2 E tabelle di contingenza

ANALISI DI TABELLE
DI CONTINGENZA
91
TABELLE DI CONTINGENZA
Una tabella di contingenza è una tabella di
frequenza a doppia entrata in cui vengono
incrociate due variabili qualitative.
Esempio
SESSO
INTERESSE PER
STATISTICA
Alto
Medio
Basso
Totale
Maschio Femmina Totale
62
35
3
100
26
29
45
100
88
64
48
200
Si ha una variabile di riga ("Interesse per
statistica") e una variabile di colonna ("Sesso"),
ciascuna con le proprie modalità o categorie.
Ogni intersezione tra una riga e una colonna
genera una casella, in cui compare la frequenza
dei soggetti che rispondono alle due modalità che
si incrociano: 62, ad esempio, indica quanti sono i
maschi con un alto interesse per la statistica.
92
TABELLA DI CONTINGENZA 2 X 2
La classificazione di un insieme di soggetti
secondo due criteri (ciascuno dei quali avente due
livelli di classificazione) può essere rappresentata
da una tabella 2 x 2.
II criterio
I criterio
1
2
Totale
1
a
b
a+b
2
c
d
c+d
a+c
b+d
n
Totale
2 colonne → 2 livelli del I criterio classificatorio;
2 righe
→ 2 livelli del II criterio classificatorio.
93
TABELLA DI CONTINGENZA m x n
Si classifica secondo due criteri, aventi
rispettivamente m ed n livelli di classificazione.
I criterio
1
2
…
m
II criterio
1
2
…
n
m colonne → m livelli del I criterio classificatorio;
n righe
→ n livelli del II criterio classificatorio.
94
IL TEST DI INDIPENDENZA χ2
Il test χ2 è impiegato in molte aree di ricerca per
analizzare dati presentati in forma di tabella di
contingenza.
Nel test di indipendenza si vuole sottoporre a test
l’ipotesi nulla che due criteri di classificazione,
applicati al medesimo insieme di dati, siano
indipendenti.
H0:
H1:
le due variabili sono indipendenti;
le due variabili non sono indipendenti.
Due criteri di classificazione sono indipendenti se
la distribuzione rispetto a un criterio non viene
influenzata dalla classificazione rispetto all’altro
criterio.
Se l’ipotesi nulla viene rifiutata, si conclude che i
due criteri di classificazione non sono
indipendenti.
95
Esempio
La tabella seguente sintetizza i risultati di uno
studio, condotto su un campione di 500 studenti,
in cui si vuole indagare sulla relazione tra stato
nutrizionale e rendimento scolastico.
Rendimento
scolastico
Stato nutrizionale
Povero
Buono
Totale
Scarso
105
15
120
Soddisfacente
80
300
380
Totale
185
315
500
Esiste una relazione di dipendenza tra le due
variabili?
H0:
H1:
Ipotesi
le due variabili sono indipendenti;
le due variabili non sono indipendenti.
Dei 500 soggetti
24% (120/500)
rendimento scarso
76% (380/500)
rendimento soddisfacente.
96
Calcolo delle frequenze attese
Assumendo che H0 sia vera, cioè che lo stato
nutrizionale non interferisca con il rendimento
scolastico, le stesse percentuali dovrebbero
verificarsi sia tra i soggetti con stato nutrizionale
povero che con stato nutrizionale buono.
La tabella seguente mostra le frequenze calcolate
secondo la logica espressa.
Come costruire la tabella?
Rendimento
scolastico
a =(n1/N)·n3
b =(n1/N)·n4
c = (n2/N)·n3
d = (n2/N)·n4
Scarso
Stato nutrizionale
Povero
Buono
Totale
44.4 a
120 n1
75.6 b
Soddisfacente 140.6 c
239.4 d 380 n2
Totale
315
185
n3
n4 500 N
97
I gradi di libertà
Non è necessario calcolare tutte e quattro le
frequenze attese.
Noti i totali marginali, basta calcolare uno solo
dei 4 valori attesi, per poter dedurre gli altri 3
valori per differenza.
Per questo si dice che una tabella 2 x 2 ha 1 grado
di libertà.
In generale
per calcolare i gradi di libertà di una tabella di
contingenza, basta applicare la seguente formula:
gdl=(no di righe –1) x (no di colonne – 1)
Esempi:
gdl di una tabella 2 x 2 = (2-1) x (2-1) = 1
gdl di una tabella 3 x 2 = (3-1) x (2-1) = 2
gdl di una tabella m x n = (m-1) x (n-1)
98
Confronto tra frequenze osservate e attese
Test χ2
Le frequenze nelle due tabelle sono simili?
Rendimento
scolastico
Stato nutrizionale
Povero
Buono
Totale
Scarso
105
15
120
Soddisfacente
80
300
380
Totale
185
315
500
Rendimento
scolastico
Stato nutrizionale
Povero
Buono
Totale
Scarso
44.4
75.6
120
Soddisfacente
140.6
239.4
380
185
315
500
Totale
Evidentemente No
99
?
Le differenze tra le due distribuzioni sono
attribuibili al caso oppure il rendimento
scolastico è, in qualche modo, legato allo stato
nutrizionale?
È necessario un test statistico che indichi se le
differenze tra le frequenze osservate e le
frequenze attese (sotto l’ipotesi di indipendenza)
siano o no attribuibili alla variabilità casuale.
Test χ2
(frequenza osservata - frequenza attesa nella cella)2
χ = somma di
frequenza attesa nella cella
2
2
(O
E)
χ2 = ∑
E
dove O=frequenze osservate
E= frequenze attese
100
Calcolo di χ2
Calcoliamo il valore di χ2 utilizzando le
informazioni contenute nelle tabelle precedenti.
2
(
105 − 44.4)
χ =
2
2
(
15 − 75.6)
+
2
(
80 − 140.6)
+
44.4
75.6
140.6
60.6 2 (−60.6) 2 (−60.6) 2 (60.6) 2
=
+
+
+
=
44.4
75.6
140.6
239.4
3672.36 3672.36 3672.36 3672.36
=
+
+
+
=
44.4
75.6
140.6
239.4
= 82.71 + 48.58 + 26.12 + 15.34 =
2
(
300 − 239.4 )
+
=
239.4
= 172.75
Si ottiene un valore del test χ2=172.75 con 1gdl.
La consultazione della tavola sinottica del χ2
consente la lettura dei valori critici.
Per α = 0.05 e 1gdl, il valore critico di χ2 =3.84
Decisione statistica
Regola di decisione
Rifiuto H0 se χ2 calcolato > χ2 tabulato
Poiché 172.75[χ2
l’ipotesi nulla.
calcolato]
> 3.84 [χ2
critico]
rifiuto
101
Conclusione
Concludo, con una probabilità di errore di prima
specie α =0.05, che esiste una relazione di
dipendenza tra stato nutrizionale e rendimento
scolastico.
102
RIASSUMENDO:
COME UTILIZZARE IL TEST χ2
- Tabulare i dati in una tabella di contingenza, in
cui compaiano i totali marginali (tabella delle
frequenze osservate).
- Stabilire l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa.
- Calcolare le frequenze attese, sotto l’ipotesi che
H0 sia vera.
- Sulla base delle frequenze osservate e attese,
calcolare il test χ2.
- Calcolare i gradi di libertà relativi alla tabella di
contingenza.
- Cercare sulla tabella sinottica del χ2 il valore
critico per il valore di α prefissato e per i gradi di
libertà calcolati.
- Applicare la regola di decisione statistica e
trarre la conseguente conclusione.
103
CONDIZIONI PER L’USO DEL TEST χ2
Le frequenze attese piccole
1. Tabella di contingenza 2 x 2 con 1 gdl.
Il test χ2 non dovrebbe essere usato quando
n<20 o se 20<n<40 e c’è almeno una frequenza
attesa minore di 5.
Se n≥40 si può tollerare una sola frequenza
attesa minima, non minore di 1.
2. Tabella di contingenza con più di 1 gdl.
Una frequenza attesa minima di 1 è accettabile
se non più del 20% delle celle ha frequenze
attese minori di 5.
Quando ciò non si verifica si possono aggregare
opportunamente righe o colonne adiacenti, per
aumentare le frequenze nelle celle della tabella.
104
Test χ2 di indipendenza e
test z sulla differenza tra 2 proporzioni.
Il test χ2 applicato ad una tabella 2 x 2
corrisponde ad un test sulla differenza tra due
proporzioni. (Vedi pagg. 89-90)
Rendimento
scolastico
Stato nutrizionale
Povero
Buono
Totale
Scarso
105
15
120
Soddisfacente
80
300
380
Totale
185
315
500
? La proporzione di studenti con rendimento
scarso è uguale all’interno dei due gruppi con
diverso stato nutrizionale?
Ipotesi
H0 → prendimento scarso | nutrizione povera = prendimento scarso | nutrizione buona
H1 → prendimento scarso | nutrizione povera ≠ prendimento scarso | nutrizione buona
Si tratta di un test bidirezionale;
per α = 0.05, z critico = z1-α/2 = z0.975 =±1.96.
105
Calcoliamo z dai dati campionari:
z=
( pˆ − pˆ ) − ( p − p )
p(1 − p) p(1 − p)
+
1
2
n1
p̂ 1 =
105
= 0 . 57
185
p=
z=
1
2 0
n2
p̂ 2 =
15
= 0 . 05
315
x1 + x 2
105 + 15
120
=
=
= 0 .24
n1 + n 2 185 + 315 500
0 .57 − 0 .05
0 .24 ⋅ (1 − 0 .24 ) 0 .24 ⋅ (1 − 0 .24 )
+
185
315
= 13
Decisione statistica
Rifiuto H0, perché 13, maggiore di 1.96, cade
nella regione di rifiuto.
Conclusione
La proporzione di studenti con rendimento scarso
non è uguale all’interno dei due gruppi con
diverso stato nutrizionale.
Ciò equivale a dire che esiste una relazione di
dipendenza tra rendimento scolastico e stato
nutrizionale.
106
MISURE DI ASSOCIAZIONE TRA
DUE VARIABILI NOMINALI.
Negli studi epidemiologici (Vedi I parte pagg. 89-90) si
è interessati a confrontare la probabilità di un
evento (spesso la malattia) in soggetti esposti a un
potenziale fattore di rischio e in soggetti non
esposti.
Si ricorda che:
- in uno studio prospettivo, studio di incidenza, il
ricercatore seleziona due campioni, uno formato
da soggetti esposti al fattore di rischio e l’altro da
soggetti non esposti. I soggetti vengono seguiti
nel tempo in modo da registrare i casi di malattia
nei due gruppi;
- in uno studio retrospettivo, studio casocontrollo, il ricercatore è interessato a
determinare retrospettivamente la distribuzione
del fattore di rischio nei casi (soggetti con la
malattia) e nei controlli (soggetti sani).
107
STUDI PROSPETTIVI E
RISCHIO RELATIVO
I risultati di uno studio di incidenza possono
essere sintetizzati in una tabella di contingenza
2 x 2:
INFARTO MIOCARDICO
FATTORE DI RISCHIO
Sì
No
Totale
Colesterolo ≥240 mg/dl
9
211
220
Colesterolo <240mg/dl
3
257
260
Totale
12
468
480
In generale:
FATTORE DI RISCHIO
Esposti
Non esposti
Totale
MALATTIA
Sì
No
a
b
c
d
a+c
b+d
Totale
a+b
c+d
n
Il rischio di contrarre la malattia nei soggetti
esposti è:
a
a+b
Il rischio di contrarre la malattia nei soggetti non
esposti è:
c
c+d
108
Il rischio relativo RR
Il rischio relativo (RR) è il rapporto tra
l’incidenza della malattia (o rischio assoluto o
probabilità di ammalare) negli esposti al fattore di
rischio e l’incidenza della malattia (o rischio
assoluto o probabilità di ammalare) nei non
esposti.
RR=
a ( a + b)
c (c + d )
Il rischio relativo RR, calcolato su un campione,
può essere usato come stima del rischio relativo
RR nella popolazione dalla quale il campione è
stato estratto.
N.B.
RR = rischio relativo calcolato sui dati campionari
RR = rischio relativo nella popolazione
109
Come interpretare i valori assunti dal RR
Il Rischio Relativo può assumere valori compresi
tra zero e infinito.
• Se RR=0: non c’è associazione tra la
presenza o meno del fattore di rischio e la
malattia.
• Se RR=1: il rischio di contrarre la malattia è
uguale per i soggetti esposti e per i soggetti non
esposti al fattore di rischio.
• Se RR>1: il rischio di contrarre la malattia è
maggiore tra i soggetti esposti.
• Se RR<1: il rischio di contrarre la malattia è
minore tra i soggetti esposti.
Esempio
L’essere sposati con un fumatore è associato a un
rischio relativo di malattie cardiache pari a 1.3.
Ciò significa che i non fumatori sposati con
fumatori sono colpiti 1.3 volte di più da malattie
cardiache rispetto a non fumatori sposati con non
fumatori.
110
Intervallo di confidenza per RR
Possiamo costruire un intervallo di confidenza
per RR con il seguente metodo:
1± ( z1− a / 2 / χ 2 )
100(1 − α )% I .C. = RR
(Oi − Ei ) 2
dove z1-α/2 è il valore bidirezionale e χ = ∑
Ei
i =1
k
2
111
Esercizio
Daniel pag.506 12.7.1
Tra i dati raccolti in uno studio prospettivo sulla
depressione postnatale nelle donne (Boyce et al.)
compaiono i dati riassunti nella tabella che segue.
Dal campione dei soggetti in studio, si vuole stimare il
rischio relativo di diventare un “caso” di depressione
postnatale in donne primipare, sposate o conviventi in
maniera stabile, ad un mese dal parto, quando è presente il
fattore di rischio, rappresentato da un partner indifferente.
Partner indifferente
Sì
No
Totale
Depressione
Sì
No
5
21
8
82
13
103
Totale
26
90
116
Dai dati in tabella calcoliamo RR:
5 26 0.1923
RR= 8 90 = 0.0889 = 2.2
Il rischio di diventare un caso (sviluppare
depressione) è 2.2 volte superiore nelle donne che
hanno partner indifferenti.
112
Calcoliamo l’intervallo di confidenza al 95% per
RR con la seguente formula:
1± ( z1− a / 2 / χ 2 )
100(1 − α )% I .C. = RR
2
(
O
−
E
)
i
χ2 = ∑ i
= 2.1682
Ei
i =1
k
z=1.96
Partner indifferente
Sì
No
Totale
1± ( z1−a / 2 / χ 2 )
RR
Depressione
Sì
No
Totale
5 (2.92) 21(23.09) 26
8(10.08) 82(79.91) 90
13
103
116
1±(1.96/ 2.1682
= 2.2
= 0.77; 6.28
Poiché l’intervallo include 1, il RR nella popolazione
può essere uguale a 1.
Pertanto si può concludere che, ad un livello di
significatività dello 0.05%, non ci dovrebbe essere un
rischio maggiore di diventare depresse, un mese dopo
il parto, se il partner è indifferente.
113
STUDI CASO-CONTROLLO E
ODDS RATIO
I risultati di uno studio caso-controllo possono
essere sintetizzati in una tabella di contingenza
2 x 2:
INFARTO MIOCARDICO
FATTORE DI RISCHIO
Casi
Controlli Totale
Colesterolo ≥240 mg/dl
100
70
170
Colesterolo <240mg/dl
87
193
280
Totale
187
263
450
In generale:
FATTORE DI RISCHIO
Esposti
Non esposti
Totale
MALATTIA
Casi
Controlli
a
b
c
d
a+c
b+d
Totale
a+b
c+d
n
L’odds ratio è la misura appropriata per
confrontare casi e controlli in uno studio
retrospettivo.
114
Definizione di odds
L’ odds (probabilità) di un evento può essere
definito come il rapporto della probabilità che
l’evento considerato si verifichi e il suo
complemento a 1, cioè la probabilità che l’evento
non si verifichi.
Probabilità di E P(E)
Odds =
=
Probabilità di E P(E )
Probabilità di malattia
Odds di malattia =
Probabilità di non malattia
Con riferimento alla tabella,
FATTORE DI RISCHIO
Esposti
Non esposti
Totale
MALATTIA
Casi
Controlli
a
b
c
d
a+c
b+d
Totale
a+b
c+d
n
• l’odds di malattia (probabilità di essere un caso)
tra i soggetti esposti è:
a
b
a
/
=
a+b a+b b
• l’odds di malattia (probabilità di essere un caso)
tra i soggetti non esposti è:
c
d
c
/
=
c+d c+d d
115
L’Odds ratio OR
L’odds ratio OR è il rapporto tra gli odds di
malattia nei soggetti esposti al fattore di rischio e
gli odds di malattia nei soggetti non esposti:
a
OR=
b = ad
c
bc
d
L’odds ratio viene definito rapporto crociato in
quanto può essere calcolato come rapporto tra i
prodotti dei termini situati sulle diagonali della
tabella 2x2.
N.B.
OR = rapporto di odds calcolato su dati campionari
OR = rapporto di odds della popolazione
116
Come interpretare i valori assunti da =OR
L’Odds Ratio può assumere valori compresi tra
zero e infinito.
• Se OR=0: non c’è associazione tra la
presenza o meno del fattore di rischio e la
malattia.
• Se OR=1: il rischio di contrarre la malattia è
uguale per i soggetti esposti e per i soggetti non
esposti al fattore di rischio.
• Se OR>1: il rischio di contrarre la malattia è
maggiore tra i soggetti esposti.
• Se OR<1: il rischio di contrarre la malattia è
minore tra i soggetti esposti.
Intervallo di confidenza per OR
OR è la stima di OR, rapporto di odds nella
popolazione.
I .C . = OR1± ( z1−a / 2 /
(Oi − Ei ) 2
χ =∑
Ei
i =1
k
χ )
2
2
dove
117
Esercizio
Daniel pag.509 12.7.2
La tavola che segue riporta 158 soggetti classificati come
casi e controlli rispetto alla presenza dell’infezione da
sifilide e secondo il numero di partner sessuali (fattore di
rischio) negli ultimi 90 giorni.
Si desidera confrontare l’odds dell’infezione da sifilide tra i
soggetti con tre o più partner sessuali, negli ultimi 90
giorni, rispetto all’odds dei soggetti con nessun partner
sessuale negli ultimi 90 giorni.
Infezione da
sifilide
O
N di partner sessuali negli Casi Controlli Totale
ultimi 90 gg
≥3
41
58
99
0
10
49
59
Totale
51
107
158
Cohen et al., American Journal of Public Health, 82(1992), 552-556
a
OR=
b = ad = 41 ⋅ 49 = 3.46
c
bc 58 ⋅10
d
Coloro che hanno avuto tre o più partner sessuali
negli ultimi 90 giorni hanno una probabilità di
infezione 3.46 volte più elevata dei non casi.
118
I.C. al 95% per OR
1± ( z1− a / 2 / χ 2 )
I .C. = OR
(Oi − Ei ) 2
χ =∑
= 10.1223
E
i =1
i
k
2
1± (1.96 / 10.1223)
L1;L2= 3.46
= 1.61;7.43
I limiti inferiore e superiore dell’intervallo di
confidenza di OR sono 1.61 e 7.43.
Conclusione
Abbiamo un grado di fiducia del 95% che l’OR
della popolazione sia compreso entro i due limiti
calcolati.
Poiché l’intervallo non contiene 1 è possibile
concludere che nella popolazione aver avuto 3 o
più partner sessuali negli ultimi 90 gg aumenta la
probabilità di contrarre la malattia di 3.46 volte.
119
IL χ2 DI MANTEL-HAENSZEL
Variabile di confounding
Nello studio della relazione tra una data malattia
e un presunto fattore di rischio, può capitare che
vi sia un’altra variabile (associata alla malattia,
al fattore di rischio o ad entrambi), che può
falsare la vera relazione tra le due variabili.
La tecnica di Mantel-Haenszel consente di
controllare la variabile di confounding, in
modo da ottenere una valutazione non ambigua
della relazione tra malattia e fattore di rischio.
Come procedere?
I soggetti, casi o controlli, vengono assegnati a
strati, che corrispondono alle diverse modalità
della variabile di confounding.
La variabile di confounding può essere
categoriale o continua; se è continua deve essere
categorizzata.
Esempio: se la variabile di confounding è l’età, è possibile categorizzarla
raggruppando i dati in classi di età mutuamente esclusive.
120
Come calcolare il χ2 di
Mantel-Haenszel
1.Formare tanti strati quante sono le classi della
variabile di confounding:
↓
k classi della variabile di confounding
k strati.
La tabella seguente riporta i dati relativi all’iesimo strato.
Campione
Casi Controlli Totale
ai
bi
ai+bi
ci
di
ci+di
ai+ci
bi+di
ni
Fattore di rischio
Presente
Assente
Totale
2.Per ogni strato calcolare la frequenza attesa ei
relativa alla cella a sinistra della prima riga
della tabella, nel seguente modo:
ei =
(a i + b i )(a i + c i )
ni
121
3.Per ogni strato calcolare la quantità:
vi =
( ai + bi )(ci + d i )(ai + ci )(bi + d i )
ni2 (ni − 1)
4.Calcolare il χ2 di Mantel-Haenszel nel seguente
modo:
k
2
χ MH
=
∑ (a
i =1
i
− ei ) 2
k
∑v
i =1
i
5.Rifiuta H0, ipotesi nulla di nessuna associazione
nella popolazione tra la malattia e il fattore di
2
rischio sospetto, se il valore χ MH calcolato dai
dati campionari è ≥ al valore critico, cioè al
valore tabulato del χ2 con 1 g.d.l. e con il livello
di significatività prescelto.
122
L’ODDS RATIO DI MANTEL-HAENSZEL
Quando si hanno k strati, è possibile calcolare
l’odds ratio di Mantel-Haenszel, ORMH, nel
seguente modo:
k
ORMH
 ai di 


∑
n
i


= i =k1
 bi ci 


∑
n
i


i =1
N.B. → Assunzione: nella popolazione l’odds
ratio è uguale in ogni strato.
123
Esercizio
Si vuole valutare l’efficacia di una profilassi antibiotica su
pazienti da sottoporre a due diversi tipi di intervento
chirurgico (intervento A e intervento B), in relazione alla
comparsa di eventuali infezioni postoperatorie.
Prima dell’intervento, fu somministrato antibiotico a 303
dei 606 pazienti da sottoporre all’intervento A, mentre i
restanti 303 ricevettero un placebo;
fu somministrato antibiotico a 301 dei 612 pazienti da
sottoporre all’intervento B, mentre i restanti 311
ricevettero un placebo.
La comparsa di infezioni postoperatorie nei pazienti
esaminati è sintetizzata nella tabella seguente.
Antibiotico Placebo Totale
Intervento A
Numero totale di pazienti
Numero di pazienti affetti da
infezione postoperatoria
303
26
303
43
606
69
Intervento B
Numero totale di pazienti
Numero di pazienti affetti da
infezione postoperatoria
301
14
311
25
612
39
Esiste associazione tra profilassi antibiotica prima
dell’intervento e comparsa di infezioni postoperatorie, in
pazienti sottoposti ai due tipi di intervento?
Si desidera confrontare i dati rispetto al tipo di intervento
chirurgico.
Sia alfa = 0.05
124
Soluzione
Assunzioni
Sono verificate le assunzioni necessarie per un
2
uso appropriato del test χ di Mantel-Haenszel
Ipotesi
H0: non c’è associazione tra trattamento
antibiotico perioperatorio e comparsa di infezioni
postoperatorie in pazienti sottoposti a intervento
di tipo A e di tipo B.
H1: c’è associazione tra trattamento antibiotico
perioperatorio e comparsa di infezioni
postoperatorie in pazienti sottoposti a intervento
di tipo A e di tipo B.
Test
Chi-quadrato con 1 g.d.l.
k
2
χ MH
=
∑ (a
i =1
i
− ei ) 2
k
∑v
i =1
i
125
Regola di decisione
Per α=0.05 il valore di χ2 critico è 3.841.
Rifiutiamo H0 se il valore calcolato della statistica
test è ≥ 3.841.
Calcolo del χ2MH
Per prima cosa è opportuno sintetizzare i dati
come nelle tabelle seguenti:
Intervento A: strato1
Infezione
postoperatoria
Fattore di rischio (nessun antibiotico Sì
No
Totale
prima dell’intervento)
Sì
No
Totale
43
26
69
260
277
537
303
303
606
Intervento B: strato 2
Infezione
postoperatoria
Fattore di rischio (nessun antibiotico Sì
No
Totale
prima dell’intervento)
Sì
No
Totale
25
14
39
286
287
573
311
301
612
126
Calcolo delle frequenze attese:
e1=(43+260)(43+26)/606=303·69/606=34.5
e2=(25+286)(25+14)/612=311·39/612=19.82
Calcolo di v1 e di v2:
v1=(303)(303)(69)(537)/(6062)(606-1)=15.3112
v2=(311)(301)(39)(573)/(6122)(612-1)=9.1418
Calcolo di χ2:
χ
2
MH
(43 − 34.5) 2 + (25 − 19.82) 2
=
= 4.05
15.3112 + 9.1418
Decisione statistica e conclusione
Poiché 4.05 > 3.841, rifiutiamo H0 e concludiamo
che c’è relazione tra profilassi antibiotica
perioperatoria e comparsa di infezioni
postoperatorie, dopo aver corretto rispetto alla
variabile di confounding “Tipo di intervento
chirurgico A o B”.
127
Calcolo dell’odds ratio di Mantel-Haenszel
Dai dati stratificati della tabella è possibile
calcolare l’odds ratio:
- calcoliamo il numeratore del rapporto:
(a1d1/n1) + (a2d2/n2) =
= [(43)(277)/606] + [(25)(287)/612] = 31.378972
- calcoliamo il denominatore:
(b1c1/n1) + (b2c2/n2) =
= [(260)(26)/606] + [(286)(14)/612] = 17.697599
L’odds ratio sarà:
ORMH = 31.378972 / 17.697599 = 1.77
Da questi risultati è possibile stimare che i
pazienti sottoposti ad intervento di tipo A o di
tipo B a cui non è stato somministrato antibiotico
prima dell’intervento, hanno una probabilità 1.77
maggiore di sviluppare infezioni postoperatorie,
rispetto ai pazienti cui è stato somministrato
l’antibiotico.
128