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59 Esistono alcune sostanze Questa proprietà non è che manifestano la capacità di attirare la limatura di ferro, in particolare, la magnetite uniforme su tutto il materiale, ma si localizza prevelentemente in prossimità delle estremità 60 La forza che nasce si interpreta dicendo che il magnete genera un “campo magnetico” e che l’altro magnete risente della sua azione. Se il magnete è lasciato libero di ruotare, questo tende a disporsi parallelamente ad un meridiano terrestre (analogamente ad un dipolo elettrico in un campo elettrostatico). 61 La forza magnetica che si manifesta tra i poli mette in evidenza che poli uguali si respingono, poli opposti si attraggono I poli magnetici esitono sempre a coppie di ugual valore e segno opposto e non è possibile dividerli (si manifestano solo sotto forma di dipoli magnetici) 62 Alcune sostanze a base di ferro, acquistano proprietà magnetiche solo dopo essere state poste nelle vicinanze di altri magneti (magneti artificiali o calamite) Una volta magnetizzati, questi materiali mantengono le proprietà magnetiche acquisite 63 Sono le linee tangenti in ogni punto campo magnetico esistente in quel punto. Il vettore che descrive il campo magnetico viene chiamato vettore Induzione magnetica, e si indica con B. Le linee del campo magnetico hanno le stesse proprietà di quelle del campo elettrostatico, tranne quella di avere un punto di partenza ed un punto di arrivo. Le interazioni magnetiche: magnete‐magnete (rilevata attorno al VII a.C.) magnete‐corrente (Oersted, 1811 e Ampère, 1820) corrente‐corrente Le azioni magnetiche non sono altro che la manifestazione dell’interazione tra cariche elettriche in movimento 65 Una particella carica in movimento, immersa in un campo magnetico B è sottoposta alla forza di Lorentz F = qv × B L’orientamento della forza segue la regola della vite Nel SI, il vettore induzione magnetica B si misura in tesla Kg sm2 N Kg 1T = m = = Cs Am As2 66 A differenza della forza elettrostatica (sempre parallela al campo elettrostatico), la forza magnetica è sempre perpendicolare al vettore induzione magnetica B e quindi il lavoro da essa compiuto sulla carica è sempre nullo. 67 Un conduttore percorso da corrente ed immerso in un campo di induzione magnetica B risulta sottoposto ad una forza magnetica F FL = −evd × B Forza di Lorentz agente su un elettrone La forza che agisce su un conduttore di sezione Σ e lunghezza ds, detto n il numero di elettroni per unità di volume è: dF = n(Σds)FL = −(Σds)(nevd ) × B = (Σds)j × B dF = ids × B Seconda legge elementare di Laplace 68 Un conduttore rettilineo di lunghezza l, immerso in un campo di induzione magnetica B uniforme è sottoposto alla forza F F = il × B Il modulo della forza vale F = ilB sin θ Se il conduttore è curvilineo F = iPQ × B La forza che agisce sul conduttore dipende dalla distanza dei punti estremi e non dal percorso 69 Una spira (circuito chiuso) indeformabile è sottoposta ad una forza risultante nulla, ma può subire un momento meccanico non nullo F3 + F4 = 0 Stessa retta d’azione, versi opposti F1 = F2 = aiB Modulo delle due forze Il momento meccanico vale: M = b sin θF = ab iB sin θ = iΣB sin θ Ed è orientato come in figura. m = iΣun Momento magnetico della spira (dipolo magnetico), orientato come un M=m×B 70 Il dipolo magnetico consente di interpretare l’azione meccanica subita da una spira immersa in un campo di induzione magnetica B analogamente a quanto fatto con il dipolo elettrico. 71 Il campo magnetico prodotto da un tratto infinitesimo ds di filo, percorso dalla corrente i, in un punto P distante r dall’elemento di filo vale: dB = µ0 ids ut × ur 2 4π r µ0 = 4π · 10−7 H Tm = 4π · 10−7 A m Prima legge elementare di Laplace Permeabilità magnetica nel vuoto Per un circuito chiuso: µ0 i B= 4π ! ds × ur r2 Legge di Ampère‐Laplace 72 Utilizzando la prima legge elementare di Laplace, si dimostra che il campo creato da un filo rettilineo indefinito è dato da B= µ0 i ut × un 2πR Il verso di B si ottiene con la regola della vite. 73 B · ds = ! D C µ0 i µ0 i ds = dΘ 2πr 2π µ0 i B · ds = 2π ! D C dΘ = µ0 i Θ 2π 74 ! C D ! µ0 i B · ds = − Θ 2π B · ds = µ0 i Legge di Ampère La corrente i è la corrente “concatenata” con il percorso chiuso 75 Utilizzando la legge di Ampère, calcoliamo il campo magnetico all’interno di un solenoide, nell’ipotesi d>>R (n: numero di spire per unità di lunghezza) ! B · ds = Bh = µ0 nhi ⇒ B = µ0 ni 76 Utilizzando la legge di Ampère, calcoliamo il campo magnetico all’interno di un solenoide toroidale (N: numero totale di spire del solenoide) ! B · ds = 2πrB = µ0 N i ⇒ B = µ0 N i 2πr 77 Consideriamo le azioni elettrodinamiche tra due fili paralleli rettilinei percorsi dalle correnti i1 e i2. Usando la seconda legge elementare di Laplace si ha: dF12 = i2 ds2 × B1 = i1 ds1 × B2 Applicando la legge di Biot‐Savart, si ottiene la forza per unità di lunghezza che nasce tra i due fili F12 = F21 µ0 i1 i2 = 2πr Definizione dell’unità di misura della corrente 78 Analogamente a quanto fatto con il campo elettrostatico, consideriamo il flusso di B attraverso una superficie Σ ! Φ(B) = Σ B · un dΣ Se la superficie è chiusa: Φ(B) = ! B · un dΣ Poichè le linee del campo hanno verso costante, per ogni linea entrante nella superficie, ce ne sarà una uscente, quindi sarà sempre ! B · un dΣ = 0 Legge di Gauss per il campo magnetico Il flusso magnetico si misura in Weber: 1Wb=1Tm2=1Vs L’ultima uguaglianza sarà chiarita in seguito. 79 Un campo vettoriale che ha flusso nullo attraverso qualsiasi superficie chiusa si dice “solenoidale”. Il campo magnetico è quindi solenoidale, mentre non lo è il campo elettrostatico. Una particolarità della solenoidalità è il concetto di flusso concatenato con una linea chiusa ! Φ(B) = B · un dΣ = " " B · un dΣ + B · un dΣ =Φ !1 (B) + Φ2 (B) Σ1 Σ2 Orientando u1=‐un e quindi associando il verso del flusso con l’orientamento della linea con la regola della vite, si ha Φ1 (B) = Φ2 (B) Flusso concatenato con la linea chiusa 80 Una spira percorsa da corrente crea un campo di induzione dato dalla legge di Ampère‐Laplace B= µ0 i 4π ! ds × ur r2 Il flusso concatenato con la spira percorsa da corrente vale: Φ(B) = ! B · un dΣ = ! "! µ0 i ds × ur 4π r2 # · un dΣ Esiste proporzionalità tra flusso e corrente Φ = Li Il coefficiente L prende il nome di induttanza. Nel SI, L si misura in henry (H) 1H=1Wb/1A =1Ωs 81 Se si misura il campo magnetico all’interno di un solenoide vuoto si ha B0 = µ0 ni Dopo aver riempito il solenoide con un materiale omogeneo, si misura un campo magnetico di ugual direzione e verso ma di valore diverso. B = κm B0 Permeabilità magnetica relativa (al vuoto) B = κm B0 = κm µ0 ni = µni μ : permeabilità magnetica assoluta 82 Il base al valore della permeabilità magnetica relativa, i materiali si classificano in κm > 1 Materiali paramagnetici: κm è costante κm < 1 Materiali diamagnetici: κm è costante κm >> 1 Materiali ferromagnetici: κm non è costante e dipende dall’intensità del campo magnetico applicato Questo comportamento si interpreta attraverso la “corrente di magnetizzazione” (correnti amperiane) κm < 1 κm > 1 83 Il materiale contribuisce al campo magnetico B con le correnti di magnetizzazione Queste correnti, conseguenza della magnetizzazione della materia, sono proporzionali al campo magnetico attraverso la permeabilità magnetica del mezzo: ! ! B0 im = (κm − 1) · ds = M · ds µ0 Avendo introdotto il vettore magnetizzazione B0 M = (κm − 1) µ0 Questo vettore gioca un ruolo formalmente analogo al vettore polarizzazione introdotto per i dielettrici In presenza di mezzi magnetizzati la legge di Ampère ! si scrive B · ds = µ0 (i + im ) Usando la definizione di magnetizzazione ! B · ds = µ0 (i + ! M · ds) Introduciamo il vettore campo magnetico H ! H= H · ds = i B −M µ0 Legge di Ampère in presenza di mezzi magnetizzati Il campo magnetico H si misura in A/m 85 Ricordando che B = κm B0 M = (κm − 1) In presenza mi mezzi magnetizzati B0 µ0 B = µH Nel vuoto B = µ0 H In presenza di mezzi ferromagnetici B = B(H) 86 87
