CAPITOLO I
STATISTICA DESCRITTIVA
1.1 _ Concetti introduttivi
La statistica, in termine originale Staatsmerkwudigkeiten, è sorta come scienza
descrittiva degli Stati, come pura e semplice descrizione di cose. Come insegnamento
(Staatkunde) fu introdotta nell'Università di Helmstadt da Herman Conring (1606-1681),
mentre in Italia il termine per la prima volta figura nel ristretto di scienza civile, politica e
militare "Teatro d'homini letterati" (1647) del Gerolamo Ghislini. Grande merito nel 1800
ebbero Melchiorre Gioia e Giandomenico Romagnosi che intuirono la sua trasformazione
da disciplina descrittiva a disciplina investigativa.
Oggetto della statistica sono i fenomeni collettivi o di massa, lo studio dei quali
comporta l'acquisizione di un complesso di osservazioni sulle singole unità di un
determinato insieme detto collettivo statistico. Il Giardina (Manuale di statistica, 1962) la
definisce come l'applicazione dei metodi scientifici alla programmazione della raccolta dei
dati, loro classificazione, elaborazione, analisi, presentazione ed alla inferenza su
conclusioni attendibili da essi.
Al contrario delle scienze fisiche che si riassumono in un metodo di osservazione
della realtà ed analisi dei dati da cui elaborare leggi che possono essere facilmente
riprodotte e verificate in laboratorio, le scienze statistiche sono solo un metodo di
osservazione di fenomeni comunque non riproducibili in laboratorio.
La statistica può anche essere definita come metodo di osservazione di fatti
individualmente atipici, ma collettivamente tipici. Un fenomeno è tipico se, in circostanze
analoghe, si manifesta con le stesse caratteristiche. Molti dei fenomeni fisici possono
essere considerati tipici quando avvengono in condizioni ideali: la caduta dei gravi nel
vuoto è tipico, mentre nell'aria non può considerarsi tale, dato che due oggetti piuma e
sasso, pur soggiacendo alla stessa legge di gravità, si comportano diversamente. Altro
fenomeno atipico della fisica è il comportamento del gas rispetto al calore: il movimento di
ogni particella avviene in modo casuale, perché imprevedibile e quindi non determinabile
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attraverso le leggi della meccanica classica. Nella misura di una grandezza la atipicità a
volte è però imputabile alla imperfezione dei nostri sensi e dei nostri strumenti di misura.
Nella realtà vi sono moltissimi fenomeni dello stesso tipo che, confrontati l'uno con
l'altro, si manifestano così dissimili, da sembrare dovuti alle bizzarrie del caso. Possono
essere essi fenomeni biologici, economici, sociali, metereologici, biometrici, sanitari,
giudiziari,
antropometrici,
demografici,
aziendali.
Tali
fenomeni
osservati
non
singolarmente, ma nel loro insieme collettivo, presentano delle regolarità; ad esempio il
rapporto costante nel tempo delle nascite maschi/femmine, il rapporto tra aumento del
benessere ed aumento dei consumi, o diminuzione della natalità, oppure aumento
dell'altezza degli individui. Possiamo dire che se osservati uno alla volta, gli elementi di un
collettivo presentano grande variabilità, mentre nel loro insieme rivelano presenza di
regolarità ed uniformità di comportamento.
Lo scopo della indagine statistica consiste nel ricercare tali regolarità o uniformità
nella variabilità di situazioni, cioè ricercare il quanto più probabile nella apparente
casualità. Il fine è quello di scoprire le leggi alla base dei fenomeni per risalire alle cause di
cui sono il risultato, oppure per trarne previsioni relative al comportamento futuro..
Per analizzare alcuni problemi statistici, oltre ai vari strumenti matematici, spesso si
ricorre sistematicamente alla comparazione fra dati. Un dato di per se stesso è poco
significativo se non confrontato con un altro, rilevato in altro luogo o tempo diverso.
La statistica si può dividere in tre parti:
La statistica descrittiva o deduttiva, che ha come obiettivo la descrizione ed
interpretazione dei dati; essa riguarda sia la produzione dei dati statistici, cioè della
documentazione quantitativa relativa a fenomeni di massa, che l'elaborazione dei metodi
statistici per l'analisi quantitativa dei fenomeni collettivi, onde desumere dalla massa di
informazioni i tratti essenziali del fenomeno studiato.
La statistica induttiva o inferente: da una popolazione di caratteri ignoti si estrae un
campione di dati e su di esso si prova (accetta o respinge) una certa ipotesi, ad esempio la
percentuale dei pezzi difettosi.
La teoria delle decisioni statistiche che, tra diverse alternative in condizioni di
incertezza tenta di decidere l'alternativa per raggiungere il risultato ottimo desiderato.
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Definiamo universo o popolazione statistica o collettivo statistico, di dimensione N,
l'insieme omogeneo definito rispetto al fenomeno in osservazione, cioè la totalità degli
elementi che sono oggetto di studio e riguardo ai quali si desidera la conoscenza di una o
più caratteristiche. Se per ogni elemento si determinano una o più caratteristiche, si parla
rispettivamente di popolazione uni-variata o pluri-variata.
Per unità statistica intendiamo il più piccolo elemento osservato. Può essere
semplice, se consiste in una singola persona od oggetto, oppure composta, come ad
esempio un nucleo familiare.
Per dato statistico intendiamo il risultato di un rilevamento su una unità statistica. Un
insieme di dati può avere il significato di una
frequenza, come numero delle volte per cui si è manifestata una modalità di un
carattere, oppure di una
intensità, quando si parla di misura della modalità.
Per campione1 intendiamo una porzione di una popolazione, quindi la scelta di n
(<N) unità statistiche allo scopo di avere indicazioni sull'intera popolazione (non solo in
numerosità, ma anche in grandezza, ad esempio un pezzo di stoffa). Un campione è
rappresentativo quando la distribuzione statistica dei dati rilevati sulle sue unità, riproduce
in scala ridotta, ma non deformata, la distribuzione statistica relativa alla popolazione
intera. Esso può essere: sistematico, se estratto con una determinata legge, stratificato,
quando ad esempio da ognuna fra più urne si estrae un certo numero di palline, a due stadi
o cluster, quando si estraggono prima alcune fra più urne e poi da queste alcune palline ed
infine casuale, quando la scelta è affidata al caso, alla sorte e quindi non determinata da
leggi fisiche o matematiche, né da influenze oggettive.
Un parametro che descrive il carattere della popolazione è spesso sconosciuto,
quindi viene utilizzata una statistica, cioè un numero che descrive quel carattere nel
campione; diciamo allora che la statistica sta al campione come il parametro alla
popolazione.
Per rilevazione statistica si intende la raccolta sistematica dei dati statistici
informativi del fenomeno in oggetto. Una rilevazione può essere totale o parziale, a
seconda se fatta su tutto l'universo statistico, oppure su un campione. La rilevazione, in
generale, è sempre incompleta, in quanto quello completa, a meno del censimento, è
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praticante impossibile (pesci del lago, fiale, durata delle pile, lavatrici dopo dieci anni già
invecchiate). La rilevazione può essere classificata rispetto alle caratteristiche qualitative o
quantitative da associare al fenomeno; avremo
a) mutabile statistica, insieme delle modalità osservate di un carattere qualitativo e
delle frequenze ad esso associate; riguarda rilevazioni di fenomeni non ordinabili, es.
colori, professioni. Il dato statistico è espresso in forma verbale spesso con attributi,
aggettivi, caratteri che possono differire per diverse manifestazioni dette modalità del
carattere: occhi, stato civile, titolo di studio. Esse sono sempre discrete e sono semplici se
si rivela un solo attributo, multiple se più attributi. Una successione di dati di tal tipo è
detta anche serie statistica
b) variabile statistica, insieme dei valori osservati su un carattere quantitativo e delle
frequenze ad esso associate; riguarda rilevazioni espresse da numeri associati a fenomeni
ordinabili e misurabili. Le modalità del carattere quantitativo sono i "valori" del carattere.
Le successioni dei dati di tal tipo sono dette anche seriazioni statistiche. Possono essere sia
discrete, se dedotte da caratteri ordinabili in senso discreto, finito o numerabile, oppure
continue, se dedotte da caratteri ordinabili e continui, cioè valori reali compresi in intervalli
(pesi, misure, costi).
1.2 _ Caratteristiche di una distribuzione
L’insieme di determinazioni (x1, x2,…xn) della variabile statistica, raggruppati o
meno in k classi, formano i dati grezzi, i quali possono essere subito ordinati in un array
(tabella ordinata) in senso crescente o decrescente, in modo da rendere evidente il range o
campo di variazione. Per riassumere le caratteristiche di una rilevazione statistica si ricorre
a tabelle che riportano le unità o intensità corrispondenti ai diversi caratteri o modalità
considerate.
Si ricavano poi le distribuzioni di frequenze associando ad ogni carattere xi, ad
esempio età, la distribuzione delle frequenze assolute hi, cioè il numero delle volte che
quel carattere figura.
Suddividendo i dati in k classi e registrando il numero di osservazioni che ricadono
in ciascuna classe; si può costruire un grafico che rappresenta la distribuzione di frequenza.
Le frequenze assolute di due distribuzioni, anche se della stessa specie, non sono in genere
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confrontabili in quanto si riferiscono ad un diverso numero di osservazioni. Piuttosto che il
numero, è più utile a volte conoscere la proporzione (intesa come quota parte), delle
osservazioni che appartengono ad una determinata classe. Abbiamo allora la frequenza
relativa
fi =
hi
, (0fi1),
N
ottenuta come rapporto delle frequenze assolute sul numero totale dei dati statistici
rilevati. Vale la relazione i fi =1. Le frequenze relative, essendo percentuali, sono numeri
puri di facile interpretazione ed utili per confronti.
La distribuzione di frequenze può rappresentarsi con
diagrammi a segmenti o di frequenza, cioè grafici cartesiani del tipo (xi, fi), o con
istogrammi (istos= trama) o bar charts: insieme di rettangoli accostati con basi di
uguale larghezza (xi=xi-xi-1) e altezze proporzionali alla frequenze assolute (o relative), la
differenza sta solo nella diversa scala sull’asse Y.
Se negli istogrammi le classi vengono continuamente ridotte in ampiezza e se il
numero delle osservazioni viene aumentato, il poligono si approssimerà sempre più ad una
curva di frequenza f(x). Una curva di frequenza continua che in varie scienze descrive le
distribuzioni di molte variabili statistiche è la cosiddetta normale o gaussiana.
Per caratterizzare una variabile statistica, sia continua che discreta, si definisce allora
in maniera assiomatica la funzione cumulativa di frequenza F(x)1. Essa riassume le
frequenze cumulate, assolute o relative, cioè la somma delle frequenze corrispondenti alle
determinazioni della variabile statistica X che sono inferiori od uguali ad un prefissato
valore x:
F(x) =
f (X x )
xi x
i
i
In corrispondenza di ogni valore discreto xi si ha un salto, pari alla frequenza che il
nuovo valore aggiunge. Chiaramente più i valori sono vicini fra loro, più i salti saranno
piccoli fino al punto di essere così infinitamente prossimi da identificarsi in una funzione
continua (fig. 1.1b), il cui grafico è comunque un diagramma di frequenza. Curve molto
regolari si hanno con variabili statistiche con alto numero di determinazioni e frequenze
costanti per ciascuna di esse. Quindi, nel continuo si ha:
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F(x) = fr(X<x) = fr(-<X<x)
1.3 _ Indici di posizione
Per sintetizzare, condensare e confrontare distribuzioni statistiche occorre individuare
indici descrittivi che ne riassumono alcune caratteristiche quantitative. Tra questi abbiamo
in primis gli indici di posizione, che tendono a localizzare la distribuzione, individuandone
la "tendenza centrale del fenomeno che essa descrive"; è in realtà quel valore Cr, detto
anche centro di ordine r, che è rappresentativo dell'intera distribuzione stessa.
Va rilevato che la sintesi spesso porta erroneamente ad assumere identiche due
distribuzioni completamente diverse. Gli indici di posizione si dividono in medie
analitiche e medie lasche a seconda che siano o meno esprimibili mediante formule che
coinvolgano tutti i valori statistici.
Tra le medie analitiche abbiamo:
a) Media aritmetica
(1.1)
M(X) =
i xi hi
N
= i xi f i
in cui le frequenze hi rappresentano in realtà dei pesi; infatti spesso si parla di media
semplice ponderata. Nel caso di dati raggruppati in classi, xi è il valore centrale della
classe, preso come rappresentante di tutti i dati in essa inclusi.
Per hi=1, fi=1/N, risulta M(X) =
x
i i
/N
Per una variabile statistica discreta e finita, il valor medio esiste sicuramente; ma se è
discreta infinita, oppure continua finita o infinita, non è detto che esista; infatti per
variabile discrete infinite la somma si traduce in una serie e questa potrebbe non
convergere. Per variabili statistiche continue, poi, l'integrale potrebbe non esistere o
divergere.
Dato che coinvolge tutti i valori, può essere distorta da valori molto estremi o
anomali e non può essere calcolata per distribuzioni open-ended; è comunque un indice
molto affidabile per fare inferenze sulla popolazione.
b) Media geometrica
Usata principalmente per calcolare i tassi medi di variazione, è data da:
1
Od anche c.d.f (cumulative distribution function)
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(1.2)
0 = n ik1 xi hi
d) Media quadratica
(2) =
i xi2 hi
N
= i xi2 f i
è la media aritmetica dei quadrati delle modalità ed è applicabile a variabili
statistiche con valori negativi
Si ha la sequenza di medie:
x1 (-1) 0 1 (2) xn.
Tra le medie lasche, che corrispondono ad un concetto non prettamente matematico,
ma di rappresentazione statistica, abbiamo le seguenti.
La moda o norma Mo, o valore prevalente, è il punteggio che avviene più spesso, e
quindi a cui corrisponde la massima frequenza (non estremo, perché si possono avere
frequenze sempre crescenti o decrescenti). Può non esistere o essercene più di una. Se
nessun dato risulta più di una volta, non c'è moda; se ci sono due valori l'insieme dei dati è
detto bimodale; comunque coincide sempre con uno dei dati.
La mediana Me è il termine centrale della successione dei dati disposti in ordine
crescente o decrescente; cioè il termine equidistante dagli estremi, se il numero n dei valori
è dispari, o qualunque valore compreso fra i due centrali se n è pari, quindi, può o non
appartenere ai dati. Come M0 non dipende dalle osservazioni della distribuzione, ma dal
numero di esse. Indicata con C1, è chiamata anche centro di ordine 1. Viene molto usata per
osservazioni non simmetriche (skewed) e può anche essere calcolata per distribuzioni
open-ended.
La Me è quel valore che divide una distribuzione in due gruppi di uguali frequenze
cumulate e quindi la cui frequenza cumulata è 0.5
Me : x / F(x) = 0.5;
xi Me
fi =
xi Me
f i = 0.5;
Considerati i dati disposti in ordine crescente, per quantili, si intendono quei valori
che dividono la frequenza totale in n parti uguali; abbiamo quartili, decili, ...; ad esempio il
2° quartile, x0,5, corrisponde alla mediana.
Per i quartili abbiamo
q1/4 = x(n+1)/4; q1/2= x(n+1)/2; q3/4= x3(n+1)/4;
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cioè sono quei valori xi della distribuzione che raccolgono frequenza relativa
cumulata pari ad 1/4, ½ e ¾.
I quantili sono molto utili per esplicitare la distribuzione dei redditi in un collettivo.
Ad esempio nel 1960 il quintile più ricco rispetto al quintile più povero della popolazione
mondiale era di 30:1, mentre nel 2002 è diventato di 90:1.
Nei grafici scatola e baffi, riportati su un asse orizzontale, l'estremo sinistro (destro)
della scatola coincide il primo (terzo) quartile, mentre la divisione interna della scatola
coincide con la mediana. Lateralmente due linee orizzontali (baffi) vanno a raggiungere il
valore più piccolo e più grande dell'insieme di dati.
Fig. 1.3
x
1
q
1
q
2
q
3
x
n
1.4 _ Momenti semplici e momenti centrali
Essi possono essere semplici cioè rispetto all'origine, oppure rispetto ad un centro
(media o qualsiasi altro valore caratteristico). I momenti di ordine r rispetto all'origine sono
i valor medi di funzioni potenza r-ma g(X)=Xr della variabile statistica X:
m( r ) M ( X r ) i xir f i
dove gli xi sono i singoli valori o i valori centrali delle classi, a seconda di variabile
discreta o divisa per intervalli.
Portando l'origine nel punto , ovvero traslando tutti i dati di , si ottiene la variabile
statistica centralizzata Y=g(X) = (X-) chiamata scarto della distribuzione dalla propria
media. Però, invece del semplice scarto consideriamo una sua trasformata tramite una
potenza r-ma qualsiasi, Yr=(X-µ)r; la generica determinazione risulta in tal modo yri=(xiµ)r; il valor medio di tale nuova variabile statistica è chiamato momento centrale r-mo:
m ( r ) M (Y r ) i ( xi ) r f i
formula che per µ=0 si riduce ai momenti r-mi rispetto all'origine.
Per r = 0 abbiamo m(0)=1;
per r = 1 si ha m(1)=M(Y)=0;
per r = 2 abbiamo m(2)= ² cioè la varianza, per il cui calcolo si ha anche:
9
m(2)= ² = M ( Y 2 ) =i (xi-µ)² fi = m(2)-µ².
Cioè il momento secondo centrale è uguale al momento secondo rispetto all'origine
meno il quadrato del valor medio.
La varianza in termini fisici rappresenta il momento d'inerzia della distribuzione
rispetto al baricentro della stessa rappresentato dalla media aritmetica.
1.5 _ Indici di variabilità
La variabilità è un concetto primitivo intrinseco di una variabile statistica; chiamata
anche mutabilità, si può definire anche l'attitudine della variabile ad assumere diverse
modalità. Gli indici di variabilità misurano l'ammontare della diffusione o dispersione dei
dati e permettono di comprendere meglio il riassunto statistico trilussiano secondo cui,
date due persone della quali una prima ha mangiato due polli ed una seconda nessuno,
risulta che ciascuna ha mangiato un pollo a testa.
Tali indici possono essere assoluti o relativi a seconda se dipendenti o meno
dall'unità di misura del fenomeno osservato. Tra gli assoluti abbiamo:
i) campo di variazione, è la differenza fra il valore massimo ed il minimo delle
modalità
=max(xi)-min(xi)
Facile da calcolare, enfatizza le modalità estreme e non le diversità interne; è
insensibile alle variazioni dei valori interni
v) scarto quadratico medio o standard deviation (sqm) = σ 2 e varianza, media
quadratica degli scarti, già introdotta tra i momenti. Mentre l'unità di misura della varianza
è il quadrato di quella del fenomeno e in particolare della media, il calcolo dello sqm
risolve questo inconveniente avendo la stessa unità di misura della media e quindi più
idoneo per la misura della variabilità. È la più usata misura di dispersione; affetto da tutte
le osservazioni, può essere distorto molto da osservazioni relativamente estreme e non può
essere calcolato per distribuzioni aperte a meno di informazioni addizionali.
1
I parametri della popolazione vengono denotati con lettere greche, mentre quelli dei campioni con i caratteri
italici
