MSIC815001_pavimentazioni e

LaSS CUBI (aspettare invio da Sara)
Prodotto realizzato con il contributo della
Regione Toscana nell'ambito dell'azione
regionale di sistema
Laboratori del Sapere Scientifico
Laboratori Sapere Scientifico
Progetto C.U.B.I.
a.s. 2014-2015
Pavimentazioni e Isometrie
Docente: Bruna Tonazzini
Classe II B
Scuola Secondaria I° “G. Taliercio”
Curricolo verticale: GEOMETRIA
L'attività è stata svolta nella classe seconda della scuola secondaria di
primo grado.
I ragazzi possedevano già le conoscenze di base sulle proprietà dei
poligoni e sapevano riconoscere e operare trasformazioni geometriche
L'argomento è stato introdotto dopo un'attività laboratoriale con le
lamine di sapone che ha evidenziato come il cerchio consente di
racchiudere a parità di perimetro, una superficie massima. In seguito,
osservando un favo di alveare, i ragazzi si sono chiesti perché avesse
quella forma.
Si è passati perciò ad osservare le pavimentazioni e le isometrie che
le conservano.
Obiettivi essenziali di apprendimento
Far scoprire relazioni fra gli elementi del piano utilizzando anche i
metodi delle trasformazioni geometriche
●
Sviluppare il concetto di area comprendendo l'arbitrarietà della scelta
dell'unità di misura
●
Favorire l'intuizione delle condizioni necessarie per poter pavimentare
il piano
●
●
Saper prevedere e operare alcune composizioni isometriche
Offrire uno spazio creativo nella realizzazione di disegni periodici
●
.
Elementi salienti dell'approccio metodologico
Si è cercato di offrire attività laboratoriali stimolanti come querlle
collegate alle trasformazioni geometriche .
Gli alunni hanno lavoratorato sia individualmente che in piccoli gruppi
e sono stati i veri attori delle lezioni.
Il docente ha avuto la funzione di guidare i ragazzi durante lo
svolgimento delle attività, sia stimolando le loro intuizioni attraverso
domande mirate, sia sintetizzando le conclusioni finali in forma
semplice e chiara.
Materiali, apparecchi e strumenti impiegati
●
Materiali:
●
tesserine di legno, rappresentanti le sagome dei vari poligoni regolari;
geogorme tipo polydron,fogli bianchi, quadrettati, trasparenti.
●
Strumenti:
goniometro, compasso, righello, squadrette, forbici, matite, colori
software di
geometria dinamica.
Ambienti in cui è stato sviluppato il percorso
L'attività è stata svolta sia nell'aula che nel laboratorio scientifico,
attrezzato all'interno della scuola.
Tempo impiegato
●
8 ore gruppo LSS, anche con il formatore;
●
15 ore di preparazione delle attività;
●
20 ore tempo-scuola
●
16 ore documentazione
Il lavoro può essere diviso in quattro sottotemi:
1.Pavimentazioni con poligoni regolari di n lati con stessa forma e stesse
dimensioni;
2.Pavimentazioni con triangoli o quadrilateri generici
3.Data nel piano una configurazione periodica, individuazione dei vettori
indipendenti (cioè non paralleli) che portano la configurazione in se stessa
e riflessioni sulla composizione di isometrie
4.Disegni periodici
Attività n°1
La classe viene divisa in piccoli gruppi e a ciascun gruppo vengono
distribuiti modellini di poligoni regolari.
Ogni gruppo ne ha un solo tipo.
Si chiede di provare a ricoprire il piano del banco accostando i poligoni
lato a lato, senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapposizioni.
Riescono a pavimentare solo i ragazzi che hanno a disposizione i triangoli
equilateri, i quadrati o gli esagoni.
.
Con disappunto, quelli che non ci
riescono, tendono a completare la
tassellazione sottraendo ai
compagni tesserine diverse dalle
loro.
Riescono così a formare nuovi tipi di
tassellazioni in cui i poligoni sono
sempre regolari ma non tutti uguali.
Queste pavimentazioni vengono
chiamate semiregolari o
archimedee.
Tornando alle pavimentazioni regolari, l'insegnante chiede:Perché solo in tre casi è stato possibile fare una pavimentazione?Alcune risposte sono state:
“I lati devono essere in numero pari”, ma la tassellazione a
triangoli contraddice questa affermazione
“Il poligono che tassella si deve poter scomporre in triangoli
equilateri”, ma per il quadrato ciò non accade
“Dipende dai lati, no...cioè...dagli angoli”
L'alunno evidentemente intuisce che per i poligoni regolari
l'ampiezza di ogni anglo dipende dal numero dei lati.
L'insegnante approva e chiede: - come devono essere questi
angoli?-
Poiché non arriva una risposta immediata, gli alunni vengono invitati
a contare il numero di poligoni attorno ad ogni vertice.
I ragazzi osservano che:
- In ogni vertice devono confluire almeno tre poligoni
- In ciascun vertice si incontrano 3 poligoni con gli esagoni, 4 con i
quadrati e 6 con i triangoli
- La somma degli angoli che hanno un vertice in comune è sempre
360°.
A questo punto qualcuno riesce a concludere che l'ampiezza degli
angoli deve essere un divisore di 360°.
.
Attività n°2
Gli angoli esterni e interni dei poligoni regolari
Per calcolare gli angoli dei poligoni regolari si riparte da un'esperienza fatta
in prima sugli angoli esterni ed interni di un poligono.
Per capire il significato di angolo esterno, si disegna sul pavimento un
poligono e si fa camminare sul contorno un alunno con un bastone
abbastanza lungo che indica la direzione del lato che sta percorrendo.
Quando l'alunno arriva a un vertice ruota il bastone per portarlo sulla
direzione del nuovo lato da percorrere.
L'angolo di cui ruota per passare da una direzione alla successiva,
corrisponde proprio all'angolo esterno.
Intanto un altro alunno, posizionato possibilmente all'interno del
poligono, tiene in mano un bastone dritto davanti a se e, senza
camminare, quindi mantenendo fermo un estremo del bastone, lo ruota
in modo da mantenersi sempre parallelo al bastone in mano al ragazzo
che si muove.
In questo modo si vede bene che la somma degli angoli esterni del
poligono è un angolo giro.
Dopo questa esperienza si passa al
disegno su foglio.
Ma, al momento del disegno, un
alunno sostiene che in realtà noi
stiamo considerando solo una parte
dell'angolo esterno.
Non è facile per i ragazzi rinunciare
a considerare l'angolo esterno come
la parte di piano esterna all'angolo
convesso, le esperienze pratiche
sono quindi indispensabili.
Gli angoli esterni dei poligoni
disegnati vengono riportati su carta
trasparente in modo da renderli
consecutivi e si forma quindi un
.
●
●
angolo giro.
Gli alunni osservano che:
per qualsiasi poligono la somma
degli angoli esterni è sempre 360°
●
la somma di un angolo interno con il
corrispondente angolo esterno è un
angolo piatto.
Si può quindi calcolare l'angolo interno sottraendo da 180°
l'ampiezza del corrispondente angolo esterno.
Queste conclusioni risultano particolarmente utili per conoscere
l'ampiezza degli angoli interni dei poligoni regolari.
Angoli dei poligoni regolari
I ragazzi, a casa, disegnano liberamente e ritagliano le forme di
alcuni poligoni regolari.
A scuola se ne scelgono di
diverse dimensioni per ciascun
tipo e si sovrappongono facendo
combaciare un angolo.
Si può constatare che l'angolo
interno è uguale nei vari poligoni
simili.
Adesso i ragazzi sono in grado di fare il seguente ragionamento:
Se un poligono è regolare gli angoli interni saranno uguali fra loro,
ma anche gli angoli esterni saranno fra loro uguali.
Per calcolare l'ampiezza dell'angolo esterno di un poligono regolare
basterà dividere 360° per il numero dei lati.
Per sapere quanto misura l'angolo interno si calcola il suo
supplementare.
Viene quindi costruita individualmente una tabella contenente il
nome del poligono, il numero dei lati, la misura dell'angolo
esterno e la misura dell'angolo interno (per l'ettagono in genere
eseguono la divisione con i decimi, solo un alunno ricorre ai primi
e secondi).
Da questa tabella si individuano gli unici poligoni regolari con i
quali è stato possibile pavimentare.
L'insegnante chiede agli alunni:
-Siamo sicuri che non esistano altri
poligoni regolari che possano
pavimentare?Per facilitare la risposta vengono fatti
sovrapporre uno su l'altro i modellini
a disposizione in base all'ordine dei
numeri dei lati.
In questo modo risulta evidente che
all'aumentare del numero dei lati
l'angolo esterno diminuisce e quello
interno aumenta.
Ricordando che il numero minimo di poligoni che confluiscono in un
vertice è 3, gli alunni capiscono che l'angolo interno non può essere
maggiore dell'angolo dell'esagono poichè 120°x 3 = 360°, quindi con
poligoni aventi la misura dell'angolo interno maggiore di 120° si
avrebbero necessariamente delle sovrapposizioni.
In seguito viene proposto di costruire i disegni delle pavimentazioni
trovate utilizzando il programma Geogebra. In ciascun disegno
vengono fatte annotare,
tra parentesi, sequenze di numeri che
indicano il numero di poligoni che toccano ogni vertice e il numero
dei loro lati. Accanto a questa simbologia viene riportato il calcolo
della somma delle ampiezze degli angoli corrispondenti.
Accanto a questa simbologia
viene riportato
Il calcolo della somma delle
ampiezze degli angoli
Anche se non hanno ancora affrontato il problema del calcolo
delle aree dei vari poligoni (al quale
questa attività è
propedeutica), alcuni ragazzi, ripensando all'esperienza
fatta
con le lamine di sapone, riescono a fare in sintesi la seguente
osservazione:
-Fra i poligoni regolari che possono pavimentare, l'esagono è
quello che “assomiglia” di più al cerchio ed è quindi forse per
questo motivo che tale forma viene scelta dalle api! A parità di
perimetro, riesce a racchiudere una maggiore superficie senza
tuttavia lasciare buchi.
Questa intuizione verrà poi convalidata in seguito, dopo lo studio
sulle aree.
Attività n°3
Lavorando con i poligoni regolari, i ragazzi si sono subito chiesti
se fosse possibile pavimentare anche con triangoli o quadrilateri
non regolari.
Per cercare una risposta vengono usati sia modellini che il
disegno geometrico.
Inizialmente, ad ogni alunno, viene richiesto di: disegnare un
quadrilatero qualsiasi
ritagliarne più copie su cartoncino
evidenziare con colori diversi i diversi angoli
provare a pavimentare accostando lato a lato i quadrilateri
La maggior parte degli alunni ha disegnato un rettangolo o
comunque un parallelogramma, pochi un trapezio, ancor meno un
quadrilatero generico, nessuno un quadrilatero concavo.
Questa scelta è abbastanza frequente quando si chiede agli alunni
di disegnare un quadrilatero ma in questo contesto è anche dovuta
al fatto che alcuni prevedono che si possa pavimentare solo se il
quadrilatero è un parallelogramma.
E' infatti intuitivo immaginare di tassellare il piano con traslazioni
individuate da due lati consecutivi del parallelogramma.
I tentativi pratici di tassellare il piano hanno dato
esiti giudicati
positivi dai ragazzi , anche nel caso, suggerito dall'insegnante, di
quadrilateri concavi.
Le pavimentazioni sono risultate però troppo approssimate data la
necessaria ma difficoltosa precisione che richiedeva il lavoro.
Con l'aiuto dei colori gli alunni hanno comunque constatato che in
un unico vertice convergono tutti e quattro gli angoli diversi del
quadrilatero la cui somma è appunto 360°
Una prova molto più attendibile della possibilità di pavimentare
con quadrilateri generici viene fornita
con la costruzione
geometrica
A ciascun alunno viene proposto di disegnare un quadrilatero
qualsiasi e di trasformarlo puntando successivamente sui punti
medi di ognuno dei suoi lati seguendo le seguenti indicazioni:
●
Disegnare su carta quadrettata un quadrilatero qualsiasi
●
Trasformare il quadrilatero con la simmetria centrale rispetto al
punto medio di un suo lato
●
Trasformare il secondo quadrilatero con una simmetria centrale
attorno al punto medio di un suo lato in modo che i tre quadrilateri
abbiano un vertice in comune
●
Operare una simmetria centrale del terzo quadrilatero in modo da
veder confluire nello stesso vertice i quattro angoli del quadrilatero
di partenza.
I ragazzi che avevano disegnato i quadrilateri più semplici, per
eseguire le trasformazioni, si sono serviti in genere dei quadretti,
altri di riga e compasso;
quelli che su successiva richiesta
dell'insegnante hanno disegnato un quadrilatero concavo , si sono
serviti anche della carta trasparente.
I risultati questa volta sono stati soddisfacenti,il gruppo di
quadrilateri coincideva perfettamente.
Attività n°4
Viene posta l'attenzione sulla periodicità delle pavimentazioni: si
dice che la tassellazione è periodica, quando è possibile individuare
una coppia di vettori indipendenti che, attraverso una traslazione,
sovrappongono una data tassellazione su se stessa.
Domande guida per individuare tali vettori nei disegni fatti dai
ragazzi:
Quale trasformazione isometrica mi permette di passare dal primo
quadrilatero disegnato al secondo? E dal secondo al quarto?
I ragazzi, osservando i loro disegni, rispondono intuitivamente che si
tratta di due traslazioni e alcuni individuano anche i due vettori che
corrispondono alle diagonali del quadrilatero.
L'insegnante stimola: potevamo prevedere che la composizione di
due simmetrie centrali con centri diversi fosse una traslazione?
Ma Matteo obbietta: può venire anche una rotazione.
L'intervento ci porta ad ampliare l'argomento e a soffermarci sulla
composizione di due rotazioni
L'alunno giustamente prevede che dalla composizione di due
rotazioni si ottiene una rotazione
Gli alunni hanno già lavorato con le isometrie e sanno che in una
rotazione ogni retta del piano ruota dello stesso angolo di rotazione.
.
Dopo due rotazioni la retta avrà ruotato di un angolo somma
algebrica dei due angoli di rotazione.
Se l'angolo somma è diverso da 0° o 360° la composizione delle
due rotazioni è una rotazione dell'angolo somma (come aveva
previsto Matteo).
Se invece l'angolo somma delle due rotazioni componenti è 360°
oppure 0°, che cosa possiamo dire della rotazione composta?
Ogni retta si trasforma in una retta parallela con lo stesso verso di
percorrenza.
Se le due rotazioni hanno lo stesso centro la composizione porta
all'identità; nel caso di centri diversi necessariamente si ottiene una
traslazione con vettore parallelo al segmento che unisce i due centri
e intensità doppia della distanza fra i due centri.
E' facile vedere che la composizione delle due
rotazioni di 180°di centro P e Q corrisponde alla
traslazione di vettore RS, doppio e parallelo
rispetto a PQ
Q
P
S
R
Analogamente si vede che c'è
un'altra tralazione
Pavimentazioni con un triangolo generico.
L'insegnante chiede:- usando solo traslazioni si riesce a tassellare?Alcuni alunni provano con le tesserine di legno dei triangoli
equilateri e si rendono conto che nemmeno in quel caso è possibile,
altri rispondono subito di no e Paolo dice:- deve diventare un
parallelogramma!Ai ragazzi viene chiesto allora di disegnare un triangolo qualsiasi su
carta quadrettata e di trasformarlo con una simmetria centrale
rispetto al punto medio di un suo lato. L'unione del triangolo di
partenza e del suo trasformato forma un parallelogramma.
-Perché?- chiede l'insegnante.
A questo punto è Leonardo che risponde:- perché con la simmetria
centrale mi vengono due nuovi lati paralleli a quelli di prima - .
E' facile per i ragazzi immaginare di tassellare il piano facendo
scorrere questi parallelogrammi e riconoscere quindi nei due lati
consecutivi del parallelogramma
i vettori indipendenti delle due
traslazioni.
Mentre costruivano i loro disegni si è colta l'occasione per fare
un'altra osservazione
La composizione di due simmetrie centrali del triangolo di partenza
mostra che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo
piatto
Attività n°5
Come fare per disegnare delle pavimentazioni più artistiche?
La tecnica più semplice consiste nel partire da una pavimentazione
esistente e nel deformarla provando ad introdurre delle forme che si
vogliono far apparire nel disegno finale.
Ad esempio:
●
Disegnare un parallelogramma
●
Deformare
uno
dei lati
del
parallelogramma
e deformare
“parallelamente” il lato opposto... cercando di far apparire una forma
interessante
●
Deformare
allora
anche
gli
altri
due
lati
opposti
del
parallelogramma (o anche solo una parte di questi)
●
In questo modo si ottiene un disegno iniziale e sarà sufficiente
ripeterlo per traslazione come avremmo ripetuto il parallelogramma.
Vengono di seguito riportati alcuni dei disegni fatti dai ragazzi, che
hanno costruito i diversi modellini.
Verifiche degli apprendimenti
Gli apprendimenti vengono verificati:
- in itinere, rilevando le osservazioni degli alunni, la loro capacità di fare collegamenti
e previsioni, trovare strategie essenziali per eseguire le consegne
- al termine delle attività proponendo vari quesiti, esercizi e problemi
Alcuni esempi

Puoi disegnare una pavimentazione con ottagoni regolari e
quadrati?
Perché è possibile?

Quante e quali combinazioni di due poligoni regolari
tappezzano il piano?
Disegna ciascuna di esse

Prova ora delle pavimentazioni a tre poligoni regolari
Nei vertici concorrono sempre gli stessi poligoni?

Hai usato la piastrella a forma di pentagono regolare?
Sapresti dire perché?

Disegna un quadrilatero qualunque, che cosa fai per
pavimentare?
Crea una pavimentazione

Disegna su un cartoncino quadrato di 10 cm di lato una
decorazione che ti piaccia e immagina che questo cartoncino
rappresenti la tua piastrella. Riproduci la piastrella per 16 volte
e disponi le sedici piastrelle in modo da formare un pavimento.
Che tipo di isometrie hai usato nel disporre le piastrelle?
Evidenzia sul pavimento che hai composto gli insiemi di piastrelle che hanno:
simmetria centrale
simmetria assiale
traslazioni
rotazioni
Ora disponi le tue piastrelle in altro modo ed evidenzia di nuovo le diverse isometrie
Scrivi i passi del lavoro svolto in modo che chiunque possa riprodurre i tuoi disegni
Esempi di pavimentazioni ottenute
con il tassello iniziale

Anche dall'osservazione di alcuni disegni di Escher si può
chiedere agli alunni di individuare quale trasformazione
geometrica porta una figura su una delle sue coppie adiacenti
Risultati ottenuti
Tutti gli alunni hanno mostrato curiosità ed entusiasmo nello
svolgimento delle attività proposte.
Anche i ragazzi che generalmente incontrano difficoltà durante il
lavoro autonomo sono riusciti a realizzare e ad individuare
vari tipi di pavimentazioni, rinforzando così la conoscenza e
l'uso delle caratteristiche e delle proprietà di alcuni poligoni. In
seguito hanno saputo realizzare disegni periodici in cui hanno
potuto esprimere la propria creatività.
Un gruppo composto da 5-6 ragazzi ha condotto in pratica tutto
il lavoro sulle isometrie con osservazioni pertinenti e interventi
che hanno rappresentato uno stimolo per la classe e per
l'insegnante.
La maggior parte degli alunni, nelle verifiche finali, ha ottenuto
risultati superiori alla sufficienza, pertanto i risultati raggiunti a
vari livelli possono considerarsi positivi.
Dur ante gli incontri di formazione LSS la prof.ssa Silvia Dentella
aveva presentato un quadro teorico-pratico delle isometrie del
piano. Le attività presentate sono state in parte dedotte dalla
formazione e in parte frutto dell'interazione mia con gli allievi e
sono state poi monitorate dalla formatrice.
Talvolta è stato possibile confrontarsi anche tramite mail: la guida
della formatrice infatti è stata fondamentale e costante. Ha fornito
anche un'analisi mirata e precisa sia delle cause delle difficoltà
incontrate sia dei successi ottenuti nel corso delle attività. Grazie ai
suggerimenti ricevuti è stato possibile rivedere l'adeguatezza delle
richieste e la chiarezza delle risposte da parte dell'insegnante e
valorizzare in modo opportuno gli interventi degli alunni.