Lezione 8. Campo e potenziale elettrici

Lezione 8. Campo e potenziale
elettrici
Legge di Coulomb:
F =
1 q1 q2
4π²0 r2
Unitá di misura:
1
= 8.99 × 109 Nm2 /C2
4π²0
Campi elettrici
E = F/q1 ⇒ F = qE
Unitá di misura del campo elettrico:
[E] = N/C = V /m
Principio di sovrapposizione lineare:
FTot =
X
Fi
i
ETot =
X
Ei
i
Legge di Coulomb (19.1)
Due sferette conduttrici identiche sono poste in modo che i loro centri distino
0.3 m. Una possiede una carica di 12. nC e l’altra di -18 nC; (a) trovare
1
la forza elettrostatica esercitata da una sfera sull’altra. (b) le sfere sono
collegate con un filo conduttore. Dopo che si sono stabilite le consizioni di
equilibrio, trovare le forze su di esse.
Soluzione Trascuriamo l’estensione delle sfere e consideriamole come
punti materiali con raggio nullo. La forza con cui le due sferette si attraggono
(le cariche sono di segno opposto) ha modulo dato dalla legge di Coulomb:
|F | =
1 q1 q2
4π²0 r2
numericamente:
q1 = 12.0nC = 12 10−9 C
q2 = −18.0nC = −18 10−9 C
e dunque:
|F | = 8.99 × 0.3−2 × (−12 × 18)10−9−9+9 = 2.15 10−5 N
Quando le sfere vengono collegate, le cariche si equilibriano (le sfere sono
identiche!) e si ha: q10 = q20 = q 0 in modo che la carica totale si conservi
q1 + q2 = q10 + q20 , ossia:
2q 0 = 12 − 18 = −6nC
da cui
|F | =
1 (q 0 )2
= −8.9 × 10−7 N
4π²0 r2
Legge di Coulomb (19.4)
Nella teoria di Bohr dell’atomo di idrogeno, un elettrone si muove attorno ad
un protone su un orbita circolare di raggio 0.529 × 10−10 m; a) trovare la forza
elettro statica tra le due cariche. se questa forza serve come forza centripeta
sull’elettrone, qual’é la velocitá dell’elettrone?
Soluzione Ricordiamo che le cariche dell’elettrone e del protone sono
−e = qe− = −1.6 × 10−19 C
qp = e = +1.6 × 10−19 C
Come per l’esercizio precedente é facile scrivere:
|F | =
1 q1 q2
4π²0 r2
2
la forza é attrattiva (le cariche sono di segno opposto) e il suo modulo vale:
|F | = 8.99109 Nm2 /C2
1.62 × 10−2×19
0.5292 × 10−2×10
ossia:
82.24109−2×19+2×10 N = 8.210−8 N
la forza centripeta necessaria a mantenere un corpo di massa m su una
circonferenza di raggio R a velocitá v é data da:
Fc =
mv 2
= mac
R
Affinché la forza elettrostatica di 8.210−8 N bilanci la forza centrifuga deve
allora essere:
mv 2
8.210−8 N =
R
ricordando che la massa dell’elettrone é me− = 9.1 10−31 Kg si ha:
v2 =
0.529 × 8.2 10−10−8 mN
R8.210−8 N
=
= 4.7 1012 m/s2
m
9.1 10−31 Kg
ossia:
v = 2.18106 m/s ≈
c
100
Moto di una particella carica in un campo I ()
In un fascio di elettroni ciascuno di essi ha eneria cinetica 1.6×10−17 J. qual’é
il modulo e la direzione del campo elettrico che li fermerá in 10 cm?
Soluzione baionetta in canna: La velocitá iniziale si calcola facilmente; l’accellerazione necessaria per ridurre tale velociá nello spazio s é
data risolvendo:
0 = vf = vi + at
s = vi t + 1/2at2
ossia risolvendo:
s=−
vi2 vi2
v2
+
=− i
a
2a
2a
2
v
a=− i
2s
3
Soluzione alternativa: con il teorema dell’energia cinetica:
∆K = Kf − Ki = −Ki = −F s
ossia
F =
Ki
s
ma
E = F/q =
Ki
qs
numericamente:
E=
1.6 × 10−17 J
= 10−17+19+1 = 103 N/C = 103 V /m
1.6 × 10−19 0.1Cm
Moto di una particella carica in un campo I (19.10)
Una perlina carica positivamente di massa 1.0 g cade da ferma, nel vuoto, da
una altezza di 5 m, un un campo elettrico uniforme, verticale di intensitá 104
N/C. la pallina colpisce il suolo con una velocitá di 21.0 m/s. determinare il
verso del campo e la carica della pallina.
Soluzione baionetta in canna: Il campo gravitazionale dá una accellerazione diretta verso il basso di −g; il campo elettrico dá una accellerazione
a=
F
qE
=
m
m
l’accelerazione totale (e uniforme) deve portare ad una velocitá finale di 21.0
m/s, nello spazio percorso di 5 m, quindi:
v2
qE
− = a = −g +
2s
m
da cui:
v2
qE
g−
=
2s
m
e infine:
q=
mg mv 2
−
E
2sE
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Differenza di potenziale:
∆V =
∆U
q0
∆U essendo la variazione di energia
potenziale:
Z
∆U =
F ds
per un capo elettrico uniforme:
∆U = Eq0 d ⇒ ∆V = Ed
Unitá di misura:
[∆V ] = N/Cm = J/C ≡ V(olt)
Moto di particelle cariche II (19.10)
Una perlina carica positivamente di massa 1.0 g cade da ferma, nel vuoto, da
un a altezza di 5 m, un un campo elettrico uniforme, verticale di intensitá 104
N/C. la pallina colpisce il suolo con una velocitá di 21.0 m/s. determinare il
verso del campo e la carica della pallina.
Soluzione alternativa: Scelto il livello di terra come zero del potenziale
elettrico l’energia potenziale elettrostatica all’altezza h é qEh L’energia totale
si conserva. L’energia all’inizio e’
UG + UE + Ki = mgh + qEh
l’energia alla fine é:
UG + UE + K f =
cosicché:
(mg + qE)h =
mv 2
2
mv 2
2
da cui possiamo trovare q:
mv 2
mg
q=
−
2hE
E
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Batteria (20.2)
quanto lavoro viene svolto (da una batteria, un generatore o qualche altra
sorgente di energia elettrica) per movere un numero di Avogadro di elettroni
da un punto in cui il potenziale é 9.0 V ad un altro dove il potenziale é -5.0
V?
Soluzione: Per definizione:
q0 ∆V = ∆U
essendo ∆U la differenza di energia potenziale e dunque il lavoro che bisogna
compiere. si ha:
q0 = −N0 e = 1.6 × 10−19 C × 6 × 1023 = 9.6 × 104 C
ed essendo la differenza di potenziale ∆V = −5.0V − 9.0V = −14.0V si ha,
ricordando che V=J/C:
∆U = −134.4104 J
Campo elettrico uniforme, condensatore piano (20.6)
La differenza di potenziale tra le due placche di un condensatore é 25000 V;
se le placche distano 1.5 cm, trovare il campo elettrico uniforme tra la due
placche.
Soluzione: essendo il campo uniforme, ∆V = E.d ne segue subito che
E = d−1 ∆V si ha subito:
E = 25/1.5 × 103 V/m = 16.6kV/m
Particelle cariche in un campo II ()
un elettrone che si muove parallelamente all’asse x con velocitá iniziale di
3.7 × 106 m/s ha velocitá 1.4 × 105 m/s quando raggiunge x = 2.0 cm.
Calcolare la differenza di potenziale tra l’origine e il punto a x = 2.0 cm;
quale punto ha il potenziale maggiore?
Soluzione: La variazione di energia cinetica dell’elettrone dá il lavoro
compiuto su di esso:
∆K =
m(vf2 − vi2 )
= −6.220 × 10−17 J
2
6
essendo la massa me = 9.1 × 10−31 Kg. poiché la particella rallenta la differenza di energia cinetica é negativa. l’energia totale si conserva, dunque:
Ki + Ui = Kf + Uf ⇒ ∆K = Kf − Ki = Ui − Uf = −DeltaU = −q0 ∆V
dalla definizione di potenziale. si ha quindi:
m(vf2 − vi2 )
= −q0 ∆V
2
e dunque
∆V =
−∆K
6.220 × 10−17
=−
= 388.75J
q0
1.6 × 10−19
(La variazione di eneregia cinetica e la carica sono negative) La variazione di
potenziale é negativa, quindi il punto
Vf − Vi < 0 ⇒ Vf < Vi
poiché la carica é negativa, aumenta l’energia potenziale (e quindi diminuisce
energia cinetica) nel verso del campo; poichè quindi il potenziale decresce nel
verso del campo il potenziale finale é minore.
Campo di tre cariche puntiformi (20.12)
Siano date tre cariche disposte come in figura P20.12. (due cariche di 2.0
µC a x = ±0.8m e una carica q nell’origine) a) quale é la forza risultante
su q esercitata dalle due cariche. b) quale é il campo generato due cariche?
c) qual’é il potenziale geenrato dalle due cariche nel punto dove é posta la
carica q?
Soluzione:
a) La forza é additiva. La forza che la carica destra esercita sul punto
d’origine é uguale e contraria a quella generata dalla carica sinistra. quindi
FT = 0
Piú dettagliatamente, per la carica destra,
|F1 | =
1 qQ
4π²0 d2
7
la direzione é repulsiva (cioé verso sinistra) se q > 0 e attrattiva viceversa.
La forza dovuta alla carica sinistra é, come detto uguale e contraria.
b) Il campo elettrico totale, per lo stesso motivo, é nullo; quello generato
dala carica destra é
1 Q
|E1 | =
4π²0 d2
con lo stesso verso del campo E1 .
c) Il potenziale é definito solo a meno di una costante additiva. Segliamo
sempre (a meno che non sia specificato) V = 0 a x = ∞. Si osservi che il
fatto che il campo é nullo non implica che il potenziale lo sia. implica solo
che la sua derivata sia nulla.
il potenziale dovuto alla carica destra é:
V1 =
1 Q
4π²0 d
quello dovuto alla carica sinistra,
V2 =
1 Q
4π²0 d
in totale:
V1 + V2 =
1 2Q
4π²0 d
Poiché Q = 2µC e d = 0.8m si ha:
V = 44.95 × 103 J/C
Campo di due cariche puntiformi ()
Una carica +q é posta nell’origine, mentre una carica −2q é posta nel punto
x = 2.0m. a) per quali valori finiti di x il campo elettrico é nullo? b) per
quali valori il potenziale elettrico é nullo?
Soluzione: in un punto x generico, la distanza dall’origine é proprio |x|,
mentre la distanza dal punto x = 2 é |2 − x| Il campo elettrico é dato da:
per x < 0 il campo dovuto alla carica positiva nell’origine é rivolto verso
la direzione negativa delle x. viceversa, il campo dovuto alla carica negativa
é qui rivolto verso le x positive.
il campo é nullo se:
ke q/x2 = ke 2q/(2 − x)2
8
ossia se:
2x2 = 4 − 4x + x2
che ha soluzione
√
x = −2 ± 2 2
ossia x = .8 o x = −4.8, di cui solo la seconda é accettabile. per 0 < x < 2
si ha che entrambi i campi sono rivolti verso le x positive, e non si annullano
a vicenda.
per x > 2 il campo docuto alla carica positiva é verso le x positive, l’altro
verso le x negative, quindi l’equazione da risolvere è ancora quella data sopra,
che non ha soluzioni in questo intervallo.
il potenziale dovuto alla carica positiva é sempre positivo, l’altro sempre
negativo, il potenziale totale é:
V = ke (q/|x| − 2q/|2 − x|)
il potenziale é nullo se:
ke q/|x| = ke 2q/|2 − x|
ossia se: x = 1 − x/2 ossia in
x = 2/3 ' .666
Energia potenziale (20.16)
Due cariche Q1 = 5nC e Q2 = −3nC distano 35. cm. qual’ l’energia potenziale della coppia? qual’ é il significato algebrico del segno della risposta?
qual’é ilpotenziale nel punto medio tra le due cariche?
Condensatori piani (tema d’esame)
Una particella ha massa m = 1 mg e carica q = 10−9 C. Essa è inserita in
un condensatore piano le cui piastre, disposte orizzontalmente, distano d =
1 cm e subisce l’effetto della gravità terrestre. Si determini la differenza di
potenziale da applicare ai capi del condensatore affinché la particella rimanga
sospesa in equilibrio.
Soluzione: m = 10−6 kg
Q = 10−9 C
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d = 10−2 m
mg = qE
E = Vd
V = mgd
= 98 V
q
Condensatori piani (tema d’esame)
Un condensatore piano ha facce di area A = 1 dm2 che sono separate da d =
0.1 mm di vuoto. Tale condensatore è collegato ad una batteria che gli applica
una differenza di potenziale ∆V = 10 V. Quanta carica è immagazzinata
sulle facce del condensatore? (Ricorda che la costante dielettrica del vuoto
è: ²0 = 8.85 × 10−12 C2 /(Nm2 ))
soluzione: Il condensatore piano ha capacità (attenti alle equivalenze!):
C = ²0
A
=
d
= 8.85 × 10−12 C2 /(Nm2 ) × 10−2 m−2 × 10+4 m =
= 8.8510−10 C2 /(Nm) = 8.8510−10 F
la carica è quindi:
Q = CV = 8.8510−10 F × 10 V = 8.8510−9 C
Condensatori piani (tema d’esame)
Una particella di massa m=10 g e carica q=+1 mC è posta tra due piastre
orizzontali e piane di un condensatore ed è soggetta alla gravità terrestre.
Le piastre distano tra loro d=1 cm. Calcolare la differenza di potenziale ∆V
che bisogna applicare al condensatore affiché la particella rimanga sospesa in
equilibrio, specificando quale delle due piastre ha potenziale maggiore.
soluzione: La particella rimane in equilibrio quando il suo peso mg è
uguale alla forza qE esercitata dal campo elettrico E = ∆V /d. Quindi
mg = q
∆V
d
da cui si ottiene, sostituendo i valori numerici,
∆V = 0.98 V
10
Essendo la carica positiva in equilibrio, deve essere respinta dalla piastra inferiore, che quindi sarà anch’essa positiva e dunque ad un potenziale maggiore
(di una quantità 0.98 V ) rispetto alla piastra superiore.
Energia immagazzinata da un condensatore
Un condensatore ha capacitá C = 0.3µF e sopporta tensioni di 10V ; Sapendo
che la massa di tale condensatore é 10 g, si calcoli a che altezza si puó
sollevarlo nel campo gravitazionale terrestre, utilizzando l’energia che puó
immagazzinare. soluzione:
1
EC = 0.3 × 10−6 × 102 = 0.1510−4 J
2
Eg = 10−2 × 9.8 × h
quindi:
h = 0.1510−4+1 = 0.1510−3 = 0.15mm
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