Lezione 13 - Statistica

Lezione 13
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
Lezione 13
v.c.
Esponenziale
Statistica
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Università degli studi di Cassino
A. Iodice ()
Lezione 13
Statistica
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Outline
Lezione 13
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
1
v.c. continue
2
v.c. Normale
3
v.c. Esponenziale
v.c.
Esponenziale
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Variabili casuali continue
Lezione 13
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Una variabile casuale X è continua se, per ogni valore x0 è
nota la probabilità che tale v.c. assuma valori in un intervallo
(x0 , x0 + dx). In particolare
P (x0 < X ≤ x0 + dx) = f (x0 )dx
Perchè sia ben specificata la v.c. continua deve soddisfare i
postulati di Kolmogorov, ovvero deve risultare che
Z +∞
f (x) ≥ 0, e che
f (x)dx = 1
−∞
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Variabili casuali continue
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A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
La probabilità associata ad un intervallo di valori di una v.c.
continua X è data dall’area al di sotto della funzione di densità
di probabilità, ovvero corrisponde all’integrale della funzione di
densità nell’intervallo considerato
v.c.
Esponenziale
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Variabili casuali continue
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A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Se la variabile casuale continua, la probabilità che X assuma
esattamente il valore x0 nulla. Risulta infatti
Z x0
P (x0 < X ≤ x0 )
f (x)dx = 0
x0
Per calcolare la probabilità che la v.c. X assuma valori
nell’intervallo (x1 , x2 )
Z x2
P (x1 < X ≤ x2 )
f (x)dx
x1
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Funzione di ripartizione per v.c. continue
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
La funzione di ripartizione F (x0 ) di una v.c. continua calcolata
nel punto x0 data da
Z x0
F (x0 ) = P (X ≤ x0 ) =
f (x)dx
−∞
Caratteristiche di F (x)
La funzione di ripartizione non decrescente e tale che
0 ≤ F (x) ≤ 1
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Variabili casuali continue generiche
Lezione 13
A. Iodice
Una partita di football dura 60 minuti ed è suddivisa in 4 quarti da 15 minuti. Le
sostituzioni dei giocatori sono illimitati. Si supponga che i minuti in cui un certo
giocatore è impiegato seguano la seguente funzione di densità di probabilità
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Qual’è la probabilità che il giocatore giochi terzo quarto in poi?
Qual’è la probabilità che il giocatore giochi i 20 minuti centrali della partita?
Qual’è la probabilità che il giocatore giochi i primi 40 minuti della partita?
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Variabili casuali continue generiche
Lezione 13
Qual’è la probabilità che il giocatore giochi dal terzo quarto in poi?
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
La probabilità cercata è P (X ≥ 30)
P (X ≥ 30) = P (30 ≤ X ≤ 45) + P (45 ≤ X ≤ 60)
= 15 × (0.02333) + 15 × (0.0167) = 0.35 + 0.25 = 0.6
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Variabili casuali continue generiche
Lezione 13
Qual’è la probabilità che il giocatore giochi i 20 minuti centrali della partita?
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
La probabilità cercata è P (20 ≤ X ≤ 40)
P (20 ≤ X ≤ 40) = P (20 ≤ X ≤ 30) + P (30 ≤ X ≤ 40)
= 10 × (0.0167) + 10 × (0.02333) = 0.0167 + 0.2333 = 0.4
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Variabili casuali continue generiche
Qual’è la probabilità che il giocatore giochi i primi 40 minuti della partita?
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
La probabilità cercata è P (X ≤ 40)
P (X ≤ 40) = P (0 ≤ X ≤ 15) + P (15 ≤ X ≤ 30) + P (30 ≤ X ≤ 40)
= 15 × (0.01) + 15 × (0.0167) + 10 × (0.02333) =
0.15 + 0.2505 + .23 = 0.6305
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Variabili casuali continue generiche
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v.c. continue
Alle 2 del pomeriggio uno studente comincia a studiare. Alle 6 del pomeriggio
uscirà di casa, ma fino ad allora studierà. Tenendo conto delle varie ed eventuali
distrazioni, prevede che l’intensità del suo studio sarà caratterizzato dalla
seguente funzione di densità di probabilità:
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Qual’è l’altezza della curva dopo 2 ore di studio?
Qual’è la probabilità che il tempo di studio superiore a 3 ore?
Qual’è la probabilità che il tempo di studio sia compreso tra 1 e 3 ore?
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Variabili casuali continue generiche
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Qual’è l’altezza della curva dopo 2 ore di studio?
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Per trovare l’altezza in corrispondenza della seconda ora di studio basta tener conto di due cose: la
formula per il calcolo dell’area del triangolo A = b×h
; l’area del triangolo è A = 1.
2
A=
A. Iodice ()
b×h
2
=1=
4×h
2
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da cui h =
A×2
b
= 2/4 = 0.5
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Variabili casuali continue generiche
Lezione 13
Qual’è la probabilità che il tempo di studio superiore a 3 ore?
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
L’area del rettangolo dato da C + A è data dal prodotto tra la base b = 1 e l’altezza h = 0.5 ottenuta in
precedenza. Essendo Area(C + A) = 0.5 × 1 = 0.5, essa coincide con Area(C + B) = 0.5 in
quanto corrisponde alla metà dell’area del triangolo (densità totale, uguale ad 1 per definizione). Ne
consegue che i triangoli rettangoli A e B sono uguali (hanno uguale area, uguale base (b = 1) ). Inoltre la
somma dei due cateti dei triangoli (in blu e verde) deve essere pari a 0.5: ciascuno di essi è dunque pari a
= 0.125 , da cui P (X > 3) = 0.125.
0.25. Quindi Area(A) = Area(B) = 1×0.25
2
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Variabili casuali continue generiche
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Qual’è la probabilità che il tempo di studio sia compreso tra 1 e 3 ore?
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Sulla base dei risultati ottenuti in precedenza, e data la simmetria della funzione di densità
considerata , P (X < 1) = P (X > 3). La probabilità cercata è dunque.
P (1 < X < 3) = 1 − [P (X < 1) + P (X > 3)] = 1 − [0.125 + 0.125] = 0.75
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Variabile casuale Normale
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v.c. continue
Una v.c. continua X una v.c. Normale o Gaussiana, di
parametri µ e σ 2 , se definita la funzione di densità
v.c. Normale
2
1 (x−µ)
1
f (x0 ) = √
e− 2 σ2
2πσ 2
v.c.
Esponenziale
con −∞ < x < +∞, X ∼ N (µ, σ 2 )
E’ possibile definire il valore atteso e la varianza della Normale
che corrispondono ai parametri della distribuzione, dal
momento che
E(X) = µ e V ar(X) = σ 2
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La v.c. Normale, µ = 10, σ = 5
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale, µ − σ < X < µ − σ
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale, µ − 2σ < X < µ − 2σ
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale, µ − 3σ < X < µ − 3σ
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale, variazione al variare dei parametri
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale, variazione al variare dei parametri
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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Variabile casuale Standardizzata
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Data la v.c. continua X distribuita come N (µ, σ 2 ), la
rappresenta la
standardizzazione di X, ovvero Z = X−µ
σ
Normale Standardizzata Z si distribuisce come N (0, 1), con
funzione di densità
z2
1
f (z) = √ e− 2 ; −∞ < z < +∞
2π
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La v.c. Normale standardizzata
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
In seguito ad uno studio interno di un istituto bancario è stato
rilevato che i tempi di attesa per le operazioni di sportello si
distribuiscono secondo una Normale con media pari a 20 e
varianza pari a 9. Qual’è la probabilità che il tempo di attesa...
superi i 25 minuti;
sia inferiore ai 16 minuti;
sia compreso tra 18 e 21 minuti.
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La v.c. Normale
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superi i 25 minuti;
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale
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v.c. continue
v.c. Normale
superi i 25 minuti;
v.c.
Esponenziale
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
z=
25 − 20
3
= 1.667
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
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La v.c. Normale
superi i 25 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
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z=
25 − 20
3
= 1.667
v.c. continue
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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La v.c. Normale
superi i 25 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
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A. Iodice
z=
25 − 20
3
= 1.667
v.c. continue
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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La v.c. Normale
Lezione 13
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
superi i 25 minuti;
v.c.
Esponenziale
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
z=
25 − 20
3
= 1.667
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
P (Z ≥ 1.66) = 1 − P (Z ≤ 1.66) = 1 − 0.95254 = 0.047
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La v.c. Normale
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sia inferiore a 16 minuti;
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale
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A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
sia inferiore a 16 minuti;
v.c.
Esponenziale
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
z=
16 − 20
3
= −1.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
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La v.c. Normale
sia inferiore a 16 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
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A. Iodice
z=
16 − 20
3
= −1.33
v.c. continue
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale
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A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
sia inferiore a 16 minuti;
v.c.
Esponenziale
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
z=
16 − 20
3
= −1.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
P (Z ≥ −1.33) = P (Z ≤ 1.33) = 0.90824
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La v.c. Normale
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sia compreso tra 18 e 21 minuti;
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v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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La v.c. Normale
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A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
sia compreso tra 18 e 21 minuti;
v.c.
Esponenziale
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
z1 =
18 − 20
3
= −0.66 e z1 =
21 − 20
3
= 0.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
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La v.c. Normale
sia compreso tra 18 e 21 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
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A. Iodice
z1 =
18 − 20
3
= −0.66 e z1 =
21 − 20
3
= 0.33
v.c. continue
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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30 / 48
La v.c. Normale
sia compreso tra 18 e 21 minuti;
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
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A. Iodice
z1 =
18 − 20
3
= −0.66 e z1 =
21 − 20
3
= 0.33
v.c. continue
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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La v.c. Normale
Lezione 13
A. Iodice
v.c. continue
sia compreso tra 18 e 21 minuti;
v.c. Normale
la prima operazione da fare è standardizzare il problema
v.c.
Esponenziale
z1 =
18 − 20
3
= −0.66 e z1 =
21 − 20
3
= 0.33
A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la
probabilità di interesse.
P (−0.66 ≤ Z ≤ 0.33) = P (Z ≤ 0.33) − P (Z ≤ −0.66) =
P (Z ≤ 0.33) − [1 − P (Z ≤ 0.66)] = 0.629 − (1 − .745) = 0.37
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La v.c. Normale
Lezione 13
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Si consideri una variabile casuale X distribuita secondo una
Normale con µ = 8 e σ = 3.
indicare i quartili della distribuzione;
indicare il 95o percentile;
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La v.c. Normale
Lezione 13
Primo quartile
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale
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Secondo quartile=mediana=media
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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33 / 48
La v.c. Normale
Lezione 13
Terzo quartile
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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34 / 48
La v.c. Normale
Lezione 13
indicare i quartili della distribuzione
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare i valori corrispondenti a
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Z0.25 Z0.5 Z0.75
v.c. continue
v.c. Normale
Essendo una distribuzione Normale, la mediana coincide con la media quindi Z0.5 = 0.Utilizzando
le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare i valori di Z restanti,
v.c.
Esponenziale
Quindi...
per la simmetria della curva Normale risulta essere inoltre
Z0.25 = −0.675. Per trovare i valori corrispondenti della
variabile casuale X si utilizza la formula inversa di
standardizzazione
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La v.c. Normale
indicare i quartili della distribuzione
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare i valori corrispondenti a
Lezione 13
A. Iodice
Z0.25 Z0.5 Z0.75
v.c. continue
Essendo una distribuzione Normale, la mediana coincide con la media quindi Z0.5 = 0.Utilizzando
le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare i valori di Z restanti,
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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Statistica
35 / 48
La v.c. Normale
indicare i quartili della distribuzione
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare i valori corrispondenti a
Lezione 13
A. Iodice
Z0.25 Z0.5 Z0.75
v.c. continue
Essendo una distribuzione Normale, la mediana coincide con la media quindi Z0.5 = 0.Utilizzando
le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare i valori di Z restanti,
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Quindi...
P (Z ≤ Z0.75 ) = 0.75 da cui Z0.75 = 0.67+0.68
= 0.675 per la
2
simmetria della curva Normale risulta essere inoltre
Z0.25 = −0.675. Per trovare i valori corrispondenti della
variabile casuale X si utilizza la formula inversa di
standardizzazione
X0.5 = 8
X0.25 = Z0.25 σ + µ = −0.675 × 3 + 8 = 5.975
X0.75 = Z0.75 σ + µ = 0.675 × 3 + 8 = 10.025
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La v.c. Normale
Lezione 13
indicare il 95o percentile
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale
indicare il 95o percentile
Lezione 13
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare il valore corrispondente a 0.95
A. Iodice
Ricorrendo alle tavole...
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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La v.c. Normale
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A. Iodice
v.c. continue
indicare il 95o percentile
v.c. Normale
Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare il valore corrispondente a 0.95
v.c.
Esponenziale
Quindi...
Z0.95 =
X
1.64+1.65
2
= 1.645 Per ottenere il valore della variabile
X0.95 = Z0.95 σ + µ = 1.645 × 3 + 8 = 12.935
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37 / 48
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Lezione 13
Sia X una variabile casuale distribuita secondo una Binomiale di parametri n = 25 e p = 0.6. E possibile
approssimare X con una v.c. continua Y ∼ N (µ∗ , σ 2∗ ) dove
µ∗ = n × p = 25 × 0.6 = 15
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σ 2∗ = n × p × (1 − p) = 25 × 0.6 × 0.4 = 6
√
σ ∗ = 6 = 2.45
v.c. continue
v.c. Normale
Si supponga di essere interessati a P (X ≤ 13).
v.c.
Esponenziale
calcolo Normale
Per utilizzare l’approssimazione normale è necessario
standardizzare il problema
calcolo Binomiale
P (X ≤ 13) =
13 X
25
x=0
= 0.267
x
x
× 0.6
X − µ∗
13 − 15
=
= −0.82 dunque,
σ∗
2.45
P (X ≤ 13) ≈ P (Y ≤ 13) = P (Z ≤ −0.82) = 0.206
Z =
Utilizzando il calcolo Binomiale si ha
× 0.4
25−x
=
Effettuando una correzione di continuità pari a 0.5
X + 0.5 − µ∗
13.5 − 15
=
= −0.61
σ∗
2.45
P (X ≤ 13) ≈ P (Y ≤ 13.5) = P (Z ≤ −0.61) = 0.271
Z =
Evidentemente 0.271 rappresenta un’approssimazione migliore di
0.267 rispetto a 0.206.
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38 / 48
Approssimazione della Binomiale alla Normale
Lezione 13
Probabilità calcolate con p.m.f. Binomiale e con al c.d.f. Normale: l’area in
A. Iodice
blue rappresenta la probabilità che si perderebbe approssimando senza
correzione della continuità: in particolare l’area vale 0.267 − 0.206=0.061
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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Statistica
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Approssimazione della Binomiale alla Normale
Lezione 13
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Si consideri l’esperimento consistente nel lancio di una moneta 120 volte. Trovare
la probabilità che esca testa
tra il 40% e il 60% dei lanci;
più dei
A. Iodice ()
5
8
del totale dei lanci.
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tra il 40% e il 60% dei lanci;
A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
A. Iodice ()
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Approssimazione della Binomiale alla Normale
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A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
tra il 40% e il 60% dei lanci;
È possibile determinare tale probabilità in due modi diversi. Il primo modo
consiste nell’utilizzare l’approssimazione della binomiale alla normale.
La v.c. numero di teste in 120 lanci si distribuisce come una binomiale di
parametri (n = 120, p = 12 ).
Il numero di successi corrispondenti al 40% del totale di 120 prove è 48, mentre il
60% corrisponde a 72.
correzione della continuità
La v.c. numero di teste è discreta,anche se approssimata da una v.c. continua. Si
è interessati alla probabilità che essa assuma valori compresi nell’interallo
[47.5, 72.5] al fine di includere nel calcolo gli estremi 48 e 72.
I parametri della normale cui si p
approssima la binomiale sono
µ = np = 120 × 12 = 60 e σ = np(1 − p) = 120 × 12 12 = 5.48.
Standardizzando i valori
z1 =
72.5 − 60
47.5 − 60
= −2.28 e z2 =
= 2.28
5.48
5.48
Dalla simmetria della normale, segue che
P (−2.28 <= X <= 2.28) = 2 × P (0 <= X <= 2.28) = 2 × 0.4887 = 0.9774.
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Approssimazione della Binomiale alla Normale
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A. Iodice
v.c. continue
Il secondo metodo consiste nel ricorrere alla distribuzione
delle proporzioni
q
p(1−p)
campionarie, la cui media è data da µp = p e σp =
.
q N
0.25
Rispetto ai dati del problema µp = p = 0.5 e σp =
= 0.0456.
120
Standardizzando il problema rispetto ai parametri della distribuzione campionaria
v.c. Normale
z1 =
v.c.
Esponenziale
0.4 − 0.5
0.6 − 0.5
= −2.19 e z2 =
= 2.19
0.0456
0.0456
La probabilità corrispondente è
P (−2.19 <= X <= 2.19) = 2 × P (0 <= X <= 2.19) = 2 × 0.4857 = 0.9714.
correzione di continuità
Il risultato non coincide con quanto ottenuto utilizzando l’approssimazione della
binomiale alla normale perchè la v.c. proporzione è una variabile discreta. Per
tenere conto di questo bisogna sottrarre (1/2N ) = 1/(2 × 120) = 0.00417 a 0.4
ed aggiungere la stessa quantità a 0.6. Pertanto gli estremi dell’intervallo di valori
standardizzati è
z1 =
0.4 − 0.00417 − 0.5
0.6 + 0.00417 − 0.5
= −2.28 e z2 =
= 2.28
0.0456
0.0456
Che porta alla coincidenza tra i risultati nei due metodi.
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Approssimazione della Binomiale alla Normale
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più di dei
A. Iodice
5
8
del totale dei lanci.
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
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Approssimazione della Binomiale alla Normale
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A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
più di dei
5
8
del totale dei lanci.
La proporzione corrispondente a 58 = 0.6250. Standardizzando il problema
tenendo conto del fatto che la proporzione è una variabile discreta si ottiene
z=
0.6250 − 0.00417 − 0.5
= 2.65
0.0456
La probabilità corrispondente è P (z >= 2.65) = 1 − P (z < 2.65)=1-0.996=0.004
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Variabile Casuale Esponenziale
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A. Iodice
La Variabile Casuale Esponenziale (Negativa) modellizza il tempo di attesa prima
del verificarsi di un determinato evento. In particolare sia X il tempo di attesa
f (X) = λe−λx se x ≥ 0; f (X) = 0 altrimenti.
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
in cui il parametro della distribuzione λ rappresenta il reciproco del tempo medio
del verificarsi dell’evento considerato.
La funzione di ripartizione è F (X) = 1 − e−λx
E(X) =
1
λ
V ar(X) =
1
λ2
Proprietà di assenza di memoria
P (X > t + s | X > t) = P (X > s)∀s, t ≥ 0
In sostanza l’andamento esponenziale presuppone che se una lampadina ha
funzionato per un certo tempo t, la probabilità che essa funzioni per un ulteriore
tempo s non dipende dal tempo precedente di funzionamento.
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Variabile Casuale Esponenziale (Negativa)
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A. Iodice
v.c. continue
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
Il responsabile dell’illuminazione di un palazzo ha a disposizione 3 lampadine di
riserva. Ciascuna delle lampadine utilizzate dura in media 200 ore e il
responsabile deve aspettare 24 ore perchè gli vengano consegnate nuove
lampadine di riserva. In altre parole, se si fulminano pi˘ di tre lampadine entro le
24 ore, il responsabile non sarà in grado di sostituirle.
Qual’è la probabilità che il responsabile non sia in grado di sostituire le
eventuali lampadine fulminate.
Svolgimento.
Si consideri di ragionare in termini di centinaia di ore. Il tempo medio è dunque
pari a 2 (in centinaia di ore). Il parametro della distribuzione esponenziale è
dunque λ = 12 = 0.5.
Il problema sorge se 3 lampadine si fulminano entro le 24h (ovvero 0.24 in
centinaia di ore).
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Variabile Casuale Esponenziale (Negativa)
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A. Iodice
v.c. continue
La probabilità che il tempo di rottura di una singola lampadina nelle 24h
P (X ≤ 0.24) si calcola facendo ricorso alla funzione di ripartizione esponenziale
v.c. Normale
v.c.
Esponenziale
F (0.24) = P (X ≤ 0.24) = 1 − e−λ×x = 1 − e−0.5×0.24 = 1 − 0.887 = 0.113
Poichè la rottura di ciascuna lampadina è indipendente da quella delle altre, la
probabilità della simultanea rottura di 3 lampadine è uguale al prodotto delle
singole probabilità.
P (X1 ≤ 0.24 ∩ X2 ≤ 0.24 ∩ X3 ≤ 0.24) =
= P (X1 ≤ 0.24) × P (X2 ≤ 0.24) × P (X3 ≤ 0.24) =
= 0.113 × 0.113 × 0.113 = 0.0014
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