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1 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria Algebra ed Elementi di Geometria 1o TEST intermedio - 5.11.2001 cognome nome corso di laurea matricola ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(1, 1, 0), (2, 2, 0), (3, 2, 1)] ⊆ R3 e si scriva, se è posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti. risposta: (pt. 2) v2 = 2v1 + 0v3 ( ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U = determinino: ( 1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) = a a b 0 1 1 z 0 ! ∈ M2 (R) |z ∈ R . Si ∈ M2 (R) |a, b ∈ R . 2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B = 3. le componenti in B di v = ) ) ! 3 3 −1 0 ! 1 1 0 0 , 0 0 1 0 !! ! risposta: (pt. 3) (3, −1) ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S = (( 1 k k k − 1 ) , ( k k 1 k − 1 )) ⊆ R1,4 . risposta: (pt. 3) k 6= 1 0 1 −h 1−h ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A = 2 h − 3 2 e B = h + 1 . Si dica h+3 1 h −h per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B è compatibile. risposta: (pt. 12) h 6= 1 ESERCIZIO 5. In R3 si determinino: 1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A = risposta: (pt. 3) L (((1, 0, −1))) 2. un complemento diretto di I. risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0))) 3 1 3 2 −3 2 ! 2 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria Algebra ed Elementi di Geometria 1o TEST intermedio - 5.11.2001 cognome nome corso di laurea matricola ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(1, 1, 0), (1, 2, 1), (2, 4, 2)] ⊆ R3 e si scriva, se è posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti. risposta: (pt. 2) v3 = 0v1 + 2v2 ( ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U = determinino: ( 1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) = 0 a a b 0 2 2 t ! ∈ M2 (R) |t ∈ R . Si ∈ M2 (R) |a, b ∈ R . 2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B = 3. le componenti in B di v = ) ) ! 0 1 1 2 ! 0 1 0 0 , 1 0 0 1 !! ! risposta: (pt. 3) (1, 2) ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S = (( 2 k − 2 k k − 1 ) , ( k k − 2 2 k − 1 )) ⊆ R1,4 . risposta: (pt. 3) k 6= 2 h 1 ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A = −2 h − 3 h h dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B 0 2(1 − h) 2 e B = h − 1 . Si 0 1 è compatibile. risposta: (pt. 12) h 6= −2 ESERCIZIO 5. In R3 si determinino: 1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A = risposta: (pt. 3) L (((5, 0, 2))) 2. un complemento diretto di I. risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0))) 2 1 −5 2 −3 −5 ! 3 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria Algebra ed Elementi di Geometria 1o TEST intermedio - 5.11.2001 cognome nome corso di laurea matricola ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(0, 1, 2), (3, 2, 0), (0, 2, 4)] ⊆ R3 e si scriva, se è posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti. risposta: (pt. 2) v3 = 2v1 + 0v2 ( ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U = Si determinino: ( 1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) = a 0 a b −1 0 −1 t ! ∈ M2 (R) |t ∈ R . ∈ M2 (R) |a, b ∈ R . 2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B = 3. le componenti in B di v = ) ) ! 2 0 2 1 ! 1 0 0 0 , 1 0 0 1 !! ! risposta: (pt. 3) (2, 1) ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S = (( k k + 3 k + 4 −2 ) , ( −2 k + 3 k + 4 k )) ⊆ R1,4 . risposta: (pt. 3) k 6= −2 0 1 −(h + 1) −h ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A = 2 h − 2 2 e B = h + 2 . Si 1 1 h + 1 −(h + 1) dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B è compatibile. risposta: (pt. 12) ∀h ∈ R ESERCIZIO 5. In R3 si determinino: 1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A = risposta: (pt. 3) L (((4, 0, 1))) 2. un complemento diretto di I. risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0))) −1 1 4 2 −3 −8 ! 4 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria Algebra ed Elementi di Geometria 1o TEST intermedio - 5.11.2001 cognome nome corso di laurea matricola ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(2, 1, 0), (1, 2, 0), (4, 2, 0)] ⊆ R3 e si scriva, se è posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti. risposta: (pt. 2) v3 = 2v1 + 0v2 ( ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U = determinino: ( 1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) = 0 a b a 0 1 z 1 ! ∈ M2 (R) |z ∈ R . Si ∈ M2 (R) |a, b ∈ R . 2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B = 3. le componenti in B di v = ) ) ! 0 2 −1 2 ! 0 1 0 0 , 0 1 1 0 !! ! risposta: (pt. 3) (2, −1) ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S = (( −k k + 3 k −1 ) , ( k k + 3 −1 k )) ⊆ R1,4 . risposta: (pt. 3) ∀k ∈ R 1 0 ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A = h 2 h+2 1 dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B h+1 −h −2 e B = h . Si h+3 h+1 è compatibile. risposta: (pt. 12) h 6= 0 ESERCIZIO 5. In R3 si determinino: 1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A = risposta: (pt. 3) L (((0, 1, −3))) 2. un complemento diretto di I. risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0))) 0 3 1 2 6 2 ! 5 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria Algebra ed Elementi di Geometria 1o TEST intermedio - 5.11.2001 cognome nome corso di laurea matricola ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(1, 1, 0), (−1, −1, 0), (0, 2, 1)] ⊆ R3 e si scriva, se è posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti. risposta: (pt. 2) v1 = −v2 + 0v3 ( ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U = Si determinino: ( 1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) = a b b 0 x −1 −1 0 ! ∈ M2 (R) |x ∈ R . ∈ M2 (R) |a, b ∈ R . 2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B = 3. le componenti in B di v = ) ) ! −2 1 1 0 ! 1 0 0 1 , 0 0 1 0 !! ! risposta: (pt. 3) (−2, 1) ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S = (( k + 2 k − 1 k 1 ) , ( k + 2 k − 1 1 k )) ⊆ R1,4 . risposta: (pt. 3) k 6= 1 0 1 h−1 0 ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A = 2 −(h + 2) 2 e B = 2 − h . Si 1 0 1−h h−1 dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B è compatibile. risposta: (pt. 12) h 6= 0, 1 ESERCIZIO 5. In R3 si determinino: 1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A = risposta: (pt. 3) L (((0, 1, −3))) 2. un complemento diretto di I. risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 1, 0))) 1 9 3 2 −3 −1 ! 6 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria Algebra ed Elementi di Geometria 1o TEST intermedio - 5.11.2001 cognome nome corso di laurea matricola ESERCIZIO 1. Si consideri il sistema A = [(1, 0, 0), (0, 2, 2), (0, −1, −1)] ⊆ R3 e si scriva, se è posibile, uno dei suoi vettori come combinazione lineare dei rimanenti. risposta: (pt. 2) v2 = 0v1 − 2v3 ( ESERCIZIO 2. In M2 (R), si consideri il sottoinsieme U = Si determinino: ( 1. L(U ) risposta: (pt. 2) L(U ) = a 0 b b ! ) ∈ M2 (R) |x ∈ R . ∈ M2 (R) |a, b ∈ R . 2. una base B di L(U ) risposta: (pt. 2) B = 3. le componenti in B di v = ! ) ! 2 0 −1 −1 x 0 2 2 1 0 0 0 , 0 0 1 1 !! ! risposta: (pt. 3) (2, −1) ESERCIZIO 3. Si dica per quali valori del parametro reale k è libera la sequenza S = (( k − 1 k k 2 ) , ( k − 1 k 2 k )) ⊆ R1,4 . risposta: (pt. 3) k 6= 2 h − 1 −1 0 h ESERCIZIO 4. Si considerino le matrici A = 2 h + 2 2 e B = 2 − h . Si 1 h−1 h−1 1 dica per quali valori del parametro reale h il sistema AX = B è compatibile. 2 1 0 2 1 −2 ! risposta: (pt. 12) ∀h ∈ R ESERCIZIO 5. In R3 si determinino: 1. il sottospazio I delle soluzioni del sistema AX = 0 con A = risposta: (pt. 3) L (((−1, 2, 0))) 2. un complemento diretto di I. risposta: (pt. 3) L (((1, 0, 0), (0, 0, 1)))
