Primo criterio di congruenza dei triangoli PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Teorema (Primo criterio di congruenza dei triangoli): Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo compreso ordinatamente congruenti. C C T1 T2 A B A B 1) I segmenti [AB] e [AB] sono congruenti, cioè: [AB] [AB] 2) I segmenti [AC] e [AC] sono congruenti, cioè: [AC] [AC] 3) Gli angoli e , compresi tra i lati [AB] e [AC] (per l’angolo ), e [AB] e [AC] (per l’angolo ), sono congruenti fra di loro, cioè: . Ipotesi: Tesi: [BC]: I due triangoli sono congruenti, cioè sono congruenti gli altri due angoli, e , e , ed i lati [BC] e 1) [BC] [BC]; 2) ; 3) Dimostrazione Mediante un movimento rigido, nel senso che le ampiezze degli angoli e le lunghezze dei segmenti rimangono invariate, si trasporta il triangolo [ABC], T1, sul triangolo [ABC], T2, secondo le seguenti modalità. Prima fase. Si fa coincidere il punto A con il punto A. Seconda fase. Si sovrappone la semiretta contente il lato [AB] con la semiretta contenete il lato [AB]. In questa sovrapposizione il punto B coinciderà con il punto B poiché per l’ipotesi 1) i segmenti [AB] e [AB] sono congruenti. Se coincidono i primi due estremi, A e A, allora coincideranno anche gli altri due estremi, B e B. Terza fase. Per l’ipotesi 3), gli angoli e sono congruenti, quindi le semirette contenenti i lati [AC] e [AC] si sovrapporranno. Quarta fase. Per l’ipotesi 2) i segmenti [AC] e [AC] sono congruenti, quindi gli estremi C e C coincideranno, dal momento che coincidono già gli estremi A e A. Deduzione. Al termine dell’operazione di sovrapposizione, tutti i vertici dei due triangoli coincidono. Ciò significa che C coincide con C, C C, e B coincide con B, B B’. I segmenti [BC] e [BC] hanno gli estremi coincidenti quindi essi sono congruenti, [BC] [BC], cioè è verificato il primo enunciato della tesi. Inoltre dalla sovrapposizione di tutti i lati dei due triangoli, si ha che i vertici e le semirette degli angoli e , e coincidono, pertanto gli angoli sono congruenti: , . Queste due uguaglianze rappresentano il secondo e il terzo enunciato della tesi. Poiché i tre enunciati della tesi sono stati dimostrati, il teorema nella sua globalità è dimostrato, c.v.d. 1