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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
1o TEST intermedio - 5.11.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(1, 1, 0), (2, 2, 0), (3, 2, 1)] ⊆ R3 e si scriva, se è
posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti.
risposta: (pt. 2) v2 = 2v1 + 0v3
(
ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U =
determinino:
(
1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) =
a a
b 0
1 1
z 0
!
∈ M2 (R) |z ∈ R . Si
∈ M2 (R) |a, b ∈ R .
2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B =
3. le componenti in B di v =
)
)
!
3 3
−1 0
!
1 1
0 0
,
0 0
1 0
!!
!
risposta: (pt. 3) (3, −1)
ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S =
(( 1 k k k − 1 ) , ( k k 1 k − 1 )) ⊆ R1,4 .
risposta: (pt. 3) k 6= 1
0
1
−h
1−h




ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A =  2 h − 3 2  e B =  h + 1 . Si dica
h+3
1
h
−h
per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B è compatibile.




risposta: (pt. 12) h 6= 1
ESERCIZIO 5. In R3 si determinino:
1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A =
risposta: (pt. 3) L (((1, 0, −1)))
2. un complemento diretto di I.
risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0)))
3 1 3
2 −3 2
!
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
1o TEST intermedio - 5.11.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(1, 1, 0), (1, 2, 1), (2, 4, 2)] ⊆ R3 e si scriva, se è
posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti.
risposta: (pt. 2) v3 = 0v1 + 2v2
(
ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U =
determinino:
(
1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) =
0 a
a b
0 2
2 t
!
∈ M2 (R) |t ∈ R . Si
∈ M2 (R) |a, b ∈ R .
2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B =
3. le componenti in B di v =
)
)
!
0 1
1 2
!
0 1
0 0
,
1 0
0 1
!!
!
risposta: (pt. 3) (1, 2)
ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S =
(( 2 k − 2 k k − 1 ) , ( k k − 2 2 k − 1 )) ⊆ R1,4 .
risposta: (pt. 3) k 6= 2
h
1

ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A =  −2 h − 3
h
h
dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B

0
2(1 − h)



2  e B =  h − 1 . Si
0
1
è compatibile.



risposta: (pt. 12) h 6= −2
ESERCIZIO 5. In R3 si determinino:
1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A =
risposta: (pt. 3) L (((5, 0, 2)))
2. un complemento diretto di I.
risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0)))
2 1 −5
2 −3 −5
!
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
1o TEST intermedio - 5.11.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(0, 1, 2), (3, 2, 0), (0, 2, 4)] ⊆ R3 e si scriva, se è
posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti.
risposta: (pt. 2) v3 = 2v1 + 0v2
(
ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U =
Si determinino:
(
1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) =
a 0
a b
−1 0
−1 t
!
∈ M2 (R) |t ∈ R .
∈ M2 (R) |a, b ∈ R .
2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B =
3. le componenti in B di v =
)
)
!
2 0
2 1
!
1 0
0 0
,
1 0
0 1
!!
!
risposta: (pt. 3) (2, 1)
ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S =
(( k k + 3 k + 4 −2 ) , ( −2 k + 3 k + 4 k )) ⊆ R1,4 .
risposta: (pt. 3) k 6= −2
0
1
−(h + 1)
−h




ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A =  2 h − 2
2
 e B =  h + 2 . Si
1
1 h + 1 −(h + 1)
dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B è compatibile.




risposta: (pt. 12) ∀h ∈ R
ESERCIZIO 5. In R3 si determinino:
1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A =
risposta: (pt. 3) L (((4, 0, 1)))
2. un complemento diretto di I.
risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0)))
−1 1
4
2 −3 −8
!
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
1o TEST intermedio - 5.11.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(2, 1, 0), (1, 2, 0), (4, 2, 0)] ⊆ R3 e si scriva, se è
posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti.
risposta: (pt. 2) v3 = 2v1 + 0v2
(
ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U =
determinino:
(
1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) =
0 a
b a
0 1
z 1
!
∈ M2 (R) |z ∈ R . Si
∈ M2 (R) |a, b ∈ R .
2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B =
3. le componenti in B di v =
)
)
!
0 2
−1 2
!
0 1
0 0
,
0 1
1 0
!!
!
risposta: (pt. 3) (2, −1)
ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S =
(( −k k + 3 k −1 ) , ( k k + 3 −1 k )) ⊆ R1,4 .
risposta: (pt. 3) ∀k ∈ R
1
0

ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A =  h
2
h+2 1
dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B

h+1
−h



−2  e B =  h . Si
h+3
h+1
è compatibile.


risposta: (pt. 12) h 6= 0
ESERCIZIO 5. In R3 si determinino:
1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A =
risposta: (pt. 3) L (((0, 1, −3)))
2. un complemento diretto di I.
risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0)))
0 3 1
2 6 2
!

5
UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
1o TEST intermedio - 5.11.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(1, 1, 0), (−1, −1, 0), (0, 2, 1)] ⊆ R3 e si scriva,
se è posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti.
risposta: (pt. 2) v1 = −v2 + 0v3
(
ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U =
Si determinino:
(
1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) =
a b
b 0
x −1
−1 0
!
∈ M2 (R) |x ∈ R .
∈ M2 (R) |a, b ∈ R .
2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B =
3. le componenti in B di v =
)
)
!
−2 1
1 0
!
1 0
0 1
,
0 0
1 0
!!
!
risposta: (pt. 3) (−2, 1)
ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S =
(( k + 2 k − 1 k 1 ) , ( k + 2 k − 1 1 k )) ⊆ R1,4 .
risposta: (pt. 3) k 6= 1
0
1
h−1
0




ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A =  2 −(h + 2)
2  e B =  2 − h . Si
1
0
1−h
h−1
dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B è compatibile.



risposta: (pt. 12) h 6= 0, 1
ESERCIZIO 5. In R3 si determinino:
1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A =
risposta: (pt. 3) L (((0, 1, −3)))
2. un complemento diretto di I.
risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0)))
1 9
3
2 −3 −1
!

6
UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
1o TEST intermedio - 5.11.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(1, 0, 0), (0, 2, 2), (0, −1, −1)] ⊆ R3 e si scriva,
se è posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti.
risposta: (pt. 2) v2 = 0v1 − 2v3
(
ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U =
Si determinino:
(
1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) =
a 0
b b
!
)
∈ M2 (R) |x ∈ R .
∈ M2 (R) |a, b ∈ R .
2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B =
3. le componenti in B di v =
!
)
!
2
0
−1 −1
x 0
2 2
1 0
0 0
,
0 0
1 1
!!
!
risposta: (pt. 3) (2, −1)
ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S =
(( k − 1 k k 2 ) , ( k − 1 k 2 k )) ⊆ R1,4 .
risposta: (pt. 3) k 6= 2
h − 1 −1 0
h




ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A =  2
h + 2 2  e B =  2 − h . Si
1
h−1 h−1 1
dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B è compatibile.



2 1 0
2 1 −2
!
risposta: (pt. 12) ∀h ∈ R
ESERCIZIO 5. In R3 si determinino:
1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A =
risposta: (pt. 3) L (((−1, 2, 0)))
2. un complemento diretto di I.
risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 0, 1)))
