Indice
capitolo 1
Gli enti geometrici fondamentali
1. Introduzione
2. La geometria euclidea come sistema ipotetico-deduttivo
Teoremi e dimostrazioni, 3
3. Postulati di appartenenza
4. Postulati di ordinamento
Semirette, 8 – La densità, 9 – Segmenti, 10 – Semipiani, 11
5. Le figure convesse
Approfondimento , 13
Convessità del semipiano
6. Angoli
7. Poligoni
8. I postulati dei movimenti rigidi
Confronto. Somma di segmenti, 18 – Misura dei segmenti, 21 – Confronto.
Somma di angoli, 21 – Misura degli angoli, 27
1
2
4
7
12
14
15
17
Laboratorio di informatica
1. Scegliere un comando, 28 – 2. I primi disegni, 29 – 3. Le prime costruzioni, 30 – 4. Modificare un disegno, 30 – 5. Nomi e colori, 31
Esercizi
Il sistema ipotetico-deduttivo, 32 – Gli enti primitivi e le figure della geometria euclidea, 34 – Postulati di appartenenza e di ordine, 35 – Figure convesse, 36 – Angoli, 37 – Poligoni, 38 – I postulati dei movimenti rigidi, 39 –
Bisettrici, 39 – Misura degli angoli, 40
capitolo 2
I triangoli
1. Introduzione
Classificazione dei triangoli, 42
2. Bisettrici, mediane
3. Criteri di uguaglianza per i triangoli
Proprietà del triangolo isoscele, 47
4. Rette parallele tagliate da una trasversale
Il postulato delle parallele, 52
41
43
44
50
Indice
5. Somma degli angoli di un triangolo
Una importante proprietà, 57 – Classificazione dei triangoli rispetto ai lati e
rispetto agli angoli, 57
6. Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli
7. Retta per un punto perpendicolare a una data retta
Distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette parallele, 59 – Altezze
e assi in un triangolo, 60
8. Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo. La disuguaglianza triangolare
Condizione di allineamento di tre punti, 64
9. Costruzioni con riga e compasso
Bisettrice di un angolo, 65 – Angolo uguale a uno dato, 66 – Triangolo dati
due lati e l’angolo compreso, 66 – Triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti,
67 – Triangolo equilatero, 67 – Triangolo dati i tre lati, 68 – Asse e punto medio, 69 – Perpendicolare a una retta da un punto, 69 – Triangolo isoscele, 70 –
La trisezione dell’angolo retto, 71
55
58
59
62
64
Laboratorio di informatica
1. Bisettrici e mediane di un triangolo, 72 – 2. La disuguaglianza triangolare,
73
Esercizi
Introduzione. Bisettrici. Mediane, 75 – 1° criterio di uguaglianza, 75 – 2° criterio di uguaglianza, 77 – Proprietà dei triangoli isosceli, 79 – 3° criterio di
uguaglianza, 80 – Rette parallele, 82 – Somma degli angoli interni di un triangolo, 84 – Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli, 88 – Retta per un
punto perpendicolare a una retta data. Distanza punto-retta. Distanza tra due
rette parallele, 90 – Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo. Disuguaglianza triangolare, 91 – Gare di Matematica, 93
capitolo 3
Le isometrie
1. Trasformazioni del piano
Trasformazione composta, 97
2. Le isometrie
Proprietà invarianti, 100
3. Composizione di due isometrie
4. Simmetria centrale
5. Simmetria assiale o riflessione
6. Rotazione
Angoli orientati, 107 – Rotazione, 108
7. Traslazione
Vettori, 109 – Somma di vettori, 111 – Traslazione, 111
8. Composizione di isometrie
Composizione di due simmetrie centrali, 114 – Composizione di simmetrie
assiali, 115 – Composizione di rotazioni attorno allo stesso centro, 119 –
Composizione di traslazioni, 120 – Composizione di una traslazione e di una
rotazione, 121
9. Quante condizioni per determinare un’isometria?
95
99
100
101
103
107
109
114
122
Indice
Laboratorio di informatica
1. Simmetria centrale di un triangolo, 124 – 2. Simmetria assiale di un triangolo, 124 – Operazioni con i vettori, 125 – 4. Traslazioni di un triangolo, 126 –
5. Glissometria, 127 – 6. Rotazione, 127
Esercizi
Trasformazioni del piano, 130 – Isometrie, 130 – Simmetria centrale, 131 – Simmetria assiale, 134 – Rotazione, 138 – Vettori, 141 – Traslazione, 142 – Composizioni di trasformazioni, 144 – Gare di Matematica, 148
capitolo 4
I quadrilateri. Punti notevoli di un triangolo
1. I poligoni
Somma degli angoli interni, 149 – Somma degli angoli esterni, 150 – Relazioni tra i lati di un poligono, 151
2. Criteri di uguaglianza dei poligoni
3. I quadrilateri
4. Il trapezio
Simmetria, 155
5. Il parallelogramma
Simmetria, 157
6. Il rettangolo
Simmetrie, 158
7. Il rombo
Simmetrie, 159
8. Il quadrato
Simmetrie, 159
9. Fascio di rette parallele. Teorema di Talete
Applicazioni, 162
10. Luoghi geometrici
Asse di un segmento, 163 – Bisettrice di un angolo, 163 – Luogo dei punti
equidistanti da due rette date, 164 – Luogo dei punti aventi una distanza assegnata d da una retta m, 164
11. Punti notevoli di un triangolo
Baricentro (punto d’incontro delle mediane), 165 – Circocentro (punto d’incontro degli assi dei lati), 166 – Ortocentro (punto d’incontro delle altezze),
166 – Incentro (punto d’incontro delle bisettrici), 167
13. Costruzioni con riga e compasso
Retta secante un angolo, 168 – Trapezio isoscele, 168 – Rettangolo, 169 – Parallelogramma, 170
Laboratorio di informatica
1. Angoli interni ed esterni di poligoni, 171 – 2. Un esperimento con la carta…, 172 – 3. Le macro CABRI, 173 – 4. Un esperimento socio-economico, 173
Esercizi
I poligoni, 175 – Criteri di uguaglianza dei quadrilateri, 176 – Il trapezio, 177 –
Il parallelogramma, 180 – Il rettangolo, 183 – Il rombo, 185 – Il quadrato,
187 – Fascio di rette parallele. Teorema di Talete, 189 – Luoghi geometrici,
192 – Punti notevoli di un triangolo, 194 – Gare di Matematica, 197
149
152
152
153
155
157
158
159
160
162
165
168
Indice
capitolo 5
La circonferenza
1. Circonferenza e cerchio
2. Circonferenza per tre punti non allineati
3. Corde, archi, settori circolari, segmenti circolari
Simmetrie, 203
4. Posizioni relative di una retta e di una circonferenza
5. Posizioni relative di due circonferenze
6. Angoli al centro e angoli alla circonferenza
7. Tangenti a una circonferenza condotte da un punto
8. Tangenti comuni a due circonferenze
9. Costruzioni con riga e compasso
Tangenti, 213 – Triangolo rettangolo, 215
199
200
200
204
205
207
211
212
213
Laboratorio di informatica
1. Angoli al centro e angoli alla circonferenza, 216 – 2. Il comando Traccia,
216 – 3. Il comando Luoghi, 216 – 4. Le tre circonferenze, 218
Esercizi
Circonferenza e cerchio. Circonferenza per tre punti non allineati, 220 – Corde e archi, 220 – Simmetrie, 223 – Posizioni relative di una retta e di una circonferenza. Posizioni relative di due circonferenze, 224 – Angoli al centro e
angoli alla circonferenza, 226 – Tangenti condotte a una circonferenza, 231 –
Luoghi geometrici, 236 – Gare di Matematica, 239
capitolo 6
Poligoni inscritti e circoscritti
Poligoni regolari
1. Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza
2. Triangoli
Circonferenze exinscritte, 242
3. Quadrilateri
4. Poligoni regolari
5. Simmetrie e rotazioni
Simmetria assiale, 249 – Simmetria centrale, 249 – Rotazioni, 250
6. Costruzioni con riga e compasso
Quadrato, 250 – Ottagono regolare, 251 – Esagono regolare, 252 – Triangolo
equilatero, 254 – Luogo geometrico dei punti dai quali un segmento è visto
sotto un angolo dato, 255 – Triangoli isosceli, 257 – Ottagono regolare di lato assegnato, 258
7. La circonferenza dei nove punti e la retta di Eulero
Laboratorio di informatica
1. I poligoni regolari con CABRI, 261 – 2. Assegnare il lato, 262
Esercizi
Poligoni inscritti e circoscritti, 264 – Triangoli, 265 – Quadrilateri, 269 – Poligoni regolari. Simmetrie, 275 – Gare di Matematica, 279
241
242
243
247
249
250
259
Indice
capitolo 7
Equivalenza delle figure piane
1. Estensione. Equivalenza
Somma e differenza di superfici, 282
2. Poligoni equicomposti
3. Casi particolari di equivalenza di poligoni
Equivalenza fra parallelogrammi, 284 – Equivalenza tra triangolo e parallelogramma, 285 – Equivalenza tra trapezio e triangolo, 287 – Equivalenza tra
quadrilatero a diagonali perpendicolari e rettangolo, 288 – Equivalenza tra
poligono circoscritto a una circonferenza e triangolo, 288
4. Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente
Trasformazione di un poligono in un altro equivalente avente un lato di meno, 290 – Trasformazione di un triangolo in un altro equivalente avente altezza fissata, 291
5. Teorema di Pitagora e teoremi di Euclide
Teorema di Carnot, 294
Approfondimento
6. Pitagora e... il trapezio
7. Costruzioni con riga e compasso
Trasformazione di un rettangolo in un quadrato equivalente, 296
281
283
284
290
292
296
296
Laboratorio di informatica
1. Equivalenza tra parallelogrammi, 298 – 2. Pitagora… senza parole, 298 –
3. Triangoli equicomposti a rettangoli, 300
Esercizi
Poligoni equiscomponibili, 302 – Superfici equivalenti, 302 – Casi particolari di equivalenza di poligoni, 303 – Trasformazione di poligoni in poligoni
equivalenti, 309 – Teoremi di Euclide e di Pitagora, 311 – Teorema di Carnot,
315
capitolo 8
Grandezze e loro misura. Teorema di Talete
1. Classi di grandezze omogenee
2. Multipli e sottomultipli
Sottomultipli secondo le potenze di 2, 320 – Multipli e sottomultipli razionali, 320
3. Grandezze commensurabili e incommensurabili
Grandezze commensurabili, 321 – Grandezze incommensurabili, 322 –
Angoli incommensurabili, 322
4. Misura di un segmento
5. Misura di una grandezza. Cambiamento di unità di misura
Proprietà della misura, 327 – Cambiamento di unità di misura, 328
6. Aree dei poligoni
Area del rettangolo, 318 – Area del quadrato, 331 – Area del parallelogramma, 331 – Area del triangolo, 331 – Area del trapezio, 331 – Area di un quadrilatero con diagonali perpendicolari, 332 – Area del rombo, 332 – Area di
un poligono circoscritto a una circonferenza, 332 – Area di un poligono regolare, 333
317
318
321
323
326
328
Indice
7. Relazioni metriche relative ai teoremi di Pitagora e di Euclide
Triangolo rettangolo, 333 – Triangolo qualunque, 334 – Triangolo rettangolo
con un angolo di 30°, 334 – Triangolo equilatero, 335 – Triangolo rettangolo
isoscele, 335 – Quadrato, 336
8. Grandezze proporzionali
9. Proporzionalità diretta e inversa
10. Teorema di Talete
11. Applicazioni del teorema di Talete
Bisettrici di un triangolo, 342 – Costruzione del quarto proporzionale, 343 –
Divisione di un segmento in parti proporzionali a due segmenti dati, 344
333
336
338
340
342
Laboratorio di informatica
1. Misurare un segmento, 345 – 2. La formula dell’area del triangolo, 346 –
3. Apotema di poligoni regolari, 347 – 4. Il rapporto semplice, 348 – 5. Il birapporto: un’ascissa proiettiva, 349 – 6. Il quarto armonico, 349
Esercizi
Grandezze omogenee. Multipli e sottomultipli, 351 – Rapporto tra grandezze
commensurabili, 351 – Grandezze commensurabili e incommensurabili, 352 –
Area dei poligoni. Teoremi di Pitagora ed Euclide, 354 – Proporzionalità diretta e inversa, 357 – Teorema di Talete, 358 – Bisettrice di un triangolo, 364 –
Gare di Matematica, 365
capitolo 9
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Similitudine e omotetia
Introduzione
Triangoli simili
Criteri di similitudine dei triangoli
Proprietà dei triangoli simili. Perimetri e aree
I teoremi di Euclide
Applicazioni della similitudine
Corde. Secanti. Tangenti, 378 – Potenza di un punto rispetto a una circonferenza, 380 – Teorema di Tolomeo, 381
Poligoni simili
Proprietà dei poligoni simili, 383 – Costruzione di un poligono simile a uno
dato, 384 – Generalizzazione del teorema di Pitagora, 386 – Costruzioni di
poligoni regolari, 387
La sezione aurea
Definizione e proprietà, 388 – Misura della sezione aurea di un segmento, 388 –
Costruzione geometrica della sezione aurea di un segmento, 389 – Il triangolo isoscele con gli angoli alla base di 72°, 390 – Costruzione del decagono regolare, 391 – Costruzione del pentagono regolare, 392
Il rettangolo aureo Approfondimento
La similitudine come trasformazione del piano
Omotetia
Casi particolari, 397 – Principali proprietà dell’omotetia, 398
369
371
371
374
376
378
382
388
393
394
396
Indice
12. Composizione di omotetie e isometrie
Composizione di omotetie dello stesso centro, 400 – Composizione di una
omotetia e di una isometria, 401
400
Laboratorio di informatica
1. Alcune medie, 402 – 2. Teorema delle secanti, 403 – 3. Una macro CABRI:
la sezione aurea, 404 – 4. Omotetie, 405
Esercizi
Triangoli simili, 407 – Aplicazioni della similitudine, 416 – Corde. Secanti.
Tangenti, 416 – Potenza di un punto rispetto a una circonferenza, 417 – Poligoni simili, 419 – Problemi numerici, 421 – La sezione aurea, 425 – Similitudine come trasformazione del piano, 427 – Omotetia, 427 – Esercizi numerici, 433 – Composizione di trasformazioni, 434 – Gare di Matematica, 435
capitolo 10
Lunghezza della circonferenza
e area del cerchio
1. Lunghezza della circonferenza
2. Lunghezza di un arco
Misura in radianti di un angolo, 440
3. Area del cerchio
Area del settore, 443
437
440
442
Laboratorio di informatica
1. Poligoni inscritti e poligoni circoscritti, 444 – 2. Calcolo approssimato di
π, 445 – 3. Circonferenze tangenti in un poligono regolare, 445 – 4. Area del
settore, 447
Esercizi
Lunghezza della circonferenza e area del cerchio, 448 – Misura in radianti di
un angolo, 448 – Lunghezza di un arco e area del settore, 449 – Lunule, 456 –
Gare di Matematica, 459
capitolo 11
Applicazioni dell’algebra alla geometria
1. Introduzione
2. Problemi risolti
Problema di primo grado in una incognita, 464 – Problema di secondo grado in una incognita, 465 – Problema risolubile con un’equazione irrazionale, 467 – Problema di primo grado in due incognite, 468 – Problema di secondo grado in due incognite, 470
3. Area del triangolo. Formula di Erone
4. Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta in un triangolo
Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo, 473 – Raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo, 473
463
464
472
473
Indice
5. Lunghezza delle altezze di un triangolo
6. Lunghezza delle mediane di un triangolo
7. Lunghezza delle bisettrici di un triangolo
474
475
476
Esercizi
Problemi risolubili con equazioni di primo grado, 478 – Proporzioni. Teorema
di Talete, 478 – Teoremi di Pitagora e di Euclide, 478 – Triangoli rettangoli
con angoli di 30°, 479 – Similitudine, 480 – Problemi risolubili con sistemi di
primo grado in due incognite, 482 – Problemi risolubili con equazioni di secondo grado in una incognita, 484 – Teoremi di Pitagora e di Euclide, 484 –
Similitudine, 489 – Corde e secanti. Teorema delle secanti, 492 – Bisettrici.
Teorema della bisettrice, 493 – Problemi risolubili con un’equazione irrazionale, 494 – Problemi risolubili con sistemi di secondo grado in due incognite, 496
Formulario
501
Soluzioni
510
Indice analitico
515
