11. Teoria dei giochi e oligopolio - e-Learning

Teoria dei giochi
Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Principi di Economia I
11. Teoria dei giochi e oligopolio
Giuseppe Vittucci Marzetti1
Corso di laurea in Sociologia
Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale
Università degli Studi di Milano-Bicocca
A.A. 2013-14
1 Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Università degli Studi di Milano-Bicocca, Via
Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126, Milano, E-mail: [email protected]
Giuseppe Vittucci Marzetti
Principi di Economia I
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Teoria dei giochi
Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Layout
1
Teoria dei giochi
Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
2
Oligopolio
3
Modelli statici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
4
Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Cos’è la teoria dei giochi
Teoria dei giochi
Branca dell’economia che studia le scelte di soggetti razionali in contesti
strategici
Soggetto razionale è un agente in grado di:
valutare le conseguenze di ogni propria azione;
esprimere un sistema coerente di preferenze su tali conseguenze;
selezionare la scelta cui è associata la conseguenza preferita.
Un contesto di scelta è strategico quando le conseguenze di
un’azione per un soggetto dipendono, oltre che dalle sue scelte, ma
anche dalle scelte compiute da altri soggetti razionali.
Nascita della moderna teoria dei giochi comunemente fatta risalire al
1944, anno di pubblicazione del libro Theory of Games and
Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern.
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Definizione di gioco
Per caratterizzare un gioco necessario definire gli elementi del gioco:
giocatori (players);
strategie (strategies), ovvero possibili azioni di ogni giocatore;
guadagni/perdite (payoffs) di ogni giocatore in ogni combinazione
possibile di strategie (strategy profile).
In termini formali, un gioco generico Γ in forma normale è definito
come:
Γ = h N , {S1 , S2 , . . . , SN }, {u1 , u2 , . . . , uN } i
dove
N = {1, 2, . . . , N} è l’insieme dei giocatori;
Si (i ∈ N ) è l’insieme delle strategie del giocatore i;
ui (.) (i ∈ N ) è la payoff function del giocatore i, ovvero la funzione
che associa ad ogni possibile combinazione strategica (strategy
profile) il payoff del giocatore i, cioè un numero che misura il
guadagno del giocatore.
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Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Un classico esempio: il dilemma del prigioniero
Due giocatori: N = {A, B};
Strategie: SA = SB = {D, C };
Funzioni dei payoff:
uA (D, D) = −5, uA (D, C ) = 0, uA (C , D) = −7, uA (C , C ) = −1;
uB (D, D) = −5, uB (D, C ) = −7, uB (C , D) = 0, uB (C , C ) = −1;
B
A
D
D
−5,−5
C
0,−7
C
−7, 0
−1,−1
Tabella: Matrice dei payoff
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Modelli dinamici di oligopolio
Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Funzione di risposta ottima
Risposta ottima (best reply, o best response) di un giocatore:
strategia che massimizza il payoff del giocatore, date e costanti le
strategie degli altri giocatori.
Es.: la risposta ottima di A quando B non rispetta i patti (sB = D)
è non rispettare i patti (sA = D);
Di fatto, in questo caso D è strategia dominante: la risposta ottima
del giocatore qualunque sia la strategia dell’altro giocatore;
Funzione di risposta ottima (best reply function) del giocatore i:
funzione che, ad ogni combinazione strategica degli altri giocatori,
associa la risposta ottima di i:
bi (s−i ) = argmax ui (si , s−i )
si ∈Si
dove s−i indica le strategie giocate da tutti i giocatori escluso i;
Es.: la funzione di risposta ottima di A è bA (C ) = bA (D) = D.
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Modelli dinamici di oligopolio
Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Equilibrio di Nash
Equilibrio di Nash: profilo strategico (s) tale
che la strategia di ogni giocatore è una
risposta ottima alle strategie degli altri:
si∗ ∈ bi (s∗−i ),
∀i ∈N
Definizione equivalente:
ui (si∗ , s∗−i ) ≥ ui (si , s∗−i ), ∀ si ∈ Si , ∀ i ∈ N
In un equilibrio di Nash nessun giocatore ha
incentivo a deviare;
Nel dilemma del prigioniero l’unico equilibrio
di Nash è s∗ = (D, D).
John Forbes Nash Jr.
(1928)
Nobel Memorial Prize in
Economics 1994
Nel 1994 Nobel per le Scienze Economiche assegnato a J. Harsanyi, J. Nash e R.
Selten “per l’analisi pionieristica degli equilibri nella teoria dei giochi non cooperativi”.
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Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Giochi in forma estesa
Nei giochi in forma normale (strategic form) i giocatori agiscono
simultaneamente;
Nei giochi dinamici le scelte sono effettuate in un determinato
ordine temporale;
La rappresentazione dei giochi dinamici—in forma estesa (extensive
form)—utilizza una struttura ad albero:
ciascun vertice rappresenta un punto di decisione per un giocatore;
le ramificazioni sono le azioni che il giocatore può compiere;
a ciascun vertice finale è associato un vettore di payoff.
E
IN
I
F
F
-2,-2
A
E
A
F
-1,-2 -2,-1
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OUT
0,3
A
1,1
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Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Equilibri di Nash e minacce non credibili
La nozione di equilibrio di Nash non riesce ad escludere i casi di
minacce non credibili (non credible threats).
Esempio:
un’impresa (E ) deve decidere se entrare (IN) o non entrare (OUT )
in un mercato;
l’incumbent (I ) deve decidere se ingaggiare una guerra dei prezzi (F )
o non ingaggiarla (A);
due equilibri di Nash: (OUT ,F ) e (IN,A);
(OUT ,F ) contiene tuttavia una minaccia non credibile: una volta
che E è entrato ad I non conviene guerreggiare.
E
I
E
IN
F
-1,-1
A
1,1
OUT
0,2
0,2
IN
F
(-1,-1)
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OUT
I
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A
(0,2)
(1,1)
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Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
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Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
In base al principio di razionalità sequenziale,
la strategia di un giocatore dovrebbe
specificare risposte ottime ad ogni nodo
dell’albero.
Secondo la definizione di Selten, un equilibrio
di Nash è perfetto nei sottogiochi (Subgame
Perfect Nash equilibrium, SPNE) se le
strategie di equilibrio costituiscono un
equilibrio di Nash in ciascun sottogioco;
Sottogioco (subgame): parte del gioco in
forma estesa che inizia in un nodo (contenuto
in un insieme di informazione di cui è l’unico
elemento) e contiene tutti i nodi che seguono.
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Reinhard Selten (1930)
Nobel Memorial Prize in
Economics 1994
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Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
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Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Per eliminare gli equilibri di Nash non perfetti nei sottogiochi
possibile usare l’induzione a ritroso (backward induction):
1
2
3
vai agli ultimi nodi di decisione e seleziona le risposte ottime dei
giocatori cui spetta muovere in ciascuno di quei nodi;
vai in ciascuno dei nodi precedenti e seleziona la risposta ottima sulla
base delle strategie individuate nel passaggio 1;
continua il processo fino a giungere al nodo iniziale.
E
IN
OUT
I
F
-1,-1
A
0,2
1,1
Figura: Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi nel gioco di entrata
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Giochi e supergiochi
Supergioco
Sequenza di giochi giocati da uno stesso insieme di giocatori.
Supergiochi con dipendenza temporale
Supergioco in cui i payoff di ogni gioco costituente (stage game) in una
fase t dipendono dalla successione delle strategie giocate dai giocatori
nelle fasi precedenti.
Giochi ripetuti
Supergiochi in cui il gioco costituente è lo stesso in ogni fase.
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Dilemma del prigioniero ripetuto
In ciascuno di T periodi due giocatori (A e B) giocano un dilemma
del prigioniero come quello in tabella;
Giocatori impazienti scontano i payoff futuri ad un tasso δ
(0 < δ < 1);
Payoff di ogni giocatore dato dal flusso scontato dei payoff generati
in ciascun gioco costituente:
Gi = ui (s1,0 , s2,0 ) + δui (s1,1 , s2,1 ) + . . . + δ T ui (s1,T , s2,T )
=
T
X
δ t ui (s1,t , s2,t )
t=0
B
A
D
D
d,d
C
w ,l
C
l,w
c,c
Tabella: Matrice dei payoff (l < d < c < w )
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Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
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Giochi ripetuti e folk theorem
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Passare dal dilemma del prigioniero semplice a quello ripetuto fa
emergere possibili equilibri cooperativi (C , C ) nel gioco costituente;
Trigger strategy (strategia del grilletto) (Friedman, 1971): ogni
giocatore i ∈ N S
inizia giocando C ;
continua a giocare C fino a quando l’altro gioca C ;
gioca D per sempre in caso contrario.
La strategia del grilletto sostiene un equilibrio di Nash
P se,t per
ciascun giocatore, i guadagni della cooperazione ( ∞
t=0 δ c) sono
maggiori di quelli
della
defezione
e
conseguente
punizione
da parte
P∞
dell’altro (w + t=1 δ t d), cioè se:
!
∞
∞
X
X
c
δd
t
t
δd =
δ c− w+
−w −
≥0
1−δ
1−δ
t=1
t=0
δ≥
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w −c
w −d
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Folk theorem
In base ad una popolare versione debole del folk theorem, nei giochi
ripetuti, se gli agenti non sono troppo impazienti esistono sempre
profili strategici che in equilibrio supportano miglioramenti paretiani
rispetto ad equilibri di Nash statici, cioè relativi al gioco costituente,
subottimali;
Folk theorem (Friedman, 1971)
Sia s∗ un equilibrio statico con payoff u∗ . Per ogni vettore di payoff u
tale che ui ≥ ui∗ per tutti i giocatori i, esiste un δ̄ < 1 tale che, per ogni
δ > δ̄, c’è un equilibrio perfetto nei sottogiochi con payoff u.
Intuizione: con giocatori pazienti e gioco ripetuto per un numero
infinito di volte, qualsiasi guadagno finito di un periodo annullato da
una anche piccola perdita di utilità in ciascun periodo futuro.
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Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Giochi ripetuti un numero finito di volte e paradosso della
catena di vendita
In caso di dilemma del prigioniero ripetuto un numero finito di volte,
unico equilibrio di Nash quello di non cooperazione (dimostrazione
via backward induction):
Nell’ultimo periodo non ci sarà nessun vantaggio a non deviare
dall’equilibrio cooperativo;
Allora neanche nel periodo precedente potrà esserci qualche
vantaggio a non deviare;
...
Nel primo periodo non ci sarà nessun incentivo a deviare....
Proposizione dimostrata da Selten (1978) e anche nota come
paradosso della catena di vendita (chain store paradox).
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Modelli dinamici di oligopolio
Oligopolio
I mercati oligopolistici sono mercati in cui opera un numero limitato
di imprese che interagiscono tra loro in modo strategico;
Diversamente da quanto avviene per la concorrenza perfetta e il
monopolio, non esiste un unico modello di oligopolio;
I modelli di oligopolio si differenziano per:
modalità di interazione strategica tra le imprese:
competizione sulle quantità vs. competizione sui prezzi;
concorrenza simultanea vs. sequenziale.
omogeneità/eterogeneità dei beni offerti;
omogeneità/eterogeneità delle imprese presenti sul mercato.
Il duopolio è un oligopolio con due sole imprese.
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Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Modelli statici di oligopolio
Modelli di oligopolio statico più noti:
modello di Cournot: competizione sulle
quantità (quantity competition);
Antoine Augustin
Cournot
(1801-1877)
modello di Bertrand: competizione sui prezzi
(price competition).
Joseph Louis François
Bertrand
(1822-1900)
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Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Duopolio di Cournot
Due imprese (i = {1, 2}) competono per lo stesso mercato;
Funzione di domanda inversa lineare:
p(Q) = a − b Q = a − b (q1 + q2 )
con a e b parametri positivi.
Ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c) e sceglie la quantità
da produrre (qi ) per massimizzare i profitti:
πi (qi , qj ) = (p(Q) − c) qi = a − b (qi + qj ) − c qi
Condizioni del primo ordine:
∂πi (qi , qj )
= a − c − bqj − 2bqi = 0
∂qi
Funzione di risposta ottima (o di reazione) dell’impresa i:
qi∗ =
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qj
a−c
−
2b
2
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione algebrica
Equilibrio di Nash:
(
q1∗
q2∗
=
=
a−c
2b
a−c
2b
−
−
q2∗
2
q1∗
2
Quantità di equilibrio:
q1∗ = q2∗ =
a−c
3b
Output totale:
Q ∗ = q1∗ + q2∗ =
a−c
2(a − c)
>
= qm
3b
2b
Prezzo di equilibrio:
p∗ = a − b Q ∗ = a − b
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a + 2c
a+c
2(a − c)
=
<
= pm
3b
3
2
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione grafica
q2
a−c
b
Curva di reazione dell’impresa 1
a−c
2b
E
Curva di reazione dell’impresa 2
a−c
2b
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a−c
b
q1
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Duopolio di Cournot con imprese eterogenee
Due imprese (i = {1, 2}) competono per lo stesso mercato;
Funzione di domanda inversa lineare:
p(Q) = a − b Q = a − b (q1 + q2 )
L’impresa ha costi unitari costanti (ci ) e sceglie la quantità da
produrre (qi ) per massimizzare i profitti:
πi (qi , qj ) = (p(Q) − ci ) qi = a − b (qi + qj ) − ci qi
Condizioni del primo ordine:
∂πi
= a − ci − bqj − 2bqi = 0
∂qi
Funzione di reazione dell’impresa i:
qi∗ =
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qj
a − ci
−
2b
2
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nel duopolio di Cournot con imprese eterogenee:
soluzione algebrica
Equilibrio di Nash:
(
q1∗
q2∗
=
=
a−c1
2b
a−c2
2b
−
−
q2∗
2
q1∗
2
Quantità di equilibrio:
q1∗ =
a + c2 − 2c1
3b
q2∗ =
Output totale:
Q ∗ = q1∗ + q2∗ =
a + c1 − 2c2
3b
(1)
2a − c1 − c2
3b
Prezzo di equilibrio:
p∗ = a − b Q ∗ = a − b
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a + c1 + c2
2a − c1 − c2
=
3b
3
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nel duopolio di Cournot con imprese eterogenee:
soluzione grafica
c2 > c1
q2
a−c1
b
Curva di reazione dell’impresa 1
a−c1
2b
a−c2
2b
q2∗
E
E’
q1∗
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a−c1
2b
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Curva di reazione dell’impresa 2
a−c2
b
a−c1
b
q1
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Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nel duopolio di Cournot con imprese eterogenee
In equilibrio:
le imprese con costi più bassi (l’impresa 1 nel nostro esempio) hanno
quote di mercato e profitti maggiori;
l’output non soltanto è troppo basso, ma è anche prodotto in modo
inefficiente (in equilibrio l’output dovrebbe essere distribuito in modo
tale che i costi marginali in ciascuna impresa siano gli stessi).
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Oligopolio alla Cournot
N imprese (i = {1, 2, . . . , N}) competono per lo stesso mercato;
Funzione di domanda inversa lineare:
N
X
p(Q) = a − b Q = a − b
qi
i =1
Ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c) e sceglie la quantità
da produrre (qi ) per massimizzare i profitti:
!
N
X
πi (q1 , q2 , . . . , qN ) = (p(Q) − c) qi = a − b
qi − c qi
i =1
Condizioni del primo ordine e funzione di risposta ottima:
X
∂πi
=a−c −b
qj − 2bqi = 0
∂qi
j6=i
qi∗ =
1X
a−c
−
qj
2b
2
j6=i
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nell’oligopolio alla Cournot
Equilibrio di Nash:
a−c
1X ∗
q1∗ =
−
qj
2b
2
...
j6=1
qN∗ =
1X ∗
a−c
−
qj
2b
2
j6=N
Data la simmetria delle imprese, in equilibrio si ha:
N −1 ∗
a−c
−
q
q1∗ = . . . = qN∗ ⇒ q ∗ =
2b
2
a−c
q∗ =
(N + 1)b
Output totale:
Q∗ =
N
X
qi∗ = Nq ∗ =
i =1
Prezzo di equilibrio:
p∗ = a − b Q ∗ = a − b
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N a−c
N +1 b
a
N
N a−c
=
+
c
N +1 b
N +1 N +1
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Oligopolio
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Oligopolio alla Cournot con imprese eterogenee
N imprese (i = {1, 2, . . . , N}) competono per lo stesso mercato;
Funzione di domanda inversa lineare:
p(Q) = a − b Q = a − b
N
X
qi
i =1
L’impresa i ha costi unitari costanti (ci ) e sceglie la quantità da
produrre (qi ) per massimizzare i profitti:
!
N
X
πi (q1 , q2 , . . . , qN ) = (p(Q) − ci ) qi = a − b
qi − ci qi
i =1
Condizioni del primo ordine:
X
∂πi
=a−b
qj − 2bqi − ci = 0
∂qi
j6=i
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nell’oligopolio con imprese eterogenee
Equilibrio di Nash:
a−b
X
qj∗ − 2bqi∗ − ci
= 0
j6=i
X
qj∗ − bqi∗ − ci
= 0
a − b Q ∗ − bqi∗ − ci
= 0
a−b
j
∗
p −
bqi∗
− ci
= 0
Riarrangiando si ottiene:
p ∗ − ci
p ∗ − ci
p∗
∗
p − ci
p∗
Giuseppe Vittucci Marzetti
Principi di Economia I
=
=
=
b qi∗
b Q ∗ qi∗
p∗ Q ∗
b Q∗ ∗
s
p∗ i
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Teoria dei giochi
Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Potere e quota di mercato nell’oligopolio di Cournot con
imprese eterogenee
Funzione di domanda:
a−bQ
a
1
Q =
− p
b b
Elasticità con funzione di domanda lineare:
1 p
p
dQ p
=− −
=
ǫ=−
dp Q
b Q
bQ
p
=
Nell’equilibrio oligopolistico con imprese eterogenee abbiamo:
LIi =
Giuseppe Vittucci Marzetti
p ∗ − ci
p∗
=
si∗
b Q∗ ∗
si∗
=
s
=
∗
i
p
p∗
ǫ
b Q∗
LIi
=
si∗
ǫ
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30/52
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Concentrazione e potere di mercato nell’oligopolio di
Cournot con imprese eterogenee
Indice di Lerner dell’industria: media ponderata, sulla base delle
quote di mercato, degli indici di Lerner delle singole imprese
PN
N
N
∗
X
X
p ∗ − i =1 si∗ ci
p ∗ − c̄
∗
∗ p − ci
=
=
LI =
si LIi =
si
p∗
p∗
p∗
i =1
i =1
dove c̄ è il costo marginale medio (ponderato).
Ricordando che LIi = si∗ /ǫ si ha anche:
LI =
N
X
i =1
si∗ LIi =
N
X
i =1
N
si∗
1 X ∗2
HHI
si∗
=
si =
ǫ
ǫ
ǫ
i =1
dove HHI è l’indice di Herfindahl-Hirschman.
p ∗ − c̄
HHI
=
p∗
ǫ
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Concentrazione e potere di mercato in oligopolio
La generalizzazione del modello di Cournot:
fornisce supporto teorico alla relazione tra:
concentrazione di mercato (misurata dall’indice di
Herfindahl-Hirschman);
aumento dei prezzi al di sopra del costo marginale medio (indice di
Lerner dell’industria)
mostra come la relazione di proporzionalità inversa tra potere di
mercato ed elasticità al prezzo vale anche in contesti più generali.
HHI
p ∗ − c̄
=
p∗
ǫ
Evidenza empirica di correlazione positiva tra HHI e prezzo medio:
Marion, Mueller, Cotterill, Geithmann e Schmelzer (1979): analisi dei
mercati degli alimentari in 32 aree metropolitane degli Stati Uniti;
Marvel (1989): analisi del mercato della benzina al dettaglio in 22
città statunitensi.
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Duopolio di Bertrand
Due imprese (i = {1, 2}) competono nello stesso mercato;
Ciascuna impresa i fissa il suo prezzo (pi ) e ha costi medi unitari
costanti c;
Funzione di domanda lineare:
Q = A − B min(p1 , p2 )
con A e B parametri positivi.
Payoff dell’impresa i:

0
se

i
πi (pi , pj ) =
(pi − c) Q2 = (pi − c) A−Bp
se
2

(pi − c)Q = (pi − c)(A − Bpi ) se
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Principi di Economia I
pi > pj
pi = pj
pi < pj
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nel duopolio di Bertrand
Funzione di risposta ottima dell’impresa i:
pi∗
pi∗
pi∗
pi∗
=
=
≥
>
pm
pj − ǫ
pj
pj
se
se
se
se
pj > pm
c < pj ≤ pm
c = pj
c > pj
dove pm = A+Bc
2B è il prezzo di monopolio.
Unico equilibrio di Nash:
p1 = p2 = c
Quando le imprese competono sul prezzo e i beni sono
perfettamente omogenei, l’equilibrio nel duopolio coincide con quello
di concorrenza perfetta.
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Principi di Economia I
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Modello di Bertrand con beni differenziati
Due imprese (i = {1, 2}) offrono un prodotto differenziato;
Lo spazio di differenziazione dei prodotti è unidimensionale
(normalizzato a 1) e le due imprese (1 e 2) sono poste agli estremi
(rispettivamente, 0 e 1);
I consumatori hanno preferenze tali che:
i punti ideali nello spazio del prodotto sono distribuiti uniformemente;
il valore attribuito al prodotto si riduce linearmente (al tasso t)
all’aumentare della distanza dal punto ideale;
ciascuno dei consumatori attribuisce al suo prodotto ideale lo stesso
prezzo di riserva (V ).
Ci sono N consumatori e ciascuno acquista al massimo un’unità di
uno dei due prodotti;
Il consumatore localizzato in x:
se p2 + t(1 − x) > p1 + t x < V , acquista il bene 1;
se p1 + t x > p2 + t(1 − x) < V , acquista il bene 2;
se p1 + t x > V e p2 + t(1 − x) > V , non acquista niente.
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Rappresentazione grafica delle quote di mercato e del
consumatore marginale
V
p1
V
p1 + tx
p2 + t(1 − x)
0
Impresa 1
xm
p2
1
Impresa 2
p1 + tx m = p2 + t(1 − x m )
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Funzioni di domanda e di profitto
Localizzazione del consumatore marginale:
p1 + tx m = p2 + t(1 − x m ) ⇒ x m =
p2 − p1 + t
2t
Funzioni di domanda:
q1 (p1 , p2 ) =
xm N
q2 (p1 , p2 ) =
(1 − x m ) N
p2 − p1 + t
N
2t
p1 − p2 + t
N
=
2t
=
Funzioni di profitto:
p2 − p1 + t
N
2t
p1 − p2 + t
π2 (p1 , p2 ) = (p2 − c)q2 = (p2 − c)
N
2t
π1 (p1 , p2 ) = (p1 − c)q1 = (p1 − c)
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nel duopolio di Bertrand con beni differenziati
Condizioni del primo ordine e funzioni di reazione:
∂π1
c + p2 − 2p1 + t
c +t
1
=
N = 0 ⇒ p1∗ =
+ p2
∂p1
2t
2
2
c + p1 − 2p2 + t
c
+
t
1
∂π2
=
N = 0 ⇒ p2∗ =
+ p1
∂p2
2t
2
2
Equilibrio di Nash:
p1∗
p2∗
=
=
c+t
2
c+t
2
+ 12 p2∗
+ 12 p1∗
Prezzi e quantità di equilibrio:
p1∗ = p2∗ = c + t
N
2
tN
π1 = π2 =
2
q1∗ = q2∗ =
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Curve di reazione ed equilibrio di Nash nel duopolio di
Bertrand con beni differenziati
Curva di reazione dell’impresa 1
p2
Curva di reazione dell’impresa 2
p2∗
E
c+t
2
c+t
2
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p1∗
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p1
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Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Complementi strategici vs sostituti strategici
Modello di Cournot:
curve di risposta ottima inclinate negativamente;
strategie come sostituti strategici
(un aumento di qi genera come reazione una diminuzione di qj ).
Modello di Bertrand:
curve di risposta ottima inclinate positivamente;
strategie come complementi strategici
(un aumento di pi genera come reazione un aumento di pj ).
q2
Curva di reazione dell’impresa 1
a−c
b
p2
Curva di reazione dell’impresa 1
Curva di reazione dell’impresa 2
p2∗
E
a−c
2b
E
c+t
2
Curva di reazione dell’impresa 2
a−c
2b
a−c
b
q1
(a) Modello di Cournot
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Principi di Economia I
c+t
2
p1∗
p1
(b) Modello di Bertrand
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Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Sviluppando i contributi di Edgeworth (1897), Kreps & Scheinkman
(1983) analizzano il caso della competizione dei prezzi con vincoli di
capacità in un gioco a due stadi in cui, nel primo stadio, le imprese
decidono quanto investire in capacità produttiva;
Due imprese (i = {1, 2}) in un gioco a due stadi:
1
2
Nel primo stadio, le imprese decidono simultaneamente gli
investimenti in capacità produttiva (Ki ≤ K̄ = a/3b) a costi medi
unitari costanti c;
Nel secondo stadio, potendo osservare gli investimenti di entrambe,
le imprese scelgono il prezzo da praticare pi , fronteggiando una
domanda lineare:
1
a
Q= − p
b
b
stante il vincolo di capacità: qi ≤ Ki .
Giuseppe Vittucci Marzetti
Principi di Economia I
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Modello di Cournot
Modello di Bertrand
Competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva
Equilibrio nella competizione sui prezzi con vincoli di
capacità produttiva
É possibile mostrare che:
l’unico equilibrio di Nash nel secondo stadio è quello in cui, a
capacità produttive date, entrambe le imprese fissano lo stesso
prezzo, e questo prezzo è tale da esaurire la capacità produttiva di
entrambe senza generare eccessi di domanda:
p1∗ = p2∗ = b − a(K1 + K2 )
Nel primo stadio le imprese, anticipando correttamente il secondo
stadio, agiscono come nel duopolio di Cournot. L’unico equilibrio di
Nash nel primo stadio è:
K1∗ = K2∗ =
a−c
3b
Nel gioco a due stadi con concorrenza sul prezzo, ma investimenti
costosi in capacità produttiva, l’unico equilibrio di Nash perfetto nei
sottogiochi torna ad essere quello del modello di Cournot.
Giuseppe Vittucci Marzetti
Principi di Economia I
42/52
Teoria dei giochi
Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Nei modelli di Cournot e Bertrand le imprese agiscono
simultaneamente;
Spesso le imprese concorrenti compiono le loro azioni in modo
sequenziale;
La concorrenza sequenziale dà luogo a giochi dinamici,
rappresentabili in forma estesa, mediante cioè una rappresentazione
ad albero;
La nozione di equilibrio rilevante diventa quella di equilibrio di Nash
perfetto nei sottogiochi (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE).
Giuseppe Vittucci Marzetti
Principi di Economia I
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla
quantità
Caso analogo al duopolio di Cournot
analizzato in precedenza:
due imprese (i = {1, 2}) competono nello
stesso mercato;
domanda lineare:
p = a − b Q = a − b (q1 + q2 );
ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c)
e sceglie la quantità da produrre (qi ) per
massimizzare i profitti: πi = (p(Q) − c) qi ;
...eccetto che per il fatto che l’impresa 1
(leader ) muove prima dell’impresa 2
(follower ).
Heinrich Freiherr von
Stackelberg
(1905-1946)
Il gioco da statico diventa dinamico;
La concorrenza diventa sequenziale.
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Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Equilibrio nel modello di Stackelberg
Per l’impresa 2, che conosce e non può modificare la quantità
prodotta dall’impresa 1, la funzione di reazione è uguale al duopolio
di Cournot:
q1
a−c
−
q2∗ (q1 ) =
2b
2
L’impresa 1 invece muove per prima e può sfruttare l’informazione
sulla reazione dell’impresa 2;
Funzione di payoff dell’impresa 1:
a−c
b
π1 (q1 ) = a − b q1 + q2 (q1 ) − c q1 =
q1 − q12
2
2
Condizione del primo ordine:
dπ1
a−c
=
− bq1∗ = 0
dq1
2
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Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Equilibrio nel modello di Stackelberg
Quantità prodotte dalle imprese nell’equilibrio di Nash perfetto nei
sottogiochi:
Impresa 1 (leader)
q1∗ =
a−c
2b
Impresa 2 (follower):
q2∗ = q2∗ (q1∗ ) =
a−c
q∗
a−c
1 a − c a−c
=
− 1 =
−
2b
2
2b
2
2b
4b
Output totale:
Q ∗ = q1∗ + q2∗ =
a−c
a−c
3(a − c)
+
=
2b
4b
4b
1
q1
2
q2
π1 , π2
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Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Equilibrio nel modello di Stackelberg
Quantità prodotta (e utili) di
leader: maggiore rispetto a
follower:
∗
=
qS1
a−c
a−c
∗
>
= qS2
2b
4b
∗
=
qS1
a−c
a−c
>
= qC∗ 1
2b
3b
duopolio di Cournot:
Nota: anche gli utili sono maggiori (l’aumento della quantità offerta
più che compensa la diminuzione del prezzo).
follower: minori rispetto al duopolio di Cournot
∗
qS2
=
a−c
a−c
<
= qC∗ 2
4b
3b
Output totale in Stackelberg maggiore che in Cournot:
QS∗ =
Giuseppe Vittucci Marzetti
3(a − c)
2(a − c)
>
= QC∗
4b
3b
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Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Concorrenza sequenziale sui prezzi in caso di beni
perfettamente omogenei
Il passaggio dal gioco statico a quello dinamico non cambia
l’equilibrio nel caso del duopolio di Bertrand, laddove cioè:
le imprese competono sul prezzo;
il bene è perfettamente omogeneo.
In caso di costi identici, ad esempio, l’unico equilibrio di Nash
(perfetto nei sottogiochi) è ancora quello in cui ciascuna impresa
fissa un prezzo pari al costo marginale.
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Modelli statici di oligopolio
Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Concorrenza sequenziale sui prezzi in caso di beni
differenziati
Analogamente al duopolio di Bertrand con beni differenziati:
Due imprese (i = {1, 2}) offrono un prodotto differenziato;
Spazio di differenziazione dei prodotti unidimensionale (normalizzato
a 1) con le due imprese poste agli estremi (0 e 1);
Consumatori con preferenze tali che: (i) punti ideali nello spazio del
prodotto distribuiti uniformemente; (ii) valore attribuito al prodotto
si riduce linearmente (al tasso t) all’aumentare della distanza dal
punto ideale; (iii) ciascuno attribuisce al suo prodotto ideale lo stesso
prezzo di riserva (V ).
N consumatori e ciascuno acquista al massimo un’unità;
Il consumatore localizzato in x: (i) se p2 + t(1 − x) > p1 + t x < V ,
acquista il bene 1; (ii) se p1 + t x > p2 + t(1 − x) < V , acquista il
bene 2; (iii) se p1 + t x > V e p2 + t(1 − x) > V , non acquista.
...eccetto che per il fatto che l’impresa 1 (leader ) muove prima
dell’impresa 2 (follower ).
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Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Equilibrio nella concorrenza sequenziale sui prezzi con beni
differenziati
Per l’impresa 2, che conosce e non può modificare il prezzo scelto
dall’impresa 1, la funzione di reazione è uguale al duopolio di
Bertrand con beni differenziati:
p2∗ (p1 ) =
1
c +t
+ p1
2
2
L’impresa 1 invece muove per prima e può sfruttare l’informazione
sulla reazione dell’impresa 2;
Funzione di payoff dell’impresa 1:
π1 = (p1 −c)q1 = (p1 −c)
p2∗ (p1 ) − p1 + t
N
N=
(p1 −c)(c −p1 +3t)
2t
4t
Condizione del primo ordine:
dπ1
N
=
(2c − 2p1 + 3t) = 0
dp1
4t
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Modelli dinamici di oligopolio
Giochi dinamici e concorrenza sequenziale
Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Equilibrio nella concorrenza sequenziale sui prezzi con beni
differenziati
Prezzi fissati dalle imprese nell’equilibrio di Nash perfetto nei
sottogiochi:
Impresa 1 (leader):
p1∗ = c +
3
t
2
Impresa 2 (follower):
p2∗ = p2∗ (p1∗ ) =
3 1
c +t
1
5
c +t
c+ t =c+ t
+ p1∗ =
+
2
2
2
2
2
4
Utili delle imprese in equilibrio:
Impresa 1 (leader):
π1∗ = (p1∗ − c)q1∗ = (p1∗ − c)
18
p2∗ − p1∗ + t
N=
tN
2t
32
Impresa 2 (follower):
π2∗ = (p2∗ − c)q2∗ = (p2∗ − c)
Giuseppe Vittucci Marzetti
Principi di Economia I
25
p1∗ − p2∗ + t
N=
tN
2t
32
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Modelli dinamici di oligopolio
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Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità
Concorrenza sequenziale sui prezzi
Equilibrio nella concorrenza sequenziale sui prezzi con beni
differenziati
Quote di mercato:
Impresa 1 (leader):
x m∗ =
(c + 54 t) − (c + 32 t) + t
p2∗ − p1∗ + t
3
=
=
2t
2t
8
Impresa 2 (follower):
(1 − x m∗ ) = 1 −
3
5
=
8
8
L’impresa 2 è avvantaggiata rispetto all’impresa 1: si avvale di una
più ampia quota di mercato e ottiene profitti maggiori.
Entrambe ottengono utili maggiori rispetto al caso simmetrico.
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