Serie 34: Elettrodinamica IX

FAM
Serie 34: Elettrodinamica IX
C. Ferrari
Esercizio 1 Legge di Faraday e legge di Lenz
Considera una spira come nella figura qui sotto
~
B
~n
C
S
1. Disegna la corrente indotta nella spira se il campo magnetico cresce/decresce
sulla superficie S sottesa dalla curva C. Giustifica la tua risposta.
2. Utilizzando la forma locale della seconda legge di Maxwell, ossia
~
~ = − ∂B
rot E
,
∂t
~ nella spira supdescrivi la densità di corrente indotta ~j dalla variazione di B
~
ponendo che ∂ B k ~n costante.
∂t
~
Indicazione: Per un campo vettoriale V~ ∈ C 2 (R3 ; R3 ) per il quale ∇ ∧ V~ = N
costante allora si ha
~ · ~n = 1 ΓC (V~ )
N
SC
e, se ∇ · V~ = 0, V~ è un campo vettoriale le cui linee di campo sono dei cerchi
come illustrato nella figura qui sotto1
~ = ∇ ∧ V~
N
V~
~ = r~j.
Utilizza pure la legge di Ohm E
1
Questo risultato può essere stabilito sfruttando la simmetria del problema e le coordinate
~ = (Er (r), Eθ (r), Ez (r)).
cilindriche, infatti si ha E
1
3. Verifica che il campo elettrico indotto genera una corrente in accordo con la
legge di Lenz.
Esercizio 2 Alcune proprietà utili
Dimostra che:
1. calcolando la divergenza sulla seconda equazione di Maxwell in forma locale si
~ = cost.
ottiene div B
Concludi che l’unica possibilità per la costante è di essere nulla e quindi la
terza legge di Maxwell resta immutata nel caso dei fenomeni dipendenti dal
tempo:
~ =0.
div B
2. il flusso magnetico attraverso la superficie sottesa da una curva C è indipendente dalla superficie SC scelta.
~ = 0 ed il teorema della divergenza.
Indicazione: Utilizza che div B
Esercizio 3 Induttanza
~ ed è quindi
Se una spira è percorsa da una corrente I, essa genera un campo B
possibile calcolare il flusso magnetico attraverso la spira stessa. Il flusso magnetico,
notato per semplicità Φ, è direttamente proporzionale alla corrente I:
Φ = LI
dove la costante di proporzionalità L è chiamata induttanza.
Se abbiamo N spire l’induttanza è definita da
L=
Φtot
NΦ1
=
.
I
I
Considera un solenoide, composto da N spire percorse da una corrente I, di lunghezza ℓ sufficientemente grande in modo da poter considerare in campo magnetico
al suo interno costante (vedi le serie precedenti per il valore), e di raggio r. Dimostra
che
L = µ0 n2 (πr 2 ℓ)
dove n = N/ℓ è il numero di spire per unità di lunghezza.
Osservazione: L’induttanza è un elemento classico che si trova nei circuiti elettrici.
In generale i possibili elementi sono:
• resistenza R,
• capacità C,
• induttanza L.
Per più dettagli vedi: Halliday, Resnick, Walker, Fondamenti di fisica. Elettromagnetismo, Zanichelli.
2
Esercizio 4 Potenziali scalare e vettoriale
Partendo dalle due leggi di Maxwell
~
∂t
~ = − ∂B
rot E
e
~ =0
div B
~ = rot A)
~
(=⇒ B
e supponendo i campi di classe C 2 (R3 × R; R3 ), dimostra che possiamo esprime i
~ eB
~ in termini dei potenziali scalare ϕ e vettoriale A
~ come
campi E
~
~ = −grad ϕ − ∂ A
E
~ = rot A
~.
B
∂t
Questa è l’espressione generale dei campi in termini dei potenziali.
Esercizio 5 Forza elettromotrice
1. Una piccola spira di area A è all’interno di un lungo solenoide il cui asse
coincide con quello della spira che conta n avvolgimenti per unità di lunghezza ed è percorso da una corrente I. Se I(t) = I0 sin(ωt), determina la forza
elettromotrice indotta nella spira.
2. Il flusso del campo magnetico attraverso la spira illustrata nell figura qui sotto
aumenta secondo la seguente relazione
~ = 6,0t2 + 7,0t
ΦS (B)
dove t è espresso in secondi ed il flusso in 10−3 Tm2 = 10−3 Wb ( Wb è l’unità
di misura del flusso chiamata weber.)
~
B
R
(a) Determina l’intnesità della forza elettromotrice indotta nella spira per
t = 2,0 s.
(b) Qual è la direzione della corrente indotta attraverso la resistenza R? Se
R = 8,5 Ω quanto vale l’intensità della corrente per t = 2,0 s?
3
Esercizio 6 Generatore di corrente alternata
Si consideri una bobina rettangolare formata da N spire di lunghezza a e larghezza
~ come
b, che viene fatta ruotare a frequenza ν in un campo magnetico uniforme B,
nella figura qui sotto.
11
00
00
11
00
11
00
11
0
001
11
0
1
0
1
0
1
b
y
z
R
x
a
contatti striscianti
1. Dimostra che nella spira viene indotta una forza elettromotrice pari a
E(t) = ωNabB sin ωt = E0 sin ωt
dove ω = 2πν.
2. Progetta una bobina che generi una forza elettromotrice di E0 = 311 V ruotando con una frequenza di 50 giri/s in un campo magnetico uniforme di
0,50 T.
3. Disegna la funzione I(t) nella resistenza R, supponendo valida la legge di Ohm.
4. Calcola il valore detto RMS della corrente indotta, definito da
s
Z
1 T 2
IRM S =
I (t) dt
T 0
dove T è il periodo.
5. Verifica che il valore RMS di E è dato da
E0
ERM S = √ .
2
Esercizio 7 Campo elettrico indotto
Considera un lungo solenoide di diametro 2R = 12,0 cm. Facendo scorrere nel solenoide una corrente I, al suo interno viene generato un campo magnetico uniforme di
intensità B = 30,0 mT. Diminuendo I, il campo magnetico diminuisce alla velocità
di 6,50 mT/s.
4
1. Disegna le linee di forza del campo elettrico indotto.
2. Determina l’intensità del campo elettrico indotto in funzione della distanza
dall’asse del solenoide (considera separatamente i casi r ≤ R e r > R).
3. Determina l’intensità del campo elettrico indotto ad una distanza di 2,20 cm
dall’asse del solenoide.
4. Qual è il valore dell’accelerazione istantanea a cui è sottoposto un protone
immobile posto ad una distanza 2,20 cm?
Esercizio 8 Correnti di Foucault
Consideriamo una placca conduttrice che si muove in un campo magnetico omogeneo
come illustrato nella figura qui sotto.
~
B
1. Spiega perché fino al momento in cui la placca non è completamente nel campo
magnetico nel conduttore si inducono delle correnti indotte.
2. È necessario fornire energia alla placca per mantenere la velocità costante?
Spiega.
Osservazione: Queste correnti indotte nei conduttori sono chiamate correnti di
Foucault o correnti parassite.
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