Lezione 13 - Statistica
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Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale Lezione 13 v.c. Esponenziale Statistica Alfonso Iodice D’Enza [email protected] Università degli studi di Cassino A. Iodice () Lezione 13 Statistica 1 / 48 Outline Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale 1 v.c. continue 2 v.c. Normale 3 v.c. Esponenziale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 2 / 48 Variabili casuali continue Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale Una variabile casuale X è continua se, per ogni valore x0 è nota la probabilità che tale v.c. assuma valori in un intervallo (x0 , x0 + dx). In particolare P (x0 < X ≤ x0 + dx) = f (x0 )dx Perchè sia ben specificata la v.c. continua deve soddisfare i postulati di Kolmogorov, ovvero deve risultare che Z +∞ f (x) ≥ 0, e che f (x)dx = 1 −∞ A. Iodice () Lezione 13 Statistica 3 / 48 Variabili casuali continue Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale La probabilità associata ad un intervallo di valori di una v.c. continua X è data dall’area al di sotto della funzione di densità di probabilità, ovvero corrisponde all’integrale della funzione di densità nell’intervallo considerato v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 4 / 48 Variabili casuali continue Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale Se la variabile casuale continua, la probabilità che X assuma esattamente il valore x0 nulla. Risulta infatti Z x0 P (x0 < X ≤ x0 ) f (x)dx = 0 x0 Per calcolare la probabilità che la v.c. X assuma valori nell’intervallo (x1 , x2 ) Z x2 P (x1 < X ≤ x2 ) f (x)dx x1 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 5 / 48 Funzione di ripartizione per v.c. continue Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale La funzione di ripartizione F (x0 ) di una v.c. continua calcolata nel punto x0 data da Z x0 F (x0 ) = P (X ≤ x0 ) = f (x)dx −∞ Caratteristiche di F (x) La funzione di ripartizione non decrescente e tale che 0 ≤ F (x) ≤ 1 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 6 / 48 Variabili casuali continue generiche Lezione 13 A. Iodice Una partita di football dura 60 minuti ed è suddivisa in 4 quarti da 15 minuti. Le sostituzioni dei giocatori sono illimitati. Si supponga che i minuti in cui un certo giocatore è impiegato seguano la seguente funzione di densità di probabilità v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale Qual’è la probabilità che il giocatore giochi terzo quarto in poi? Qual’è la probabilità che il giocatore giochi i 20 minuti centrali della partita? Qual’è la probabilità che il giocatore giochi i primi 40 minuti della partita? A. Iodice () Lezione 13 Statistica 7 / 48 Variabili casuali continue generiche Lezione 13 Qual’è la probabilità che il giocatore giochi dal terzo quarto in poi? A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale La probabilità cercata è P (X ≥ 30) P (X ≥ 30) = P (30 ≤ X ≤ 45) + P (45 ≤ X ≤ 60) = 15 × (0.02333) + 15 × (0.0167) = 0.35 + 0.25 = 0.6 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 8 / 48 Variabili casuali continue generiche Lezione 13 Qual’è la probabilità che il giocatore giochi i 20 minuti centrali della partita? A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale La probabilità cercata è P (20 ≤ X ≤ 40) P (20 ≤ X ≤ 40) = P (20 ≤ X ≤ 30) + P (30 ≤ X ≤ 40) = 10 × (0.0167) + 10 × (0.02333) = 0.0167 + 0.2333 = 0.4 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 9 / 48 Variabili casuali continue generiche Qual’è la probabilità che il giocatore giochi i primi 40 minuti della partita? Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale La probabilità cercata è P (X ≤ 40) P (X ≤ 40) = P (0 ≤ X ≤ 15) + P (15 ≤ X ≤ 30) + P (30 ≤ X ≤ 40) = 15 × (0.01) + 15 × (0.0167) + 10 × (0.02333) = 0.15 + 0.2505 + .23 = 0.6305 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 10 / 48 Variabili casuali continue generiche Lezione 13 A. Iodice v.c. continue Alle 2 del pomeriggio uno studente comincia a studiare. Alle 6 del pomeriggio uscirà di casa, ma fino ad allora studierà. Tenendo conto delle varie ed eventuali distrazioni, prevede che l’intensità del suo studio sarà caratterizzato dalla seguente funzione di densità di probabilità: v.c. Normale v.c. Esponenziale Qual’è l’altezza della curva dopo 2 ore di studio? Qual’è la probabilità che il tempo di studio superiore a 3 ore? Qual’è la probabilità che il tempo di studio sia compreso tra 1 e 3 ore? A. Iodice () Lezione 13 Statistica 11 / 48 Variabili casuali continue generiche Lezione 13 Qual’è l’altezza della curva dopo 2 ore di studio? A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale Per trovare l’altezza in corrispondenza della seconda ora di studio basta tener conto di due cose: la formula per il calcolo dell’area del triangolo A = b×h ; l’area del triangolo è A = 1. 2 A= A. Iodice () b×h 2 =1= 4×h 2 Lezione 13 da cui h = A×2 b = 2/4 = 0.5 Statistica 12 / 48 Variabili casuali continue generiche Lezione 13 Qual’è la probabilità che il tempo di studio superiore a 3 ore? A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale L’area del rettangolo dato da C + A è data dal prodotto tra la base b = 1 e l’altezza h = 0.5 ottenuta in precedenza. Essendo Area(C + A) = 0.5 × 1 = 0.5, essa coincide con Area(C + B) = 0.5 in quanto corrisponde alla metà dell’area del triangolo (densità totale, uguale ad 1 per definizione). Ne consegue che i triangoli rettangoli A e B sono uguali (hanno uguale area, uguale base (b = 1) ). Inoltre la somma dei due cateti dei triangoli (in blu e verde) deve essere pari a 0.5: ciascuno di essi è dunque pari a = 0.125 , da cui P (X > 3) = 0.125. 0.25. Quindi Area(A) = Area(B) = 1×0.25 2 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 13 / 48 Variabili casuali continue generiche Lezione 13 Qual’è la probabilità che il tempo di studio sia compreso tra 1 e 3 ore? A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale Sulla base dei risultati ottenuti in precedenza, e data la simmetria della funzione di densità considerata , P (X < 1) = P (X > 3). La probabilità cercata è dunque. P (1 < X < 3) = 1 − [P (X < 1) + P (X > 3)] = 1 − [0.125 + 0.125] = 0.75 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 14 / 48 Variabile casuale Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue Una v.c. continua X una v.c. Normale o Gaussiana, di parametri µ e σ 2 , se definita la funzione di densità v.c. Normale 2 1 (x−µ) 1 f (x0 ) = √ e− 2 σ2 2πσ 2 v.c. Esponenziale con −∞ < x < +∞, X ∼ N (µ, σ 2 ) E’ possibile definire il valore atteso e la varianza della Normale che corrispondono ai parametri della distribuzione, dal momento che E(X) = µ e V ar(X) = σ 2 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 15 / 48 La v.c. Normale, µ = 10, σ = 5 Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 16 / 48 La v.c. Normale, µ − σ < X < µ − σ Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 17 / 48 La v.c. Normale, µ − 2σ < X < µ − 2σ Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 18 / 48 La v.c. Normale, µ − 3σ < X < µ − 3σ Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 19 / 48 La v.c. Normale, variazione al variare dei parametri Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 20 / 48 La v.c. Normale, variazione al variare dei parametri Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 21 / 48 Variabile casuale Standardizzata Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale Data la v.c. continua X distribuita come N (µ, σ 2 ), la rappresenta la standardizzazione di X, ovvero Z = X−µ σ Normale Standardizzata Z si distribuisce come N (0, 1), con funzione di densità z2 1 f (z) = √ e− 2 ; −∞ < z < +∞ 2π A. Iodice () Lezione 13 Statistica 22 / 48 La v.c. Normale standardizzata Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 23 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale In seguito ad uno studio interno di un istituto bancario è stato rilevato che i tempi di attesa per le operazioni di sportello si distribuiscono secondo una Normale con media pari a 20 e varianza pari a 9. Qual’è la probabilità che il tempo di attesa... superi i 25 minuti; sia inferiore ai 16 minuti; sia compreso tra 18 e 21 minuti. A. Iodice () Lezione 13 Statistica 24 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 superi i 25 minuti; A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 25 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale superi i 25 minuti; v.c. Esponenziale la prima operazione da fare è standardizzare il problema z= 25 − 20 3 = 1.667 A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. A. Iodice () Lezione 13 Statistica 26 / 48 La v.c. Normale superi i 25 minuti; la prima operazione da fare è standardizzare il problema Lezione 13 A. Iodice z= 25 − 20 3 = 1.667 v.c. continue A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 26 / 48 La v.c. Normale superi i 25 minuti; la prima operazione da fare è standardizzare il problema Lezione 13 A. Iodice z= 25 − 20 3 = 1.667 v.c. continue A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 26 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale superi i 25 minuti; v.c. Esponenziale la prima operazione da fare è standardizzare il problema z= 25 − 20 3 = 1.667 A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. P (Z ≥ 1.66) = 1 − P (Z ≤ 1.66) = 1 − 0.95254 = 0.047 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 26 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 sia inferiore a 16 minuti; A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 27 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale sia inferiore a 16 minuti; v.c. Esponenziale la prima operazione da fare è standardizzare il problema z= 16 − 20 3 = −1.33 A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. A. Iodice () Lezione 13 Statistica 28 / 48 La v.c. Normale sia inferiore a 16 minuti; la prima operazione da fare è standardizzare il problema Lezione 13 A. Iodice z= 16 − 20 3 = −1.33 v.c. continue A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 28 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale sia inferiore a 16 minuti; v.c. Esponenziale la prima operazione da fare è standardizzare il problema z= 16 − 20 3 = −1.33 A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. P (Z ≥ −1.33) = P (Z ≤ 1.33) = 0.90824 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 28 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 sia compreso tra 18 e 21 minuti; A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 29 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale sia compreso tra 18 e 21 minuti; v.c. Esponenziale la prima operazione da fare è standardizzare il problema z1 = 18 − 20 3 = −0.66 e z1 = 21 − 20 3 = 0.33 A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. A. Iodice () Lezione 13 Statistica 30 / 48 La v.c. Normale sia compreso tra 18 e 21 minuti; la prima operazione da fare è standardizzare il problema Lezione 13 A. Iodice z1 = 18 − 20 3 = −0.66 e z1 = 21 − 20 3 = 0.33 v.c. continue A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 30 / 48 La v.c. Normale sia compreso tra 18 e 21 minuti; la prima operazione da fare è standardizzare il problema Lezione 13 A. Iodice z1 = 18 − 20 3 = −0.66 e z1 = 21 − 20 3 = 0.33 v.c. continue A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 30 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue sia compreso tra 18 e 21 minuti; v.c. Normale la prima operazione da fare è standardizzare il problema v.c. Esponenziale z1 = 18 − 20 3 = −0.66 e z1 = 21 − 20 3 = 0.33 A questo punto è possibile utilizzare le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare la probabilità di interesse. P (−0.66 ≤ Z ≤ 0.33) = P (Z ≤ 0.33) − P (Z ≤ −0.66) = P (Z ≤ 0.33) − [1 − P (Z ≤ 0.66)] = 0.629 − (1 − .745) = 0.37 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 30 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale Si consideri una variabile casuale X distribuita secondo una Normale con µ = 8 e σ = 3. indicare i quartili della distribuzione; indicare il 95o percentile; A. Iodice () Lezione 13 Statistica 31 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 Primo quartile A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 32 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 Secondo quartile=mediana=media A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 33 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 Terzo quartile A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 34 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 indicare i quartili della distribuzione Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare i valori corrispondenti a A. Iodice Z0.25 Z0.5 Z0.75 v.c. continue v.c. Normale Essendo una distribuzione Normale, la mediana coincide con la media quindi Z0.5 = 0.Utilizzando le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare i valori di Z restanti, v.c. Esponenziale Quindi... per la simmetria della curva Normale risulta essere inoltre Z0.25 = −0.675. Per trovare i valori corrispondenti della variabile casuale X si utilizza la formula inversa di standardizzazione A. Iodice () Lezione 13 Statistica 35 / 48 La v.c. Normale indicare i quartili della distribuzione Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare i valori corrispondenti a Lezione 13 A. Iodice Z0.25 Z0.5 Z0.75 v.c. continue Essendo una distribuzione Normale, la mediana coincide con la media quindi Z0.5 = 0.Utilizzando le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare i valori di Z restanti, v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 35 / 48 La v.c. Normale indicare i quartili della distribuzione Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare i valori corrispondenti a Lezione 13 A. Iodice Z0.25 Z0.5 Z0.75 v.c. continue Essendo una distribuzione Normale, la mediana coincide con la media quindi Z0.5 = 0.Utilizzando le tavole della distribuzione normale stardizzata per trovare i valori di Z restanti, v.c. Normale v.c. Esponenziale Quindi... P (Z ≤ Z0.75 ) = 0.75 da cui Z0.75 = 0.67+0.68 = 0.675 per la 2 simmetria della curva Normale risulta essere inoltre Z0.25 = −0.675. Per trovare i valori corrispondenti della variabile casuale X si utilizza la formula inversa di standardizzazione X0.5 = 8 X0.25 = Z0.25 σ + µ = −0.675 × 3 + 8 = 5.975 X0.75 = Z0.75 σ + µ = 0.675 × 3 + 8 = 10.025 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 35 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 indicare il 95o percentile A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 36 / 48 La v.c. Normale indicare il 95o percentile Lezione 13 Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare il valore corrispondente a 0.95 A. Iodice Ricorrendo alle tavole... v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 37 / 48 La v.c. Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue indicare il 95o percentile v.c. Normale Con l’aiuto delle tavole è necessario trovare il valore corrispondente a 0.95 v.c. Esponenziale Quindi... Z0.95 = X 1.64+1.65 2 = 1.645 Per ottenere il valore della variabile X0.95 = Z0.95 σ + µ = 1.645 × 3 + 8 = 12.935 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 37 / 48 Approssimazione della Binomiale alla Normale Lezione 13 Sia X una variabile casuale distribuita secondo una Binomiale di parametri n = 25 e p = 0.6. E possibile approssimare X con una v.c. continua Y ∼ N (µ∗ , σ 2∗ ) dove µ∗ = n × p = 25 × 0.6 = 15 A. Iodice σ 2∗ = n × p × (1 − p) = 25 × 0.6 × 0.4 = 6 √ σ ∗ = 6 = 2.45 v.c. continue v.c. Normale Si supponga di essere interessati a P (X ≤ 13). v.c. Esponenziale calcolo Normale Per utilizzare l’approssimazione normale è necessario standardizzare il problema calcolo Binomiale P (X ≤ 13) = 13 X 25 x=0 = 0.267 x x × 0.6 X − µ∗ 13 − 15 = = −0.82 dunque, σ∗ 2.45 P (X ≤ 13) ≈ P (Y ≤ 13) = P (Z ≤ −0.82) = 0.206 Z = Utilizzando il calcolo Binomiale si ha × 0.4 25−x = Effettuando una correzione di continuità pari a 0.5 X + 0.5 − µ∗ 13.5 − 15 = = −0.61 σ∗ 2.45 P (X ≤ 13) ≈ P (Y ≤ 13.5) = P (Z ≤ −0.61) = 0.271 Z = Evidentemente 0.271 rappresenta un’approssimazione migliore di 0.267 rispetto a 0.206. A. Iodice () Lezione 13 Statistica 38 / 48 Approssimazione della Binomiale alla Normale Lezione 13 Probabilità calcolate con p.m.f. Binomiale e con al c.d.f. Normale: l’area in A. Iodice blue rappresenta la probabilità che si perderebbe approssimando senza correzione della continuità: in particolare l’area vale 0.267 − 0.206=0.061 v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 39 / 48 Approssimazione della Binomiale alla Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale Si consideri l’esperimento consistente nel lancio di una moneta 120 volte. Trovare la probabilità che esca testa tra il 40% e il 60% dei lanci; più dei A. Iodice () 5 8 del totale dei lanci. Lezione 13 Statistica 40 / 48 Approssimazione della Binomiale alla Normale Lezione 13 tra il 40% e il 60% dei lanci; A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 41 / 48 Approssimazione della Binomiale alla Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale tra il 40% e il 60% dei lanci; È possibile determinare tale probabilità in due modi diversi. Il primo modo consiste nell’utilizzare l’approssimazione della binomiale alla normale. La v.c. numero di teste in 120 lanci si distribuisce come una binomiale di parametri (n = 120, p = 12 ). Il numero di successi corrispondenti al 40% del totale di 120 prove è 48, mentre il 60% corrisponde a 72. correzione della continuità La v.c. numero di teste è discreta,anche se approssimata da una v.c. continua. Si è interessati alla probabilità che essa assuma valori compresi nell’interallo [47.5, 72.5] al fine di includere nel calcolo gli estremi 48 e 72. I parametri della normale cui si p approssima la binomiale sono µ = np = 120 × 12 = 60 e σ = np(1 − p) = 120 × 12 12 = 5.48. Standardizzando i valori z1 = 72.5 − 60 47.5 − 60 = −2.28 e z2 = = 2.28 5.48 5.48 Dalla simmetria della normale, segue che P (−2.28 <= X <= 2.28) = 2 × P (0 <= X <= 2.28) = 2 × 0.4887 = 0.9774. A. Iodice () Lezione 13 Statistica 42 / 48 Approssimazione della Binomiale alla Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue Il secondo metodo consiste nel ricorrere alla distribuzione delle proporzioni q p(1−p) campionarie, la cui media è data da µp = p e σp = . q N 0.25 Rispetto ai dati del problema µp = p = 0.5 e σp = = 0.0456. 120 Standardizzando il problema rispetto ai parametri della distribuzione campionaria v.c. Normale z1 = v.c. Esponenziale 0.4 − 0.5 0.6 − 0.5 = −2.19 e z2 = = 2.19 0.0456 0.0456 La probabilità corrispondente è P (−2.19 <= X <= 2.19) = 2 × P (0 <= X <= 2.19) = 2 × 0.4857 = 0.9714. correzione di continuità Il risultato non coincide con quanto ottenuto utilizzando l’approssimazione della binomiale alla normale perchè la v.c. proporzione è una variabile discreta. Per tenere conto di questo bisogna sottrarre (1/2N ) = 1/(2 × 120) = 0.00417 a 0.4 ed aggiungere la stessa quantità a 0.6. Pertanto gli estremi dell’intervallo di valori standardizzati è z1 = 0.4 − 0.00417 − 0.5 0.6 + 0.00417 − 0.5 = −2.28 e z2 = = 2.28 0.0456 0.0456 Che porta alla coincidenza tra i risultati nei due metodi. A. Iodice () Lezione 13 Statistica 43 / 48 Approssimazione della Binomiale alla Normale Lezione 13 più di dei A. Iodice 5 8 del totale dei lanci. v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale A. Iodice () Lezione 13 Statistica 44 / 48 Approssimazione della Binomiale alla Normale Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale più di dei 5 8 del totale dei lanci. La proporzione corrispondente a 58 = 0.6250. Standardizzando il problema tenendo conto del fatto che la proporzione è una variabile discreta si ottiene z= 0.6250 − 0.00417 − 0.5 = 2.65 0.0456 La probabilità corrispondente è P (z >= 2.65) = 1 − P (z < 2.65)=1-0.996=0.004 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 45 / 48 Variabile Casuale Esponenziale Lezione 13 A. Iodice La Variabile Casuale Esponenziale (Negativa) modellizza il tempo di attesa prima del verificarsi di un determinato evento. In particolare sia X il tempo di attesa f (X) = λe−λx se x ≥ 0; f (X) = 0 altrimenti. v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale in cui il parametro della distribuzione λ rappresenta il reciproco del tempo medio del verificarsi dell’evento considerato. La funzione di ripartizione è F (X) = 1 − e−λx E(X) = 1 λ V ar(X) = 1 λ2 Proprietà di assenza di memoria P (X > t + s | X > t) = P (X > s)∀s, t ≥ 0 In sostanza l’andamento esponenziale presuppone che se una lampadina ha funzionato per un certo tempo t, la probabilità che essa funzioni per un ulteriore tempo s non dipende dal tempo precedente di funzionamento. A. Iodice () Lezione 13 Statistica 46 / 48 Variabile Casuale Esponenziale (Negativa) Lezione 13 A. Iodice v.c. continue v.c. Normale v.c. Esponenziale Il responsabile dell’illuminazione di un palazzo ha a disposizione 3 lampadine di riserva. Ciascuna delle lampadine utilizzate dura in media 200 ore e il responsabile deve aspettare 24 ore perchè gli vengano consegnate nuove lampadine di riserva. In altre parole, se si fulminano pi˘ di tre lampadine entro le 24 ore, il responsabile non sarà in grado di sostituirle. Qual’è la probabilità che il responsabile non sia in grado di sostituire le eventuali lampadine fulminate. Svolgimento. Si consideri di ragionare in termini di centinaia di ore. Il tempo medio è dunque pari a 2 (in centinaia di ore). Il parametro della distribuzione esponenziale è dunque λ = 12 = 0.5. Il problema sorge se 3 lampadine si fulminano entro le 24h (ovvero 0.24 in centinaia di ore). A. Iodice () Lezione 13 Statistica 47 / 48 Variabile Casuale Esponenziale (Negativa) Lezione 13 A. Iodice v.c. continue La probabilità che il tempo di rottura di una singola lampadina nelle 24h P (X ≤ 0.24) si calcola facendo ricorso alla funzione di ripartizione esponenziale v.c. Normale v.c. Esponenziale F (0.24) = P (X ≤ 0.24) = 1 − e−λ×x = 1 − e−0.5×0.24 = 1 − 0.887 = 0.113 Poichè la rottura di ciascuna lampadina è indipendente da quella delle altre, la probabilità della simultanea rottura di 3 lampadine è uguale al prodotto delle singole probabilità. P (X1 ≤ 0.24 ∩ X2 ≤ 0.24 ∩ X3 ≤ 0.24) = = P (X1 ≤ 0.24) × P (X2 ≤ 0.24) × P (X3 ≤ 0.24) = = 0.113 × 0.113 × 0.113 = 0.0014 A. Iodice () Lezione 13 Statistica 48 / 48
