Dinamica del punto
Argomenti della lezione
• Principio di inerzia (prima legge di Newton)
• 2° legge di Newton
• 3° legge di Newton (principio di azione e reazione)
• Quantità di moto
• Risultante delle forze / Equilibrio / Reazioni vincolari
Principio d’inerzia
Perché avviene il moto??
Principio
d’inerzia
Un corpo non soggetto a forze non subisce
cambiamenti di velocità, ossia rimane in quiete se
già lo era o si muove di moto rettilineo uniforme
Accelerazione
Presenza di
una forza
Forza: Grandezza che esprime
l’interazione fra sistemi fisici
La tendenza di un corpo a rimanere fermo o a proseguire di
moto rettilineo e uniforme è chiamata inerzia per cui la prima
legge di Newton è anche detta Legge o Principio di Inerzia.
prima legge di Newton
Quando si tenta di far cambiare la velocità di un oggetto, esso si
oppone a questo cambiamento.
La risposta di tale corpo alla sollecitazione causata dalla forza
esterna prende il nome di
Inerzia.
Tale particolare caratteristica è una proprietà esclusiva del singolo
corpo, il quale la manifesterà tutte le volte che sarà soggetto a tale
tipo di sollecitazione.
prima legge di Newton
Principio d’inerzia
L'inerzia viene misurata con la massa e nel Sistema
Internazionale (SI) viene impiegato il chilogrammo. Tale
grandezza è una grandezza scalare. Dati due corpi, di massa
diversa, che si trovano sottoposti alla medesima forza esterna,
avranno accelerazioni diverse.
Forze
Esempi di Forze
Seconda Legge di Newton
La seconda legge di Newton dice cosa accade ad un corpo quando
su di esso agisce una forza non nulla. Se le forze in gioco sono
più di una, va considerata la loro somma ossia la risultante delle
forze, o forza risultante.
L'accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla
forza risultante agente su di esso ed inversamente proporzionale
alla sua massa.
Fris = min·a
Da questa relazione è facile evincere che se una forza F viene applicata ad un corpo,
esso sarà sottoposto ad una certa accelerazione a che avrà stessa direzione e stesso
verso di F.
Ricordando le relazioni viste in
cinematica, l’espressione vista
può anche così essere riscritta:
dv
d 2r
F = ma = m
=m 2
dt
dt
La quantità di moto
La grandezza
p = mv
Ricordando
dv
d 2r
F = ma = m
=m 2
dt
dt
si definisce quantità di moto
è possibile scrivere
dp d (mv )
F=
=
dt
dt
Fdt = dp
t
p
t0
p0
J = ∫ Fdt = ∫ dp = p − p 0 = Δp
Teorema dell’impulso
(forma integrale della legge di Newton)
Seconda Legge di Newton
F
F
F
F
Dimensioni e unità di misura
Le dimensioni per la formula Fris
= mina
sono le seguenti:
[F] = [M][L]/[T][T]
e le corrispondenti unità di misura sono:
F = kg·m/s·s = N
(dove N indica Newton. La forza di 1N è quella che, agendo su
una massa di 1 kg, ne causa un'accelerazione di 1 m/s2)
F’
Applicazioni dei principi della dinamica..
F=0
⇒a=0
Moto uniforme
v=cost
F = cost ⇒
F
a=
⇒ a = cost
m
Moto uniform. accelerato
• Determiniamo l’espressione della forza o delle forze presenti.
•
Una forza è completamente definita quando si conosce qual
è il corpo che la subisce e qual è il corpo che la genera
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Forza Peso
Massa e Peso
Massa gravitazionale
Ogni massa ha la proprietà sia di attrarre che di essere attratta da
un'altra massa, secondo la legge di gravitazione universale.
Se indichiamo con m1 e m2 le due masse gravitazionali e con r la
distanza fra i loro centri e G la costante di gravitazione universale si ha:
m1 × m2
F =G
2
r
Massa inerziale-massa gravitazionale
Massa inerziale-massa gravitazionale
Massa inerziale-massa gravitazionale
Dalla
si ha
F = ma
P = mg
e dalla
m1 × m2
F =G
2
r
si ha
M ×m
P=G
2
R
Per cui
M ×m
mg = G
R2
Dividendo entrambi i membri per m, essendo la massa
gravitazionale uguale alla massa inerziale si ha
M
g =G 2
R
Accelerazione di gravità
L’accelerazione di gravità non
dipende dalla massa dell’oggetto!
M
g =G 2
R
L’accelerazione di gravità
dipende dalla massa terrestre
L’accelerazione di gravità
dipende dal raggio terrestre
Peso e accelerazione di gravità
M
g =G 2
R
P
=m
g
accelerazione di gravità
e raggio terrestre
accelerazionedi gravità
e massa del corpo celeste
poli raggio minore
spiaggia raggio minore
terra massa maggiore
accelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiore
peso maggiore
accelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiore
peso maggiore
accelerazione di gravità maggiore
intensità campo gravitazionale maggiore
peso maggiore
equatore raggio maggiore
vetta raggio maggiore
accelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minore
peso minore
accelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minore
peso minore
luna massa minore
accelerazione di gravità minore
intensità campo gravitazionale minore
peso minore
Newton g esprime l’intensità del campo gravitazionale,
g=
kg
cioè i Newton associati ad un kg
Terza Legge di Newton
principio di azione e reazione
Coppie di Azione e Reazione
Forza normale (o reazione vincolare)
Reazioni vincolari
Esempi
N − Py = 0
P+N =0
N
N
P
P
N
P
y
x
Vincoli
• Un vincolo e` una qualunque limitazione dell’ambiente al
moto del corpo
• Questa limitazione avviene per contatto tra corpo e
vincolo
• Esempi:
– una fune
– una superficie d’appoggio o rotaia
– un asse fisso
– un punto fisso
Reazioni vincolari
• Il contatto tra corpo e vincolo produce
un’interazione che si manifesta sotto forma di
forza
• Per il 3o principio la forza con cui il corpo agisce
sul vincolo e` uguale e contraria a quella, detta
reazione vincolare, con cui il vincolo agisce sul
corpo
• Le forze vincolari non sono in generale note a
priori, ma si possono dedurre a posteriori
esaminando il comportamento del sistema
Reazioni vincolari
• Esempio: corpo vincolato in equilibrio statico
• Supponiamo che il corpo sia soggetto, oltre alla forza di
vincolo V, ad altre forze di risultante R diversa da zero
• Se il corpo e` in equilibrio statico, allora la risultante di
tutte le forze, compresa quella di vincolo, dev’esser
nulla:
Rtot = R + V ≡ 0
• Da questa relazione possiamo calcolare, a posteriori, la
forza di vincolo:
V = −R
Carrucole
• Le considerazioni svolte possono essere estese al caso
in cui siano presenti carrucole e quindi la fune cambi
direzione
Oggetti in equilibrio
Equilibrio
Esempio
Un corpo è sottoposto all’azione di una forza F1 = 30 N diretta verso l’asse negativo delle x
e a quella di una seconda forza F2 =70 N che forma un angolo di 60° con l’asse positivo
delle x, determinare modulo direzione e verso della forza F3 necessaria affinché il corpo sia
in equilibrio.
F1 = −30u x
y
F’3
F2 = 70 cosθu x + 70 sin θu y
F2
60°
F1
x
F3
F3 = 302 + 702 = 5800 = 76.158 N
F3 = −76.158 u y N
Esercizio
mb = 500kg
∑ F = ma
FRx = FAx + FBx = 40 N cos(45) + 30 N cos(37) = 52.2 N
FRy = FAy + FBy = 40 Nsen(45) − 30 Nsen(37) = 10.3N
tan(θ ) =
FRy
FRx
=
10.3 N
= 0 .2
52.2 N
θ = arctan(0.2) = 11.5o
a=
2
2
F = FRx + FRy = 51N
51N
= 0.1m/s2
500kg
30
Fili e funi
• Sono oggetti che trasmettono la forza solo
in trazione
• Al contrario le barre possono trasmettere
la forza sia in trazione, sia in
compressione, che in sforzo di taglio
Fili e funi: Tensione
Esercizio: Equilibrio
Esercizio: Equilibrio
Oggetti sottoposti a una Ftot non nulla
Esempio (senza attrito)
Esempio: Macchina di Atwood
Esempio: Macchina di Atwood
Esempio 2: Oggetti Multipli
Esempio 2: Oggetti Multipli
Piano Inclinato
Forza di attrito
Attrito Statico e Attrito Dinamico
Modello Macroscopico dell’ Attrito
Coefficienti di attrito
Esercizi con attrito e legge di Newton
Coefficiente di attrito statico
Moto Circolare Uniforme
Moto Circolare Uniforme
Moto di un automobile
Curva orizzontale piatta
Pendolo Conico
Moto in un fluido
Moto in un fluido: esempio
Moto in un fluido: soluzione
Esercizio
Esercizio
Giro della morte
Giro della morte II
Forza elastica
Oggetti che principalmente danno origine a forze elastiche: le molle.
Caratteristiche: a) lunghezza a riposo x0, (lunghezza della molla
quando la risultante delle forze applicate su di essa è nulla)
b) k, detta costante elastica della molla.
Si osserva sperimentalmente che l'allungamento/compressione di una
molla è proporzionale alla forza applicata:
legge di Hooke,
F = -kΔx
Δx=(x-x0) = entità della deformazione della molla.
Tale legge vale solamente se la deformazione avviene entro un certo
limite: superato esso la molla perde la propria elasticità.
La forza ha segno negativo poiché è sempre opposta allo spostamento.
Legge di Hooke
• In termini vettoriali:
F = −k (x − x0 ) = −kΔx
Δx
Δx
Fe
FT
FC
Fe
Ancora sul moto armonico
• Ponendo y=x-x0 e sfruttando il fatto ovvio che
d 2 y d 2x
= 2
2
dt
dt
2
d
y
• l’equazione del moto diviene m
= −ky
2
dt
k
2
• Dividendo i membri per m e ponendo ω =
m
d2y
• Otteniamo
2
= a = −ω y
2
dt
• Cioe` l’equazione che individua il moto armonico
• Abbiamo quindi scoperto che il moto armonico e` causato dalla
forza elastica
Forza elastica
La legge oraria sarà quindi:
x(t ) = A sen(ωt + φ )
dove A è l'ampiezza di oscillazione e per dimensioni ha una lunghezza,
e f è la fase. Sia A che f dipendono dalle condizioni iniziali del moto.
Andando a studiare il moto, si osserva che:
→ nel punto di massimo allungamento e di massima compressione,
l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti
invertendo il verso del moto)
→ nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità
massima (con opportuno segno a seconda che la molla si stia
allungando o comprimendo)
Moto in un fluido: attrito viscoso
Moto in un fluido
Moto in un fluido: soluzione
Forze centripete
Supponiamo che la risultante delle forze agenti su un punto materiale
presenti una componente normale alla traiettoria, questa componente
causa l’accelerazione centripeta dell’oggetto:
v2
FN = ma N = m
R
Dove R è il raggio di curvatura della traiettoria.
In generale forze centripete sono prodotte da rotaie, pneumatici,
fili… ossia vincoli che consentono di incurvare la traiettoria
oppure da forze gravitazionali
