primo criterio di congruenza dei triangoli

Primo criterio di congruenza dei triangoli
PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Teorema (Primo criterio di congruenza dei triangoli): Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo
compreso ordinatamente congruenti.
C
C


T1

T2

A

B
A

B
1) I segmenti [AB] e [AB] sono congruenti, cioè: [AB]  [AB]
2) I segmenti [AC] e [AC] sono congruenti, cioè: [AC]  [AC]
3) Gli angoli  e  , compresi tra i lati [AB] e [AC] (per l’angolo ), e [AB] e [AC] (per l’angolo ),
sono congruenti fra di loro, cioè:   .
Ipotesi:
Tesi:
[BC]:
I due triangoli sono congruenti, cioè sono congruenti gli altri due angoli,  e  ,  e  , ed i lati [BC] e
1) [BC]  [BC];
2)   ;
3)   
Dimostrazione
Mediante un movimento rigido, nel senso che le ampiezze degli angoli e le lunghezze dei segmenti rimangono invariate, si
trasporta il triangolo [ABC], T1, sul triangolo [ABC], T2, secondo le seguenti modalità.
Prima fase.
Si fa coincidere il punto A con il punto A.
Seconda fase.
Si sovrappone la semiretta contente il lato [AB] con la semiretta contenete il lato [AB]. In questa sovrapposizione il punto
B coinciderà con il punto B poiché per l’ipotesi 1) i segmenti [AB] e [AB] sono congruenti. Se coincidono i primi due
estremi, A e A, allora coincideranno anche gli altri due estremi, B e B.
Terza fase.
Per l’ipotesi 3), gli angoli  e  sono congruenti, quindi le semirette contenenti i lati [AC] e [AC] si sovrapporranno.
Quarta fase.
Per l’ipotesi 2) i segmenti [AC] e [AC] sono congruenti, quindi gli estremi C e C coincideranno, dal momento che
coincidono già gli estremi A e A.
Deduzione.
Al termine dell’operazione di sovrapposizione, tutti i vertici dei due triangoli coincidono. Ciò significa che C coincide con
C, C  C, e B coincide con B, B  B’. I segmenti [BC] e [BC] hanno gli estremi coincidenti quindi essi sono
congruenti, [BC]  [BC], cioè è verificato il primo enunciato della tesi.
Inoltre dalla sovrapposizione di tutti i lati dei due triangoli, si ha che i vertici e le semirette degli angoli  e ,  e 
coincidono, pertanto gli angoli sono congruenti:   ,   . Queste due uguaglianze rappresentano il secondo e il terzo
enunciato della tesi.
Poiché i tre enunciati della tesi sono stati dimostrati, il teorema nella sua globalità è dimostrato, c.v.d.
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