Ottica geometrica

Ottica geometrica
 L’ottica geometrica tratta i
fenomeni che si possono
descrivere per mezzo della
propagazione in linea retta e dei
fenomeni di riflessione e la
rifrazione della luce.
 L’ottica geometrica é
un’approssimazione dell’ottica
ondulatoria; le sue leggi sono
valide fin quando la lunghezza
d’onda della luce impiegata é minore
delle dimensioni degli oggetti che si
illuminano.
Paolo Maestro
Ottica
pag.1
Propagazione rettilinea della luce
Esempio: le eclissi
Paolo Maestro
Ottica
pag.2
Diffrazione
Figura di diffrazione
Se λ ≈ a (dimensione del foro) si evidenzia
il comportamento ondulatorio della luce
Paolo Maestro
Ottica
pag.3
La riflessione della luce
Paolo Maestro
Ottica
pag.4
La rifrazione della luce
Quando un fascio di luce incide sulla superficie di separazione tra due
mezzi diversi dà origine ad un fascio riflesso ed a un fascio rifratto.
• Il raggio incidente, il raggio riflesso e il raggio rifratto sono
contenuti nello stesso piano.
• La direzione del raggio rifratto è determinata dalla legge di Snell.
Paolo Maestro
Ottica
pag.5
Legge di Snell
Reversibilità dei cammini
ottici
Legge della riflessione
La traiettoria di un raggio
luminoso attraverso una
superficie rifrangente è
reversibile
Legge della rifrazione
Paolo Maestro
Ottica
pag.6
Indice di rifrazione
Velocità della luce nel vuoto (c)
Nel vuoto la velocità della luce è massima
Indice di rifrazione di un mezzo
vmezzo è la velocità della luce nel mezzo (v<c)
Nel vuoto nvuoto = 1
Per la luce monocromatica la frequenza è una
caratteristica propria e non dipende dal mezzo
Utilizzando gli indici di rifrazione del mezzo 1 e 2 la legge di Snell si riscrive:
Paolo Maestro
Ottica
pag.7
Vetro n2
Aria n1
Paolo Maestro
Ottica
pag.8
Rifrazione attraverso una lamina sottile
Paolo Maestro
Ottica
pag.9
Dispersione della luce
Paolo Maestro
Ottica
pag.10
Il prisma ottico
Paolo Maestro
Ottica
pag.11
Il prisma ottico (2)
Paolo Maestro
Ottica
pag.12
L’arcobaleno
Paolo Maestro
Ottica
pag.13
La riflessione totale
Il fenomeno della riflessione totale avviene nel passaggio da un mezzo
più rifrangente ad uno meno rifrangente.
In questo caso esiste un’angolo limite per il quale la luce proveniente dal
mezzo più rifrangente viene totalmente riflessa ma non rifratta.
Paolo Maestro
Ottica
pag.14
L’angolo limite
n1 > n2
Se l'angolo d'incidenza è superiore
all'angolo limite, il raggio non si rifrange
più ma dà luogo al fenomeno della
riflessione totale.
Per θ1 =θl e θ2 =90°
Paolo Maestro
Ottica
pag.15
Conseguenze della riflessione totale
n2
n2
Paolo Maestro
n1
Il principio della riflessione totale è
utilizzato nella costruzione delle fibre
ottiche ove n1>n2 la luce entra da un ingresso
(vedi figura) e per la maggior parte subisce
riflessioni totali all’interno della fibra per cui
e’ possibile trasportare la luce da un punto
all’altro .
Ottica
pag.16
Strumenti ottici
 Ci occuperemo ora dello studio delle immagini che si formano quando
onde sferiche incidono su superfici piane o sferiche .
Troveremo che le immagini possono formarsi per riflessione o rifrazione
attraverso tali superfici.
 Specchi e lenti sono dispositivi che formano delle immagini tramite,
rispettivamente, riflessione e rifrazione.
 Questi dispositivi vengono comunemente usati in sistemi e strumenti
ottici.
 Assumiamo che valga l’approssimazione dei raggi luminosi, cioè che la
luce si propaga in linea retta.
Paolo Maestro
Ottica
pag.17
Lo specchio piano
q
I raggi riflessi dallo specchio piano
sembrano provenire da un punto I dopo
lo specchio: il punto I e’ detto immagine
dell’oggetto posto in O.
In generale le immagini si formano in un
punto in cui i raggi di luce riflessi (o
rifratti) si intersecano effettivamente
oppure da cui sembrano avere origine.
p= distanza dell'oggetto dallo specchio
q= distanza dell'immagine
Per uno specchio piano p=q
Paolo Maestro
Immagine reale: la luce interseca
effettivamente il punto immagine.
Immagine virtuale: la luce non passa
attraverso il punto immagine I, ma
sembra provenire da esso.
Le immagini in specchi piani sono
sempre virtuali.
Ottica
pag.18
Formazione delle immagini in uno
specchio piano
In uno specchio l’altezza dell’immagine
dell’oggetto h è uguale all’altezza della
immagine h’. Si definisce l’ingrandimento
trasversale M:
In uno specchio piano :
 L’immagine dista dallo specchio quanto
l’oggetto posto di fronte allo specchio
 L’immagine è uguale, virtuale e diritta
 L’immagine ha l’inversione destra sinistra
Paolo Maestro
Ottica
pag.19
Specchi sferici
Specchi sferici:
- concavi, se la superficie speculare è quella interna della calotta
- convessi, se la superficie speculare è quella esterna della calotta
Approssimazioni di Gauss
1) Piccolo angolo di apertura:la porzione di calotta sferica è molto
piccola rispetto alla sfera alla quale essa appartiene.
2) Raggi parassiali: i raggi luminosi che giungono sullo specchio sono poco
inclinati e quindi formano angoli molto piccoli con l’asse principale.
Elementi caratteristici per lo studio della riflessione su uno specchio sferico
C = centro dello specchio sferico
I = punto immagine
O = sorgente puntiforme
V = vertice della della calotta sferica
Asse ottico principale = asse di simmetria della calotta passante per C
Paolo Maestro
Ottica
pag.20
Raggi parassiali vs. aberrazioni
Aberrazione sferica
Approssimazioni Gauss
Paolo Maestro
Ottica
pag.21
Distanza focale
Specchio concavo
Specchio convesso
I raggi di luce di una sorgente distante (p=∞) sono
riflessi da uno specchio sferico nel punto focale f .
In questo caso la distanza dell’immagine è q =R/2=f, dove
f e’ la distanza focale dello specchio
1/f = potere diottrico (se f è in metri ⇒ diottria)
Paolo Maestro
Ottica
pag.22
Equazione dei punti coniugati
P = distanza dell'oggetto dallo specchio
q = distanza dell'immagine
R = raggio di curvatura dello specchio
f = fuoco dello specchio
L’equazione sia di uno specchio concavo che di uno specchio convesso ha la
stessa espressione a patto che si utilizzino le seguenti convenzioni sui segni:
 p>0 se l’oggetto è davanti allo specchio (oggetto reale)
 p<0 se l’oggetto è dietro allo specchio (oggetto virtuale)
 q>0 se l’immagine è davanti allo specchio (immagine reale)
 q<0 se l’immagine è dietro lo specchio (immagine virtuale)
 sia f che R sono positivi se il centro di curvatura é davanti allo
specchio (specchio concavo)
 sia f che R sono negativi se il centro di curvatura é dietro allo
specchio (specchio convesso)
Paolo Maestro
Ottica
pag.23
Dimostrazione dell’equazione degli
specchi sferici
L’equazione degli specchi si puo’
ricavare dalle seguenti relazioni:
q
p
dalla similitudine dei triangoli:
da questa relazione si ottiene l’equazione dello specchio concavo.
M è l’ingrandimento trasversale dello specchio.
Paolo Maestro
Ottica
pag.24
Costruzione grafica delle immagini
Specchio concavo
q
f< p< R ⇒ immagine reale, capovolta,
ingrandita
p=f ⇒ immagine all’infinito
p<f ⇒ immagine virtuale, diritta,
ingrandita
q
Paolo Maestro
Ottica
pag.25
Costruzione grafica delle immagini (2)
Specchio concavo
p>R=2f ⇒ immagine reale, capovolta,
rimpicciolita
Specchio convesso
In uno specchio convesso l'immagine risulta
sempre virtuale, diritta e rimpicciolita
Paolo Maestro
Ottica
pag.26
Il diottro sferico
• Immagini formate per rifrazione
• Equazione dei punti coniugati
di un diottro sferico:
p
q
Dimostrazione:
1) Ipotesi di raggi parassiali
2) Teorema dell’angolo esterno di un triangolo
3) sostituendo θ1 e θ2 in 1) otteniamo 3)
4) Nell’approssimazione di piccoli angoli,
sostituendo in 3) e dividendo per d,
si ricava l’equazione del diottro
Paolo Maestro
Ottica
pag.27
Diottro sferico
Potere diottrico (se R in m, D in diottrie)
Convenzioni sui segni di p e q e R
 p>0 se l’oggetto é nel mezzo n1 (oggetto reale)
 p<0 se l’oggetto é nel mezzo n2 (oggetto virtuale)
 q>0 se l’immagine é nel mezzo n2 (immagine reale)
 q<0 se l’immagine é nel mezzo n1 (immagine virtuale)
 I raggi sono positivi se il centro di curvatura é nel mezzo n2
(negativi nell’altro caso)
Paolo Maestro
Ottica
pag.28
Il diottro piano
ESERCIZIO
Un pesce sta nuotando nel mare ad una
profondità d =4 m .
Qual è la profondità apparente del pesce
per un osservatore direttamente al di sopra
del livello dell’acqua?
Paolo Maestro
Ottica
pag.29
Lenti sottili
Lente convergente
Lente divergente
Paolo Maestro
Ottica
pag.30
Equazione delle lenti sottili
q
Equazione dei punti coniugati
se il mezzo circostante è l’aria.
Se fosse diverso da aria: n→ n/nmezzo
Convenzioni sui segni di p, q, R:
• p>0 se l’oggetto è davanti alla lente (oggetto reale)
• p<0 se l’oggetto è dietro la lente (oggetto virtuale)
• q>0 se l’immagine è dietro la lente (immagine reale)
• q<0 se l’immagine è davanti alla lente (immagine virtuale)
• Un raggio è positivo se il centro di curvatura è dietro la lente
(viceversa è negativo)
Paolo Maestro
Ottica
pag.31
Dimostrazione dell’equazione della lente
 Per il primo diottro:
• L’immagine I1 è l’oggetto del
secondo diottro.
• Per la seconda superficie abbiamo:
p
ma
q1
p2
dove t é lo spessore della lente.
Nell’ipotesi di lente sottile
t≈0 e p2 = -q1
q
. Sostituendo otteniamo:
Sommando le 2 equazioni in giallo si ottiene l’equazione dei punti coniugati della lente.
Paolo Maestro
Ottica
pag.32
Lenti convergenti e divergenti
Lenti convergenti
• biconvessa R1>0 R2<0
• piano convessa R1>0 R2=∞
• menisco convergente R1>0 R2>0
Lenti divergenti
• biconcava R1<0 R2>0
• piano concava R1=∞ R2>0
• menisco divergente R1>0 R2>0
f e potere diottrico (1/f) > 0
f e potere diottrico (1/f) < 0
Paolo Maestro
Ottica
pag.33
Costruzione grafica dell’immagine di
una lente
Si utilizzano tre raggi che partono dall’oggetto
1) Un raggio parallelo all’asse ottico viene focalizzato nel fuoco f2 .
2) Un raggio che passa per il fuoco f1 esce parallelo all’asse ottico.
3) Un raggio che passa per il centro della lente non viene deflesso.
L’intersezione di questi raggi da l’immagine dell’oggetto.
Paolo Maestro
Ottica
pag.34
Formazione dell’immagine
Nota: u≡p
Paolo Maestro
Ottica
pag.35
Difetti delle lenti
Aberrazione cromatica
Paolo Maestro
Aberrazione sferica
Ottica
pag.36
L’occhio
La luce entra nell’occhio ed è
focalizzata sulla retina. Un’immagine
distinta viene osservata quando la
focalizzazione è sulla retina.
 La visione di oggetti posti a distanza
diversa e di dimensione diversa è
ottenuta tramite
il processo di
accomodamento: il muscolo ciliare
consente di cambiare la distanza
lente retina.
 Per vedere oggetti distanti la
distanza focale è pari alla distanza
tra il cristallino e la retina (circa 1.7
cm): muscolo ciliare rilassato.
 Per vedere oggetti il muscolo ciliare
si contrae in modo da diminuire la
distanza focale permettendo la
focalizzazione sulla retina.
 Membrana trasparente: cornea
Regione di liquido trasparente: umore acqueo
Apertura variabile: iride e pupilla
Paolo Maestro
Ottica
pag.37
Difetti della vista
Punto prossimo dell’occhio.
E’ la distanza minima a cui l’occhio riesce a mettere a fuoco un oggetto.
Ha un valore medio di circa 25 cm.
Punto remoto dell’occhio.
E’ la distanza massima a cui l’occhio riesce a visualizzare un oggetto.
Ipermetropia
La perdita di elasticità del muscolo ciliare comporta un’aumento del punto
prossimo. Questo difetto di vista si chiama ipermetropia (o presbiopia).
Un presbite vede bene gli oggetti distanti e male quelli vicini.
Per correggere il difetto bisogna utilizzare lenti convergenti.
Miopia
Quando l’occhio è rilassato la sua distanza focale è piu grande del dovuto e
l’immagine e focalizzata prima della retina.
I miopi hanno un punto remoto piccolo. Bisogna portare l’oggetto dall’infinito
al punto remoto affinché un miope possa vederlo.
Per correggere tale difetto si utilizzano lenti divergenti.
Paolo Maestro
Ottica
pag.38
Ipermetropia
Paolo Maestro
Ottica
pag.39
Miopia
Paolo Maestro
Ottica
pag.40
Correzione dei difetti di vista
Paolo Maestro
Ottica
pag.41
La lente di ingrandimento
É una lente convergente che serve ad aumentare la dimensione
apparente dell’oggetto.
La dimensione dell’oggetto sulla retina aumenta all’avvicinarsi
dell’oggetto all’occhio come pure aumenta l’angolo di visualizzazione: ma
un’occhio normale non é capace di mettere a fuoco oggetti più vicini di
25 cm. A 25 cm di distanza dall’occhio si ha quindi la dimensione massima
apparente dell’oggetto.
θ0 é massimo quando l’oggetto é a 25 cm dall’occhio (minima distanza a
cui si ha un’immagine distinta sulla retina).
Per aumentare la dimensione apparente dell’oggetto si utilizza una lente
convergente con l’oggetto posto subito dopo il fuoco della lente ( in
questo caso l’immagine e’ ingrandita virtuale e diritta)
L’ingrandimento angolare m é il rapporto tra la dimensione angolare vista
attraverso la lente e la dimensione angolare massima quando l’oggetto é
osservato ad occhio nudo.
Paolo Maestro
Ottica
pag.42
Ingrandimento angolare
p
Paolo Maestro
Ottica
pag.43
 L’ingrandimento é massimo quando l’immagine prodotta dalla lente ha
q=-25 cm (immagine virtuale davanti alla lente).
In questo caso l’ingrandimento angolare è, (per p0= 25 cm e q = -25 cm ed f
espresso in cm)
 La massima distanza che l’immagine puo’ avere dalla lente è infinita,
l’oggetto ha p=f per cui in questo caso
Paolo Maestro
Ottica
pag.44
Paolo Maestro
Ottica
pag.45
Il microscopio
L
p
q
Il microscopio utilizza due lenti convergenti:
• lente obiettivo (fuoco Fob<1 cm)
• lente oculare (fuoco Foc,di alcuni cm)
Le due lenti sono separate da una distanza L > Fob+Foc
L’oggetto e’ collocato poco prima del fuoco Fob⇒ p≈ Fob
L’immagine formata dalla prima lente (obiettivo) è reale capovolta.
Paolo Maestro
Ottica
pag.46
Il microscopio (2)
La prima immagine (dell’obiettivo) cade immediatamente all’interno del
fuoco Foc , per cui q =L-Foc
Dalla definizione di ingrandimento (M=-q/p) ,per l’obiettivo abbiamo:
La prima immagine costituisce l’oggetto della lente oculare che agisce
da lente d’ingrandimento: dà un’immagine virtuale e capovolta
(l’immagine e’ prima della lente). Se l’immagine finale e’ osservata con
l’occhio completamente rilassato, l’ingrandimento della lente oculare è:
Ingrandimento del microscopio
m = mobmoc
Paolo Maestro
Ottica
L − Foc ) 25
(
=−
Fob
Foc
pag.47
Paolo Maestro
Ottica
pag.48
Il telescopio
Paolo Maestro
Ottica
pag.49
Il telescopio (2)
L
Paolo Maestro
Ottica
pag.50
Paolo Maestro
Ottica
pag.51