La#legge#di#Gauss - Roberto Ricciardi

Argomenti
• Il#flusso#del#campo#elettrico
• La#legge#di#Gauss
La#legge#di#Gauss
• Applicazioni#della#legge#di#Gauss
Ingegneria( Energetica
Docente:( Angelo( Carbone
Il#flusso#del#campo#elettrico
Il#flusso#del#campo#elettrico#attraverso#
una#superficie#è#proporzionale#al#
numero#totale#di#linee#di#campo#che#
attraversano#la#zona#(cioè#all’intensità#
del#campo#elettrico).
Il#flusso#del#campo#elettrico
Il#flusso#del#campo#elettrico#attraverso#
una#superficie#è#proporzionale#al#
numero#totale#di#linee#di#campo#che#
attraversano#la#zona#(cioè#all’intensità#
del#campo#elettrico).
Il#flusso#del#campo#elettrico
Il#flusso#del#campo#elettrico#attraverso#
una#superficie#è#proporzionale#al#
numero#totale#di#linee#di#campo#che#
attraversano#la#zona#(cioè#all’intensità#
del#campo#elettrico).
Il#flusso#del#campo#elettrico
Il#flusso#del#campo#elettrico
Il#flusso#del#campo#elettrico#attraverso#
una#superficie#è#proporzionale#al#
numero#totale#di#linee#di#campo#che#
attraversano#la#zona#(cioè#all’intensità#
del#campo#elettrico).
Calcolo#del#flusso#del#campo#elettrico
Il#rettangolo#ha#dimensioni#10#cm#x#20#cm,#il#campo#
elettrico#è#uniforme#pari#a#200#N/C#e#l'angolo#θ#è#di#30°.
Il#flusso#del#campo#elettrico#attraverso#
una#superficie#è#proporzionale#al#
all’intensità#del#campo#elettrico
Il#flusso#del#campo#elettrico
Divido#la#superficie# in#n piccoli#elementi#
di#area,#in#modo#che#ogni#elemento# è#
sufficientemente# piccolo#da#poter#
essere#considerato# piano
Il#flusso#del#campo#elettrico
La#legge#di#Gauss# richiede#il#calcolo# del#
flusso#totale# attraverso# una# superficie#
chiusa,# cioè#una# superficie# che#racchiude#
completamente# un#certo#volume#di#spazio
Il#flusso#del#campo#elettrico
Nel#limite#di#ΔAi# ! 0#la#somma#si#trasforma#
in#un#integrale# sull’intera# superficie
Il#flusso#del#campo#elettrico
dA è#definito#positivo#quando# è#uscente#dalla#superficie
Linee#di#campo#uscenti#! θ<π/2#! cos(θ)#>0#! flusso#c.e.#positivo
Linee#di#campo#entranti#! θ>π/2#! cos(θ)#<0#! flusso#c.e.#negativo#
Il#flusso#del#campo#elettrico
Quanto#vale#il#flusso#del#campo#elettrico?
Il#flusso#del#campo#elettrico
Il#flusso#del#campo#elettrico
0!#ogni#linea#di#campo#elettrico#che#entra#nel#
volume#esce,#pertanto#si#ha
Legge di Gauss
La#relazione#esatta#che#esiste#tra#il#flusso#del#campo#
elettrico#attraverso#una#superficie#chiusa#e#la#carica#netta#
contenuta#nella#superficie#è#data#dalla#legge#di#Gauss:
Questa#relazione#permette#di#
ottenere#l’espressione#del#
campo#elettrico#in#situazioni#
dove#è#presente#una#
simmetria#
Legge di Gauss
Per#una#carica#puntiforme
Legge di Gauss
Ricaviamo#la#legge#di#Gauss#partendo#da#
quella#di#Coulomb.#Per#una#carica#
puntiforme#sulla#superficie#di#una#sfera#che#
circonda#la#carica#il#campo#elettrico#vale
quindi,
Ora#calcoliamo#il#flusso#di#E#attraverso#la#sfera#di#raggio#r
Risolvendo#per#E#otteniamo#il#
risultato#atteso
Abbiamo# così#dimostrato# la#validità#della# legge#di#Gauss# nel#
caso#di#una#carica#puntiforme.
Legge di Gauss
Guardando# la#superficie#A2,#arbitrariamente#
sagomata,# vediamo# che#lo#stesso#flusso#che#
passa# attraverso#A2#passa#anche# attraverso#
A1.#Quindi#si#può#intuire#che#la#legge# di#Gauss#
è#valida#per#qualsiasi# superficie# chiusa.
quindi
La#legge#di#Gauss#
vale#per#qualsiasi#
superficie#che#
racchiude#una#carica#
puntiforme#Q
Legge di Gauss
Infine,#se#una#superficie#gaussiana#racchiude#diverse#cariche#
puntiformi,#utilizzando#il#principio#di#sovrapposizione,#si#ha
Più#in#generale# la#legge# di#Gauss#è#valida#per#qualsiasi#
distribuzione# di#carica.#
La#legge#di#Gauss# si#riferisce#solo#al#campo# generato# da#
cariche#all'interno# della#superficie# gaussiana#
Cariche#al#di#fuori#della#superficie#creano#
comunque#campi#il#cui#flusso#totale#
attraverso#la#superficie#che#non#racchiude#
le#cariche##è#uguale#a#zero
Esempio
Consideriamo#le#due#superfici#A1 e#A2.#L'unica#carica#
presente#è#la#carica#Q al#centro#della#superficie#A1.#
Qual#è#il#flusso#netto#attraverso#ogni#superficie?
Esempio
Consideriamo#le#due#superfici#A1 e#A2.#L'unica#carica#
presente#è#la#carica#Q al#centro#della#superficie#A1.#
Qual#è#il#flusso#netto#attraverso#ogni#superficie?
La#superficie#A1 racchiude#la#carica#+Q.#Dalla#legge#di#
Gauss,#segue#che#il#flusso#totale#attraverso#A1#è#data#
da#Q/ε0.
Esempio
Consideriamo#le#due#superfici#A1 e#A2.#L'unica#carica#
presente#è#la#carica#Q al#centro#della#superficie#A1.#
Qual#è#il#flusso#netto#attraverso#ogni#superficie?
Per#la#superficie#A2 la#carica#+Q è#esterna.#Il#flusso#
totale#del#campo#elettrico#è#quindi#0.
Esercizio#1
Un#guscio#sferico#sottile#di#
raggio#r0 possiede#un#carica#
netta#totale#Q che#viene#
distribuita#uniformemente#su#
di#esso.#Determinare#il#campo#
elettrico#nei#punti#
(a) al#di#fuori#del#guscio#
(b) dentro#il#guscio.#
(c) Che#cosa#succede#se#il#
conduttore#fosse#una#sfera#
solida?
Esercizio#1
Esercizio#1
Un#guscio#sferico#sottile#di#
raggio#r0 possiede#un#carica#
netta#totale#Q che#viene#
distribuita#uniformemente#su#
di#esso.#Determinare#il#campo#
elettrico#nei#punti#
Un#guscio#sferico#sottile#di#
raggio#r0 possiede#un#carica#
netta#totale#Q che#viene#
distribuita#uniformemente#su#
di#esso.#Determinare#il#campo#
elettrico#nei#punti#
(a) al#di#fuori#del#guscio#
(a) al#di#fuori#del#guscio#
(b) dentro#il#guscio.#
(b) dentro#il#guscio.#
(c) Che#cosa#succede#se#il#
conduttore#fosse#una#sfera#
solida?
(c) Che#cosa#succede#se#il#
conduttore#fosse#una#sfera#
solida?
Esercizio#1:#soluzione#
Poiché#la#carica#è#distribuita#in#modo#simmetrico,#
anche#il#campo#elettrico#deve#avere#le#stesse#
proprietà#di#simmetria.#Il#campo#elettrico#al#di#fuori#
della#sfera#può#dipendere#solo#da#r
Esercizio#1:#soluzione#
b)#Anche#dentro#il#guscio#il#campo#deve#essere#
simmetrico,#E#deve#avere#lo#stesso#valore#su#tutti#i#
punti#di#una#superficie#sferica#scelta.#
a)#Scegliamo#una#superficie#sferica#di#raggio#r>r0.#Il#
campo#elettrico#avrà#lo#stesso#valore su#tutta#la#
superficie
c)#stessi#risultati,#le#cariche#in#un#conduttore#si#
dispongono#sempre#sulla#superficie#esterna
Esercizio#2
Una#carica#elettrica#Q è#
distribuita#uniformemente#in#
tutta#una#sfera#non#conduttrice#
di#raggio#r0.#Determinare#il#
campo#elettrico#
Esercizio#2:#soluzione#
La#carica#è#distribuita#secondo#una#simmetria##sferica#!
campo#sarà#distribuito#secondo#una#simmetria#sferica
Scegliamo#come#superficie#una#sfera#di#raggio#r >#r0#(A1).#
Poiché#il#campo#elettrico#dipende#solo#da#r,#si#ha:
a) fuori#della#sfera?#(r>r0)
b) all'interno#della#sfera#(r <r0).
Il#campo#fuori#dalla#sfera#è#equivalente#a#quello#di#
una#carica#puntiforme
Esercizio#2#:#soluzione#
All’interno# di#una#sfera,#scegliamo# come#superficie# una# sfera#
concentrica# di#raggio# r<r0##(A2).#Per#simmetria#il#campo#
elettrico# ha#la#stessa#intensità# su#tutti#i#punti#della#superficie#
ed#è#perpendicolare# ad#essa,#quindi
Ora#la#carica#racchiusa# all’interno# della#superficie# sarà#un##
frazione# della#carica#totale.# Definiamo# la#densità# di#carica#
volumetrica# ρE . Essa#è#constante,# quindi# si#ha:
Esercizio#2#:#soluzione
In#base#alle#legge#di#Gauss#possiamo#scrivere
Il#campo#elettrico#all’interno#della#sfera#carica#
cresce#linearmente#con#r
Rappresentazione#grafica
Esercizio#3
Supponiamo#che#la#densità#
di#carica#di#una#sfera#solida#è#
data#dalla#relazione#ρE = αr2,
dove#α è#una#costante
a) Determinare#α in#
funzione#della#carica#
totale#Q sulla#sfera#e#del#
suo#raggio#r0.
b) Determinare##il#campo#
elettrico#in#funzione#di#r
all'interno#della#sfera.
Esercizio#3:#soluzione
Dividiamo#la#sfera#in#piccole#sfere#sottili#di#raggio# r e#spessore#
dr,#essa#ha#volume#
Esercizio#3#:#soluzione
Per#simmetria#il#campo#elettrico# è#lo#stesso#su#tutti#i#punti#sulla#
sfera#di#raggio#r
int
Applichiamo# la#legge# di#gauss#ad#una#sfera#immaginaria# di#
raggio# r che#racchiude# la#carica
int
Esercizio#4
Esercizio#4
Le+componenti+lungo+
l’asse+delle+y si+
annullano.+ Questo+
vale+per+ogni+tratto+dy
Un#filo#infinitamente#lungo#e#rettilineo#possiede#una#
carica#uniformemente#distribuita#e#positiva.#La#densità##
per#unità#di#lunghezza#e’ λ.#Calcolare#il#campo#elettrico#
nei#punti#prossimi#al#filo.
Questo+vale+per+
qualunque+ punto+P
Esercizio#4
Esercizio#4
E+lungo+y è+
nullo.
E+lungo+x
non+è+nullo
Esercizio#4
Esercizio#4
dA
E
E
dA
E+parallelo+
a+dA sulla+
superficie+
laterale+del+
cilindro
Esercizio#4
Un#filo#infinitamente#lungo#e#rettilineo#possiede#una#
carica#uniformemente#distribuita#e#positiva.#La#densità##
per#unità#di#lunghezza#e’ λ.#Calcolare#il#campo#elettrico#
nei#punti#prossimi#al#filo.
E+perpendicolare+a+
dA sulla+superficie+
di+base+del+cilindro
Esercizio#4:#soluzione
int
dove###è#la#lunghezza#della#superficie#cilindrica,#
con####<<#della#lunghezza#del#filo
Esercizio#5
Consideriamo# una#carica#positiva#
distribuita# uniformemente# su#di#un#
piano# infinito,# sottile#e#non#
conduttore,# con#densità# di#carica#
superficiale# pari#a#σ.#
Determinare# il#campo# elettrico#nei#
punti#in#prossimità# del#piano.
Campo#elettrico#sulla#superficie di#un#
conduttore
Il#campo#elettrico#appena#
fuori#dalla#superficie#di#un#
qualsiasi#conduttore#di#forma#
arbitraria#è#dato#da
E#=#σ/ε0
dove#σ#è#la#densità#
superficiale#di#carica#del#
conduttore#in#quel#punto.
Esercizio#5:#soluzione
int
σA#è#la#carica#racchiusa#dalla#superficie#cilindrica
Dimostrazione
Consideriamo#la#legge#di#Gauss,#scegliendo#come#superficie#
un#parallelepipedo.#Essendo#il#campo#elettrico#all’interno#del#
conduttore#uguale#a#zero e#sempre#perpendicolare#alla#
superficie#del#conduttore,#il#flusso#del#campo#elettrico#è#
diverso#da#zero#solo#attraverso#la#superficie#laterale#esterna#
al#conduttore#e#perpendicolare#ad#esso.
int
Campo#elettrico#conduttore#cavo
Supponiamo#che#un#conduttore#
ha#una#carica#totale#positiva#Q e#
contiene#una#cavità,#all'interno#
della#quale#viene#posizionata#
una#carica#puntiforme#positiva#q.#
Quanto#vale#la#carica#sulla#
superficie#interna#(nella#cavità)#e#
sulla#superficie#esterna?
Campo#elettrico#conduttore#cavo
Supponiamo#che#un#conduttore#
ha#una#carica#totale#positiva#Q e#
contiene#una#cavità,#all'interno#
della#quale#viene#posizionata#
una#carica#puntiforme#positiva#q.#
Quanto#vale#la#carica#sulla#
superficie#interna#(nella#cavità)#e#
sulla#superficie#esterna?
Campo#elettrico#conduttore#cavo
+
q
Campo#elettrico#conduttore#cavo
carica+
puntiforme
Supponiamo#che#un#conduttore#
ha#una#carica#totale#positiva#Q e#
contiene#una#cavità,#all'interno#
della#quale#viene#posizionata#
una#carica#puntiforme#positiva#q.#
Quanto#vale#la#carica#sulla#
superficie#interna#(nella#cavità)#e#
sulla#superficie#esterna?
+
q
Supponiamo#che#un#conduttore#
ha#una#carica#totale#positiva#Q e#
contiene#una#cavità,#all'interno#
della#quale#viene#posizionata#
una#carica#puntiforme#positiva#q.#
Quanto#vale#la#carica#sulla#
superficie#interna#(nella#cavità)#e#
sulla#superficie#esterna?
Cavità
Superficie+
Gaussiana
conduttore
Campo#elettrico#conduttore#cavo
Supponiamo#che#un#
conduttore#ha#una#carica#
totale#positiva#Q e#contiene#
una#cavità,#all'interno#della#
quale#viene#posizionata#una#
carica#puntiforme#positiva#q.#
Quanto#vale#la#carica#sulla#
superficie#interna#(nella#
cavità)#e#sulla#superficie#
esterna?
carica+
puntiforme
Cavità
Angelo#Carbone
Dq
conduttore
Q+q
Dip.# di Fisica e Astronomia
Superficie
scelta+per
applicare+il+
teorema+di+
Gauss
tel.# 051#2091071
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/angelo.carbone