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59   Esistono alcune sostanze   Questa proprietà non è che manifestano la capacità di attirare la limatura di ferro, in particolare, la magnetite uniforme su tutto il materiale, ma si localizza prevelentemente in prossimità delle estremità 60   La forza che nasce si interpreta dicendo che il magnete genera un “campo magnetico” e che l’altro magnete risente della sua azione.   Se il magnete è lasciato libero di ruotare, questo tende a disporsi parallelamente ad un meridiano terrestre (analogamente ad un dipolo elettrico in un campo elettrostatico). 61   La forza magnetica che si manifesta tra i poli mette in evidenza che poli uguali si respingono, poli opposti si attraggono   I poli magnetici esitono sempre a coppie di ugual valore e segno opposto e non è possibile dividerli (si manifestano solo sotto forma di dipoli magnetici) 62   Alcune sostanze a base di ferro, acquistano proprietà magnetiche solo dopo essere state poste nelle vicinanze di altri magneti (magneti artiﬁciali o calamite)   Una volta magnetizzati, questi materiali mantengono le proprietà magnetiche acquisite 63   Sono le linee tangenti in ogni punto campo magnetico esistente in quel punto. Il vettore che descrive il campo magnetico viene chiamato vettore Induzione magnetica, e si indica con B.   Le linee del campo magnetico hanno le stesse proprietà di quelle del campo elettrostatico, tranne quella di avere un punto di partenza ed un punto di arrivo.   Le interazioni magnetiche:   magnete‐magnete (rilevata attorno al VII a.C.)   magnete‐corrente (Oersted, 1811 e Ampère, 1820)   corrente‐corrente   Le azioni magnetiche non sono altro che la manifestazione dell’interazione tra cariche elettriche in movimento 65   Una particella carica in movimento, immersa in un campo magnetico B è sottoposta alla forza di Lorentz F = qv × B
  L’orientamento della forza segue la regola della vite   Nel SI, il vettore induzione magnetica B si misura in tesla Kg sm2
N
Kg
1T = m =
=
Cs
Am
As2
66   A diﬀerenza della forza elettrostatica (sempre parallela al campo elettrostatico), la forza magnetica è sempre perpendicolare al vettore induzione magnetica B e quindi il lavoro da essa compiuto sulla carica è sempre nullo. 67   Un conduttore percorso da corrente ed immerso in un campo di induzione magnetica B risulta sottoposto ad una forza magnetica F FL = −evd × B
Forza di Lorentz agente su un elettrone La forza che agisce su un conduttore di sezione Σ e lunghezza ds, detto n il numero di elettroni per unità di volume è: dF = n(Σds)FL = −(Σds)(nevd ) × B = (Σds)j × B
dF = ids × B Seconda legge elementare di Laplace 68   Un conduttore rettilineo di lunghezza l, immerso in un campo di induzione magnetica B uniforme è sottoposto alla forza F F = il × B
Il modulo della forza vale F = ilB sin θ
  Se il conduttore è curvilineo F = iPQ × B
La forza che agisce sul conduttore dipende dalla distanza dei punti estremi e non dal percorso 69   Una spira (circuito chiuso) indeformabile è sottoposta ad una forza risultante nulla, ma può subire un momento meccanico non nullo F3 + F4 = 0
Stessa retta d’azione, versi opposti F1 = F2 = aiB Modulo delle due forze Il momento meccanico vale: M = b sin θF = ab iB sin θ = iΣB sin θ
Ed è orientato come in ﬁgura. m = iΣun
Momento magnetico della spira (dipolo magnetico), orientato come un M=m×B
70   Il dipolo magnetico consente di interpretare l’azione meccanica subita da una spira immersa in un campo di induzione magnetica B analogamente a quanto fatto con il dipolo elettrico. 71   Il campo magnetico prodotto da un tratto inﬁnitesimo ds di ﬁlo, percorso dalla corrente i, in un punto P distante r dall’elemento di ﬁlo vale: dB =
µ0 ids
ut × ur
2
4π r
µ0 = 4π · 10−7
H
Tm
= 4π · 10−7
A
m
Prima legge elementare di Laplace Permeabilità magnetica nel vuoto   Per un circuito chiuso: µ0 i
B=
4π
!
ds × ur
r2
Legge di Ampère‐Laplace 72   Utilizzando la prima legge elementare di Laplace, si dimostra che il campo creato da un ﬁlo rettilineo indeﬁnito è dato da B=
µ0 i
ut × un
2πR
Il verso di B si ottiene con la regola della vite. 73 B · ds =
!
D
C
µ0 i
µ0 i
ds =
dΘ
2πr
2π
µ0 i
B · ds =
2π
!
D
C
dΘ =
µ0 i
Θ
2π
74 !
C
D
!
µ0 i
B · ds = −
Θ
2π
B · ds = µ0 i
Legge di Ampère La corrente i è la corrente “concatenata” con il percorso chiuso 75   Utilizzando la legge di Ampère, calcoliamo il campo magnetico all’interno di un solenoide, nell’ipotesi d>>R (n: numero di spire per unità di lunghezza) !
B · ds = Bh = µ0 nhi ⇒ B = µ0 ni
76   Utilizzando la legge di Ampère, calcoliamo il campo magnetico all’interno di un solenoide toroidale (N: numero totale di spire del solenoide) !
B · ds = 2πrB = µ0 N i ⇒ B =
µ0 N i
2πr
77   Consideriamo le azioni elettrodinamiche tra due ﬁli paralleli rettilinei percorsi dalle correnti i1 e i2. Usando la seconda legge elementare di Laplace si ha: dF12 = i2 ds2 × B1 = i1 ds1 × B2
Applicando la legge di Biot‐Savart, si ottiene la forza per unità di lunghezza che nasce tra i due ﬁli F12 = F21
µ0 i1 i2
=
2πr
Deﬁnizione dell’unità di misura della corrente 78   Analogamente a quanto fatto con il campo elettrostatico, consideriamo il ﬂusso di B attraverso una superﬁcie Σ !
Φ(B) =
Σ
B · un dΣ
  Se la superﬁcie è chiusa: Φ(B) =
!
B · un dΣ
Poichè le linee del campo hanno verso costante, per ogni linea entrante nella superﬁcie, ce ne sarà una uscente, quindi sarà sempre !
B · un dΣ = 0
Legge di Gauss per il campo magnetico Il ﬂusso magnetico si misura in Weber: 1Wb=1Tm2=1Vs L’ultima uguaglianza sarà chiarita in seguito. 79   Un campo vettoriale che ha ﬂusso nullo attraverso qualsiasi superﬁcie chiusa si dice “solenoidale”.   Il campo magnetico è quindi solenoidale, mentre non lo è il campo elettrostatico.   Una particolarità della solenoidalità è il concetto di ﬂusso concatenato con una linea chiusa !
Φ(B) = B · un dΣ =
"
"
B · un dΣ +
B · un dΣ =Φ !1 (B) + Φ2 (B)
Σ1
Σ2
Orientando u1=‐un e quindi associando il verso del ﬂusso con l’orientamento della linea con la regola della vite, si ha Φ1 (B) = Φ2 (B)
Flusso concatenato con la linea chiusa 80   Una spira percorsa da corrente crea un campo di induzione dato dalla legge di Ampère‐Laplace B=
µ0 i
4π
!
ds × ur
r2
  Il ﬂusso concatenato con la spira percorsa da corrente vale: Φ(B) =
!
B · un dΣ =
! "!
µ0 i ds × ur
4π
r2
#
· un dΣ
  Esiste proporzionalità tra ﬂusso e corrente Φ = Li
  Il coeﬃciente L prende il nome di induttanza. Nel SI, L si misura in henry (H) 1H=1Wb/1A =1Ωs 81   Se si misura il campo magnetico all’interno di un solenoide vuoto si ha B0 = µ0 ni
  Dopo aver riempito il solenoide con un materiale omogeneo, si misura un campo magnetico di ugual direzione e verso ma di valore diverso. B
= κm
B0
Permeabilità magnetica relativa (al vuoto) B = κm B0 = κm µ0 ni = µni
μ : permeabilità magnetica assoluta 82   Il base al valore della permeabilità magnetica relativa, i materiali si classiﬁcano in κm > 1
Materiali paramagnetici: κm è costante κm < 1
Materiali diamagnetici: κm è costante κm >> 1 Materiali ferromagnetici: κm non è costante e dipende dall’intensità del campo magnetico applicato   Questo comportamento si interpreta attraverso la “corrente di magnetizzazione” (correnti amperiane) κm < 1
κm > 1
83   Il materiale contribuisce al campo magnetico B con le correnti di magnetizzazione   Queste correnti, conseguenza della magnetizzazione della materia, sono proporzionali al campo magnetico attraverso la permeabilità magnetica del mezzo: !
!
B0
im = (κm − 1)
· ds = M · ds
µ0
  Avendo introdotto il vettore magnetizzazione B0
M = (κm − 1)
µ0
  Questo vettore gioca un ruolo formalmente analogo al vettore polarizzazione introdotto per i dielettrici   In presenza di mezzi magnetizzati la legge di Ampère !
si scrive B · ds = µ0 (i + im )
  Usando la deﬁnizione di magnetizzazione !
B · ds = µ0 (i +
!
M · ds)
  Introduciamo il vettore campo magnetico H !
H=
H · ds = i
B
−M
µ0
Legge di Ampère in presenza di mezzi magnetizzati Il campo magnetico H si misura in A/m 85   Ricordando che B
= κm
B0
M = (κm − 1)
In presenza mi mezzi magnetizzati B0
µ0
B = µH
Nel vuoto B = µ0 H
In presenza di mezzi ferromagnetici B = B(H)
86 87 