L’insieme
dei numeri interi
LICEO MAZZINI - La Spezia a.s. 2010-11
Cos'è un numero?
• Pur avendo tutti operato fin dall'infanzia con diversi
tipi di numeri, pochi sono in grado di rispondere in
modo soddisfacente a questa domanda.
• Senza entrare nel vivo della questione noi ci limitiamo
ad affermare che il numero è un concetto astratto
generato dalla mente dell'uomo per risolvere dei
problemi concreti quali contare, ordinare, misurare,
ecc.
• Studieremo poi in queste pagine i vari insiemi numerici
in base alle operazioni in essi definite ed alle esigenze
di calcolo che essi risolvono.
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Quali sono i numeri naturali?
• I numeri naturali sono quelli che servono per contare e ci permettono di
dire quanti sono gli elementi di un insieme. Sono i primi numeri con i quali
hai imparato ad operare fin da bambino e sono anche i primi numeri che
l'uomo, dopo un lungo processo di astrazione, ha scoperto confrontando
tra di loro le cinque dita, le cinque pecore, i cinque sassolini ...., e
riuscendo infine a svincolare il numero di oggetti di un insieme dagli
oggetti stessi.
• "It must have required many ages to discover that a brace of pheasants
and a couple of days were in both instances the number two."
(Devono essere stati necessari molti secoli per scoprire che una coppia di
fagiani ed un paio di giorni sono entrambi espressioni del numero 2; il
grado di astrazione che questo comporta non è certo lieve. Anche la
scoperta che 1 è un numero deve essere stata difficile. Quanto allo 0 è una
recente conquista...) --Bertrand Russell
•
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N={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
N
3
1
4
2
0
'
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INFINITO
E' formato da un numero infinito di elementi. Infatti preso un
qualunque numero se ne può trovare uno maggiore: basta
aggiungere 1. (o un qualunque altro numero)
ORDINATO
Presi comunque due numeri naturali distinti si può sempre stabilire
quale è il maggiore e quale il minore
DISCRETO
Per ogni elemento esiste un precedente ed un successivo. E' escluso
lo zero che non possiede nessun precedente
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• ADDIZIONE
•MOLTIPLICAZIONE
•SOTTRAZIONE
•DIVISIONE
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Nell'insieme N sono sempre possibili
le operazioni di addizione e
moltiplicazione.
Diciamo cioè che le due operazioni
sono operazioni interne ad N o
che l'insieme N è chiuso rispetto a
queste operazioni.
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Questo non succede per le
operazioni di sottrazione e
di divisione
3 - 5=? non è un numero
naturale
12 : 5=? non è un
numero naturale
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Dati due numeri naturali la loro differenza è un
numero naturale se e solo se
il minuendo è maggiore od uguale al
sottraendo.
Esempio
5-3 = 2
Dati due numeri naturali il loro quoziente è un
numero naturale se e solo se
il dividendo è multiplo del divisore.
Esempio
15 : 3= 5
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Proprietà formali
commutativa
associativa
addizione
moltiplicazione
Cambiando l'ordine degli addendi la
somma non cambia a + b = b + a
Cambiando l'ordine dei fattori il
prodotto non cambia a . b = b . a
Nella somma di tre o più addendi non
ha importanza l'ordine con il quale si
eseguono le addizioni (a+b)+c
=a+(b+c)=a+b+c
Nel prodotto di tre o più fattori non ha
importanza l'ordine con il quale si
eseguono le moltiplicazione (a.b).c
=a.(b.c)=a.b.c
distributiva della
moltiplicazione rispetto
all'addizione
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Le due operazione sono dotate di elemento neutro:
0 per l'addizione,
1 per la moltiplicazione.
3 +0 = 3
3x1=3
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Proprietà
commutativa
associativa
invariantiva
sottrazione
divisione
Non vale
Non vale
Non vale
Non vale
La differenza non Il quoziente non
cambia se si
cambia se si
aggiunge o si
moltiplicano o si
toglie uno stesso dividono per uno
numero a
stesso
minuendo e
numero non nullo
sottraendo.
dividendo e
divisore.
13-5=(13+2)(5+2)=15-7=8
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24 : 6=(24:2) :
(6:2)=12:3=4
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Prima proprietà: prodotto di potenze di uguale base Il prodotto di due potenze
aventi la stessa base è una potenza che ha ancora la stessa base e che
ha come esponente la somma degli esponenti
anam=an+m
Seconda proprietà: quoziente di potenze di uguale base Il quoziente
di due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha ancora la
stessa base e che ha come esponente la differenza degli esponenti
an: am=an-m
Terza proprietà: potenza di una potenza La potenza di una potenza è
una potenza avente come esponente il prodotto degli esponenti:
(an)m=anm
Quarta proprietà: prodotto (o quoziente) di potenze con uguale
esponente Il prodotto di due potenze aventi la stesso esponente è una
potenza che ha per base il prodotto delle basi come esponente lo stesso
esponente
Il quoziente di due potenze aventi la stesso esponente è una potenza
che ha per base il quoziente delle basi come esponente lo stesso
esponente
anbn=(ab)n
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an: bn=(a:b)n
Due precise situazioni ci spingono ad ampliare l'insieme N:
una di carattere pratico, un'altra di carattere più teorico.
• I numeri naturali non sono adatti a risolvere gran parte
dei problemi: quando ad esempio misuriamo la
temperatura, il livello di un terreno sul mare, ecc...
abbiamo bisogno anche di numeri negativi.
•D'altra parte nell'insieme N non era possibile effettuare
la sottrazione tutte le volte che il minuendo era minore
del sottraendo.
Per superare questa situazione introduciamo allora un
nuovo insieme numerico attribuendo un segno (+ o - ) a
tutti i numeri dell'insieme N, escluso lo 0: otteniamo i
numeri interi relativi.
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Z={...,-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}
Z
-2
N
1
2
0
-1
3
-3
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Numeri concordi
numeri che hanno lo stesso segno
ad esempio i numeri +3, +5 sono concordi
Numeri discordi
numeri che hanno segno diverso
ad esempio i numeri -3, +5 sono discordi
Valore assoluto
il numero senza segno
ad esempio il valore assoluto di +5 è 5 e si scrive |+5|=5
il valore assoluto di -5 è 5 e si scrive |- 5|=5
Numeri opposti
numeri con lo stesso valore assoluto, ma con segno diverso
(cioè discordi). In termini operativi si possono definire
opposti due numeri la cui somma è 0
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