
stato del sistema.
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Probabilità dello stato sicuro:
ps =
∫
f
∫
f ( x ) dx
X
g ( x )>0
Probabilità dello stato di crisi:
pf =
X
( x ) dx
g ( x )<0
X2
Stima del punto limite:
g (x) < 0
minima distanza: D = X 12 + X 22
g (X ) = 0
vincolata da:
Superficie degli
stati limite
D
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
g (x) > 0
L = D + λ g (X ) = (X t X )1/ 2 + λ g (X )
X1
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Parametri aleatori non correlati:
Minimizzare L richiede:
*t
dmin
∂L
=
∂X i
∂g
+λ
=0
2
2
∂X i
X 1 + ... + X n
Xi
∂L
= g (X ) = 0
∂λ
il punto limite probabile
*
G X
= β = − *t * 1/ 2
(G G )
∂g
G =
∂X 1
*
∂g
,...,
∂X n
X*
X*
Esplicitando X*
l’equazione della superficie limite consente di determinare la minima distanza.
Parametri aleatori correlati: si introducono parametri aleatori non correlati
attraverso un opportuno cambio di variabili.
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Affidabilità di sistemi
(Ang & Tang Probability Concepts in Engineering Planning and Design, Vol.2)
L’affidabilità di un sistema a più componenti è un problema
che coinvolge diversi tipi di decadimento e quindi diversi tipi
di funzioni di efficienza.
crisi i-esimo evento
sicurezza i-esimo evento
Ei = [gi (X ) < 0]
Ei = [gi (X ) > 0]
La sicurezza di un sistema corrisponde al non verificarsi di alcuno dei criteri limite
Probabilità di sicurezza
ps =
∫f
X 1 , ... , X n
E1 ∩ ... ∩ Ek
( x1 , ... , xn ) dx1 ... dxn
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Estremi (superiore ed inferiore) della probabilità di crisi
(per variabili di progetto Gaussiane normalizzate)
• Per qualsiasi coppia di potenziali stati di crisi:
Ei = [gi (X ) < 0], E j = [g j (X ) < 0] : ρ ij =
Cov(gi , g j )
σg σg
i
>0
j
Caso bidimensionale e lineare
gi (X ) = a 0 + a1 X 1 + a 2 X 2 ,
variabili di progetto ridotte: X 'i =
g j (X ) = b0 + b1 X 1 + b2 X 2
X i − µ Xi
σX
i
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Coseni direttori delle
gi EXFZ 0, g j EXFZ 0
cos θ i =
a 2σ X 2
a 12σ 2X + a 22 σ 2X
1
cos θ j =
2
b2σ X 2
b12σ 2X + b 22σ 2X
1
2
cos θ = cos (θ j − θ i ) = ρ ij > 0
Ei ∩ E j ⊃ A
Ei ∩ E j ⊃ B
max[ P ( A), P ( B )] ≤ P ( Ei E j ) ≤ P ( A) + P ( B )
Prof. Ing. Massimo Guarascio
• Per qualsiasi coppia di potenziali stati di crisi:
Ei = [gi (X ) < 0], E j = [g j (X ) < 0] : ρ ij =
Cov(gi , g j )
σg σg
i
<0
j
cos θ = cos (θ j − θ i ) = ρ ij < 0
Ei ∩ E j ⊂ A
Ei ∩ E j ⊂ B
0 ≤ P ( Ei E j ) ≤ min[ P ( A), P ( B )]
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Stime: se ρ ij > 0
max[ P( A), P( B )] ≤ P ( Ei E j ) ≤ P( A) + P ( B )
se ρ ij < 0
0 ≤ P ( Ei E j ) ≤ min[ P( A), P( B)]
Essendo gli eventi A e B statisticamente indipendenti:
P( A) = Φ (− β i )Φ ( − a )
β j − ρβ i
= Φ ( − β i )Φ −
2
1
ρ
−
P ( B ) = Φ (− β j )Φ (−b)
β i − ρβ j
= Φ ( − β j )Φ −
2
1
ρ
−
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Instabilità di pendii e teoria delle catastrofi
(Quin, Jiao & Wang Rock Mechanics Rock Engng. (2001) 34 (2) 119-134)
Discontinuità stratificate (strati di marna) parallele alla superficie del pendio
Peso e pressione
di saturazione
Frana per buckling di scivolamento
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Posto che lunghezza e profondità
dello strato roccioso siano molto
maggiori del suo spessore, allora
il buckling di scivolamento del
pendio è inquadrato nell’ambito
dei problemi di stabilità relativi
a strutture di tipo trave.
P
Strato debole
l0
q
α
l
Forza motrice diretta lungo il piano di scivolamento
P = [q sinα − ( C + q cosα tan φ )] l0
Coefficiente di coesione
dello strato di marlite
Angolo d’attrito
dello strato di marlite
Prof. Ing. Massimo Guarascio
L’analisi sperimentale e la sensibilità ingegneristica suggeriscono
per la deflessione dovuta al buckling:
2πx
y = u 1 − cos
l
valore della deflessione per x = l/4
Funzione potenziale del sistema:
(nell’ipotesi di trasformazioni quasi-statiche)
V = V1 + V4 − V2 − V3 − V5
energia potenziale elastica
energia potenziale dovuta alla quota
lavoro della forza motrice
lavoro della forza peso
lavoro della
pressione di
saturazione
Prof. Ing. Massimo Guarascio
l
∫
Energia potenziale elastica V1 = EI ( y ' ' ) 2 [1 + ( y ' ) 2 / 2]
0
l
non linearità geometrica
1
Lavoro della forza motrice V2 = P ( y ' ) 2
2 ∫0
l
1
Lavoro della forza peso
V3 = ∫ q (l − x)( y ' ) 2 senα
20
l
Energia potenziale dovuta
alla quota
V4 = ∫ qy cosα
Lavoro della pressione di
saturazione
V5 = U u
0
pressione di saturazione
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Analisi di stabilità di un sistema equivalente dotato di un g.d.l.
1 4 1
V = ξ + aξ2 +bξ
4
2
a = f a ( EI , P , q , α )
b = f b ( EI , U , q , α )
Condizioni di equilibrio
dV
=ξ3 + aξ +b = 0
dξ
2
d
V
2
Condizioni di singolarità
=
3
ξ
+a =0
2
dξ
Se una traiettoria nello spazio dei parametri
esterni incontra lo spigolo della piegatura,
una piccola variazione dei parametri può
determinare una variazione “catastrofica”
del parametro interno.
L’insieme di biforcazione definisce tutte
le soglie in corrispondenza delle quali si
possono verificare repentini cambiamenti
del comportamento del sistema
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Equazione dell’insieme di biforcazione
27 EI 2
− P' +
N ' =: F = 0
2
4l
3
P ' = f P ' ( EI , P , q , α ) N ' = f N ' (U , q , α )
d 2V
(ff) ⇔ (a ) : 2 > 0 (F > 0), stabilità
(IV) ⇔ (e ) :
2
dx
dV
(ff) − (fff) ⇔ (b) :
= 0 (F = 0), biforcazione
2
dx
(fff) ⇔ (c ) : perdita di unicità
(V ) ⇔ (g ) :
(III) − ( IV) ⇔ (d ) : due minimi isoenergetici
transizione “catastrofica”
per rilevanti variazioni dei
parametri esterni
transizione “catastrofica”
per piccole variazioni dei
parametri esterni
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Affidabilità e progettazione di pendii
(Tang, Stark & Angulo in Landslide Risk Assesment 19-21 Febbraio 1997 - USA)
Analisi di affidabilità su 24 pendii naturali rispetto al rischio frane
(dati relativi alla formazione Pilocenica di Orinda - California USA)
Dati:
Condizioni di rottura (FS =1)
Stima empirica dell’angolo di
attrito φ (20º<φ <40º)
Stime preliminari:
∀ ( C ,φ)
valore medio sui 24 campioni
relativi all’angolo di attrito φ
∀φ sono catalogati 24 valori del
coefficiente di coesione C
24 valori del fattore di sicurezza
(ciascuno per un dato pendio)
Per il test di Kolmogorov-Smirnov la distribuzione
di probabilità del FS è correttamente approssimata
da una normale logaritmica. I parametri λ e ζ sono
tuttavia soggetti ad incertezze
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Processo di aggiornamento dati Bayesiano
P (E i | A) =
P (A | E i ) P (E i )
n
∑ P (A | E )P (E )
i
i =1
P’’(Ei) Probabilità a-posteriori
dell’evento i-esimo
P’(Ei) Probabilità a-priori
dell’evento i-esimo
i
gli eventi (FS=FSi) sono assunti
statisticamente indipendenti
n
Analogia:
P ( A | Ei ) → P (ε | (λ , ζ )) = ∏ f FS ( FS i | (λ , ζ ))
i =1
n-pla di valori osservati per il FS
P ' ' ( Ei ) → f'' (λ , ζ ), P ' ( Ei ) → f' (λ , ζ ) = κ
densità di probabilità congiunta
a-posteriori per la coppia (λ,ζ)
densità di probabilità congiunta a-priori
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Sulla base del processo di aggiornamento dati Bayesiano
1
1 ln FS − λ 2
i
f ' ' (λ , ζ ) = k ∏
exp −
ζ
2
i =1 2π ζ
n
La densità di probabilità relativa al fattore di sicurezza aggiornata è:
f FS ( fs ) =
∞ ∞
∫∫f
FS
( fs | (λ , ζ )) f ' ' (λ , ζ )dλ dζ
− ∞− ∞
fs d
Pf = P ( FS ≤ fsd ) =
∫f
FS
( fs )dfs
−∞
Prof. Ing. Massimo Guarascio
Distribuzione di probabilità del FS a-priori e a-posteriori
Probabilità di rottura per diversi valori
di progetto del fattore di sicurezza in
funzione del coefficiente di coesione e
dell’angolo di attrito
Prof. Ing. Massimo Guarascio
