Fisica dello Stato Solido
Lezione n. 10
Proprietà di trasporto nei metalli
e semiconduttori
Corso di Laurea Magistrale
Ingegneria Elettronica
a.a.14-15
Mara Bruzzi – Lezione n. 10 - Fisica dello Stato Solido
Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.14-15
Trasporto elettrico nel modello a Bande
E=0
E≠0
ε
Si ha forza :
ε
F
E
dk
F = −e E = h
dt
εF
−
π
π
a
a
k
−
π
a
0
π
a
k
In presenza di F gli elettroni aumentano k in direzione di F, (eventualmente
subendo il fenomeno dell’Umklapp a bordo zona). Ne risulta una distribuzione
asimmetrica degli elettroni nella banda. C’è corrente elettrica poiché si hanno
più elettroni che si muovono in una direzione che in quella opposta.
Problema: Questa interpretazione non riesce a descrivere il caso stazionario, e
quindi i casi della legge di Ohm e dell’esperimento per la misura del
coefficiente di Hall. Poiché l’interazione tra elettroni e reticolo cristallino è già
inglobata nel modello, che ci ha portato a utilizzare le funzioni d’onda di Bloch
per gli elettroni nel cristallo e a definire le bande di energia εn(k), non possiamo
considerare le collisioni tra elettroni e ioni del reticolo cristallino come fattore
dissipativo che produce la stazionarietà.
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Effetto dei fenomeni di scattering sulla corrente elettrica
Per il principio di esclusione di Pauli lo scattering per
interazione con le imperfezioni del reticolo avviene per
gli elettroni più energetici verso stati vuoti
ε
−
π
π
a
a
k
L’effetto delle interazioni con le imperfezioni del reticolo è quello di produrre delle
transizioni k → k’ nelle quali avviene trasferimento di momento ed energia. Il
risultato è che gli elettroni più energetici invertono il loro moto bilanciando così
l’effetto accelerante del campo elettrico. L’effetto di bilanciamento produce
corrente elettrica stazionaria.
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Tempi di rilassamento per il momento
Riconsideriamo ora l’equazione del moto dell’elettrone di conduzione:
F− f =
F = forza esterna applicata = -e(E + vxB)
dp
f = forza di attrito dovuta ai processi di scattering
dt
che diviene: F =
p = momento cristallino
dp
dt
+
p
< τm >
Il significato di <τm> deriva dal fatto che, annullando la forza F all’istante t = 0,
<τm> risulta la costante di tempo della funzione esponenziale di rilassamento del
momento elettronico :
−
p(t ) = p0 e
t
<τ m >
In generale τm è dello stesso ordine del tempo di collisione τc, tempo medio tra
due collisioni successive.
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Processi di scattering
Ogni irregolarità nella periodicità del cristallo perturba il moto altrimenti libero
degli elettroni di Bloch. Le irregolarità sono essenzialmente di due tipi:
1. Imperfezioni del solido ( disordine reticolare come vacanze, interstiziali,
dislocazioni o impurezze intenzionali o intrinseche ) . Questo effetto è debolmente
dipendente dalla temperatura.
2. Moto oscillatorio degli ioni intorno alle posizioni di equilibrio del reticolo cristallino
per agitazione termica. Questo effetto è ovviamente dipendente dalla temperatura.
La legge di Ohm viene quindi reinterpretata considerando le collisioni tra
gli elettroni di conduzione e tali irregolarità del reticolo.
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Valutazione di τc
Sia Pc = probabilità che avvenga una collisione allora:
dPc 1
=
dt τ c
Tale probabilità dipende da N, concentrazione di centri di scattering,
N
σ, sezione d’urto di scattering e v velocità del portatore carico:
1
τc
v
=N vσ
Tale espressione si spiega considerando l’area totale, con cui il
portatore può effettuare la collisione: se i centri di scattering sono
N dischi di area σ, essa è Νσ.
Il portatore che si muove
perpendicolarmente ai dischi coprendo la distanza dx = vdt nel
tempo dt ha probabilità di colpire uno dei dischi pari a:
dPc = N σ v dt = dt/τc.
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σ
Metalli: Dipendenza dalla Temperatura di τc
1
τc
= N v σ = Σsv
Nei metalli v = vF ( indipendente dalla temperatura).
Impurezze reticolari: anche il termine Σ = N σ è indipendente dalla temperatura → τc è
indipendente da T .
Vibrazioni del reticolo: il sito reticolare oscilla di moto armonico di ampiezza A
intorno al punto di equilibrio: e’ come se coprisse un’area intorno a sè ove può
avvenire possibile collisione con il portatore. Tale area è proporzionale al
quadrato dell’ampiezza A di oscillazione e l’energia dell’oscillatore armonico U
dipende da A2 :
U=
1 2 1 2 1
1
1
mv + kx = mω 2 A 2 sen 2 (ω t + ϕ ) + kA2 cos 2 (ω t + ϕ ) = k A 2
2
2
2
2
2
se vale la legge di Dulong Petit ( T >> ΘD ): U = 3KBT, allora U è proporzionale a T e
Σ è proporzionale a T.
Perciò per scattering da vibrazione reticolare τc è inversamente
proporzionale alla temperatura:
1
τc
α T
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A
Resistività elettrica nei metalli
Riconsideriamo ora l’espressione della conducibilità elettrica nel modello di Drude:
ne2τ
σ =
m
La stessa espressione può essere mantenuta anche alla luce del modello
quantistico se consideriamo le seguenti modifiche:
m → m* massa efficace al livello di Fermi
τ→ τc tempo di collisione
v → vF velocità di Fermi
n densità efficace di elettroni al livello di Fermi
Otteniamo per la resistività del metallo:
Regola di Mathiessen
ρ=
1
σ
=
m * vF
(Σ i + Σ t ) = ρi + ρt
2
ne
ρi = resistività residua del metallo: dovuta alle impurezze è essenzialmente
indipendente da T e prevale a bassa T; ρt è resistività dovuta alle vibrazioni reticolari.
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Dipendenza di ρ da T nei metalli
La resistività residua, dipendendo
dalle impurezze, può variare per una
stessa sostanza da campione a
campione.
La resistività dovuta all’agitazione termica dipende da T ad alte temperature ( T >> ΘD) e
da T5 a basse ( T << ΘD) ( Relazione di Grünesein).
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In un intervallo limitato, intorno ad una decina di gradi a 20°C, la relazione ρ(T) è
praticamente lineare : ρ = ρ 20 (1 + α (t − 20 )) con t temperatura in °C.
materiale
ρ20 [Ohm m]
α [°C-1]
Argento
1.59 10-8
4.1 10-3
Rame
1.67 10-8
6.8 10-3
Oro
2.35 10-8
4.0 10-3
Alluminio
2.65 10-8
4.3 10-3
Tungsteno
5.65 10-8
4.5 10-3
Zinco
5.92 10-8
4.2 10-3
Platino
10.6 10-8
3.9 10-3
Ferro
9.71 10-8
6.5 10-3
Piombo
20.7 10-8
3.4 10-3
Questo effetto è di solito impiegato per la costruzione di termometri a resistenza ( e.g.
al platino).
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Resistività elettrica e mobilità nei semiconduttori
Nell’espressione della conducibilità elettrica nel modello di Drude:
si considerano ora le seguenti modifiche:
ne2τ
σ =
m
1. La conduzione può essere data sia da elettroni in BC che da lacune in BV
2. m → m* massa efficace al minimo banda di conduzione ( massimo banda di valenza )
3. τ→ < τm> è mediato sulla distribuzione di velocità degli e di conduzione ( h di valenza)
4. v → vth velocità dell’elettrone in banda di conduzione ( lacuna in banda valenza)
5. n densità di elettroni in banda di conduzione ( lacune in banda di valenza)
2
ne 2 < τ m > n pe < τ m > p
σ = σn +σ p =
+
= neµ n + peµ p
*
*
mn
mh
con: µn,p = mobilità di elettroni in banda di conduzione ( lacune in banda di valenza )
µn, p =
e < τ m >n, p
mn*, p
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Dipendenza da T di τm
In generale τm
ε
dipende dall’energia del portatore e dalla temperatura: τ m = τ 0
K T
B
r
Con r esponente che varia da -1/2 ( scattering da vibrazioni reticolari acustiche ) a
+3/2 ( scattering da impurezze ionizzate ). Facendo la media di τm sulla distribuzione
di velocità dei portatori per un semiconduttore non degenere ( quindi utilizzando la
statistica di Maxwell Boltzmann ) si ottiene la seguente espressione per <τm>:
ε
< τ m >=
τ m
∫
3 π 0 K BT
4
∞
3/ 2
−
e
ε
K BT
ε
4
3
d
→ <τm > =τ0
(r + )!
K BT
2
3 π
Con τ0 fattore di proporzionalità in generale dipendente da T. Dato che <τm> è
contenuto nella mobilità può però essere utile esprimere direttamente la
dipendenza da T di µ:
µn, p =
e < τ m > n, p
mn*, p
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Dipendenza della mobilità dei semiconduttori da T,m*, N
Scattering da impurezze neutre
Prevale a T basse quando si ha congelamento dei portatori nelle impurezze, quindi la maggior
parte di esse sono neutre, e il contributo dei fononi è trascurabile. La mobilità risulta
indipendente da T, inversamente proporzionale alla concentrazione di impurezze e linearmente
dipendente dalla massa efficace m*.
Scattering da impurezze ionizzate.
Prevale per elevate concentrazioni di impurezze, a medio/alta T quando sono tutte ionizzate. La
mobilità risulta dipendente da T3/2, inversamente proporzionale alla concentrazione di impurezze
ionizzate NI e proporzionale a m*-1/2 .
Scattering da vibrazioni reticolari.
A bassa T il modo di vibrazione acustico prevale su quello ottico. In questo caso la mobilità
risulta dipendente da T-3/2 ( acustiche, T-1.67 per quelle ottiche ). Nel modo acustico è anche
proporzionale a m-5/2, da cui si ha elevata mobilità per piccola massa efficace. Lo scattering da
fononi ottici è importante nei cristalli ionici.
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Andamento con la temperatura delle mobilità di elettroni e
lacune in alcuni semiconduttori
In generale si hanno più fenomeni il cui effetto si combina, si tiene conto di una
n
media sulla mobilità tipo:
che include i vari meccanismi di
1
1
=
scattering.
µ
∑µ
i =1
i
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Mobilità in Silicio al variare di T
Mobilità in Silicio a T ambiente
Diminuzione della mobilità all’aumentare della concentrazione del drogante (n =ND+,
p=NA-) dovuta a scattering da impurezze ionizzate. La differenza nelle mobilità per uno
stesso tipo di portatore in diverso tipo di diverso tipo di Si ( n o p) parzialmente
dovuta a interazioni tra i portatori carichi.
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Dipendenza della conducibilità elettrica dalla Temperatura in semiconduttore
ne 2 < τm >
σ=
= neµ
m*
La dipendenza della mobilità da ~ T-2
è
particolarmente visibile nel regime
estrinseco, dove n è costante.
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Coefficiente di Hall nei semiconduttori
Nell’espressione del coefficiente di Hall nel modello di Drude:
si considerano ora le seguenti modifiche.
1
RH = −
ne
1. n è densità efficace di elettroni in banda di conduzione ( lacune in banda di valenza)
2. ci può essere contributo sia degli elettroni in BC che delle lacune in BV
3. I meccanismi di scattering devono essere tenuti in considerazione attraverso τm
Otteniamo:
con:
rh p − nb 2
RH =
| e | ( p + nb) 2
b = µn/µp = rapporto tra mobilità di elettroni in BC e lacune in BV
rh = fattore di Hall
< τ m2 >
rh =
< τ m >2
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fattore di Hall
Nell’approssimazione del tempo di rilassamento
ε
τ m = τ 0
K BT
r
otteniamo i seguenti valori del fattore di Hall
Scattering
r
rH
+3/2
1.93
0
1
-1/2
1.18
0
1
Fononi ottici alta T
+1/2
1.10
Piezoelettrico ( fononi acustici in materiali polari)
+1/2
1.10
Impurezze ionizzate
Impurezze neutre
Fononi acustici
Fononi ottici bassa T
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Coefficiente di Hall e regimi di conduzione
La misura dell’effetto Hall permette di distinguere tra conduzione per elettroni o
per lacune. RH cambia infatti segno se il semiconduttore è di tipo p o di tipo n:
Tipo p ( p>>n )
RH =
rh
;
|e| p
Tipo n ( n>>p )
RH = −
rh
.
|e|n
Notiamo che RH non si annulla nel caso intrinseco ( p = n ) ma per p = nb2. Per
esempio in silicio µn = 1450 µp = 450 quindi RH cambia segno per p ~ 10 n. Altri
materiali possono presentare b ~ 100. Nel caso intrinseco p = n = ni :
RH = −
rh (b − 1)
| e | ni (b + 1)
Perciò per b > 1 ( come avviene in generale ) nel caso intrinseco domina la
conduzione per elettroni.
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Andamento di RH per semiconduttore tipo p (b > 1) in funzione della temperatura.
Distinguiamo 4 regimi:
RH α expEg/(2KT)
I
regione intrinseca :
II
regione di conduzione mista: RH è ancora negativo ma diminuisce in
modulo all’aumentare del rapporto p/n, RH cambia segno per p/n = b2
III
regione di esaustione:
RH = rh/(pe)
IV
regione di congelamento dei portatori
RH α expEa/(KT)
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Resistività e RH possono essere misurate simultaneamente per determinare la mobilità
Definiamo mobilità di Hall:
µH = RH σ = rH µ.
Notiamo che la mobilità dipende
dal campo magnetico applicato,
InSb tipo p
perciò la temperatura ove RH = 0
aumentando quando B aumenta.
Esaustione ( regime estrinseco )
Conduzione mista
Regime intrinseco
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Processi di generazione – ricombinazione nei semiconduttori
Tutte le volte che la condizione di equilibrio termico di un sistema a
semiconduttore viene disturbata , cioè abbiamo pn ≠ni2
si instaurano dei
processi che tendono a riportare il sistema all’equilibrio . In questi processi
prevale la ricombinazione e-h quando pn > ni2 , la generazione termica quando
pn < ni2.
Processi di ricombinazione e-h
Processo per cui i due portatori carichi si annichilano a vicenda: l’elettrone va a
occupare lo stato vuoto associato con la lacuna. Durante tale processo viene
rilasciata un’energia pari alla differenza di energia tra stato iniziale e stato finale
dell’elettrone.
- Ricombinazione radiativa: energia emessa in forma di fotone;
- Ricombinazione non-radiativa: energia rilasciata in forma di uno o più fononi;
- Ricombinazione Auger: energia rilasciata come energia cinetica di un altro
elettrone/lacuna.
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- Ricombinazione banda-banda: un elettrone in banda di conduzione si
ricombina direttamente con una lacuna in banda di valenza. Ricombinazione
prevalente, generalmente anche radiativa, nei semiconduttori a gap diretto.
- Ricombinazione
Shockley-Read-Hall
(SRH): il processo è mediato da un livello
intermedio nel gap dovuto ad un difetto
reticolare. Esso cattura l’elettrone dalla
banda di conduzione, successivamente
l’elettrone nella trappola si ricombina con
una lacuna in banda di valenza. Processo
di
ricombinazione
prevalente
nei
semiconduttori a gap indiretto.
ε
εc
εv
Banda-banda Trapassisted
(SRH)
Ricombinazione Banda-Banda
Questo meccanismo di ricombinazione dipende dalla concentrazione di
elettroni e lacune libere, perciò, il tasso di ricombinazione banda-banda
deve essere proporzionale al prodotto pn:
Re = Rec pn.
Con Rec = coefficiente di ricombinazione All’equilibrio termico il tasso di
ricombinazione deve essere uguale al tasso di generazione termica Gth
poichè np = ni2 possiamo scrivere Gth = Recni2. In condizioni di non
equilibrio il tasso netto di ricombinazione U è proporzionale a pn-ni2 :
U = Rec ( pn – ni2)
,
In condizioni di bassa iniezione, quando
l’eccesso di portatori ∆p = ∆n è molto minore
dei portatori maggioritari, in un semiconduttore
tipo n abbiamo: pn = p0+∆p e nn ≈ ND quindi:
U ≈ Rec ∆pN D =
∆p
τp
ε
εc
εv
.
Con τp = vita media dei portatori minoritari:
Banda-banda
τp =
1
.
Rec N D
Ricombinazione Auger
La ricombinazione Auger è un processo in cui un elettrone ed una
lacuna ricombinano in una transizione banda-banda, ma l’energia
risultante viene data ad un altro portatore, elettrone o lacuna.
Il coinvolgimento di una terza
particella cambia il tasso di
ricombinazione, per questo il
processo
viene
trattato
differentemente
dalla
ricombinazione banda-banda.
ε
εc
εv
Auger
La ricombinazione Auger coinvolge tre particelle: un elettrone ed una lacuna
che ricombinano in una transizione banda-banda ed un elettrone o lacuna
che assorbe l’energia rilasciata. L’espressione del rate di ricombinazione è
perciò simile a quello della ricombinazione banda-banda ma include anche le
densità degli elettroni e delle lacune che ricevono l’energia rilasciata dalla
annichilazione elettrone-lacuna.
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Ricombinazione assistita da difetti
I difetti reticolari sono caratterizzati da livelli energetici posti all’interno del gap
proibito. Essi scambiano elettroni e lacune con le bande di conduzione e valenza. Il
tasso con cui avvengono questi processi è descritto mediante i coefficienti di
cattura cn,cp ed emissione en,ep rispettivamente per elettroni/lacune.
Parametri rilevanti di un difetto: livello energetico di energia Et, sezione d’urto per la
cattura di un elettrone/lacuna σn,σp (esprime la probabilità intrinseca che il difetto
catturi un portatore), la concentrazione del difetto nel materiale, Nt .
εc
σp,Nt,Et
ep
cp
εv
en
cn
εc
σn,Nt,Et
εv
Nel determinare i coefficienti bisogna tener conto che gli elettroni sono emessi
(le lacune catturate) dai livelli energetici occupati con elettroni (nt), mentre
elettroni sono catturati (le lacune emesse) dai livelli vuoti (Nt-nt).
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Coefficienti di cattura
Nt = concentrazione totale di livelli energetici; nt = concentrazione di livelli occupati,
n = concentrazione di elettroni liberi;
p = concentrazione di lacune libere;
vn = velocità termica media elettronica; vp = velocità termica media della lacuna
σn = sezione d’urto per la cattura di un elettrone;σp = sezione d’urto per la cattura di una lacuna;
Il difetto non occupato viene esposto ad un flusso di elettroni liberi per unità d’area
dato da: nvn, il numero di elettroni catturati dagli stati vuoti nell’intervallo ∆t è:
∆nt = σn vn n (Nt-nt) ∆t.
Definiamo coefficiente di cattura cn:
∆n 1
= cn = σ n v n n
∆t N t − nt
Analogamente per le lacune:
c p = σ pv p p
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cn
cp
εc
Et
εv
Equilibrio termico: bilancio tra cattura ed emissione
L’occupazione del livello nt/Nt è determinato dalla competizione tra processi
di cattura ed emissione.
La relazione che descrive il tasso di occupazione del livello è:
dn t
= (c n + e p )( N t − nt ) − (en + c p )nt
dt
All’equilibrio termico i processi di emissione e cattura devono bilanciarsi sia per gli
elettroni che per le lacune:
Ec
en nt = cn ( N t − nt )
e p ( N t − nt ) = c p nt
ep
Et
cp
Ev
quindi l’occupazione delle trappole è determinata dai rapporti:
ep
nt
cn
=
=
N t cn + en c p + e p
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en
cn
Et
Ec
Ev
Equilibrio termico: coefficienti di emissione
All’equilibrio termico l’occupazione del livello è determinata dalla
distribuzione di Fermi-Dirac. Per uno stato profondo ( per semplicità
assumo non si abbia degenerazione):
nt
E −εF
= 1 + exp t
Nt
KT
Da cui:
otteniamo:
E −εF
en = cn exp t
KT
;
ε − Et
e p = c p exp F
KT
.
Dato che valgono:
ε − Et
en = σ n vn N c exp − C
KT
ε − EV
e p = σ p v p N v exp − t
KT
−1
ε − εC
n = N c exp F
KT
ε −εF
p = N v exp V
KT
Quindi i coefficienti di emissione dipendono dalla
temperatura con andamento:
→ en (T )
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α T 2 ⋅e
−
ε c −ε t
K BT
Cinetica dei centri di ricombinazione - Modello di Schockley Read Hall
cp = σ p < vp > p
E − EC
n = N c exp F
KT
E − EF
p = N v exp V
KT
en = σ n < vn > n1
utilizzando: n = N exp Et − ε C
c
1
Abbiamo visto che: cn = σ n < vn > n
Riscriviamo:
e p = σ p < v p > p1
dove:
KT
ε − Et
p1 = N v exp V
KT
Definiamo Rn tasso netto di scambio di elettroni tra banda di conduzione e centro di
ricombinazione come tasso netto differenza tra tassi di cattura ed emissione:
Rc = cn
N t − nt
Nt
Re = en
nt
Nt
N t − nt
nt
Rn = Rc − Re = σ n vn n
− n1
Nt
Nt
Analogamente per lo scambio di lacune con la banda di valenza:
nt
N t − nt
Rp = σ pv p p
− p1
N
N
t
t
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Per la ricombinazione delle coppie elettrone-lacuna deve valere: Rn = Rp
N t − nt
nt
nt
N t − nt
σ n vn n
− n1 = σ p v p p
− p1
N
N
N
N
t
t
t
t
Da cui possiamo ricavare la frazione di trappole occupate:
σ n vn n + σ p v p p1
nt
=
N t σ n vn (n + n1 ) + σ p v p ( p + p1 )
Utilizzando questa relazione, che dà la frazione di centri occupati da elettroni,
possiamo ora calcolare il rate di ricombinazione R = Rn (= Rp )
n
R = σ n v n n 1 − t
Nt
(
)
σ n σ p v n v p np − n i2
nt
− n 1
=
N
σ n v n (n + n 1 ) + σ p v p ( p + p 1 )
t
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R =
σ n σ p v n v p (np − n i2 )
Et − Ec
σ n v n n + N c e KT
Ev − Et
+ σ p v p p + N v e KT
definendo U = R.Nt , ponendo vn = vp = vth :
U =
σ nσ p v th N t (np − ni2 )
Et −ε c
σ n n + N c e KT
ε v − Et
+ σ p p + N V e KT
Conviene riscrivere la relazione utilizzando la concentrazione intrinseca di
portatori ni e l’energia intrinseca εi:
εi =
ε C + εV
2
KT N C
+
ln
2 NV
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Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.14-15
Riscriviamo n1 e p1 in termini di ni ed εi:
n1
=
ni
NC e
ε V −ε C
N C NV e
quindi, definendo:
otteniamo :
Et − ε C
KT
εi =
=
2 KT
ε C + εV
2
NC
e
NV
+
ε ε 1
Et −ε C − V + C
2 2 KT
KT N C
ln
2 NV
n1
Et − ε i = KT ln
ni
e quindi:
ε i − Et
Analogamente per le lacune:
p1 = ni e
.
KT
n1 = ni e
Et − ε i
KT
Nel caso σn ≈ σp possiamo anche riscrivere l’espressione di U come:
U =
σ v th N t (np − n i2 )
E − εi
n + p + 2 n i Cosh t
KT
Osserviamo che U viene massimizzato per Et = εi, cioè solo le trappole vicino a
metà gap risultano
degli efficienti centri di generazione/ ricombinazione.
Considerando solo tali difetti l’espressione si riduce a:
σ n σ p v th N t (np − n i2 )
U =
σ n (n + n i ) + σ p ( p + n i )
Per bassa iniezione in semiconduttori di tipo n il tasso di ricombinazione netto
diviene:
σ n σ p v th N t (n ( p 0 + ∆ p ) − n i2 )
∆p
σ
≈
v
N
∆
p
=
U =
p th
t
τp
σ nn
con τp = vita media del portatore minoritario
in presenza di difetti con concentrazione Nt .
τ
p
=
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1
σ p v th N t
Ricombinazione superficiale
In superficie o alle interfacce abbiamo un grande numero di centri di
ricombinazione a causa della brusca interruzione del cristallo, che comporta
la presenza di molti centri elettricamente attivi. Sono presenti anche
impurezze dovute all’esposizione del semiconduttore all’atmosfera e agli
agenti esterni. Il tasso di ricombinazione netta dovuta a trappole è la stessa
che nel modello SRH :
U
s
=
σ s v th N st (np − n i2 )
E − εi
n + p + 2 n i Cosh st
KT
Con la differenza che la ricombinazione è dovuta ad una densità bidimensionale
di trappole Nst, dato che esse sono presenti solo in superficie.
Per bassa iniezione anche questa espressione può essere semplificata, ad
esempio per elettroni in tipo p abbiamo p >> n and p >> ni , così che se Est ≈ εi :
U
s
≈ σ s v th N st (n p − n 0 ) = v s ∆ n
dove vs, velocità di ricombinazione superficiale, data da:
Generazione assistita da trappole
Quando le concentrazioni di portatori sono tali che pn < ni2
il
meccanismo di generazione prevale su quello di ricombinazione. Si può
definire un tempo medio di generazione τg tale che:
σ n σ p v th N t n i
n
U ≈ −
= − i
σ n (1 + n / n i ) + σ p (1 + p / n i )
τg
τg
1 + n / ni 1 + p / ni
n
τ
=
+
= 1 +
σ p v th N t
σ n v th N t
ni
p
p
τ n
+ 1 +
ni
Il tempo medio di generazione dipende dalle concentrazioni di elettroni
e lacune ed ha un valore minimo circa doppio rispetto alla vita media di
ricombinazione.
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Generazione per assorbimento di fotoni
-Il fotone deve avere energia maggiore del gap del semiconduttore: Eph > Eg ;
- L’energia in eccesso Eph – Eg viene rilasciata in forma di energia cinetica
della coppia elettrone-lacuna foto generati.
εc
hν
La generazione di
coppie è regolata da:
εg
εv
Ge − h
αPopt
=
hν
α = coefficiente di assorbimento (cm-1 )
La vita media dei portatori minoritari può essere valutata utilizzando l’effetto
fotoconduttivo. Illuminiamo con fotoni il semiconduttore, si generano
elettroni e lacune in eccesso ∆n = ∆p, in condizioni stazionarie: ∆n = Ge / τ .
Se al materiale è applicato un campo elettrico la corrente di fotoconduzione
dovuta all’eccesso di portatori è :
J PC = q (µ n + µ p )∆ nE = q (µ n + µ p )
Ge
τ
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E
Coefficienti di assorbimento per Si e GaAs
Nel grafico lo spostamento delle curve verso più alte energie al decrescere della
temperatura è associato alla dipendenza dalla temperatura del gap proibito. Al passare
della luce attraverso il semiconduttore abbiamo assorbimento della luce e generazione di
coppie elettrone – lacuna.
Per esempio α = 104cm-1 significa che in 1µm verrà assorbito il 63% dell’intensità.
n.b.: La intensità di illuminazione diminuisce
con la distanza:
dPopt
dx
= −αPopt
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Processi di diffusione
Innanzitutto quando descriviamo i fenomeni di diffusione dobbiamo ricordare
che vale l’equazione di continuità che esprime la conservazione della materia.
Sia ρ la concentrazione della quantità che diffonde (una densità volumetrica,
e.g. numero di molecole/massa/carica per unità di volume) mentre J è la
corrente o flusso della grandezza fisica che diffonde:
La relazione empirica che si verifica tra J e ρ
è la seguente (legge di Fick):
∂ρ
+∇⋅J = 0
∂t
J (r , t ) = − D∇ ρ (r , t )
con segno - a indicare che la corrente J fluisce da una regione dove ρ è
grande verso una regione in cui ρ è minore. D è detta costante di
diffusione, con dimensione [L2/t]=m2/s. Unendo le due equazioni
otteniamo l’equazione di diffusione:
che deve essere valutata
tenendo conto delle condizioni
al contorno.
∂ρ
= D ∇ 2 ρ (r , t )
∂t
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Corrente di diffusione
Se aumentiamo localmente la concentrazione dei portatori per iniezione in
un punto del materiale si verificherà un processo di diffusione dei portatori
in eccesso attraverso il
materiale. La corrente di diffusione è
proporzionale al gradiente di concentrazione, seguendo la legge di Fick
abbiamo, per gli elettroni e per le lacune:
J n ( r , t ) = eD n ∇ n ( r , t )
J p ( r , t ) = − eD p ∇ p ( r , t )
Avendo posto e = valore assoluto della carica elettronica. Notiamo che le
correnti di diffusione di elettroni e lacune viaggiano in senso opposto per
stesso segno del gradiente :
p
dp
<0
dx
n
vp →
Jp →
dn
<0
dx
vn →
← Jn
x
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x
L’espressione dei coefficienti di
diffusione per un semiconduttore non
degenere è data dalle relazioni di
Einstein:
KT
=> D n = µ n
e
KT
=> D p = µ p
e
Esempio: a 300K il valore di KT/e è pari a 25.9mV. Per una
mobilità di 1000cm2/Vs abbiamo: D = 25.9cm2/s.
Correnti di deriva e diffusione
In presenza di un campo elettrico E e di gradiente di concentrazione
avremo sia corrente di deriva che corrente di diffusione:
J n ( r , t ) = ne µ n E + eD n ∇ n ( r , t )
J p ( r , t ) = pe µ p E − eD p ∇ p ( r , t )
Con:
E = −∇ V
Possiamo riscrivere n,p in funzione dell’energia intrinseca εi già vista,
posta circa a metà del gap proibito. Infatti:
ε F −ε C
n
=
ni
quindi, utilizzando :
otteniamo :
NC e
KT
ε V −ε C
N C NV e
εi =
2 KT
ε C + εV
2
+
n
ε F − ε i = KT ln
ni
=
NC
e
NV
E E 1
ε F − EC − V + C
2
2 KT
KT N C
ln
2 NV
ε F −ε i
cioè:
n = ni e
KT
ε i −ε F
Analogamente per le lacune:
p = ni e
KT
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Noto che se abbiamo campo elettrico nel materiale vale
E = −∇ V , il potenziale V avrà un certo andamento
lungo lo spessore del materiale, che dipenderà dalla
distribuzione di carica. Per esempio in una
xp
giunzione brusca pn V(x) ha l’andamento di figura.
Tale andamento provoca una curvatura del minimo
della banda di conduzione, del massimo della
xp
banda di valenza e dell’energia intrinseca εi in modo
che εc(x) =-eV(x) (band bending). Quindi εi segue l
l’andamento del potenziale lungo il dispositivo :
V
x
xn
ε
xn
dV
1 dε i
=−
dx
e dx
x
εc
εi
εv
dV 1 dε i
E=−
=
dx e dx
allora si ha:
Valutiamo ora le:
dn
J n = ne µ n E + µ n KT
dx
;
J p = pe µ p E − µ p KT
dp
dx
nel caso di equilibrio (Jn = 0, Jp = 0 ) allo scopo di capire l’andamento di εF in
funzione dello spessore.
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ε F −ε i
Utilizzando:
n = ni e
dn
= ni e
dx
Allora, la:
ε F −ε i
KT
KT
otteniamo:
n dε F dε i
dε F dε i 1
−
=
−
dx KT KT dx
dx
dx
1 dε F dε i
J n = eµ n n E +
−
e dx
dx
1 dε i
Utilizzando la relazione:
Perciò:
E=
abbiamo:
e dx
Jn = 0
dε F
J n = µnn
dx
εF = costante
xp
Esempio: giunzione pn in equilibrio
termico, il livello di Fermi è costante
lungo x su tutto il dispositivo.
xn
x
εF
εc
εi
εv
ESEMPIO: Schema delle bande
all’interfaccia metallo e semiconduttore
(barriera Schottky) all’equilibrio
ESEMPIO: Schema delle bande in
transistors npn e pnp all’equilibrio
Esempio: Diagramma a bande diodo pn a
eterogiunzione all’equilibrio
Modello di R.L. Anderson, Solid
State Electronics, 5, 341, (1962).
χ = affinità elettronica
φm = funzione lavoro
Due semiconduttori a gap differenti, isolati,
rispettivamente di tipo n e p, confrontati
relativamente al livello di vuoto.Assumiamo:
∆Ec = χ1-χ2 (per convenzione 1 riferito al
materiale a gap minore).
Nell’esempio ∆Ec > 0 e ∆φ>0
Andamento continuo del profilo del
potenziale V all’equilibrio, dovuto al diverso
drogaggio dei due semiconduttori a
contatto
Andamento delle bande di energia
all’equilibrio . A causa della presenza di
∆Ec ≠ 0 e ∆Ev ≠0 dovuti ai gap diversi il
profilo del minimo della anda di
conduzione e del massimo della banda
di valenza mostra discontinuità
al’interfaccia.
Esempio: Dispositivi n-n e p-p con eterostruttura all’equilibrio
n-n
Profilo delle bande di due
semiconduttori a gap differenti
(Ge e GaAs) entrambi di tipo n.
La
funzione
lavoro
del
semiconduttore a grande gap è
piu’ piccola ∆φ<0 e quindi il
piegamento delle bande è
opposto al caso p-n.
p-p
Profilo delle bande di due
semiconduttori
a
gap
differenti (Ge e GaAs)
entrambi di tipo p.
Nel caso il semiconduttore non sia in condizioni di equilibrio si
introduce il concetto di
energia di quasi-fermi (imref)
denominata εFn εFp nel caso rispettivamente di elettroni /
lacune. Le relazioni già viste all’equilibrio per la concentrazione
dei portatori liberi divengono:
EQUILIBRIO
NON-EQUILIBRIO
ε F −ε i
n = ni e
KT
ε i −ε F
p = ni e
KT
2
i
pn = n
ε Fn −ε i
n = ni e
KT
ε i −ε Fp
p = ni e
KT
ε Fn −ε Fp
2
i
pn = n e
KT
L’interpretazione fisica delle energie di quasi-fermi può essere chiarita
riscrivendo le espressioni della densità di corrente in caso di non
equilibrio:
1 dε Fn dε i
J n = eµ n n E +
−
e dx
dx
Ricordando che:
otteniamo:
1 dε i
E=
e dx
dε Fn
J n = nµ n
dx
J p = pµ p
,
analogamente per le lacune:
dε Fp
dx
La densità di corrente di elettroni / lacune è quindi proporzionale al gradiente
del livello di quasi Fermi corrispondente. Tale gradiente rappresenta l’insieme
dei due contributi
dovuti al campo elettrico ed al gradiente della
concentrazione di portatori.
ESEMPIO: giunzione pn nel modello di Shockley
Nella regione di svuotamento εFn and εFp sono
praticamente costanti (le concentrazioni di
portatori sono piuttosto alte, ma in tale
regione la corrente è costante → i gradienti
dei livelli di quasi-Fermi devono essere
piccoli. Ne segue che dentro la regione
svuotata vale:
qV = εFn-εFP
DIRETTA
INVERSA
INVERSA
pn < ni2
DIRETTA
pn > ni2
Le condizioni al contorno ai bordi della
regione svuotata nel caso di bassa iniezione
sono:
qV
qV
ni2 KT
n p (−WDP ) =
e ≈ nP 0 e KT
p
qV
qV
ni2 KT
pn (WDn ) = e ≈ pn 0 e KT
n
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Altro esempio: livelli di quasi Fermi in semiconduttore di tipo n a cui non
è applicata tensione (bande piatte) in condizioni di equilibrio (a) e
durante eccitazione ottica (b).
(a)
(b)
ε Fn = ε Fp
ε Fn − ε Fp > 0
ε Fn −ε Fp
ε Fn −ε Fp
pn = ni2 e
KT
= ni2
pn = ni2 e
KT
> ni2
Equazione di continuità
Le equazioni per la densità di corrente già viste riguardano le condizioni
stazionarie. In generale i fenomeni dipendenti dal tempo sono descritti dalle
equazioni di continuità. Qualitativamente, la variazione netta della
concentrazione di portatori per unità di tempo è data dalla differenza tra
generazione e ricombinazione più il flusso netto di corrente che entra ed esce
dalla regione di interesse.
∂n
1
= Gn − Rn + ∇ ⋅ J n
∂t
q
∂p
1
= Gp − Rp − ∇ ⋅ J p
∂t
q
Nel caso unidimensionale e di bassa iniezione si riscrivono per i portatori
minoritari (elettroni in tipo p e lacune in tipo n):
∂n p
∂t
= Gn −
∂pn
= Gp −
∂t
n p − n p0
τn
pn − pn 0
τp
∂n p
∂ 2n p
∂E
+ n p µn
+ µn E
+ Dn
∂x
∂x
∂x 2
∂E
∂pn
∂ 2 pn
− pn µ p
− µpE
+ Dp
∂x
∂x
∂x 2
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Esempio 1 Decadimento di un eccesso di portatori uniformecon il tempo
Semiconduttore tipo n, illuminato uniformemente rate di generazione per i minoritari
Gp, spessore del campione molto più piccolo di 1/α. Valgono: E = 0, dE/dx=0
dpn/dx=0. L’equazione di continuità si scrive:
∂p
p −p
n
In condizioni stazionarie: dpn/dt = 0 e quindi
∂t
= Gp −
n0
n
τp
pn – pn0 =τpGp = costante . Se spegniamo
la sorgente al tempo t = 0 abbiamo
∂pn
pn − pn 0
=−
∂t
τp
con condizione
al contorno pn(t=0) = pn0 +τpGp, pn(∞)=pn0
La soluzione è:
pn(t)=pn0+τpGpexp(-t/τp).
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Esempio 2: Decadimento dei portatori in eccesso con la distanza
Poniamo di iniettare da un lato portatori in eccesso illuminando con luce di
energia maggiore del gap. Per esempio il coefficiente di assorbimento sia
106cm-1 così che l’intensità del segnale ottico si riduce di e dopo 10nm.
All’interno del semiconduttore quindi G = 0. Allo stato stazionario c’e un
gradiente di concentrazione vicino alla superficie di iniezione. Per un
semiconduttore tipo n abbiamo, senza campo elettrico applicato:
∂pn
p n − pn 0
∂ 2 pn
=0=−
+ Dp
∂t
τp
∂x 2
con condizioni al contorno pn(x=0) =
costante e dipendente dal livello di
iniezione, pn(∞) = 0. La soluzione è:
pn ( x ) = pn 0 + ( pn (0) − pn 0 )e
Avendo definito:
−
x
Lp
L p = D pτ p
lunghezza di diffusione dei minoritari ( lacune )
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Esempio 3: Decadimento dei portatori in eccesso con il tempo e la
distanza
Poniamo di iniettare all’istante t = 0 in un punto del semiconduttore dei portatori
in eccesso per esempio con un impulso ottico i di tensione. All’interno del
semiconduttore G = 0, E = 0 , dE/dx = 0.
∂pn
pn − p n 0
∂ 2 pn
=−
+ Dp
∂t
τp
∂x 2
(a)
La soluzione è ( caso a):
pn ( x, t ) =
N
x2
t
exp( −
− ) + pn 0
4 D pt t p
4πD p t
(b)
Se è applicato campo elettrico la
soluzione è la stessa con
sostituzione x →x – µpEt ( caso b). Mentre il pacchetto di portatori in eccesso si
muove verso l’elettrodo negativo con velocità di drift µpE esso diffonde e si
ricombina come nel caso di campo elettrico nullo.
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Tempo di rilassamento dielettrico e lunghezza di Debye
Notiamo che anche l’eccesso di carica ∆n contribuisce alla formazione del
campo elettrico, attraverso l’equazione di Poisson. Se generazione e
ricombinazione sono trascurabili l’equazione si scrive:
∂∆n 1
+ ∇ ⋅ Jn = 0
∂t
e
Vale l’equazione
→
∇⋅E =
∂∆n σ
+ ∇⋅E = 0
∂t
e
e∆n
ε 0ε r
con soluzione ∆n(t ) ∝ e − t /τ d
e quindi:
, τd =
σ = conducibilità elettrica
∂∆n
σ∆ n
=−
∂t
ε 0ε r
ε 0ε r
= tempo di rilassamento dielettrico
σ
che rappresenta la costante di tempo caratteristica per il ritorno alla neutralità di
carica della carica nel semiconduttore. Possiamo definire una lunghezza
caratteristica di diffusione che chiamiamo lunghezza di Debye:
LD = Dnτ D
che rappresenta la distanza di decadimento della carica in eccesso.
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Essendo τD inversamente proporzionale alla conducibilità elettrica , nel
regime estrinseco LD varia con la concentrazione di drogaggio con
andamento √ND, e.g. T =300K per una densità di drogaggio di 1016cm-3
la lunghezza di Debye è 40nm.
All’equilibrio termico le profondità della regione svuotata
in caso di giunzioni brusche sono di circa 8LD per il Si
10LD per il GaAs.
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Esempio di utilizzo dell’equazione di continuità per il calcolo della corrente nella
giunzione pn.
Equazione di Schockley
Assunzioni:
1) Approssimazione di giunzione brusca;
2) Semiconduttore non degenere;
3) Bassa iniezione, cioè le densità di portatori minoritari in
eccesso sono considerate piccole rispetto alle densità di
portatori maggioritari;
4) Non si ha corrente di generazione-ricombinazione interno
alla regione svuotata e le correnti sono considerate costanti
nella regione di svuotamento.
Vale l’equazione di continuità in caso stazionario, generazione nulla e
ipotizzando Un = Up = U:
dnn
dE
d 2 nn
− U + µn E
+ µ n nn
+ Dn
=0
dx
dx
dx 2
dpn
dE
d 2 pn
−U − µ pE
− µ p pn
+ Dp
=0
dx
dx
dx 2
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Moltiplicando l’equazione per gli elettroni per µppn e quella per le lacune per µnnn
si ottiene:
d 2 pn
pn − pn 0 nn − pn
dpn
−
−
E
+D
=0
2
nn pn
dx
dx
τ
+
µ p µn
D=
con:
τ=
nn + pn
nn
p
+ n
D p Dn
Detto coefficiente di diffusione ambipolare
pn − pn 0 nn − nn 0
=
U
U
detta vita media ambipolare
Nell’assunzione di bassa iniezione: pn << nn ~ nn0
l’equazione si riduce a:
pn − pn 0
con
U
τp
d 2 p n p n − pn 0
−
=0
Nella regione neutra, dove E = 0, l’equazione diviene:
dx 2
D pτ p
−
p n − pn 0
dpn
d 2 pn
− µpE
+ Dp
=0
2
dx
dx
con condizioni al contorno che abbiamo già visto:
τp =
p n (∞ ) = p n 0
e
qV a
p n ( x n ) = p n 0 exp
K BT
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otteniamo la soluzione:
pn − pn 0
qV a
= p n 0 exp
K BT
dp
J p = − qD p n
dx
La densità di corrente nel punto x = xn è:
Similmente si ottiene la corrente
nel lato p nel punto in x = -xp:
x−x
n
− 1 exp −
L p
J n = qD n
dn p
dx
=
xp
xn
qD p p n 0
qV a
=
exp
Lp
K BT
qD n n p 0
qV a
exp
Ln
K BT
− 1
La corrente totale nel dispositivo è quindi data dalla somma: J = Jn + Jp
. Otteniamo l’ equazione di Schockley:
qV a
J = J s exp
K BT
Con Js anche riscrivibile :
− 1
;
Js =
Js =
qD p ni2
Lp N D
qD p p n 0
Lp
qD n ni2
+
Ln N A
+
qD n n p 0
Ln
− 1
Caso non ideale: tasso di generazione non nullo dovuto a difetti
Nella regione svuotata di una giunzione pn si verifica:
pn << ni2 p,n << ni . In presenza di livelli difetto vicino a metà
gap Et = εi si ha generazione netta di coppie elettrone lacuna
con processo assistito dai difetti con livello energetico vicino
a metà gap. Nel modello SRH Il tasso di generazione è dato
da:
Ec
Ei
Εt
Ev
σ nσ p v th N t (np − n i2 )
ni
≈−
U =
σ n (n + n i ) + σ p ( p + n i )
τg
W
Densità di corrente data dalla generazione
J gen = ∫ q U dx = q U W = q
0
ni
τg
W = spessore della regione svuotata.
Poiché: W =
2ε
(Vbi + Va
qN B
la corrente inversa risulta:
)
I α V1/2
JR α
(V
bi
+ Va )
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W
Andamento sperimentale della caratteristica I-V di una giunzione pn di silicio
Fenomeni a campo elettrico
elevato
Energia del portatore dovuta all’applicazione di campo elettrico
All’equilibrio (campo elettrico nullo) i portatori scambiano fononi con il reticolo: li
assorbono ed emettono in modo che il rate di scambio netto sia nullo, hanno
perciò stessa T del reticolo. Sia εeq l’energia del portatore all’equilibrio. In
presenza di campo elettrico ai portatori viene fornita la potenza: P = |F·v|=e E· v.
In condizioni transitorie il rate di variazione dell’energia del portatore ε, nel tempo
è dato da:
ε − ε eq
dε
dt
= eE ⋅ v −
τE
Dove il secondo termine al secondo membro rappresenta il tasso di perdita di
energia dell’elettrone per scattering anelastico, rispetto al valore di equilibrio εeq (τE
tempo di rilassamento per l’energia con definizione analoga a τm). Il fenomeno di
rilassamento energetico si intende dovuto ad emissione – assorbimento di fononi
(le impurezze provocano scattering elastico). In regime stazionario :
dε
e l’energia dell’elettrone diviene :
ε = ε eq + eEvτ E
dt
aumenta quindi per effetto del campo elettrico ed è superiore al valore di
equilibrio.
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=0
Elettroni caldi
In pratica, si preferisce utilizzare , al posto delle energie, valori di temperatura a loro correlati.
La temperatura che associamo all’energia media del portatore è data dalla legge:
KTe
ε
=
3
Utilizzando le temperature invece delle energie in condizioni stazionarie
2
abbiamo:
Te − T
3
2
µ eE = K B
2
τE
dove abbiamo usato: v = µE.
All’equilibrio termico Te = T temperatura del
reticolo, T. Se Te è solo un po’ più grande di T il
trasporto elettronico segue ancora la legge di Ohm
e diciamo che gli elettroni sono tiepidi ( warm
electrons). Se invece Te >> T gli elettroni sono
lontani dall’essere in equilibrio con il reticolo : essi
si dicono caldi (hot electrons). La descrizione
completa del caso di gas elettronico di non
equilibrio si ottiene derivando la funzione di
distribuzione elettronica dall’equazione di trasporto
di Boltzmann. Tale trattazione è al di là degli scopi
di questo corso.
Rappresentazione schematica del
bilancio di energia dei portatori
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Saturazione della velocità di deriva nei semiconduttori
Uno degli effetti più noti degli elettroni caldi è la saturazione della velocità di deriva.
Se a campi elettrici bassi vale la relazione v = µ0 E con µ0 mobilità definita nei paragrafi
precedenti, per campi elettrici elevati si osserva una sublinearità e quindi una
saturazione della velocità di deriva, il che significa che la mobilità dipende dal campo
elettrico, con andamento alla E-1 quando E è sufficientemente elevato.
La spiegazione data da Schockley e Ryder nel 1954 sulla saturazione della velocità a
campi elevati è basata sul fatto che i portatori emettano un fonone ottico nel momento in
1/ 2
cui essi raggiungono l’energia corrispondente hω0 . Il modello deriva
un’espressione per la velocità di saturazione pari a :
8hω0
vs =
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3π m *
Streaming dei portatori caldi e saturazione della velocità di deriva
Diamo qui un’analisi qualitativa del fenomeno considerando il caso seguente.
Assumiamo per semplicità che
-scattering elettronico per energie sotto il valore del fonone ottico trascurabile ( cio è
verificato, in semiconduttori poco drogati, per le basse temperature, cioè per kT << hω0 )
- tasso di emissione di fononi ottici sopra l’energia del fonone ottico molto elevata
rispetto a quella degli altri fenomeni di scattering.
L’elettrone di conduzione parte dal minimo della banda e, a causa del campo
elettrico applicato, accelera fino a raggiungere l’energia del fonone ottico,
praticamente senza subire collisioni. A questo punto l’elettrone emette il fonone
ottico e ritorna sul fondo della banda di conduzione. Il processo si ripete più e più
volte e come risultato abbiamo un moto elettronico quasi periodico. Nella
regione di energia inferiore a quella del fonone ottico vale l’andamento lineare
(vin=0):
(1)
Quando l’elettrone raggiunge l’energia
del fonone ottico esso ha la velocità :
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(2) .
Periodo di moto in cui avviene il moto accelerato dal campo ( ∫ Fdt = p fin )
Per trovare una velocità media di deriva mediamo la (1) sul periodo di moto accelerato:
L’energia, durante il periodo di moto è :
Il suo valore medio nel periodo di moto è pertanto :
Quindi sia la velocità di deriva che l’energia dell’elettrone risultano perciò non dipendere
dal campo elettrico: in questo regime sono caratterizzati da un valore di saturazione.
In realtà, lo streaming da solo non può spiegare gli effetti di saturazione della velocità,
specialmente alle alte temperature. il fenomeno si realizza se: (1) la temperatura è abbastanza
bassa (KT << hω0) così da congelare i processi di assorbimento fononico; (2) il tasso di emissione
fononica eccede tutti gli altri fenomeni di scattering e (3) il campo elettrico è abbastanza elevato da
accelerare gli elettroni fino alla soglia di emissione fononica senza che intervengano altri fenomeni di
scattering, ma abbastanza debole da impedire che l’elettrone superi la soglia di emissione, così da
assicurare che dopo l’emissione del fonone l’elettrone ritorni sul fondo della banda di conduzione.
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In generale: quando il campo elettrico aumenta, aumenta anche l’energia media degli
elettroni di conduzione, il che comporta un aumento dei fenomeni di scattering e
quindi una diminuzione della mobilità. Poichè nei semiconduttori più comuni la mobilità
ad elevato campo elettrico risulta inversamente) proporzionale al campo elettrico, la velocità
di fatto diventa indipendente dal campo elettrico applicato, cioè satura.
Di solito vengono utilizzate delle espressioni empiriche, tipo:
con vs velocità di saturazione, Es costante
caratterizzante
il
campo
elettrico
necessario
per
raggiungere
la
saturazione, γ parametro. Esempio Si: vs
~ 107 cm/s Es = 10 kV/cm e 20kV/cm
rispettivamente per elettroni e lacune. Le
curve di figura per n-Si a diverse
temperature interpolate su tre regioni:
basso campo (v α E) , campo intermedio
(v α E1/2), alto campo ( v α E0).
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Conduzione multi-valley nei semiconduttori
Gli elettroni caldi, spostandosi lungo la banda di
conduzione, possono venire trasferiti verso minimi
relativi della banda di conduzione caratterizzati da
un’energia più elevata del minimo assoluto. Per i
semiconduttori di tipo III-V elettroni caldi nella valle Γ
possono essere trasferiti a minimi delle valli laterali X
e/o L.
La transizione da una valle ad energia più bassa
con massa efficace piccola verso valli a energia
più alta e masse efficaci maggiori porta ad una
regione dove la velocità di deriva e quindi la
densità di corrente elettrica diminuiscono
all’aumentare del campo elettrico applicato →
resistenza differenziale negativa. L’effetto è
utilizzato nei transferred-electron device
(TED), anche chiamati diodi Gunn.
Esempio: lega InyGa1-yAs: velocità massime e resistenze differenziali negative
aumentano all’aumentare della frazione di indio, in quanto la massa efficace nella valle
Γ diviene più leggera.
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Conduzione Multivalley : Alcuni dati per il GaAs
Valle con minimo assoluto in Γ: massa efficace
piccola (0.068m) e quindi elevata mobilità (µ = 40008000 cm2/Vs).
Valle di più alta massa efficace (1.2m), bassa
mobilità (100cm2/Vs) posizionata vicino al punto L,
circa 0.3eV più in alto. Densità di stati nella valle a
energia più alta circa 70 volte maggiore.
A causa di questo effetto la velocità di saturazione
ha valore di picco 2x107 cm/s.
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Prof. Mara Bruzzi – Lezione n. 10 - Fisica dello Stato Solido
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Velocità di overshoot
Gli elettroni accelerati nella valle centrale possono raggiungere velocità molto
elevate prima di essere trasferite nelle valli dove la massa efficace è maggiore, una
volta in tali valli gli elettroni raggiungeranno perciò una velocità di saturazione piu’
bassa (effetto di transient overshoot ). La velocità massima raggiunta è detta
velocità di overshoot.
E’ possibile creare dispositivi che lavorano
alla velocità di overshoot: iniettiamo da un
contatto degli elettroni freddi, che, nel loro
cammino, vengono accelerati dal campo
elettrico fino a raggiungere la massima
velocità. Successivamente essi dovrebbero
diminuire la velocità fino al valore di
saturazione stazionario.
Se però la lunghezza attiva della regione è scelta in modo da essere
confrontabile con la distanza alla quale si verifica il raggiungimento della velocità
di overshoot, il dispositivo funzionerà con la velocità di overshoot,
significativamente maggiore di quella di saturazione.
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Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica a.a.12-13
Breakdown
Ci sono tre meccanismi alla base del breakdown: l’instabilità termica,
l’effetto tunnel e la moltiplicazione a valanga.
1) breakdown per instabilità termica - a causa della dissipazione termica
dovuta al valore elevato della corrente inversa registrato ad alte tensioni,
la temperatura della giunzione aumenta. A sua volta l’aumento di T porta
ad un aumento della corrente.
La corrente inversa I a temperatura
costante è rappresentata da linee
orizzontali . Le iperboli indicanti la
dissipazione di calore a T costante
(prodotto IV) sono rette nel plot loglog. La caratteristica I-V ad una certa
temperatura è ottenuta unendo i punti
di intersezione delle due linee per una
stessa T. Vu è detto potenziale di turnover. per T elevate a causa della
grande dissipazione abbiamo una
caratteristica
con
resistenza
differenziale negativa.
2) breakdown per effetto tunnel (Effetto Zener) – Per campi elettrici elevati
(e.g. 106 V/cm in Ge e Si) comincia a fluire una corrente rilevante nel
dispositivo a causa di un processo di tunneling banda-banda
L’effetto è più rilevante
se il semiconduttore è
molto drogato e quindi
la regione svuotata è
molto
sottile,
il
fenomeno
non
è
distruttivo.
L’effetto è utilizzato nei dispositivi per
stabilire una tensione di riferimento.
Diodo Zener e coefficiente di temperatura
Per tensioni di breakdown VBD maggiori di ≈
6Eg/q (≈ 7 V for Si), il meccanismo di breakdown
dominante è la moltiplicazione a valanga e il
coefficiente di temperatura di VBD è positivo. Per
VBD < 4Eg/q (≈ 5 V for Si), il meccanismo di
breakdown è il tunneling banda-banda e il
coefficiente di temperatura è negativo.
Per 4Eg/q < VBD < 6Eg/q, il breakdown è dato da una
combinazione dei due meccanismi. Si può allora per
esempio connettere un diodo a coefficiente di
temperatura negativo in serie con un coefficiente di
temperatura positivo per produrre un regolatore
indipendente dalla temperatura ( con un coefficiente di
temperatura dell’ordine di 0.002% per °C), che può
essere utilizzato come riferimento di tensione.
Ionizzazione da impatto
Meccanismo di generazione causato da elettrone/lacuna con energia molto
maggiore /minore dell’orlo della banda di conduzione/valenza. L’energia in eccesso
viene utilizzata per generare una coppia e-h attraverso una transizione bandabanda.
Moltiplicazione a valanga
ε
Questo processo di generazione causa la
moltiplicazione
a
valanga
nei
diodi
semiconduttori contropolarizzati. L’aumento di
energia del portatore dovuto alla presenza di
campo elettrico può essere significativo, in tal
caso l’energia cinetica in eccesso viene
rilasciata ad un elettrone di valenza, dando così
luogo ad una coppia e-h. Con lo stesso
processo i due elettroni risultanti daranno luogo
ad altri due, che a loro volta ne genereranno
quattro, e così via, con un effetto di
moltiplicazione. Al fenomeno di moltiplicazione
a valanga contribuiscono sia gli elettroni che le
lacune.
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E
εc
εv
Quando il campo elettrico aumenta oltre un certo valore I portatori
acquistano abbastanza energia da eccitare coppie e-h.
α = tasso di ionizzazione = n. di e-h generati da un portatore per unità di
lunghezza percorsa
α fortemente dipendente dal campo applicato :
In Si : EI = 3.6eV per elettroni, 5.0eV per lacune.
εT, εP, εI, soglie per il campo elettrico (thermal,
optical-phonon and ionization scattering.)
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Moltiplicazione a valanga
Considero Ipo corrente entrante dalla parte sinistra della regione svuotata di
spessore WDm. Se il campo elettrico E nella regione svuotata è abbastanza
elevato vengono generate coppie e-h mediante il processo di ionizzazione da
impatto, la corrente di lacune Ip aumenterà con la distanza attraverso la
regione svuotata raggiungendo il valore MpIpo a x = WDm.
Definisco:
Mp = fattore di moltiplicazione = Ip(WDm)/Ip0
Valutando Ip (x) a WDm si ottiene:
αn, αp = tassi di ionizzazione per elettrone e lacuna
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Avalanche breakdown voltage VBD = tensione alla quale Mp tende all’infinito
→
Esempio di applicazione: Fotodiodi a effetto valanga (Avalanche
Photodiodes APDs)
In pratica, la massima moltiplicazione possibile in dc sotto illuminazione
è limitata dalle resistenze serie Rs e da effetti di carica spaziale.
I corrente moltiplicata, Ip fotocorrente primaria, VR tensione inversa
applicata, VB tensione di breakdown, n costante dipendente dal
semiconduttore dal profilo di drogaggio e dalla lunghezza d’onda della
radiazione.
