LE LEGGI FONDAMENTALI DELLA
DINAMICA
1
Il primo principio della dinamica
• Obiettivi:
–
–
–
–
conoscere e capire i principi della dinamica;
conoscere i concetti di massa e peso;
conoscere la dinamica e la statica dei sistemi di punti
apprendere il concetto di momento.
2
Il primo principio della dinamica
• Basandosi esclusivamente sugli esperimenti analizzati nella lezione
precedente, la relazione, che qui ricordiamo:
1’)
a1=f/m1
a2=f/m2 …..
an=f/mn
non si potrebbe considerare stabilita col rigore e la precisione richiesta
per una legge generale e universale.
3
Il primo principio della dinamica
• Tuttavia (riferendoci alle ricerche di Galileo) potremo considerarla valida con
buona approssimazione per dei sistemi di riferimento connessi alla
superficie terrestre.
• Anticipando però alcune nozioni sulle quali torneremo nel seguito, possiamo
renderci conto che l’espressione (1’) rappresenta una legge universale.
• Una bilancia di torsione è un dinamometro molto sensibile, in cui le forze
vengono misurate per mezzo delle reazioni elastiche (torsioni) che esse
provocano.
• Lord Cavendish nel 1771, utilizzando questo delicato strumento, mostrò che
due corpi qualsiasi si attirano con una forza che dipende dalla loro
distanza.
4
Il primo principio della dinamica
• Se i corpi sono così piccoli da poter considerare trascurabili le loro
dimensioni rispetto alla loro distanza, allora si trova precisamente che la
forza varia in ragione inversa del quadrato della distanza.
• Trasportando questa legge ai corpi celesti e in particolare applicandola ai
corpi del sistema planetario è possibile prevedere quale debba essere il
moto dei pianeti.
• È possibile cioè prevedere che le orbite hanno forma ellittica, che i tempi di
rivoluzione stanno in certi rapporti con le dimensioni di tali orbite ecc. ecc,.
5
Il primo principio della dinamica
• Il che equivale ad affermare che la (1’) stabilita da Galileo nel caso molto
particolare di una forza costante e di un sistema di riferimento terrestre, è una
legge molto più generale, valida per forze molto più complesse, in sistemi
di riferimento rispetto ai quali la terra è solo un punto materiale.
• In base a considerazioni di questo genere Newton ha visto nella (1’)
l’espressione di un principio generale applicabile a tutti i possibili movimenti
dell’Universo.
6
Il primo principio della dinamica
• E poiché un movimento ha un significato preciso solo se è definito il sistema
di riferimento rispetto al quale lo si osserva, Newton scelse come sistema
di riferimento l’Universo stesso, ossia l’insieme delle stelle fisse.
• Ne segue che potremo assumere come legge fondamentale della dinamica il
seguente principio.
– ”Per ogni punto materiale in moto rispetto ad una terna di riferimento
solidale con le stelle fisse (cioè con origine e assi immobili rispetto a questi
astri) la forza, misurata staticamente, è in ogni punto e in ogni istante,
proporzionale all’accelerazione. Inoltre, forza e accelerazione (in quanto
vettori) hanno la stessa linea di azione e lo stesso verso.”
7
Il secondo principio della dinamica
r
• In simboli, indicando con f la forza e con
scrivere:
(2)
r
a
l’accelerazione si può
r
r
f = ma
dove, m è la costante di proporzionalità (scalare) che abbiamo chiamato
massa.
• Prima di discutere la (2) vogliamo chiarire alcuni punti dell’enunciato
precedente.
• Intanto osserviamo che la (2) contiene implicitamente il principio di
inerzia, in quanto se poniamo uguale a 0 il valore della forza, si avrà
un’accelerazione nulla.
8
Il secondo principio della dinamica
• Abbiamo poi parlato di forza misurata staticamente, ma appare evidente
come sia assurdo pensare di misurare con un dinamometro la forza che si
esercita fra la Terra e il Sole.
• Si può però misurare con un dinamometro la forza che si esercita fra due
masse materiali (come effettivamente ha fatto Cavendish) e poi estendere
alla Terra e al Sole il risultato di questa esperienza.
• In un simile caso, ciò che l’osservazione diretta fornisce non è più il valore
della forza che si esercita fra la terra e il sole, ma il moto che la prima compie
intorno al secondo, moto che noi potremo confrontare col risultato
dell’esperienza di Cavendish.
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Il secondo principio della dinamica
• In generale una misura statica di forza fornirà, in forma più o meno indiretta,
attraverso induzioni, il valore del vettore che compare nella (2), come
funzione delle coordinate spazio-temporali, scriveremo pertanto:
r
r
f = f ( x, y, z, t)
• La (2) stessa ci consentirà allora di riconoscere se quelle induzioni erano
lecite e fino a qual punto lo erano.
• Se invece, per precedenti osservazioni, di tali induzioni eravamo già certi, la
(2) ci servirà, come vedremo, a risolvere completamente il problema della
dinamica del punto.
10
Il secondo principio della dinamica
• Per un sistema rigidamente collegato con la superficie terrestre (come
quelli che normalmente si considerano nelle esperienze di laboratorio) la (2)
è vera con buona approssimazione.
• La terra è però animata, oltre che dal movimento di rotazione, anche da
un altro movimento rispetto al sole, ossia rispetto a un sistema solidale con
le stelle fisse:
– questo è il moto di rivoluzione, che si svolge con la considerevole velocità
media di circa 30 Km/sec.
11
Il secondo principio della dinamica
• Ebbene nessuna esperienza meccanica (e in generale nessuna esperienza
fisica) eseguita sulla terra, consente di mettere in evidenza, durante il
periodo di qualche giorno, questo movimento.
• In un tale intervallo di tempo il moto della terra (a prescindere dalla
rotazione) è da considerarsi, con approssimazione grandissima, rettilineo e
uniforme.
• Quanto precede equivale a dire che i fenomeni meccanici si svolgono
nello stesso identico modo, cioè seguono le stesse leggi nel sistema riferito
alle stelle fisse, come su un sistema di riferimento che è in moto rettilineo e
uniforme rispetto alle stelle fisse.
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Il secondo principio della dinamica
• “Più in generale se due sistemi di riferimento qualsiasi sono in moto
rettilineo uniforme, l’uno rispetto all’altro, nessuna esperienza è in
grado di rilevare che l’uno, anziché l’altro, è fisso.
• Le esperienze permettono solo di stabilire che i due sistemi sono in moto
l’uno relativamente all’altro.”
• Questo è il primo postulato della teoria della relatività ristretta.
• Il secondo, come vedremo, è quello della costanza della velocità della
luce rispetto a qualsiasi sistema di riferimento.
13
Il secondo principio della dinamica
• Ci limiteremo qui ad indicare che la (2) è da ritenersi valida non solo in un
qualsiasi sistema di riferimento universale solidale con le stelle fisse, ma
anche in qualunque altro che si muova rispetto al primo di moto rettilineo e
uniforme.
• Resta infine da chiarire il significato della massa.
• È un fatto essenziale che, secondo la (2), per ogni corpo materiale, il
fattore m ha un valore costante.
• Vediamo più da vicino cosa significhi.
14
Il secondo principio della dinamica
• Indicando con
• ossia:
(2’)
r
v
la velocità generica al tempo t, la (2) si scrive allora:
r
r
dv
f = m
dt
r
1 r
dv =
f dt
m
15
Il secondo principio della dinamica
• Ora, come abbiamo già visto, all’inizio del moto
r
dv
è la velocità iniziale acquisita dal mobile tempuscolo dt.
• La (2’) esprime quindi in questo caso, che l’effetto della forza, cioè la
velocità inizialmente da essa impressa al punto mobile, è proporzionale
alla forza stessa e alla durata della sua azione.
• Questa è una considerazione più approfondita e una enunciazione in termini
formali di quel concetto già introdotto nella prima lezione, ovvero il
principio del moto incipiente.
16
Il secondo principio della dinamica
• Trattandosi di un atto elementare, ciò ci appare molto naturale, e la
costante 1/m figura come quella costante di proporzionalità che
compendia in sé gli attributi del corpo che intervengono nell’atto di moto
ma sui quali la forza non può apportare nessuna modificazione.
• Ammettere valida la (2) anche per gli atti di moto elementari successivi,
mantenendo ad m lo stesso valore che compare nell’equazione del moto
incipiente, equivale ad ammettere che questi attributi rimangano tali e quali
qualunque sia la velocità posseduta dal mobile nel generico tempo t.
17
Il secondo principio della dinamica
• Nello scrivere la (2) si postula quindi che l’equazione dei moti incipienti,
così naturale al nostro intuito, valga anche per tutti gli istanti successivi a
quello in cui si è iniziato il moto.
• La legge fondamentale della dinamica, così come l’abbiamo enunciata,
presuppone dunque:
– che la massa del corpo non dipenda dalla velocità.
– che si assuma, come forza agente sopra un corpo in moto, la forza
misurata staticamente.
• A questo valore di m si dà il nome di massa a riposo.
18
Il secondo principio della dinamica
• Circa il significato della massa e la sua misura, a maggior chiarimento di
quanto precede, dobbiamo ancora fare le seguenti osservazioni.
• In generale, per la (2), due punti materiali che siano, in ragione della
loro natura fisica soggetti ad una stessa forza, avranno proprietà
dinamiche distinte solo per il fatto che a esse spettano due diversi valori
di m (si pensi a due particelle dotate di una stessa carica e poste in uno
stesso campo elettrico).
19
Il secondo principio della dinamica
• È allora chiaro che il problema da cui siamo partiti, cioè quello di prevedere
quale sarà il moto di un punto materiale in un dato campo di forze (noto
attraverso misure statiche precedenti) non si risolve, in base alla (2), finché
non è nota anche la massa di quel punto.
r
• Se la massa non è nota, la (2) ci fornisce solo il valore del prodotto m × a e
noi in questo caso potremo alternativamente:
– misurare (in modo indipendente dal movimento) la massa m e quindi
determinare il valore dell’accelerazione e da questa il moto del punto;
– esaminare il moto medesimo, dedurne a e poi, da questo valore trarre quello
della massa m=f/a.
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Il secondo principio della dinamica
• Nel primo caso la (2) è da considerarsi come una vera e propria legge
fisica in quanto, in base a due misure preliminari, quella della forza e
quella della massa, si è in grado di prevedere quale sarà il moto del punto.
• Nel secondo caso la (2) (per noi che siamo partiti dalla definizione statica
di forza come concetto fondamentale) non è altro che la misura dinamica
della massa ossia la definizione fisica di essa come concetto derivato.
21
Massa e peso
• In base alla legge fondamentale della dinamica abbiamo quindi
accertato che possiamo misurare la massa di un corpo qualsiasi
sottoponendolo ad una forza nota e valutandone poi la corrispondente
accelerazione.
• Questa forza può essere il peso.
• Abbiamo detto che, in un determinato luogo l’accelerazione di gravità è
la stessa per tutti i corpi e che, i pesi sono proporzionali alle masse
inerziali.
22
Massa e peso
• L’ aggettivo “inerziale” serve a precisare che la massa (rapporto fra
forza e accelerazione) dà una misura della resistenza che i corpi
oppongono a cambiare la loro velocità e subire delle
accelerazioni.
• Essendo il peso una forza particolare, normalmente alla parola
massa si dà un significato diverso, che è quello di quantità di
materia.
23
Massa e peso
• In base alla legge fondamentale della dinamica abbiamo quindi
accertato che possiamo misurare la massa di un corpo qualsiasi
sottoponendolo ad una forza nota e valutandone poi la corrispondente
accelerazione.
• Questa forza può essere il peso.
• Abbiamo detto che, in un determinato luogo l’accelerazione di gravità è
la stessa per tutti i corpi e che, i pesi sono proporzionali alle masse
inerziali.
24
Massa e peso
• In generale in una sostanza omogenea, come per es. un liquido puro,
il peso e quindi, secondo la relazione precedentemente scritta
m=p/g,
la massa è proporzionale al volume.
• Inoltre il peso di un corpo non cambia comunque esso venga
deformato.
• L’espressione quantità di materia è tuttavia un pò vaga, si preciserà
progredendo nello studio dei fenomeni fisici e chimici, quando si avrà
un’idea abbastanza chiara della costituzione atomica della materia e
quindi del concetto di particelle elementari ossia di particelle, fra
loro indistinguibili e perciò in tutto identiche.
25
Massa e peso
• Le masse delle particelle elementari sono, per il concetto stesso di
particella elementare, costanti.
• Una certa quantità di materia è costituita sempre da un numero intero di
queste particelle, se questo numero non cambia, la massa di quella
quantità rimane costante, qualunque siano le azioni fisiche e chimiche alle
quali essa viene sottoposta.
• Il concetto di massa si identifica così con quello di numero di particelle.
• Questa è una delle leggi fondamentali della fisica, cioè il principio della
conservazione della materia.
• A esso fanno riscontro altri principi del genere come quello della
conservazione della carica. Noi ci limiteremo a nominarli specialmente
perché questi principi acquistano un senso preciso e profondo solo per chi si
è addentrato nello studio della fisica.
26
Massa e peso
• Circa questa affermazione vanno fatte alcune osservazioni.
• Intanto fra le azioni fisiche e chimiche sopra accennate occorre escludere le
trasformazioni radioattive e le disintegrazioni nucleari.
• Esse rientrano peraltro nella legge sopra enunciata quando si tenga conto
della trasformabilità reversibile della massa in energia secondo la relazione di
Einstein:
E=mc2
dove c è la velocità della luce.
• In secondo luogo appare evidente che, ragionando come sopra, la quantità di
materia si identifica col numero di particelle, ma non ancora con la massa
inerziale.
• Torneremo su questo punto nel seguito, per ora basti osservare che il
concetto di materia non è indispensabile alla comprensione di quello di massa
inerziale.
27
Massa e peso
• Tornando al principio di conservazione della materia (che dipende
dalla costanza della massa di un corpo o sistema di corpi) è bene tener
presente che esso è rigorosamente valido finché si pensa di effettuare le
misure delle masse (ossia di pesi) in un sistema di riferimento rispetto
al quale le masse in questione sono ferme o, come sempre accade nei
fenomeni meccanici, hanno velocità piccole rispetto a quella della luce
(3x109 m/sec).
• Riterremo inoltre, a questo punto della discussione che l’equazione
m=p/g
sia rigorosamente valida, ossia che una volta scelta la massa
campione, tutte le altre masse si possono misurare confrontandole
con questa per mezzo della bilancia, ossia confrontandone i
corrispondenti pesi.
28
Sistemi di misura
• Da queste considerazioni appare chiaro che occorre stabilire dei
riferimenti certi per le misure che vogliamo effettuare ovvero, come si
dice in termini più precisi, dobbiamo stabilire uno (o più) sistemi di
riferimento.
• Assumeremo come massa campione il chilogrammo-massa, ossia la
massa del campione di platino conservato nel Bureau des poids et
mesures di Parigi, consistente in un blocco di platino/iridio che avrebbe
dovuto avere esattamente la massa di 1 dm3 di acqua distillata alla
pressione normale e a 4°C di temperatura (per la precisione esso
rappresenta la massa di dm3 1,000027 di acqua distillata in quelle
condizioni).
29
Sistemi di misura
• Nella tecnica, e spesso nella fisica, si assume questa unità accanto al
metro, al secondo e all’ohm internazionale, come unità fondamentale.
• Si ha così il sistema MKS (Metro, Kilogrammo, Secondo).
• È chiaro, da quanto precede che la misura delle masse con la bilancia è
essenzialmente una misura delle masse gravitazionali e che essa si
riduce a quella delle masse inerziali, a causa della costanza di g.
30
Sistemi di misura
• Nell’approssimazione in cui è valida la meccanica classica, la massa è da
considerarsi rigorosamente costante ed e molto più conveniente
assumerla come unità primitiva che non la forza peso che varia invece
da luogo a luogo.
• In particolare il campione di platino iridato ha una massa che risponde in
pieno al principio della riproducibilità delle esperienze, ossia al principio
di identità delle misure.
• La sua massa è sempre quella, qualunque sia la pressione, il luogo e le
altre condizioni fisiche a cui può essere sottoposto.
31
Indipendenza delle azioni simultanee
• Si può constatare con numerose esperienze che l’azione di una forza è
indipendente dallo stato di quiete o di moto preesistente in un punto
mobile (Galilei).
• Prima di esaminare una esperienza di questo tipo è bene far presente che
questa affermazione è già implicita nella (2).
r
• Questa infatti ci dice che la accelerazione prodotta da una forza f è
r r
a= f m
indipendentemente da qualsiasi riferimento allo stato di moto (e in
particolare alla velocità) del punto in cui pensiamo applicata la forza.
32
Indipendenza delle azioni simultanee
• L’esperienza che possiamo prendere
in esame è (vedi figura), quella di un r
grave lanciato nel vuoto con velocità vo
iniziale in una direzione qualunque
0x, per es. il proiettile di un’arma da
fuoco.
33
Indipendenza delle azioni simultanee
• Se vi è indipendenza fra l’azione della gravità e la velocità, in ogni
istante il proiettile dovrebbe essere sollecitato a muoversi nella
direzione della verticale verso il basso, con moto uniformemente
accelerato, come se fosse stata nulla v0.
• Presa l’origine nella posizione iniziale e l’asse delle y verticale volta verso
l’alto, le equazioni del moto si possono scrivere, per v0 = 0:
x1 = 0
y1 = ½gt2
34
Indipendenza delle azioni simultanee
• Per la velocità v0 impressagli inizialmente invece, indipendentemente dalla
gravità il proiettile si dovrebbe muovere di moto uniforme.
• Le equazioni di questo moto, rispetto al nostro riferimento, sarebbero le
seguenti:
x2 = v0xt ;
y2 = v0yt
• Se l’azione della gravità è indipendente dalla velocità del punto, il moto
effettivo di questo è la composizione dei due precedenti:
x = x1 + x2 = v0xt;
y = y2 + y1 = v0yt - ½gt2
35
Indipendenza delle azioni simultanee
• Risolvendo la prima rispetto a t e sostituendo nella seconda si ha:
y = (v0y/v0x)x - ½[(g/2(v0x)2]x2
che è l’equazione di una parabola con l’asse verticale.
• La distanza alla quale il grave interseca l’asse x si ricava ponendo y=0.
• Si ha pertanto:
x = 2v0xv0y/g
36
Misura della forza - Estensione del concetto di forza
• Come abbiamo visto per definire il concetto di forza siamo partiti dal
misurare le forze con un dinamometro o con qualcosa di equivalente
e cioè staticamente.
• Abbiamo anche detto che ciò va inteso in senso lato, dato che una
sola misura di forze, in un dato punto o in certe particolari condizioni
sperimentali può essere sufficiente a suggerire una legge, come quella
della gravitazione universale, che ci permette di definire la forza in
tutta una regione di spazio, regione che chiameremo campo di
forza.
37
Misura della forza - Estensione del concetto di forza
• L’osservazione più comune ci dice però che esistono dei movimenti cui
competono delle accelerazioni che non sono così facilmente attribuibili né in
modo diretto né in modo indiretto a delle forze di natura statica.
• Per es. se si esperimenta con un proiettile lanciato nell’aria con una velocità
iniziale v0 considerevole, si vede che il moto di questo proiettile non è
parabolico.
• Anche limitando l’osservazione ad una regione di spazio dove non solo la
gravità ma anche le condizioni dell’aria siano identiche in ogni punto, le
traiettorie seguite da uno stesso proiettile non sono prevedibili in base ad una
forza ottenuta sommando quella di gravità con una costante, diretta in senso
contrario al moto, dovuta alla resistenza dell’aria.
38
Misura della forza - Estensione del concetto di forza
• Si vede invece che queste traiettorie sono caratterizzate, oltre che dalla gravità
da accelerazioni (dovute alla presenza dell’aria e atte a ostacolare il moto) che
dipendono dalla velocità iniziale v0 e più in generale dalla velocità che il
proiettile ha in un determinato istante.
• Se allora noi vogliamo mantenere alla (2) la sua validità, dobbiamo pensare ad
una forza applicata istante per istante al proiettile la quale dipende non
solamente dalle coordinate (ed eventualmente dal tempo), ma anche
esplicitamente dalla velocità.
39
Misura della forza - Estensione del concetto di forza
• Ora una simile forza non si può misurare staticamente e noi ci rendiamo
conto che in questo caso la (2) ha per noi il significato di una definizione di
forza.
• Noi infatti potremo misurare questa forza solo misurando l’accelerazione
competente al moto di quel proiettile e la massa di esso.
• Il prodotto
r
r
f = ma
misurerà quella forza non esprimibile altrimenti con un numero.
40
Misura della forza - Estensione del concetto di forza
• Una simile misura della forza si definisce dinamica e riguarda
molti tipi di forza che si incontrano nello studio della fisica.
• Citiamo ad esempio due tipi di forze quali:
– la forza di Lorentz, che agisce su una carica in moto in una
regione di spazio dove siano presenti campi elettrici e magnetici;
– le reazioni vincolari delle quali abbiamo già dato alcuni cenni.
41
Dinamica e statica dei sistemi di punti
Impulso e quantità di moto
• Si chiama impulso elementare di una forza
r
f
nell’intervallo di tempo dt, il vettore infinitesimo:
r r
dh = fdt
42
Dinamica e statica dei sistemi di punti
• Si chiama impulso di una forza durante un intervallo finito di tempo t2 - t1, la
somma di tutti gli impulsi elementari
r
fdt
relativi agli intervalli di tempo infinitesimi dt, in cui si può considerare diviso
l’intervallo finito t2 - t1.
• L’impulso durante l’intervallo t2 - t1 è dato quindi dall’integrale:
t2
(3)
∫
r
r
f ( t ) dt = h
t1
r
dove è da tener presente che, nel caso generale, i vettori infinitesimi fdt
cui si applica l’integrale,
sono variamente diretti a seconda della direzione
r
assunta da f nell’intervallo di tempo t2 - t1.
43
Dinamica e statica dei sistemi di punti
• Si chiama quantità di moto di un punto materiale il vettore:
r
r
q = mv
ottenuto moltiplicando la velocità
r
v
per la massa m del punto.
44
Dinamica e statica dei sistemi di punti
• Quantità di moto e impulso hanno le stesse dimensioni.
• L’equazione fondamentale della dinamica ci indica la ragione di questa
identità mostrando immediatamente come siano fra loro collegate queste
due grandezze.
• Si ha infatti:
r
r
r
dv
f = ma = m
dt
da cui, essendo la massa una costante
(4)
r
r
r
r
fdt = mdv = d ( mv ) = dq
45
Dinamica e statica dei sistemi di punti
• Questa relazione può essere enunciata come segue:
“la variazione infinitesima della quantità di moto è uguale all’ impulso
elementare della forza che la ha provocata”.
• Che possiamo anche enunciare:
“la forza è uguale alla variazione della quantità di moto, nell’unità di
tempo”.
46
Dinamica e statica dei sistemi di punti
• Ovviamente ci si riferisce, nel caso generale di una forza
variabile, al fatto che la (4), dividendo per l'intervallo dt, diviene:
(4’)
r d ( mvr )
f =
dt
• S’intende naturalmente che impulso e variazione sono relativi
allo stesso punto P e allo stesso intervallo di tempo infinitesimo.
47
Dinamica e statica dei sistemi di punti
• Passando ad un intervallo di tempo finito occorrerà integrare nell’intervallo
di tempo t2-t1 ottenendo infine:
r r r
h = q 2 − q1
relazione che ci porta ad enunciare che:
“la variazione della quantità di moto di un punto materiale è
uguale al corrispondente impulso della forza applicata.”
48
Momento di una forza e momento della quantità di moto
r
u
• In generale si chiama momento di un vettore
rispetto ad un punto O
(che generalmente, ma non sempre, è fisso nel sistema di riferimento in cui si
r
valuta il vettore u il prodotto vettoriale
(5)
r
r r
K = r ∧u
r
r
del raggio vettore
= R - Or (che va dal punto O ad un punto qualsiasi R
della retta aa’ individuata da u ) per il vettore medesimo.
49
Momento di una forza e momento della quantità di moto
r
• La retta aa’ si chiama retta d’azione del vettore u
• Il punto R è un punto qualsiasi di questa retta e l’arbitrarietà di esso dipende dal
fatto che il prodotto vettoriale
r
r
r ∧u
è sempre lo stesso qualunque sia il punto R preso su aa’.
• La cosa si vede subito osservando che, secondo l’interpretazione geometrica del
prodotto vettoriale, il parallelogramma ORUR’ della figura seguente ha un’area
che non dipende dal particolare punto R scelto su aa’.
50
Momento di una forza e momento della quantità di moto
• In particolare si può scegliere il punto
R0, piede della perpendicolare
abbassata da O sulla retta aa’.
• Ne segue che se si indica con δ la
misura del segmento
r OR0, il modulo
del momento di u rispetto a O è
dato dal prodotto u x δ.
51
Momento di una forza e momento della quantità di moto
• Fra i momenti di vettori hanno particolare importanza il momento della
quantità di moto e il momento di una forza.
• Sia P un punto in moto rispetto ad una data terna di riferimento e
r
r
q = mv
la sua quantità di moto.
• Il momento della quantità di moto di P rispetto ad un punto O (qualsiasi) è il
r
momento del vettore
q
rispetto a O.
52
Momento di una forza e momento della quantità di moto
• Assumendo R coincidente col punto
mobile P, questo momento è dato
da:
(6)
r r r r
r
r r
p = r ∧ q = r ∧ m v = m (r ∧ v )
r
• dove r è il raggio vettore r=PO
(vedi figura).
53
Momento di una forza e momento della quantità di moto
r
• Il vettore p
si chiama anche momento di rotazione del punto P rispetto ad O nel senso
che esso è diverso da zero quando P ha, rispetto ad O, una velocità trasversale
r
vϕ
non nulla.
r
r
v
v
• Anzi se si immagina di decomporre
nelle sue componenti ϕ
r
e v r si vede subito, per la proprietà distributiva del prodotto vettoriale, che:
r r r
r
r
r
r r
r r
r r
p = r ∧ q = m {r ∧ (v r + v ϕ )} = m (r ∧ v r ) + m (r ∧ v ϕ ) = m (r ∧ v ϕ )
ossia che al vettore contribuisce solo la componente trasversale della velocità.
54
Momento di una forza e momento della quantità di moto
r
r
r
r
• Anzi poiché
è normale a v ϕ il modulo di p è dato da:
(7)
p = mr2 (dφ/dt)
o anche indicando con
ω = (dφ/dt)
la velocità angolare della rotazione di P rispetto a O e introducendo il vettore
(7')
(
r
ω
)
r
2 r
p = mr ω
55
Momento di una forza e momento della quantità di moto
r
p
• Si può rilevare che
in questo
r modo viene ad assumere un
aspetto analogo al vettore q della quantità di moto e che
r
precisamente i termini che si corrispondono sono la velocità v
r
e la velocità angolare ω , la massa m e il prodotto mr2.
• A questo prodotto si dà il nome di
momento d'inerzia del punto P rispetto a O.
56
Momento di una forza e momento della quantità di moto
• Analogamente si chiama momento di una forza f, rispetto ad un punto O il
prodotto
r r r r
( R − O) ∧ f = r ∧ f = M
• In particolare la forza può essere applicata in un punto A e può essere
comodo scegliere il punto R di cui sopra, coincidente con A.
r
• Se x, y, z sono le coordinate di A (o R che sia) e fx, fy, fz, le componenti di f,
le componenti di M (avendo preso l’origine delle coordinate in O) sono:
Mx = yfz - zfy; My = zfx - xfz; Mz = xfy - yfx.
57
Momento di una forza e momento della quantità di moto
• Supponiamo
ora di avere un punto materiale P in moto sotto l’azione di una
r
forza f e supponiamo di avere, nel sistema di riferimento, un punto fisso O
rispetto al quale interessi di considerare il momento della quantità di moto di P,
è facile porre in relazione questo momento con quello della forza rispetto allo
stesso punto O.
• Infatti se si moltiplica vettorialmente la (4) per il raggio vettore
r
r
si ottiene
(
= P-O
r
r
r
r
r ∧ f dt = r ∧ d (m v )
)
58
Momento di una forza e momento della quantità di moto
• Ora noi sappiamo che
r
r
d r = v dt
r
r
v
m
v
• ha la direzione di
ed è perciò parallelo a
e il prodotto vettoriale
r
r
dr ∧ m v
è quindi nullo.
• La relazione precedente si può allora scrivere:
(
)
r
r
r
r
r
r
r ∧ f dt = r ∧ d (m v ) + d r ∧ m v
59
Momento di una forza e momento della quantità di moto
• Effettivamente si ha, eseguendo dei semplici calcoli e trascurando il termine di
secondo ordine
r
r
mdr ∧ dv
possiamo scrivere:
(8)
r
r
r
r
r
r
d (r ∧ m v ) = r ∧ d (m v ) + d r ∧ m v
• Da cui
(9)
r
r
Mdt = dp
60
Momento di una forza e momento della quantità di moto
r
r
• Questa relazione è formalmente identica alla (4) posta l’equivalenza tra f e M
r
r
da un lato e di q con p dall’altro.
• La (9) esprime il momento dell’impulso e si può enunciare:
“la variazione del momento della quantità di moto di un punto
materiale è uguale al corrispondente momento dell’impulso della
forza applicata a quel punto”.
61
Momento di una forza e momento della quantità di moto
• In termini finiti abbiamo, integrando la (9):
r t2 r
K = ∫ Mdt = p 2 − p1
(9’)
t1
• Riscriviamo la (4) e la (9) nella forma più adatta ad essere applicata al moto
di un sistema di punti:
r
r
dq
f =
dt
r
r
dp
M =
dt
62
Momento di una forza e momento della quantità di moto
•
Possiamo a questo punto enunciarne il significato nel modo seguente:
– In un riferimento inerziale il moto di un punto materiale è tale che:
a. la forza impressa è, istante per istante, uguale alla derivata rispetto al tempo della
quantità di moto del punto;
b. Il momento della forza rispetto ad un punto fisso O è, istante per istante, uguale
alla derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto rispetto allo
stesso punto.
•
•
Questi due enunciati derivano direttamente dal II Principio della Dinamica e anzi
sono degli enunciati diversi di questa Legge.
In particolare:
–
–
l’enunciato a è il II Principio espresso in una forma che include il caso più
generale delle masse variabili,
l’enunciato b esprime il II Principio con riferimento a un determinato punto dello
spazio.
63
Sistemi isolati e terzo Principio della Dinamica
• Per introdurre il concetto di sistema isolato consideriamo come esempio
il sistema Terra - Luna.
• Questa tuttavia è un'approssimazione grossolana dato che il sistema è in
realtà soggetto all'attrazione del sole e degli altri pianeti.
• Specialmente l'attrazione del Sole è evidentemente tutt'altro che
trascurabile e lo dimostra la curvatura della traiettoria che la terra compie
intorno al sole nel periodo in cui la luna compie una rivoluzione completa
attorno alla terra.
64
Sistemi isolati e terzo Principio della Dinamica
• Si potrà allora considerare il sistema Terra – Sole - Luna come un sistema
isolato, trascurando l’attrazione dei pianeti che è sicuramente più debole.
• Possiamo quindi precisare il significato di sistema isolato con la seguente
definizione:
“si dice isolato un sistema i cui punti sono soggetti solo a "forze
interne”
ossia a forze dovute ai corpi, e solo ai corpi, che appartengono al sistema.
65
Sistemi isolati e terzo Principio della Dinamica
• Con queste premesse si può enunciare il III Principio della Dinamica
in una forma che non è la più generale, ma la più aderente ai controlli
sperimentali e quella che meno si presta a equivocare.
• III Principio della dinamica:
“In un riferimento inerziale, la quantità di moto totale di un
sistema isolato rimane costante nel tempo”.
66
Sistemi isolati e terzo Principio della Dinamica
• Per un sistema isolato vale quindi il
principio della conservazione della quantità di moto che
esprimeremo tramite l'equazione:
r
Q =
n
∑
i =1
r
m ivt = k
dove k è una costante.
67
Sistemi isolati e terzo Principio della Dinamica
• Introduciamo, sempre sulla base di quanto discusso finora, il principio di
azione e reazione.
• Si consideri un sistema costituito da due punti o, più in generale, da due
sistemi parziali A e B.
• Per quanto abbiamo visto precedentemente, la risultante
r
FA
delle forze che A esercita su B è uguale e di verso opposto alla
risultante delle forze
r
FB
che B esercita su A.
68
Sistemi isolati e terzo Principio della Dinamica
• Ma affinché nel sistema A + B sia nullo il momento
r
FA
r
Mi
r
FB
delle forze interne,
e
devono anche avere la stessa linea di azione
perché altrimenti esse costituirebbero una coppia di momento non nullo.
• Nel caso di due punti P1 e P2, ciò è illustrato dalla figura seguente.
69
Sistemi isolati e terzo Principio della Dinamica
• Si può allora affermare che:
la forza totale che un sistema di punti materiali A esercita su un altro
sistema di punti B, è uguale in grandezza, diretta secondo la stessa
linea di azione, ma con verso opposto, alla forza totale (reazione)
che B esercita su A.
• Questo è il “Principio di azione e reazione” così come, con tutta generalità,
fu enunciato da Newton.
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